Funções de Várias Variáveis

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Cálculo Diferencial 
e Integral II
Funções de várias variáveis
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Walter Franco Lopes da Silva 
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota 
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Vamos iniciar os nossos estudos, aprendendo o que é o conceito matemático de função. 
A proposta é ampliar a ideia básica do cálculo de funções de uma única variável para as 
funções de várias variáveis. Para organizar nosso estudo, vamos adotar a seguinte sequência:
• Definição;
• Domínio e Imagem;
• Função de duas variáveis;
• Gráfico de curvas de nível e função e duas variáveis;
• O gráfico das funções;
• Funções de três variáveis;
• Superfícies de nível de uma função de três variáveis;
• Limites e continuidade.
Ao terminar essa unidade, você deverá ser capaz de interpretar e conceituar funções de mais 
de uma variável.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final 
do conteúdo. 
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios 
resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
de realização e envio.
Nesta Unidade, estudaremos as funções de duas ou de mais variáveis do 
ponto de vista numérico (por meio de uma tabela de valores), algébrico (por 
intermédio de uma fórmula) e visualmente (por um gráfico ou curvas de nível).
No mundo real, as quantidades físicas, geralmente, dependem de duas ou 
mais variáveis. Então, vamos direcionar os nossos estudos para funções 
de várias variáveis e estender o conceito do cálculo diferencial e integral 
para essas funções.
Funções de várias variáveis
 · Funções de várias variáveis
 · Domínio e Imagem
 · Estratégia para Investigar Funções de Duas Variáveis
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Unidade: Funções de várias variáveis
Contextualização
Utilização de curvas de nível
Considere os efeitos das condições climáticas sobre a produção de milho nos Estados Unidos. 
O que aconteceria se a temperatura média aumentasse (devido ao aquecimento global, por 
exemplo) ou se a quantidade de chuva diminuísse devido a uma seca? 
Uma maneira de estimar o efeito dessas mudanças climáticas consiste em utilizar um diagrama 
de curvas de nível que mostre a produção de milho C=f(R,T) nos Estados Unidos em função do 
índice pluviométrico R em polegadas e a temperatura média T em graus Fahreinheit durante a 
estação de crescimento.
 Suponha que, atualmente, R = 15 polegadas e T = 76
o
 F. Então, mede-se a produção como 
um percentual da produção atual. Assim, a curva de nível correspondente a R=15 e t=76 é 
C=100, ou seja C=f(15,76)=100. 
Desse modo, use a figura abaixo para estimar f(18,78) e explique sua resposta em termos da 
produção de milho.
Expectativa de resposta:
Os pontos de coordenadas R=18 e T=78 pertencem à curva de nível C= 100, de modo 
que f(18,78)=100. Isso significa que se o índice pluviométrico anual fosse de 18 polegadas e a 
temperatura de 780 F, o país produziria praticamente a mesma quantidade de milho que hoje 
em dia, apesar de ter um clima mais úmido e mais quente que no presente.
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Funções de várias variáveis
O objetivo dessa unidade será assimilar o conceito matemático de função de duas ou mais 
variáveis. Ao se estudar um fenômeno do mundo real, deparamos, normalmente, com situações 
em que uma quantidade depende de duas ou mais variáveis independentes. É preciso, então, 
ampliar a ideia básica do cálculo de funções de uma variável para funções de várias variáveis.
Muitas funções dependem de mais de uma variável independente:
Exemplo:
O volume de um cilindro circular reto depende do seu raio e de sua altura.
A temperatura de um ponto da superfície da terra depende da sua latitude e da sua longitude.
As funções reais de várias variáveis independentes são definidas de forma muito similar as 
de uma função de uma variável. Os domínios passam a ser o conjunto de triplas, quádruplas, e 
n-uplas, conforme o número de variáveis envolvidas e as imagens são os conjuntos dos números 
reais como aprendemos anteriormente.
Definição: Função de n variáveis independentes.
Sendo D um conjunto de n-uplos ordenados de números reais ( 1 2, nx x x… ). Uma função de f 
em D é uma regra que associa um único número real w=f( 1 2, nx x x… ) a cada elemento em D. O 
conjunto D é o domínio de f, e a imagem é o conjunto dos valores de w assumidos por f.
