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1º Prova de Variáveis Complexas

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Universidade Tecnolo´gica Federal de Parana´ – Pato Branco
VARIA´VEIS COMPLEXAS - ENGENHARIA ELE´TRICA – 2015/1
Professor: Dr. Michael Gonzales
Primeira Prova
ALUNO : ............................................................................................... 7 de Abril de 2015
1) [2 ptos] Responda verdadeiro (V) ou falso (F), justificando as suas respostas:
(a) epii = −1. ( )
(b) −1 e´ uma ra´ız quadrada primitiva da unidade. ( )
(c) |ez| = eIm(z). ( )
(d) exp(3 + 7pii) = e3. ( )
2) [1.5 ptos] Demonstrar que |z−z0| = R, a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de raio R centrada
em z0 pode-se escrever como:
|z|2 − 2Re(zz0) + |z0|2 = R2
3) [1 pto] Prove que lim
z→0
z
z
na˜o existe.
4) [1.5 ptos] Calcule
[8(cos 40◦ + i sin 40◦)]3
[2(cos 60◦ + i sin 60◦)]4
5) [2 ptos] Resolver a equac¸a˜o z6 + 1 =
√
3i.
6) [1 pto] Mostre que log i = 4k+12 pii, k = 0,±1,±2, · · ·
7) [1 pto] Suponha que p + iq e´ uma ra´ız de a0z
n + a1z
n−1 + · · · + an−1z + an = 0, onde
a0 6= 0, a1, . . . , an, p e q sa˜o nu´meros reais. Prove que p− qi e´ tambe´m uma ra´ız.
8) [1.5 ptos] Mostre que a func¸a˜o f(z) =
z
|z|2 e´ anal´ıtica em C \ {0}.
Boa Prova !!
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