Superf́ıcies e Quádricas

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Superf´ıcies
Aline Vilela Andrade
2013/II
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MAT241 - CA´LCULO III
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 1 / 1
Em R3 temos dois tipos de objetos de nosso interesse: os so´lidos e as
superf´ıcies.
De forma intuitiva podemos dizer que os so´lidos sa˜o os objetos de R3
que possuem volume e as superf´ıcies sa˜o objetos de R3 que possuem
a´rea, mas tem espessura irrelevante.
Os so´lidos nos permitem modelar, por exemplo, depo´sitos de
combust´ıveis, turbinas de avio˜es ou carros.
As superf´ıcies nos permitem modelar, por exemplo, folhas de papel,
membranas ou laˆminas de metal.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 2 / 1
Esfera
Definic¸a˜o
A esfera de centro Po(xo , yo , zo) e raio r consiste em todos os pontos
(x , y , z) cujas coordenadas satisfazem:
(x − xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2 = r 2.
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Definic¸a˜o
A equac¸a˜o
Ax2 + By 2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
onde os coeficientes dos termos de segundo grau na˜o sa˜o todos nulos, e´
chamada equac¸a˜o de segundo grau em x, y e z. Os gra´ficos de tais
equac¸o˜es sa˜o denominados superf´ıcies qua´dricas ou, simplesmente,
qua´dricas.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 4 / 1
E´ poss´ıvel mostrar que existem os seguintes tipos de superf´ıcies qua´dricas
na˜o degeneradas:
1 Elipso´ides;
2 Hiperbolo´ide el´ıptico ou de uma folha;
3 Hiperbolo´ide de duas folhas;
4 Parabolo´ide el´ıptico;
5 Parabolo´ide hiperbo´lico;
6 Cones;
7 Cilindros.
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Apresentaremos as equac¸o˜es que definem as qua´dricas centradas na
origem.
As outras formas mais gerais podem ser determinadas a partir de
translac¸o˜es e rotac¸o˜es. Uma forma ba´sica de esboc¸ar uma superf´ıcie
qua´drica e´ determinar os interseptos com os eixos coordenados e desenhar
suas sec¸o˜es retas, ou seja, as intersec¸o˜es da superf´ıcie com os planos
coordenados, tambe´m chamadas trac¸os da qua´drica.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 6 / 1
As qua´dricas centrais apresentam as seguintes simetrias em relac¸a˜o a cada
um dos planos coordenados. Se na equac¸a˜o que define a qua´drica
substituimos
x por −x e a equac¸a˜o na˜o se alterar, enta˜o a qua´drica e´ sime´trica em
relac¸a˜o ao plano yz ;
y por −y e a equac¸a˜o na˜o se alterar, enta˜o a qua´drica e´ sime´trica em
relac¸a˜o ao plano xz ;
z por −z e a equac¸a˜o na˜o se alterar, enta˜o a qua´drica e´ sime´trica em
relac¸a˜o ao plano xy ;
(x , y , z) por (−x ,−y ,−z) e a equac¸a˜o na˜o se alterar, enta˜o a
qua´drica e´ sime´trica em relac¸a˜o a` origem.
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Elipso´ide
Definic¸a˜o
A equac¸a˜o que representa o elipso´ide de centro na origem e´:
x2
a2
+
y 2
b2
+
z2
c2
= 1
onde a, b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos.
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Elipso´ide
Intersec¸o˜es com os eixos coordenados:
(±a, 0, 0), (0,±b, 0), e (0, 0,±c).
Simetrias: a equac¸a˜o na˜o se altera se substituimos (x , y , z) por
(−x ,−y ,−z); logo, o elipso´ide tem simetria em relac¸a˜o a` origem.
Trac¸os do elipso´ide:
No plano xy e´ a elipse:
x2
a2
+
y 2
b2
= 1;
No plano yz e´ a elipse:
y 2
b2
+
z2
c2
= 1;
No plano xz e´ a elipse:
x2
a2
+
z2
c2
= 1.
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Elipso´ide
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 10 / 1
Hiperbolo´ide de uma folha
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es a seguir representam hiperbolo´ides de uma folha de centro na
origem:
x2
a2
+
y 2
b2
− z
2
c2
= 1
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
−x2
a2
+
y 2
b2
+
z2
c2
= 1
onde a, b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 11 / 1
Hiperbolo´ide de uma folha
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 12 / 1
Hiperbolo´ide de uma folha
Para a primeira equac¸a˜o temos
Intersec¸o˜es com os eixos coordenados: (±a, 0, 0), e (0, 0,±c).
Simetrias: a equac¸a˜o na˜o se altera se substituimos (x , y , z) por
(−x ,−y ,−z); logo, o hiperbolo´ide de uma folha tem simetria em
relac¸a˜o a` origem.
Trac¸os do hiperbolo´ide de uma folha:
No plano xy e´ a elipse:
x2
a2
+
y 2
b2
= 1;
No plano yz e´ a hipe´rbole:
y 2
b2
− z
2
c2
= 1;
No plano xz e´ a hipe´rbole:
x2
a2
− z
2
c2
= 1.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 13 / 1
Hiperbolo´ide de uma folha
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 14 / 1
Hiperbolo´ide de duas folhas
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es a seguir representam hiperbolo´ides de duas folhas de centro
na origem:
−x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1
−x
2
a2
+
y 2
b2
− z
2
c2
= 1
onde a, b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 15 / 1
Hiperbolo´ide de duas folhas
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 16 / 1
Hiperbolo´ide de duas folhas
Para a primeira equac¸a˜o temos
Intersec¸o˜es com os eixos coordenados: (0, 0,±c).
