Conservação do Momento Linear - Pêndulo de Newton

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CONSERVAÇÃO DE MOMENTO LINEAR
CONSERVATION OF LINEAR MOMENTUM
Higor Gabriel Rodrigues Lima¹
Larissa Ferreira França¹
Lucas Raphael Fernandes Ferreira¹
Luis Fillype da SIlva¹
Paulo Ricardo Silva Dias¹
Ritta de Kassya Santos Seixas Abreu¹
¹ Acadêmicos em Engenharia da Computação do 2º período; e-mails: hghigorgabriel@outlook.com; larissaf.franca@gmail.com; lucasraphael.fernandes@hotmail.com; silvaluis_@outlook.com; pauloricardo.silvadias@gmail.com; rittaseixas@gmail.com
RESUMO 
O objetivo desse artigo é demonstrar de forma sucinta os resultados obtidos no experimento intitulado de pêndulo de Newton e mostrar o percurso feito durante a realização. Demonstrando quais leis da física regem o momento de choque entre dois corpos. Para chegar aos resultados obtidos, foram analisados de forma precisa os tempos e medições dos objetos estudados, afim de que se tirasse algum conhecimento, ou explicação acerca dos fenômenos que ocorrem durante o mesmo.
Palavras-chave: Demonstrar. Pêndulo de Newton. Leis da física.
ABSTRACT
The aim of this article is to demonstrate briefly the results obtained in the experiment titled pendulum Newton and show the route taken during the performance. Demonstrating that physical laws governing the shock of time between two bodies. To get to the results obtained were analyzed precisely the times and measurements of the studied objects, so that if you took some knowledge or explanation of the phenomena occurring in the meantime.
Keywords: Demonstrate. Newton's Cradle. Laws of physics
INTRODUÇÃO
Na mecânica clássica, momento linear é o produto entre a massa e a velocidade de um objeto. Como a velocidade é uma grandeza vetorial, então o momento também é uma grandeza vetorial, possuindo módulo, direção e sentido. A conservação do momento linear é uma definição em que, num sistema fechado, ou seja, não ocorre troca de matéria e nem forças agindo sobre ele, o momento total é constante. Esse conceito é implicado pelas Leis de Newton. 
1.1 MOMENTO LINEAR E CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
A primeira definição é a de uma palavra, momento, que possui vários significados na linguagem comum, mas apenas um significado, bastante preciso, na física e na engenharia. (HALLIDAY; RESNIK, 2008). Sendo assim, o momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial definida através da equação:
. Onde, no SI, temos:
: Massa (Kg);
: Velocidade (m/s);
: Momento linear (Kg*m/s). Também utilizada a notação “N*s” (Newton segundo).
Newton também expressou sua segunda lei originalmente em termos de momento. Segundo Newton, a taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual à força resultante que atua sobre a partícula e tem mesma orientação que essa força.
Expressando isso em forma de equação, temos:
onde é a força externa resultante.
Modificando um pouco essa equação, e expressando em função do momento:
Segundo esta definição, para  constante temos que:
Fazendo uma comparação com a segunda Lei de Newton, podemos perceber que:
Podemos ainda estender esse conceito para um sistema de partículas. Considerando um sistema de n partículas, cada uma com sua própria massa, velocidade e momento linear. Essas partículas interagem umas com as outras e forças externas podem atuar sobre elas. Esse sistema tem um momento linear total , que é definido como a soma vetorial dos momentos lineares de cada partícula do sistema. Sendo assim, temos:
 
Já a conservação do momento linear em um sistema fechado, ou seja, aquele onde não há trocas de matéria e nem forças agindo sobre ele, o momento total é constante. Suponha que duas partículas interajam. Por causa da terceira lei de Newton, as forças entre elas são iguais e opostas. Portanto:
Se a velocidade das partículas forem e antes da interação, e e depois da interação, então:
Essa lei diz que não importa quão complicada é a força entre as partículas. Do mesmo modo, se existem várias partículas, o momento trocado entre cada par de partículas adiciona-se a zero, de modo que a alteração total no momento é zero. Aplica-se a conservação de todas as interações, incluindo colisões e separações causadas por forças explosivas.
