Lista02 probabilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
Lista de Exercícios 02
Fundamentos de Probabilidade
Prof.: Carlos Estêvão R. Fernandes
Disciplina: Probabilidade e Estatística (CC265)
1. No processo de torneamento de peças de aço, sabe-se que os fatores que mais influenciam no
índice de rugosidade (η) das peças são a pressão (P ) e a temperatura (T ) da fundição1. A fim
de determinar os valores de P e T que levam ao menor índice de rugosidade η, engenheiros
realizaram testes variando estes dois parâmetros e concluíram que o índice de rugosidade é dado
por:
η = αP + β T + γ,
onde α, β e γ são constantes conhecidas.
(a) O modelo descoberto pelos engenheiros (equação acima) pode ser classificado como:
(i) mecanicista e empírico (ii) probabilístico e mecanicista (iii) probabilístico e empírico
(iv) determinista e empírico (v) determinista e mecanicista (vi) probabilístico e deter-
minista
(b) Ao realizar a pesquisa da forma descrita, os engenheiros estão realizando um estudo obser-
vacional ou de um experimento planejado?
(c) Você classificaria esta pesquisa com um estudo retrospectivo, transversal ou longitudinal?
Ou estas classificações não se aplicam?
(d) Suponha que quatro níveis de pressão e cinco níveis de temperatura são possíveis para a
realização dos testes. Para maior agilidade, os engenheiros decidem considerar apenas três
níveis de pressão e três níveis de temperatura, dentre os possíveis. De quantas formas os
engenheiros podem escolher os níveis que serão utilizados?
(e) Uma vez definidos os três níveis de pressão e os três de temperatura a serem usados, cada
teste é realizado determinando um valor de temperatura e um de pressão, dentre os definidos.
De quantas formas um teste pode ser realizado?
2. No processo de dopagem de semicondutores, o número de partículas contaminadas presentes nas
pastilhas produzidas é um fator de grande importância para o bom desempenho dos dispositivos
produzidos. Engenheiros analisaram os dados de milhares de pastilhas produzidas em uma fábrica
nos últimos cinco anos e concluíram com base nisso que o número de falhas por mm3 segue o
seguinte modelo:
pk =
(
1
2
)k+1
, k = 0, 1, 2, 3, . . .
onde pk é a probabilidade de ocorrerem k falhas em 1 mm3 de material dopado.
(a) O modelo proposto pelos engenheiros (equação acima) pode ser classificado como:
(i) determinista e empírico (ii) determinista e mecanicista (iii) probabilístico e empírico
(iv) probabilístico e mecanicista (v) mecanicista e empírico (vi) probabilístico e determinista
1 Os dados desta questão são fictícios.
(b) Este modelo viola algum dos axiomas da probabilidade? Explique.
(c) Ao realizar a pesquisa da forma descrita, os engenheiros estão realizando um estudo obser-
vacional ou de um experimento planejado?
(d) Você classificaria esta pesquisa com um estudo retrospectivo, transversal ou longitudinal?
Ou estas classificações não se aplicam?
(e) Suponha que um lote de dez pastilhas contém exatamente 2 pastilhas com contaminação.
A partir destas dez pastilhas, gostaríamos de montar um pacote de 5 pastilhas contendo
exatamente 1 pastilha contaminada. De quantas formas podemos fazer isso?
3. Classifique as afirmativas abaixo em Verdadeiras (V) ou Falsas (F):
( ) Se A ∩B = ∅, então A e B são eventos independentes.
( ) Se A ∩B ∩ C = ∅, então A, B e C são eventos mutuamente independentes.
( ) Se A ∩B ∩ C = ∅, então A, B e C são eventos mutuamente exclusivos.
( ) Se D é o evento em que ocorre A mas não B nem C¯, então D = A ∩ B¯ ∩ C
4. Prove as identidades a seguir sem utilizar diagramas de Venn considerando os conjuntos A, B e
C como eventos de um experimento aleatório2:
(a) A− B¯ = AB
SOLUÇÃO:
Seja x um elemento do conjunto A− B¯. Temos que:
x ∈ A− B¯ ⇔ x ∈ A e x /∈ B¯ ⇔ x ∈ A e x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩B
Logo, todo elemento de A− B¯ é também elemento de A∩B, e vice-versa. Logo os conjuntos
são iguais.