Se f é uma função de duas variáveis independentes, costuma-se usar a notação x e y para 
representar essas variáveis. O domínio de f será representado por uma região do plano xy.
Se f é uma função de três variáveis independentes, denominam-se as variáveis como x, y e z 
e o domínio de f é representando por uma região do espaço.
Para calcular uma função definida por uma fórmula, basta substituir os valores da variável 
independente na fórmula e calcular o valor da variável dependente.
Exemplo:
Calcular o valor da função f no ponto (3,0,4).
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
, ,
3, 0, 4 3 0 25 5
f x y z x y z
f
= + +
= + + = =
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Unidade: Funções de várias variáveis
Domínio e Imagem
Ao definir função de mais de uma variável, excluem-se as entradas que levem a números 
complexos ou à divisão por zero. Considera-se o domínio das funções os maiores conjuntos, para 
os quais as regras de definição geram números reais, exceto quando esse domínio seja especificado 
de forma explícita. A imagem é o conjunto de valores de saída para a variável dependente.
Exemplos:
Função e duas variáveis:
2w y x= −
Domínio: Observe que, dentro da raiz, o número terá que ser positivo uma vez que não existe 
raiz quadrada de número negativo no campo dos números reais. Existe, portanto, uma restrição, 
ou seja, o valor de y não pode ser menor do que x. Suponha que se atribua o valor 1 para y e 
2 para x:
( )21 2
3
w
w
= −
= −
Não existe raiz quadrada de número negativo; portanto, esses valores não fazem parte do 
domínio da função. Podemos escrever que o domínio de w é dado por:
Domínio: 0y ≥ .
E com relação à imagem?
A imagem, calculada pela função, será qualquer número real positivo e poderá também ser 
o número zero.
Imagem = [0,∞)
Função de três variáveis
2 2 2
1w
x y z
=
+ +
A restrição que se tem agora é que x, y e z têm de ser diferentes de zero.
Domínio = (x,y,z)≠0.
Imagem = Qualquer número real.
Como acontece com os domínios de funções, que são definidas em intervalos da reta real, os 
domínios das funções definidas por porções do plano podem ter pontos interiores e pontos de fronteira.
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Definição
Um ponto ( )0 0, x y em uma região R do plano xy é um ponto interior de R se é o centro de 
um disco que está inteiramente em R(Figura 1). Um ponto ( )0 0, x y em uma região R do plano 
xy é um ponto de fronteira de R se todo o disco centrado em ( )0 0, x y contém, ao mesmo tempo, 
pontos que pertençam a R e pontos que estejam do lado de fora de R. (Figura 2) 
Figura 1
Figura 2
 
Em aplicações de cálculo, podemos nos deparar com funções de qualquer número de 
variáveis. A densidade de matéria no universo, por exemplo, é função de três variáveis, pois 
ela toma três números para especificar um ponto no espaço. Os economistas, frequentemente, 
usam funções com 10 variáveis ou mais. É preciso, então, aprendermos a aplicar o cálculo a um 
número arbitrário de variáveis.
Quando tratamos com funções de mais de duas variáveis, teremos uma grande dificuldade 
de visualizar essas funções. O gráfico de uma função de uma variável é uma curva em 2D. O 
gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície em 3D, assim como o gráfico de uma 
função de três variáveis é uma curva em 4D. 
No entanto, tendo em vista a dificuldadeem visualizar 4D, não usaremos os gráficos de 
funções de três variáveis. Por outro lado, é possível desenhar diagramas de contorno para 
funções de três variáveis, sendo que os contornos serão superfícies em 3D.
Uma função de duas variáveis f(x, y) pode ser representada por uma família de curvas de nível. 
Uma superfície de nível (ou conjunto de nível) de uma função de três variáveis (x,y,z) é uma superfície 
da forma f(x,y,z)=c, em que c é uma constante. A função f pode ser representada pela família de 
superfícies de nível obtida permitindo que c varie.
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Unidade: Funções de várias variáveis
Já vimos anteriormente que o gráfico de uma função de uma variável é uma curva no plano 
xy. Para as funções de duas variáveis, o gráfico é uma superfície gerada em R3.