1.2 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA
Uma das tarefas da física é identificar os diferentes tipos de energia que existem no mundo, especificamente os que têm utilidade prática. Uma forma comum de energia é a energia potencial U. (HALLIDAY; RESNIK, 2008).
A energia potencial é aquela que está armazenada em um dado momento. Existem diversos tipos de energia potencial, aqui abordaremos a energia potencial gravitacional, que será muito importante para a realização do experimento.
Considerando uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo y. Adotando o sentido positivo de y para cima e, e como final e inicial, respectivamente, a força gravitacional exerce um trabalho sobre a partícula.
Podemos, então, determinar a variação de energia potencial gravitacional do sistema partícula-terra através da seguinte equação:
E, portanto,
A energia potencial gravitacional associada a um sistema partícula-Terra depende apenas da posição vertical y (ou altura) da partícula em relação a posição de referência y=0, e não da posição horizontal. (HALLIDAY; RESNIK, 2008).
Já a energia mecânica de um sistema é dada pela soma da energia potencial U desse sistema com a energia cinética K dos objetos do sistema:
Assim, podemos entender o que acontece com a energia mecânica de um sistema quando a transferência dessa energia é produzida apenas por forças conservativas, ou seja, desprezando o atrito, arrasto e outras perdas. Além disso, supondo que esse sistema esteja isolado de forma que nenhuma força externa cause variações de energia dentro do sistema.
Quando uma força conservativa realiza um determinado trabalho sobre um objeto nesse sistema, essa força é a responsável por transferir a energia entre a energia potencial U e a energia cinética K do objeto. Sabemos, então, que o trabalho W realizado por uma partícula é a variação dessa energia cinética:
E sabemos também que
Comparando essas equações, obtemos:
Ou seja, vemos que enquanto uma aumenta, a outra diminui exatamente na mesma quantidade.
Fazendo algumas substituições, podemos ainda encontrar uma outra equação:
 Podemos organizá-la da seguinte forma:
Essa, por sua vez, é a equação que determina a conservação de energia mecânica em um sistema fechados e com apenas forças conservativas. Em outras palavras, em um sistema isolado, onde apenas forças conservativas causam a variação de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas sua soma, a energia mecânica do sistema, não pode variar. (HALLIDAY; RESNIK, 2008).
Ou seja. Matematicamente, escreve-se como o princípio de conservação da energia mecânica:
1.3 COLISÕES
São interações entre corpos em que cada corpo exerce uma força sobre o outro. Esse fenômeno é um dos casos onde a quantidade de movimento do sistema sempre se conserva. Existem vários tipos de colisões. Aqui, abordaremos o estudo das colisões elásticas unidimensionais, que é necessário para a compreensão do experimento.
A colisão elástica possui a característica de que tanto o momento linear, quanto a energia cinética total do sistema, se conservam.
Um caso ainda mais específico é quando essa colisão ocorre com um alvo estacionário de massa igual ao projétil. Essa situação pode ser representada da seguinte maneira:
(Momento linear).
 (Energia cinética).
Como e , essas equações podem ser reduzidas para a seguinte forma:
Como e ,
Ou seja, podemos concluir que todo o momento se conserva após uma colisão desse tipo. Uma das aplicações disso é no pêndulo de newton, em que toda a energia é transmitida ao longo das esferas, fazendo com que, num sistema ideal, ou seja, sem atrito e sem perdas de energia, o movimento durasse, teoricamente, para sempre, ou até que uma forçaexterna afetasse o movimento.
METODOLOGIA
Primeiramente, foi confeccionado o suporte para o pêndulo. Foram utilizadas três peças de madeira retangulares, dispostas de maneira que permitiu pendurar as esferas à uma distância de aproximadamente 3 cm, que é o valor do diâmetro das esferas. Elas ficaram penduradas por um fio de comprimento de 30 cm, ou seja, ficaram 15 cm abaixo do topo da estrutura. Foram utilizados também pregos, que permitiram a fixação dos fios e a montagem do suporte.
Após a montagem do pêndulo, foi utilizada uma câmera que gravasse em alta resolução e em câmera lenta, permitindo assim uma melhor análise dos dados e garantindo uma maior precisão dos resultados. 