(b) (A+B)(AB) = AB¯ +BA¯
SOLUÇÃO:
Seja x um elemento do conjunto (A+B)(AB). Temos que:
x ∈ (A∪B)(A ∩B)⇔ x ∈ (A∪B) e x /∈ (A∩B)⇔ {x ∈ A e x /∈ (A∩B)} OU {x ∈ B e x /∈
(A ∩B)} ⇔ {x ∈ A e x /∈ B} OU {x ∈ B e x /∈ A} ⇔ x ∈ (A ∩ B¯) OU x ∈ (B ∩ A¯)
Logo, todo elemento de (A∪B)(A ∩B) é também elemento de (A∩B¯)∪(B∩A¯), e vice-versa.
Logo os conjuntos são iguais.
Outra forma de resolver este item seria utilizar a lei de De Morgan para concluir que
(AB) = A¯ ∪ B¯ e depois aplicar a propriedade distributiva de forma a obter:
(A ∪B) ∩ (A¯ ∪ B¯) =
(
A ∩ (A¯ ∪ B¯)
)
∪
(
B ∩ (A¯ ∪ B¯)
)
e, usando de novo a distributiva aqui:
=
(
(A ∩ A¯) ∪ (A ∩ B¯)
)
∪
(
(B ∩ A¯) ∪ (B ∩ B¯)
)
Como (A∩A¯) = (B∩B¯) = ∅, o resultado final é o que: (A∪B)∩(A¯∪B¯) = (A∩B¯)∪(B∩A¯),
que corresponde exatamente ao que queríamos demonstrar.
Agora, faça os demais itens!
(c) (A−B) + (B −A) = (A+B)− (AB)
(d) AB = A¯+ B¯
(e) A− (B + C) = (AB¯)(AC¯)
(f) A− (B + C) = AC +ABC¯
(g) C = (A+B)C +ACB¯ +BCA¯+ABC
2 Somas representam uniões e produtos representam interseções
5. Sejam A, B e C eventos de um experimento cujo espaço amostral é dado por S, de forma que
A ⊂ S, B ⊂ S e C ⊂ S. Utilizando operações de União, Interseção, Diferença e Complemento
entre os conjuntos A, B e C, represente na coluna da direita o evento descrito na coluna da
esquerda:
Descrição Conjunto
Evento D : Ocorre quando ocorre A mas não B nem C¯. D =
Evento E : Ocorre quando A e B ocorrem mas não C. E =
Evento F : Ocorre quando A e C ocorrem simultaneamente ou quando
B e C ocorrem simultaneamente.
F =
Pergunta-se:
(a) Os eventos D E e F são mutuamente independentes? Justifique.
(b) Os eventos D, E e F são mutuamente exclusivos? Justifique.
(c) Dentre os eventos A, B e C, quais podem ser ditos dependentes de D? e de E? e de F?
(considere apenas os dados da questão)
6. Dentre todos os alunos de uma faculdade de Engenharia, há os que cursam a disciplina de Cálculo,
os que cursam Física e os que estão matriculados em Estatística. Utilizando as operações de
União, Interseção, Diferença e Complemento, represente os conjuntos a seguir e faça o respectivo
diagrama de Venn, sobreando a região correspondente ao conjunto:
Descrição Conjunto
(a) Alunos que cursam exatamente uma disciplina dentre Cál-
culo, Física e Estatística.
(b) Alunos que cursam Cálculo e Física ou cursam Cálculo e
Estatística mas não as três ao mesmo tempo.
(c) Alunos que não cursam Cálculo e Física ao mesmo tempo,
mas cursam Estatística.
(d) Alunos que não cursam nenhuma das três disciplinas citadas.
Pergunta-se: Os eventos descritos nos itens (a) e (b) acima são independentes? Justifique.
