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Universidade Tecnolo´gica Federal de Parana´ – Pato Branco VARIA´VEIS COMPLEXAS - ENGENHARIA ELE´TRICA – 2015/1 Professor: Dr. Michael Gonzales Primeira Prova ALUNO : ............................................................................................... 7 de Abril de 2015 1) [2 ptos] Responda verdadeiro (V) ou falso (F), justificando as suas respostas: (a) epii = −1. ( ) (b) −1 e´ uma ra´ız quadrada primitiva da unidade. ( ) (c) |ez| = eIm(z). ( ) (d) exp(3 + 7pii) = e3. ( ) 2) [1.5 ptos] Demonstrar que |z−z0| = R, a equac¸a˜o de uma circunfereˆncia de raio R centrada em z0 pode-se escrever como: |z|2 − 2Re(zz0) + |z0|2 = R2 3) [1 pto] Prove que lim z→0 z z na˜o existe. 4) [1.5 ptos] Calcule [8(cos 40◦ + i sin 40◦)]3 [2(cos 60◦ + i sin 60◦)]4 5) [2 ptos] Resolver a equac¸a˜o z6 + 1 = √ 3i. 6) [1 pto] Mostre que log i = 4k+12 pii, k = 0,±1,±2, · · · 7) [1 pto] Suponha que p + iq e´ uma ra´ız de a0z n + a1z n−1 + · · · + an−1z + an = 0, onde a0 6= 0, a1, . . . , an, p e q sa˜o nu´meros reais. Prove que p− qi e´ tambe´m uma ra´ız. 8) [1.5 ptos] Mostre que a func¸a˜o f(z) = z |z|2 e´ anal´ıtica em C \ {0}. Boa Prova !! 1
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