Define-se uma função de várias variáveis como:
( ) ( )1 1
: 
. . 
n
n n
f
x x f x x
→
… → …
R R
Exemplo: ( ) 3 2, 3f x y x y= +
Para calcular o valor da função em um determinado ponto, é preciso de um par ordenado (x,y).
Calcule o valore da função: ( ) 3 2, 3f x y x y= + no ponto P (1,3).
( ) ( ) ( )
( )
3 21, 3 1 3 3
1, 3 1 27 28
f
f
= +
= + =
Se a função for de 3 variáveis, o procedimento é semelhante:
( )
( ) ( )( )
( )
2
2
, , 2
1,1 , 2 1 2 1 2
1,1 , 2 9
f x y z x yz
f
f
= +
= +
=
Um ponto importante, ao se trabalhar com funções de duas ou mais variáveis, é identificar 
o domínio da função.
Esboce o domínio da ( )
2 1,
3
xf x y
y x
−
=
−
O domínio da função está em 2R . Temos duas restrições a observar:
1. A sentença dentro da raiz tem de ser maior ou igual a zero, uma vez que não existe raiz 
quadrada de números negativos no campo dos números reais.
2. A segunda restrição tem a ver com o denominador que tem de ser obrigatoriamente 
diferente de zero.
Portanto, o domínio da função é:
( )
2
2 1{ , 0 3 0}
3
xD x y e y x
y x
−
= ∈ ≥ − ≠
−
R
Feito isso, vamos estudar os sinais de cada uma dessa igualdades:
( )
( )
2 1 0 1, 1 
3 0
x Raízes são e
y x Raiz é
− = −
=
• Passos para a construção gráfica do domínio:
• Desenhar o plano cartesiano.
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• Marcar as raízes da primeira igualdade.
• Desenhar a reta que representa a segunda igualdade. Ela deverá ser pontilhada porque 
y=3x tem de ser diferente de zero.
• Observar que o plano ficou dividido em seis partes.
• Estudar os sinais das igualdades em cada uma das partes.
• Como nos interessa apenas o que for positivo, vamos escolher como partes do domínio 
o que tiver dois sinais iguais.
• No desenho, é o que está pintado em azul.
Figura 3
 
+
- -
-
-
-
-
-
+
+
+
+
-1 1
Vamos esboçar a representação gráfica do domínio da função:
( ) ( ), ln 1f x y yx= −
Se a função estudada é o logaritmo de alguma coisa, a condição imposta é que essa alguma 
coisa tem de ser maior do que zero.
Portanto:
( ) 2{ , 1 0}D x y yx= ∈ − >R Passos para a representação gráfica do domínio:
• Igualar yx-1 zero.
• Portanto: yx-1=0.
• Isolando o y: 
1y
x
=
• Esboçar o gráfico e analisar o sinal em cada parte do plano que ficou dividido pela função.
• Pontilhar as linhas do gráfico, pois sabemos que tem de ser maior do que zero.
• O domínio da função está pintado em turquesa.
3y x=
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Unidade: Funções de várias variáveis
Figura 4
 y
x
+
+
-
Gráficos
Só é possível esboçar gráficos de funções de duas variáveis. Estamos habituados a desenhar 
o gráfico de uma função de uma variável. Para isso, utilizamos o plano. Identifica-se um domínio 
e, para cada ponto desse domínio, calcula-se a altura do ponto pela função.
Para esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis z= f(x,y), usa-se o espaço. O gráfico 
de uma função de duas variáveis é uma superfície. O domínio é uma região do plano do xy, ou 
ainda a sombra da superfície que representa o gráfico projetada no plano xy. Cada ponto do 
domínio vai “subir” a altura relativa a f(x,y).
Figura 5
 
z
y
x
(x, y, z)
(x, y)
Esboce o gráfico da função:
( ) 2 2,z f x y x y= = +
Como não há nenhum de restrição, podemos afirmar que o domínio da função é em 2R . 
O primeiro passo, para esboçar esse gráfico, é escolher alguns planos significativos. Se fizermos 
x=0, a função estará contida no plano yz.
Se x=0, então z=y2. O gráfico dessa função é uma parábola.
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Figura 6
z
y
x
Nosso segundo corte será fazer o y = 0.
Se y = 0, então z=x2.
