Buscar

Critério estabilidae Routh-Hurwitz.PDF

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 3 páginas

Prévia do material em texto

Aula 07 - Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 1 
 
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE 
 
AULA 07 - CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ 
 
Nesta aula iremos verificar a estabilidade de um sistema por meio do critério de estabilidade de 
Routh-Hurwitz. 
1. CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ 
O primeiro passo na aplicação do critério de Routh-Hurwitz é a formação do arranjo mostrado a 
seguir, denominado arranjo ou série de Routh. Nesta estrutura, as duas primeiras linhas são 
formadas pelos coeficientes do polinômio característico da função de transferência, tomados 
alternadamente. 
2 4 6
1
1 3 5 7
2
1 2 3 4
3
1 2 3 4
2
1 2
1 1
0 1
 
n
n n n n
n
n n n n
n
n
s a a a a
s a a a a
s b b b b
c c c cs
k ks
ls
m
s
  

   


 
A coluna que contém as potências de s é incluída para a obtenção de um método de cálculo 
conveniente. A linha dos elementos b é calculada a partir das duas linhas imediatamente superiores; 
o mesmo acontece na determinação da linha dos elementos c e assim por diante. As equações que 
determinam os coeficientes do arranjo são: 
2 4
1 2
1 3 1 51 1
1 51 3
1 2
1 31 21 1
1 1
 , ...
1 1
 , ...
n n n n
n n n nn n
n nn n
a a a a
b b
a a a aa a
a aa a
c c
b bb bb b
 
    
  
   
   
 
e assim sucessivamente. 
O critério de Routh-Hurwitz pode ser enunciado como se segue: 
“De posse do arranjo de Routh, o número de raízes do polinômio examinado que ocorrem no semi-
plano direito do plano complexo é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes da 
primeira coluna do arranjo”. 
 
Aula 07 - Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 2 
Exemplo1: Aplicação do critério de Routh-Hurwitz. Considere o polinômio do exemplo 4.1, 
 
    2 3 22 4 2 8Q s s s s s s s       
 
 
O arranjo de Routh é: 
 
] 
3
2
1
0
1 2
1 8
 
6
8
s
s
s
s

 
no qual 
1
1 21
 6
1 81
b    
 e 
 1
1 81
 8
6 06
c   

. 
Uma vez que existem duas mudanças de sinal nos coeficientes da primeira coluna (de 
1
 para 
6
 e 
de 
6
 para 
8
), existem duas raízes do polinômio localizadas no semi-plano direito. Este fato é 
confirmado pelo exemplo 4.1 
Exemplo 2: Projeto de um controlador proporcional. Deseja-se projetar um controlador 
proporcional para o sistema em malha fechada ilustrado na figura abaixo. O critério de desempenho 
exige erro estacionário inferior a 2% para entrada constante.  R s
+
-
K 3 224 5 2s s s   Y s
Controlador
Planta
 
O sistema investigado é do 
tipo 0 e o erro em estado 
estacionário para entrada 
em degrau unitário é 
 
1 1
1 1
ss
p
e
K K
 
 
 
 
A constante de erro de posição 
pK
 foi determinada a partir de 
   
3 20 0
2
4 5 2
p c p
s s
K
K lim G s G s lim K
s s s 
  
  
 
 
A especificação do projeto requer que 
1 1
49
1 50
sse K
K
   

. 
 
Como visto nas aulas anteriores, o cálculo de erros em estado estacionário fundamenta-se na 
hipótese de estabilidade do sistema em estudo. Desta feita, deve-se garantir que o sistema seja 
estável para a faixa de valores exigida pelo critério de desempenho. A equação característica do 
sistema é dada por 
   
3 2
2
1 1 0
4 5 2
c p
K
G s G s
s s s
   
  
 
 
que manipulada leva a 
  3 24 5 2 2 0Q s s s s K     
. O arranjo de Routh é da forma: 
 
Aula 07 - Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 3 
3
2
1
0
1 5
4 2 2
 18 2
9
4
2 2 1
s
K
s
K
Ks
s K K


 
   
 
O sistema em malha fechada será estável apenas se os elementos da 
primeira coluna do arranjo forem positivos e não nulos. Ou seja, 
para a linha designada por 
1s
 é necessário que 
9K 
 e para a linha 
0s
, basta que 
1K  
. Portanto, o critério de desempenho 
estabelecido para o erro em estado estacionário não pode ser 
atingido com o uso de um controlador proporcional. 
2. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Classifique os sistemas a seguir em Estável e Instável, para os sistemas instáveis determine a 
quantidade de polos no semi-plano direito: 
a)
 
2
3
3 5
s
G s
s s

 
 b) 
 
3 2
3
3 5 3
s
G s
s s s

  
 c) 
 
3 2
1
3 2 5
G s
s s s

  
 
d) 
 
2
3
5 6
s
G s
s s

 
 e) 
 
2
2
5
G s
s s

 
 f) 
 
3 2
3
6 2 1
s
G s
s s s

  
 
 
2. Considere o sistema de controle da figura abaixo: 
+
 R s  5
K
s s  Y s
-
 
a) Determine a faixa de valores do ganho K 
para que a resposta do sistema seja estável.

Outros materiais