Relatividade Restrita

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Relatividade
Pedro Cunha de Holanda
DRCC ­ IFGW
UNICAMP
I Escola de Inverno do IFGW
julho/2008
Relatividade Restrita
Princípio da RelatividadePrincípio da Relatividade
Experimentos idênticos realizados em referenciais 
inerciais diferentes fornecem resultados idênticos
A luz tem a mesma velocidade c em 
qualquer referencial inercial
+
Relatividade Restrita
Princípio da RelatividadePrincípio da Relatividade
Experimentos idênticos realizados em referenciais 
inerciais diferentes fornecem resultados idênticos
A luz tem a mesma velocidade c em 
qualquer referencial inercial
+
Transformações de Lorentz
Relatividade Restrita
Transformações de Lorentz:
Contração Espacial:
“ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe?
  ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem 
quatro.”
Luiz Gonzaga 
Contração Espacial:
“ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe?
  ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem 
quatro.”
Luiz Gonzaga 
Contração Espacial:
“ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe?
  ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem 
quatro.”
Luiz Gonzaga 
Dilatação Temporal:
Contração Espacial:
“ ­ Daqui ao Exu ainda é muito longe?
  ­ É umas seis légua. Aqui pra nós, agora nesse carro aí não dá nem 
quatro.”
Luiz Gonzaga 
Dilatação Temporal:
Exemplos:
­ múons atmosféricos atingem 
detectores terrestres.
­ vida média de múons em 
aceleradores aumentada.
Um pouco de notação:
­ 1380 dividido por 138 = 10
­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X
Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais
Um pouco de notação:
­ 1380 dividido por 138 = 10
­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X
Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais
Um pouco de notação:
­ 1380 dividido por 138 = 10
­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X
Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais
Um pouco de notação:
­ 1380 dividido por 138 = 10
­ MCCCLXXX dividido por CXXXVIII = X
Uma notação adequada pode ressaltar propriedades físicas fundamentais
Um pouco de notação:
fazendo a correspondência:
temos:
onde 

 é o elemento (,) da matriz 4x4 .
Um pouco de notação:
ou ainda:
Convenção de Einstein: Índices repetidos se somam
Um pouco de notação:
ou ainda:
Convenção de Einstein: Índices repetidos se somam
­ Boosts de Lorentz em diferentes direções mudam a matriz , 
mas não a estrutura da fórmula acima.
­ Espaço e Tempo fazem parte do mesmo “animal” matemático
Um pouco de notação:
ou ainda:
Convenção de Einstein: Índices repetidos se somam
­ Boosts de Lorentz em diferentes direções mudam a matriz , 
mas não a estrutura da fórmula acima.
­ Espaço e Tempo fazem parte do mesmo “animal” matemático
quadrivetores
Quadrivetores:
­ qualquer objeto matemático que se transforma em um boost de 
Lorentz como o quadrivetor de tempo­espaço. 
Quadrivetores:
­ qualquer objeto matemático que se transforma em um boost de 
Lorentz como o quadrivetor de tempo­espaço. 
Exemplo:
Quadrivetores:
­ qualquer objeto matemático que se transforma em um boost de 
Lorentz como o quadrivetor de tempo­espaço. 
Exemplo:
Energia e momento compõem um quadrivetor com as seguintes 
componentes:
obedecendo as seguintes regras de transformação:
Outras sugestões?
Quadrivetores:
Pode­se observar que a seguinte combinação é invariante frente à 
transformadas de Lorentz:
Convém então definir o seguinte produto escalar entre quadrivetores:
Invariantes:
Pode­se observar que a seguinte combinação é invariante frente à 
transformadas de Lorentz:
Convém então definir o seguinte produto escalar entre quadrivetores:
ou para manter a notação anterior:
com:
Invariantes:
Pode­se observar que a seguinte combinação é invariante frente à 
transformadas de Lorentz:
Convém então definir o seguinte produto escalar entre quadrivetores:
ou para manter a notação anterior:
com:
Invariantes:
métrica
i) (quadri)vetores contravariantes: x= (x0, x1, x2, x3)T
   ­ transformação via matriz , x' = 

x.
mais notação:
i) (quadri)vetores contravariantes: x= (x0, x1, x2, x3)T
   ­ transformação via matriz , x' = 

x.
ii) (quadri)vetores covariantes: x

= (x
0
, x
1
, x
2
, x
3
) = (­x0, x1, x2, x3)
    ­ transformação via matriz ­1, x'

=x



.
mais notação:
i) (quadri)vetores contravariantes: x= (x0, x1, x2, x3)T
   ­ transformação via matriz , x' = 

x.
ii) (quadri)vetores covariantes: x

= (x
0
, x
1
, x
2
, x
3
) = (­x0, x1, x2, x3)
    ­ transformação via matriz ­1, x'