O gráfico de z quando y = 0 também é uma parábola, só que agora desenhada no plano xz.
Figura 7 z
y
x
Nosso terceiro corte será fazer z = 1.
Portanto, se z = 1, a função ficará 
2 2 1x y+ = . Essa é a equação de uma circunferência 
de raio igual a 1.
Figura 8 z
1
y
x
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Unidade: Funções de várias variáveis
Diagrama de Contorno e Gráficos
A superfície que representa uma função de duas variáveis nos dá uma boa ideia do 
comportamento dessa função, isto é, se ela cresce ou decresce quando uma das variáveis cresce; 
entretanto, é muito difícil ver todo o comportamento da função através de uma superfície. Por isso, 
as funções de duas variáveis, frequentemente, são representadas por diagramas de contorno, que 
possuem a vantagem adicional de poder ser estendido para as funções de três variáveis.
Diagramas de contorno e gráficos são maneiras diferentes de representar funções de duas 
variáveis. O diagrama de contorno foi criado, ligando todos os pontos em uma mesma altura na 
superfície e baixando a curva no plano xy.
Mas é possível fazer de outra maneira?
Suponha que se quer desenhar a superfície dada pelo diagrama de contorno dado pela figura 9. 
Ao longo de cada contorno, a função tem um valor constante. Tomando cada contorno e 
levantando acima do plano para uma altura igual a esse valor, obteremos a superfície da figura 10.
Figura 9
 
Figura 10
 
15
Observe que os contornos levantados são curvas que obtemos “fatiando” a superfície horizontalmente.
Linhas de con
torno ou 
curvas de nível sã
o obtidas pelo 
fatiamento de um
a superfície 
em planos horizo
ntais.
Função Linear de Duas Variáveis
No cálculo de uma função linear de uma variável, o gráfico é uma reta. Em cálculo de duas 
variáveis, uma função linear é aquela, cujo gráfico é um plano.
Exemplo:
Um plano corta o eixo z em z = 5 e em inclinação 2 na direção x e inclinação -1 na direção y. 
Qual é a equação do plano?
Determinar a equação do plano é construir uma fórmula para a coordenada z, no ponto do 
plano diretamente acima do ponto (x,y) no plano xy.
• Vamos esquematizar o passo a passo de como isso acontece:
• Vamos começar pelo ponto z = 5 acima da origem.
• Andar x unidades da direção x. Como a inclinação de x= 2, a altura aumenta por 2x.
• Agora, andaremos y unidades na direção y. Como sabemos que a inclinação de y = -1, 
a altura diminui por y unidades.
• Como a altura mudou de 2x-1 unidades, a coordenada z é 5+2x-y.
• Portanto, a equação do plano é: z=5+2x-y.
Se um plano tem inclinação m na direção x, inclinação n na direção y e passa pelo ponto 
( 0 0 0, ,x y z ) a sua equação é dada por:
( ) ( )0 0 0z z m x x n y y= + − + −
Esse plano é o gráfico da função linear:
( ) ( ) ( )0 0 0, f x y z m x x n y y= + − + −
Se fizermos 0 0 0c z mx ny= − − obtemos a forma equivalente de f(x,y):
( ),f x y c mx ny= + +
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Unidade: Funções de várias variáveis
Resolução de Exercícios
1) Encontre o domínio das funções:
 f(x,y)=y-x
Solução: Como não há restrição, o domínio é qualquer número real que pertença ao plano xy.
a) ( ) 2{ , }D x y qualquer númeroreal que pertençaao plano xy= ∈R
b) ( )
2 2
1
16
f x
x y
=
− −
Solução: Observe que para resolver esse exercício, temos duasrestrições: O denominador 
tem de ser diferente de zero e o que está dentro da raiz tem de ser um número positivo.
( ) 2 2 2{ , 16}D x y x y= ∈ + <R
2) O custo C do aluguel de um carro em uma companhia que cobra R$ 40,00 por dia e R$ 0,15 
por quilômetro rodado, de modo que C=40d+0,15k em que d é o número de dias e k o número 
que quilômetros percorridos.
a) Faça uma tabela de valores para C usando d= 1,2,3,4 e k= 100,200,300,400.
b) Encontre f(3,200) e interprete.
