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Aula 07 - Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE AULA 07 - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ Nesta aula iremos verificar a estabilidade de um sistema por meio do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. 1. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ O primeiro passo na aplicação do critério de Routh-Hurwitz é a formação do arranjo mostrado a seguir, denominado arranjo ou série de Routh. Nesta estrutura, as duas primeiras linhas são formadas pelos coeficientes do polinômio característico da função de transferência, tomados alternadamente. 2 4 6 1 1 3 5 7 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2 1 2 1 1 0 1 n n n n n n n n n n n n s a a a a s a a a a s b b b b c c c cs k ks ls m s A coluna que contém as potências de s é incluída para a obtenção de um método de cálculo conveniente. A linha dos elementos b é calculada a partir das duas linhas imediatamente superiores; o mesmo acontece na determinação da linha dos elementos c e assim por diante. As equações que determinam os coeficientes do arranjo são: 2 4 1 2 1 3 1 51 1 1 51 3 1 2 1 31 21 1 1 1 , ... 1 1 , ... n n n n n n n nn n n nn n a a a a b b a a a aa a a aa a c c b bb bb b e assim sucessivamente. O critério de Routh-Hurwitz pode ser enunciado como se segue: “De posse do arranjo de Routh, o número de raízes do polinômio examinado que ocorrem no semi- plano direito do plano complexo é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes da primeira coluna do arranjo”. Aula 07 - Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 2 Exemplo1: Aplicação do critério de Routh-Hurwitz. Considere o polinômio do exemplo 4.1, 2 3 22 4 2 8Q s s s s s s s O arranjo de Routh é: ] 3 2 1 0 1 2 1 8 6 8 s s s s no qual 1 1 21 6 1 81 b e 1 1 81 8 6 06 c . Uma vez que existem duas mudanças de sinal nos coeficientes da primeira coluna (de 1 para 6 e de 6 para 8 ), existem duas raízes do polinômio localizadas no semi-plano direito. Este fato é confirmado pelo exemplo 4.1 Exemplo 2: Projeto de um controlador proporcional. Deseja-se projetar um controlador proporcional para o sistema em malha fechada ilustrado na figura abaixo. O critério de desempenho exige erro estacionário inferior a 2% para entrada constante. R s + - K 3 224 5 2s s s Y s Controlador Planta O sistema investigado é do tipo 0 e o erro em estado estacionário para entrada em degrau unitário é 1 1 1 1 ss p e K K A constante de erro de posição pK foi determinada a partir de 3 20 0 2 4 5 2 p c p s s K K lim G s G s lim K s s s A especificação do projeto requer que 1 1 49 1 50 sse K K . Como visto nas aulas anteriores, o cálculo de erros em estado estacionário fundamenta-se na hipótese de estabilidade do sistema em estudo. Desta feita, deve-se garantir que o sistema seja estável para a faixa de valores exigida pelo critério de desempenho. A equação característica do sistema é dada por 3 2 2 1 1 0 4 5 2 c p K G s G s s s s que manipulada leva a 3 24 5 2 2 0Q s s s s K . O arranjo de Routh é da forma: Aula 07 - Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 3 3 2 1 0 1 5 4 2 2 18 2 9 4 2 2 1 s K s K Ks s K K O sistema em malha fechada será estável apenas se os elementos da primeira coluna do arranjo forem positivos e não nulos. Ou seja, para a linha designada por 1s é necessário que 9K e para a linha 0s , basta que 1K . Portanto, o critério de desempenho estabelecido para o erro em estado estacionário não pode ser atingido com o uso de um controlador proporcional. 2. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Classifique os sistemas a seguir em Estável e Instável, para os sistemas instáveis determine a quantidade de polos no semi-plano direito: a) 2 3 3 5 s G s s s b) 3 2 3 3 5 3 s G s s s s c) 3 2 1 3 2 5 G s s s s d) 2 3 5 6 s G s s s e) 2 2 5 G s s s f) 3 2 3 6 2 1 s G s s s s 2. Considere o sistema de controle da figura abaixo: + R s 5 K s s Y s - a) Determine a faixa de valores do ganho K para que a resposta do sistema seja estável.
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