7. A fim de descobrir as principais causas de falha em câmaras frigoríficas industriais, o engenheiro
de uma firma de manutenção observou as ordens de serviço de 100 unidades do aparelho e concluiu
que 67 unidades apresentaram evidência de falha elétrica, 83 unidades apresentaram evidência
de vazamento de gás, enquanto apenas 3 unidades não apresentavam nenhum destes proble-
mas. Assumindo que essa amostra é representativa das causas de falha em câmaras frigoríficas,
responda:
(a) Que porcentagem dos aparelhos defeituosos apresentam apenas falha elétrica ou apenas
vazamento de gás?
(b) Tomando um aparelho que tenha apresentado evidência de falha elétrica, qual a probabili-
dade de que este mesmo aparelho tenha um vazamento de gás?
(c) É possível afirmar que evidência de falha elétrica e vazamento de gás são eventos (estatis-
ticamente) independentes? Justifique apresentando seus cálculos.
(d) Ao realizar a amostragem da forma descrita, o engenheiro está realizando um estudo obser-
vacional ou de um experimento planejado?
(e) Você classificaria esta pesquisa com um estudo retrospectivo, transversal ou longitudinal?
Ou estas classificações não se aplicam?
8. Mostre que se os eventos A eB são independentes, então A¯ é independente de B¯, A é independente
de B¯ e A¯ é independentede B.
SOLUÇÃO para A¯ e B¯:
Sabe-se que A¯ ∩ B¯ = A ∪B e logo
P (A¯ ∩ B¯) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1−
(
P (A) + P (B)− P (A ∩B)
)
Mas como A e B são independentes, temos P (A ∩B) = P (A)P (B) e assim:
P (A¯ ∩ B¯) = 1− P (A)− P (B) + P (A)P (B) = (1− P (B))− P (A)(1− P (B))
P (A¯ ∩ B¯) = (1− P (B))(1− P (A)) = P (B¯)P (A¯)
o que mostra que os eventos A¯ e B¯ são independentes
(Agora, faça você os demais casos!).
9. Quantas condições precisamos impor a fim de garantir que os eventos A, B, C, D e E sejam
mutuamente independentes?
10. Em uma placa de circuito impresso há 6 espaços (slots) para acomodar chips. São colocados na
placa dois chips do tipo A, três do tipo B e um do tipo C.
(a) Quantas formas diferentes existem para se colocar os seis chips nesta placa?
(b) Quando qualquer um dos seis chips instalados apresenta defeito, a placa deixa de funcionar.
Cada chip funciona (ou falha) de forma independente dos demais. Os chips do tipo A, B e C
funcionam com probabilidades de 99%, 98% e 97%, respectivamente. Qual a probabilidade
de a placa de circuito falhar?
11. No processamento de uma chapa metálica, 4 entalhes, 2 dobraduras e 3 furos são requeridos.
(a) Se as operações podem ser feitas em qualquer ordem, de quantas maneiras diferentes o
processamento pode ser realizado?
(b) Ao inspecionar uma placa, o Engenheiro escolhe aleatoriamente três entalhes, uma dobra-
dura e dois furos para testes de qualidade. De quantas formas isto pode ser feito?
12. Um produto manufaturado é marcado pela impressão de um código de barras formado por sete
linhas, sendo quatro espessas, duas de espessura média e uma fina. Cada ordenação das sete
linhas representa o código de um modelo diferente do produto. Mas apenas 21 modelos deste
produto existem no mercado. Qual a probabilidade de se obter o código de um produto existente
tomando ao acaso uma sequência qualquer de quatro linhas espessas, duas médias e uma fina?
13. Um lote de determinado produto tem 100 unidades das quais 25 são defeituosas. Uma amostra
aleatória de 4 unidades é selecionada sem reposição. Qual é a probabilidade desta amostra não
ser representativa da população (lote) da qual foi retirada? E se os itens da amostra fossem
selecionados com reposição, qual seria sua resposta?
14. A tabela abaixo apresenta os dados de peças fabricadas em um dia nas duas unidades de produção
de uma usina, de acordo com o tipo de peça A ou B, onde a, b e k são constantes inteiras e
positivas.