Solução item a: 
Calcula-se o custo do aluguel em cada um dos pontos. Abaixo está descrito o custo de 
andarmos 100 k por dia:
C(1,100)=40×1+0,15×100=55
C(2,100)=40×2+0,15×100=95
C(3,100)=40×3+0,15×100=135
C(4,100)=40×4+0,15×100=175
Repetimos a operação para cada uma das possibilidades:
C(1,200)=40×1+0,15×200=70
C(2,200)=40×2+0,15×200=110
C(3,200)=40×3+0,15×200=150
C(4,200)=40×4+0,15×200=190
C(1,300)=40×1+0,15×300=85
C(2,300)=40×2+0,15×300=125
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C(3,300)=40×3+0,15×300=165
C(4,300)=40×4+0,15×300=205
C(1,400)=40×1+0,15×300=100
C(2,400)=40×2+0,15×300=140
C(3,400)=40×3+0,15×300=180
C(4,400)=40×4+0,15×300=220
Basta transcrever os dados obtidos para uma tabela:
 
d/k 100 200 300 400
1 R$ 55,00 R$ 70,00 R$ 85,00 R$ 100,00
2 R$ 95,00 R$ 110,00 R$ 125,00 R$ 140,00
3 R$ 135,00 R$ 150,00 R$ 165,00 R$ 180,00
4 R$ 175,00 R$ 190,00 R$ 205,00 R$ 220,00
b) Solução do ítem b:
f(3,200)=150. Se alugarmos o carro por 3 dias e andarmos 200 quilômetros nesses três dias, 
o valor a ser pago pelo aluguel do carro é de R$ 150,00.
Estratégia para Investigar Funções de Duas Variáveis
É possível aprender muito sobre uma função de duas variáveis, variando uma delas e 
mantendo a outra constante. Esse processo fornece a função de uma variável denominada uma 
função da reta da função original.
Concentração de um medicamento no sangue
Ao se injetar um medicamento no tecido musculoso, ele se espalha na corrente sanguínea. 
A concentração de medicamento no sangue aumenta até atingir um nível máximo e depois 
decresce. A concentração C (em mg por litro) do medicamento no sangue é função de duas 
variáveis: a quantidade x (em mg) do medicamento injetado e o número de horas t desde que 
o medicamento tenha sido injetado. A concentração pode ser modelada por:
( ) ( )5, t xC f x t te −= = para 0 ≤ x ≤ 4 e t ≥ 0.
Explique o significado das seções retas abaixo em termos da concentração de medicamento 
no sangue:
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Unidade: Funções de várias variáveis
a) f(4,t)
b) f(x,1)
Solução (a): Manter o x fixo e igual a 4. Isso implica que estamos considerando uma injeção 
com 4 mg do medicamento. Deixar que o t varie significa que estamos examinando o efeito dessa 
dose ao longo do tempo. Portanto, a função f(4,t) descreve a concentração do medicamento 
no sangue devido a uma injeção de 4 mg em função do tempo. A figura 11 apresenta o gráfico 
de ( )4, tf t te−= . Observe que a concentração dessa dosagem é máxima uma hora depois da 
injeção e que a concentração finalmente tende a zero.
Figura 11
 
Solução (b): Fixar t = 1 significa focalizar a concentração no sangue uma hora depois da 
injeção. Deixar o x variar significa que estamos considerando o efeito de diferentes doses no 
mesmo instante. A função f(x,1) fornece a concentração de medicamento no sangue uma 
hora após a injeção em função da quantidade injetada. A figura 12 mostra o gráfico de
( ) ( )5 5,1 x xf x e e− − −= = .
A função f(x,1)é crescente, pois se administrarmos doses maiores, a concentração na corrente 
sanguínea é maior.
Figura 12
19
Material Complementar
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o estudo das Funções de várias variáveis, utilize 
um dos livros da bibliografia e faça um resumo sobre os conceitos que abordem função de 
várias variáveis.
Outras indicações:
• Leia também o capítulo 2 do livro: THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George 
G. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2003. (Páginas 287 a 294)
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Unidade: Funções de várias variáveis
Referências
DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 
2 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
BOULOS, Pré-Cálculo. São Paulo: Makron Books, 1999/2001.
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo. 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
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Anotações
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Unidade: Funções de várias variáveis