Simetrias: a equac¸a˜o na˜o se altera se substituimos (x , y , z) por
(−x ,−y ,−z); logo, o hiperbolo´ide de duas folhas tem simetria em
relac¸a˜o a` origem.
Trac¸os do hiperbolo´ide de duas folhas:
No plano xy : nenhuma;
No plano yz e´ a hipe´rbole: −y
2
b2
+
z2
c2
= 1;
No plano xz e´ a hipe´rbole: −x
2
a2
+
z2
c2
= 1.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 17 / 1
Hiperbolo´ide de duas folhas
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 18 / 1
Parabolo´ide el´ıptico
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es a seguir representam parabolo´ides el´ıticos de centro na
origem:
x2
a2
+
y 2
b2
− z
c
= 0
x2
a2
− y
b
+
z2
c2
= 0
−x
a
+
y 2
b2
+
z2
c2
= 0
onde a, b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos.
Tomando a primeira equac¸a˜o, para c > 0, as para´bolas tem a concavidade
voltada para cima. Para c > 0, o parabolo´ide ”abre”para cima. De forma
ana´loga, se c < 0, o parabolo´ide ”abre”para baixo.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 19 / 1
Parabolo´ide el´ıtico
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 20 / 1
Parabolo´ide el´ıtico
Intersec¸o˜es com os eixos coordenados: (0, 0, 0).
Simetrias: a equac¸a˜o na˜o se altera se substituimos x por −x ou y
por −y ; logo, o parabolo´ide el´ıtico tem simetria em relac¸a˜o aos
planos yz e xz .
Trac¸os do parabolo´ide:
No plano xy e´ o ponto: (0, 0, 0);
No plano yz e´ a para´bola:
y 2
b2
− z
c
= 0;
No plano xz e´ a para´bola:
x2
a2
− z
c
= 0.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 21 / 1
Parabolo´ide el´ıtico
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 22 / 1
Parabolo´ide hiperbo´lico
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es a seguir representam parabolo´ides hiperbo´licos de centro na
origem:
x2
a2
− y
2
b2
− z
c
= 0 − x
2
a2
+
y 2
b2
− z
c
= 0
x2
a2
− y
b
− z
2
c2
= 0 − x
2
a2
− y
b
+
z2
c2
= 0
−x
a
+
y 2
b2
− z
2
c2
= 0 − x
a
− y
2
b2
+
z2
c2
= 0
onde a, b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 23 / 1
Parabolo´ide hiperbo´lico
Tomando a primeira equac¸a˜o temos:
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 24 / 1
Parabolo´ide hiperbo´lico
Intersec¸o˜es com os eixos coordenados: (0, 0, 0).
Simetrias: a equac¸a˜o na˜o se altera se substituimos x por −x ou y
por −y ; logo, o parabolo´ide hiperbo´lico tem simetria em relac¸a˜o aos
planos yz e xz .
Trac¸os do parabolo´ide:
No plano xy : e´ em par de retas que se interceptam na origem,
x2
a2
−y
2
b2
= 0;
No plano yz e´ a para´bola:
y 2
b2
+
z
c
= 0;
No plano xz e´ a para´bola:
x2
a2
− z
c
= 0.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 25 / 1
Parabolo´ide hiperbo´lico
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 26 / 1
Cone el´ıtico
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es a seguir representam cones el´ıticos de centro na origem:
x2
a2
+
y 2
b2
− z
2
c2
= 0
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 0
−x
2
a2
+
y 2
b2
+
z2
c2
= 0
onde a, b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 27 / 1
Cone el´ıtico
Tomando a primeira equac¸a˜o temos:
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 28 / 1
Cone el´ıtico
Intersec¸o˜es com os eixos coordenados: (0, 0, 0).
Simetrias: a equac¸a˜o na˜o se altera se substituimos (x , y , z) por
(−x ,−y ,−z); logo, o cone el´ıtico tem simetria em relac¸a˜o a origem.
Trac¸os do parabolo´ide:
No plano xy e´ a origem;
No plano yz : e´ em par de retas que se interceptam na origem,
y 2
b2
− z
2
c2
= 0;
No plano xz : e´ em par de retas que se interceptam na origem,
x2
a2
− z
2
c2
= 0.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 29 / 1
Cone el´ıtico
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 30 / 1
Cilindro
Definic¸a˜o
Se C e´ uma curva plana e L e´ uma reta na˜o situada no mesmo plano da
curva, enta˜o o conjunto de todas as retas paralelas a L e que intersectam
C e´ chamado cilindro. A curva C e´ dita diretriz do cilindro e cada reta que
passa por C paralela a L e´ chamada geratriz do cilindro.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 31 / 1
Cilindro
O cilindro de geratrizes paralelas ao eixo dos z e tendo como diretriz uma
elipse no plano xy centrada na origem, tem equac¸a˜o:
x2
a2
+
y 2
b2
= 1
onde a, b, ∈ R sa˜o na˜o nulos, e´ chamado cilindro el´ıtico.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 32 / 1
Cilindro
A partir da equac¸a˜o
y 2
b2
− z
c
= 0
onde b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos, obtemos um cil´ındro parabo´lico.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 33 / 1
Cilindro
A partir da equac¸a˜o
y 3
b2
− z
c
= 0
onde b, c , ∈ R sa˜o na˜o nulos, obtemos um cil´ındro cu´bico.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 34 / 1
Cilindro
Em geral, se na equac¸a˜o que descreve uma qua´drica
Ax2 + By 2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
falta uma varia´vel, ela representa um cilindro, com geratrizes paralelas ao
eixo da varia´vel que falta.
Aline Vilela Andrade Superf´ıcies 2013/II 35 / 1