Tipo
Unidade A B
1 k a k b
2 a b
(a) Deseja-se saber se o evento em que uma peça é proveniente da Unidade 2 é ou não
independente do evento em que uma peça não é do tipo B.
(b) Deseja-se saber se o evento em que uma peça é do tipo A e proveniente da Unidade 1 é ou
não independente do evento em que uma peça é do tipo B ou proveniente da Unidade 2.
15. Duas bombas d’água idênticas alimentam simultaneamente uma terceira bomba também idêntica
às duas primeiras e que, por sua vez, abastece a caixa d’água de uma residência. Cada bomba
funciona de forma independente das demais. A probabilidade de uma bomba qualquer falhar é
de p = 0,2. Determine a probabilidade da residência ter seu abastecimento de água normal.
16. Considere um sistema formado por 3 componentes idênticos a, b e c, que podem ser interligados
das formas ilustradas abaixo. Cada componente falha com probabilidade p. O sistema como
um todo estará em funcionamento somente se houver pelo menos um caminho de dispositivos
funcionando entre os pontos 1 e 2. Defina:
A o evento “o componente a está funcionando”
B o evento “o componente b está funcionando”
C o evento “o componente c está funcionando”
Responda ao que se pede:
(a) Utilizando operações de união, interseção, diferença e complemento de conjuntos, expresse
o evento “o sistema todo está funcionando” em termos de A, B e C, para cada uma das
figuras abaixo. Em cada caso, escreva uma frase que descreva este evento.
a b c1 2
a b1 2
c
Figura I Figura II
(b) Sem saber se os dispositivos são independentes, é possível dizer se a confiabilidade do sistema
(probabilidade do sistema todo funcionar) será maior no caso da Figura I ou da Figura II?
Por que?
(c) Considerando a Figura I, assuma que p = 0,05 e a probabilidade do sistema todo funcionar
é de 90,24%. É possível afirmar que os componentes operam de forma independente?
(d) Considerando a Figura II e assumindo que os componentes operam de forma independente,
qual a probabilidade do sistema todo funcionar?
17. Seja um experimento aleatório cujo espaço amostral é dado por S = {0, 1, 2, 3, . . .}. Alega-se que
a probabilidade do evento Ak = {k} é dada por P (Ak) = 2−k, para todo k ∈ S. Isto é possível?
18. Lucas é uma jovem promessa do Tênis. Para encorajar ainda mais sua carreira, seu pai lhe
promete um grande prêmio caso ele ganhe dois sets seguidos em uma sequência de três sets, a
serem jogados contra o próprio pai e contra o campeão de seu clube, alternadamente, ou seja:
Pai-Campeão-Pai ou Campeão-Pai-Campeão, à escolha de Lucas. O campeão joga melhor do
que o pai de Lucas. Que série de jogos Lucas deveria escolher? Justifique por meio de cálculos.
19. Considere um júri popular composto de três membros, no qual dois deles têm probabilidade p
de fazer a decisão correta sobre o réu, enquanto o terceiro membro joga uma moeda para cada
decisão (cara é inocente, coroa é acusado). Na decisão final do júri vence a maioria. Um outro
juri é composto por apenas um membro que tem probabilidade p de tomar a decisão correta.
Qual dos dois juris é mais justo (ou seja, tem maior probabilidade de tomar a decisão correta)?
20. Uma caixa em um depósito contém quatro lâmpadas de 40W, cinco de 60W, e seis de 75W.
Suponha que três lâmpadas sejam selecionadas aleatoriamente.
(a) Qual a probabilidade de que uma lâmpada de cada tipo seja selecionada?
(b) Qual a probabilidade de que exatamente duas das lâmpadas selecionadas sejam de 75W?
(c) Se exatamente duas das lâmpadas selecionadas são de 75W, qual a chance de que a outra
seja de 40W?
21. Uma urna A contém duas bolas brancas e duas bolas pretas. A urna B contém 3 bolas brancas
e duas pretas. Uma bola da urna A é selecionada ao acaso e transferida para a urna B. Depois
disso, retira-se uma bola da urna B e constata-se que a mesma é branca. Qual a probabilidade
de que a bola transferida da urna A para a B fosse branca?