=x



.
iii) produto escalar de quadrivetores: a.b = g

 a b = a

 b.
   ­ invariante: a'.b' = a'

 b'a

 



ba

 b
mais notação:
Utilizando o quadrivetor de energia­momento, constói­se o seguinte 
invariante:
Invariantes ­ exemplo:
Utilizando o quadrivetor de energia­momento, constói­se o seguinte 
invariante:
Qual invariante é construído a partir do quadrivetor de tempo­espaço?
Invariantes ­ exemplo:
Invariantes ­ exemplo:
Invariantes ­ exemplo:
Invariantes ­ exemplo:
Invariantes ­ exemplo:
Intervalo de tempo medido por 
um observador acompanhando 
o movimento
Revisitando o paradoxo dos gêmeos:
­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na 
Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo?
Revisitando o paradoxo dos gêmeos:
­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na 
Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo?
Revisitando o paradoxo dos gêmeos:
­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na 
Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo?
Revisitando o paradoxo dos gêmeos:
­ Um viajante parte para uma viagem extragalática, deixando seu gêmeo idêntico na 
Terra. Ao retornar, 15 anos mais tarde, qual gêmeo estará mais novo?
Revisitando o paradoxo dos gêmeos:
­ Exercício: quanto se rejuvenesce pulando em uma cama elástica? 
Revisitando o paradoxo dos gêmeos:
­ Exercício: quanto se rejuvenesce pulando em uma cama elástica? 
Revisitando o paradoxo dos gêmeos:
­ Exercício: quanto se rejuvenesce pulando em uma cama elástica? 
~10­16 s a cada pulo de 1m.
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
Densidades de carga e corrente compõem um quadrivetor com as 
seguintes componentes:
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
Densidades de carga e corrente compõem um quadrivetor com as 
seguintes componentes:
Potenciais escalar e vetorial também compõem um quadrivetor.
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
E os campos magnéticos e elétricos, como se comportam frente a 
transformações de Lorentz?
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
E os campos magnéticos e elétricos, como se comportam frente a 
transformações de Lorentz?
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
E e B formam um tensor anti­simétrico
E os campos magnéticos e elétricos, como se comportam frente a 
transformações de Lorentz?
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
E e B formam um tensor anti­simétrico
Com as seguintes regras de transformação
Ou, para voltar à uma notação mais “conservadora”:
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
Ou, para voltar à uma notação mais “conservadora”:
Quadrivetores em Eletromagnetismo:Ou, para voltar à uma notação mais “conservadora”:
mas, compare com a elegância de:
Quadrivetores em Eletromagnetismo:
E por falar em elegância, as equações de Maxwell em notação 
relativística tomam a forma:
onde os campos E e B são dados por:
Equações de Maxwell:
E por falar em elegância, as equações de Maxwell em notação 
relativística tomam a forma:
onde os campos E e B são dados por:
Equações de Maxwell:
(6 equações)
(4 equações)
E por falar em elegância, as equações de Maxwell em notação 
relativística tomam a forma:
onde os campos E e B são dados por:
Equações de Maxwell:
(4 equações)
(4 equações)
Maxwell: “We can scarcely avoid the inference that light consists 
in transverse ondulations of the same medium which is the cause 
of electric and magnetic phenomena”
Equações de Maxwell:
Equações de Maxwell:
Maxwell: “Dificilmente podemos evitar a inferência de que a luz 
consiste em ondulações transversais do mesmo meio que é 
também a causa de fenômenos elétricos e magnéticos”
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Relatividade restrita estabelece que nenhuma informação pode ser 
transmitida com uma velocidade maior que c.
● Potenciais retardados
● Equações de Maxwell em notação relativística
X
­ Gravitação Clássica assume uma interação instantânea entre dois 
corpos.
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma carga elétrica pontual em um campo elétrico 
uniforme
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma carga elétrica pontual em um campo elétrico 
uniforme
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma carga elétrica pontual em um campo elétrico 
uniforme
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional 
constante
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional 
constante
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional 
constante
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional 
constante
Um planeta (1022 kg) e um 
neutrino (10­22 kg) descrevem a 
mesma trajetória em um campo 
gravitacional constante. No limite 
m­>0, é razoável supor o mesmo 
efeito.
Relatividade Restrita x Gravitação
­ Movimento de uma massa pontual em um campo gravitacional 
constante
Um planeta (1033 kg) e um 
neutrino (10­22 kg) descrevem a 
mesma trajetória em um campo 
gravitacional constante. No limite 
m­>0, é razoável supor o mesmo 
efeito.
A trajetória da luz é 
distorcida por campos 
gravitacionais!!
Problemas! Luz é acelerada em campos gravitacionais. 
Velocidade da luz é modificada... Violação da premissa 
fundamental da relatividade especial.
Problemas! Luz é acelerada em campos gravitacionais. 
Velocidade da luz é modificada... Violação da premissa 
fundamental da relatividade especial.
RELATIVIDADE GERAL
Problemas! Luz é acelerada em campos gravitacionais. 
Velocidade da luz é modificada... Violação da premissa 
fundamental da relatividade especial.
RELATIVIDADE GERAL
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