22. Na caixa 1 há duas bolas azuis e três verdes. Na caixa 2 há uma bola azul, uma verde e duas
brancas. Uma bola é escolhida aleatoriamente da caixa 1 e colocada na caixa 2. Depois disso,
uma bola é escolhida aleatoriamente da caixa 2 e retirada.
(a) Qual a probabilidade da bola retirada da caixa 2 ser azul? É mais provável que a bola
retirada da caixa 2 seja azul ou branca?
(b) Se a bola retirada da caixa 2 é verde, qual é a probabilidade de que a bola retirada da caixa
1 tenha sido azul?
23. Fixadores usados na fabricação de aviões são ligeiramente tortos para evitar afrouxarem com a
vibração. Suponha que 48% de todos os fixadores são aprovados em uma inspeção inicial. Dos
52% restantes, 8/13 possuem defeitos sérios e devem ser sucateados. Os demais fixadores são
enviados para retrabalho, dos quais 40% não podem ser recuperados e são descartados. Os outros
60% são corrigidos pelo processo de ondulação e, depois, são aprovados na inspeção.
(a) Nestas condições, que proporção (porcentagem) dos fixadores é descartada?
(b) Tomando aleatoriamente um fixador que foi descartado, qual é a probabilidade de ele ter
passado pelo processo de retrabalho?
(c) O descarte de um fixador depende (estatisticamente) de haver (ou não) retrabalho na peça?
Justifique apresentando seus cálculos.
24. Para fabricar um certo componente, uma empresa usa três linhas de montagem diferentes: M1,
M2 e M3. Dos componentes fabricados na linha M1, 10% apresentam defeito, enquanto 8% dos
componentes da linha M2 apresentamdefeito, assim como 5% daqueles fabricados na linha M3.
Sabe-se que 20% de todos os componentes são produzidos pela linha M1, 50% por M2 e 30%
por M3. Seleciona-se aleatoriamente um componente produzido pela empresa e observa-se que o
mesmo é defeituoso. Qual a probabilidade de ele ter sido produzido nas linhas M1 ou M3?
25. O transporte de carga no Brasil é feito predominantemente pelas rodovias (aproximadamente
65% do total de toneladas transportadas), com o restante sendo transportado basicamente nas
ferrovias (20%) e hidrovias (15%). Com base em dados históricos, sabe-se que a probabilidade
de acidente com carga em rodovias é de 0,4%, caindo para 0,2% nas ferrovias e apenas 0,1% nas
hidrovias. Considerando esses dados (fictícios), responda:
(a) Qual a probabilidade de que uma carga qualquer sofra um acidente em seu transporte?
(b) Se um fornecedor tomou conhecimento de que ocorreu um acidente com sua carga, qual a
probabilidade do despachante ter enviado a mesma por uma rodovia?
26. Um certo tipo de dejeto industrial contamina uma em cada 200 amostras de água colhidas na
cidade. Um novo teste foi desenvolvido para detectar rapidamente a presença do agente poluidor.
Se o dejeto está presente na amostra, o teste acusa positivo 80% das vezes. Quando não há dejeto
na amostra, o teste dá positivo (erroneamente) em 5% das vezes.
(a) Qual a probabilidade de uma amostra estar realmente contaminada se seu teste deu positivo?
(b) Qual a probabilidade de uma amostra estar livre de contaminação e seu teste dar negativo.
(c) Seja o evento E em que um amostra está contaminada e seu teste dá positivo. Qual a
probabilidade do evento E¯?
27. Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte
hidráulica de um edifício. Ele estima que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte
elétrica é de 1/2. Caso ele ganhe, a chance de ganhar também a concorrência da parte hidráulica
é de 3/4. Caso contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual q probabilidade de ele ganhar pelo
menos um contrato e assim conseguir pagar o empréstimo que contraiu junto ao banco?
28. A aspereza nas bordas de produtos de papel aumenta à medida em que as lâminas de corte
são gastas. Apenas 1% dos produtos cortados com lâminas novas têm bordas ásperas, 3% dos
produtos cortados com lâminas mediamente afiadas têm as bordas ásperas e 5% dos produtos
cortados com lâminas gastas têm as bordas ásperas. No processo de fabricação, 25% das lâminas
utilizadas são novas, 70% são mediamente afiadas e 5% são gastas. Tomamos aleatoriamente um
produto fabricado e observamos que ele tem bordas ásperas. Qual a probabilidade de que ele
tenha sido cortado por uma lâmina nova?
29. Suponha que você seja o coordenador de um laboratório com seis microcomputadores, onde
cada micro tem probabilidade de 50% de estar ocupado (ou disponível). Considere os seguintes
eventos:
A = no mínimo 2 micros mas não mais que 5 ocupados;
B = no mínimo 3 micros mas não mais que 4 ocupados;
C = mais de 3 micros ou um número par de micros ocupados.
(a) Calcule a probabilidade de cada evento acima e determine qual dos três é mais provável.
(b) Você decide que só vale a pena comprar mais micros para equipar o laboratório se a proba-
bilidade de ocorrência de pelo menos um dos três eventos A, B ou C for maior que 90%.
Qual a sua decisão?
30. O delegado de uma pequena cidade estima que 5% dos carros estacionados na área central são
deixados com a chave na ignição, e acha que nessa condição a chance de um carro ser roubado
é de 10%, enquanto que a chance de furto de um carro sem as chaves é de apenas 0,005. Se seu
carro foi furtado nessa região, qual é a probabilidade de você ter deixado as chaves na ignição?
31. Uma pequena empresa de Engenharia opera um sistema em que dois geradores eólicos de 5kVA
e um de 10kVA são ligados a um transformador que alimenta simultaneamente duas plantas
químicas de refino de petróleo, de forma que se quaisquer dos geradores deixarem de funcionar,
o(s) restante(s) continuarão a manter as atividades de refino em funcionamento (cada uma das
plantas químicas é ligada diretamente ao transformador).
(a) Desenhe um diagrama de blocos que represente esta situação.
(b) De quantas formas podemos escolher os elementos que compõem este sistema se a empresa
tem à disposição três geradores de 5kVA, um gerador de 10kVA, três transformadores e
sabendo que há cinco diferentes tipos possíveis de instalações para o refino do petróleo.
(c) Suponha que a empresa dispõe de sete funcionários do setor elétrico para dar manutenção
nos geradores e transformadores (mesmas quantidades do item anterior - as máquinas que
não estão em uso também recebem manutenção). De quantas formas podemos montar uma
escala de trabalho para estes funcionários, sabendo que uma escala consiste na atribuição
de uma máquina para cada empregado e que máquinas do mesmo tipo são indistintas na
escala.
(d) Sabe-se que os geradores de 5kVA funcionam em 92% das ocasiões e enquanto que os de
10kVA funcionam em 96% do tempo. O transformador falha com chance de 1% e as plantas
químicas têm confiabilidade de 95%, seja qual for o tipo. Suponha que todos os dispositivos
envolvidos neste problema funcionam de forma independente. Determine a probabilidade
de haver uma interrupção nas atividades de refino das duas plantas ao mesmo tempo.
32. Considere um canal de comunicações para transmitir dados digitais binários (bits 0’s ou 1’s).
Devido à presença de ruído podem haver erros na seqüência de bits recebidos recebida. Assuma
que a probabilidade de um erro de bit ocorrer é p, qualquer que seja o bit transmitido. Considere
ainda que o transmissor emite um bit 0 com probabilidade p0 e um bit 1 com probabilidade p1
(onde p0 + p1 = 1). Determine:
(a) A probabilidade de um bit 0 ser detectado no receptor.
(b) A probabilidade de um bit 1 ser detectado no receptor.
Considere agora que a probabilidade de erro de um bit no canal é de pe = 0,05 e os bits trans-
mitidos ocorrem com igual probabilidade (p0 = p1). Sabendo que um bit 0 foi recebido na saída
do canal, calcule:
(c) A probabilidade de um bit 0 ter sido enviado;
(d) A probabilidade de um bit 1 ter sido enviado;