Repetimos o experimento três vezes para cada distância de lançamento, com três distâncias diferentes, para que pudéssemos garantir uma maior precisão dos dados e permitir assim uma melhor análise da conservação do momento no movimento do pêndulo. Devido também aos métodos de medição, no caso uma régua simples de 30 centímetros, os resultados podem não ser tão exatos e, muitas vezes, aproximados, mas o suficiente para determinarmos a conservação do momento durante a execução do experimento.
3. RESULTADOS
Tabela 1: Resultados do experimento utilizando uma distância de 4 cm.
	Experimento
	Distância de lançamento
	Altura do primeiro pêndulo
	Distância do último pêndulo
	Altura do último pêndulo
	1
	4 cm
	0,51 cm
	4 cm
	0,51 cm
	2
	4 cm
	0,51 cm
	4 cm
	0,51 cm
	3
	4 cm
	0,51 cm
	3,95 cm
	0,30 cm
Tabela 2: Resultados do experimento utilizando uma distância de 6 cm.
	Experimento
	Distância de lançamento
	Altura do primeiro pêndulo
	Distância do último pêndulo
	Altura do último pêndulo
	1
	6 cm
	1,24 cm
	6,2 cm
	1,75 cm
	2
	6 cm
	1,24 cm
	6 cm
	1,24 cm
	3
	6 cm
	1,24 cm
	5,95 cm
	1,23 cm
Tabela 3: Resultados do experimento utilizando uma distância de 8 cm.
	Experimento
	Distância de lançamento
	Altura do primeiro pêndulo
	Distância do último pêndulo
	Altura do último pêndulo
	1
	8 cm
	2,31 cm
	7,8 cm
	2,18 cm
	2
	8 cm
	2,31 cm
	7,9 cm
	2,24 cm
	3
	8 cm
	2,31 cm
	8,2 cm
	2,44 cm
4. DISCUSSÃO
Para analisarmos os resultados, vamos demonstrar a conservação do momento no estudo do pendulo de newton. 
Sabemos que o momento do sistema se conserva, ou seja, o momento antes da colisão é igual ao momento depois da colisão.
Por isso, ao balançarmos apenas uma esfera da extremidade, somente uma esfera da extremidade oposta balançará. Com isso, as demais esferas servirão apenas como um meio de transferência de energia.
Então, analisaremos o sistema levando em consideração apenas duas esferas. Como dito anteriormente, o momento antes da colisão é igual ao momento após a colisão.
Chamando e as velocidades das esferas 1 e 2 respectivamente antes da colisão, e e as velocidades das esferas 1 e 2 respectivamente depois da colisão, a equação ficaria assim:
Como podemos ver na imagem a seguir, a última bola do esquema está parada, ou seja, sua velocidade é 0. E, após a colisão, a bola que foi balançada fica parada, já que toda a sua energia foi transmitida. Com isso, essa equação fica da seguinte forma:
Imagem 1: Esquema do pêndulo de newton. Fonte: Arquivo pessoal.
Como as massas das esferas são iguais, temos que:
Ou seja, a velocidade da primeira esfera quando ela está próxima de colidir, é igual a velocidade da última esfera assim que ela entra em movimento.
Feita a análise da conservação do momento e das velocidades das esferas, podemos agora analisar o sistema quanto a sua energia mecânica. Como vimos anteriormente, pelo princípio da conservação de energia, num sistema fechado, essa energia permanecerá a mesma ao longo da execução do experimento. No entanto, na prática, não podemos adotar o sistema como composto apenas por forças conservativas, mas, para efeito de cálculos, vamos desprezar as forças não conservativas, como o atrito e resistência do ar.
Sabemos que a energia mecânica é a energia potencial (gravitacional, nesse caso) somada a energia cinética do sistema. Sabemos também que, pelo princípio da conservação de energia, a energia mecânica total antes da colisão é igual a energia mecânica total depois da colisão. Chamando e as energias cinéticas da primeira e da última esfera respectivamente, e e as energias potenciais gravitacionais da primeira e última esfera respectivamente, e igualando a energia do sistema antes e depois da colisão, temos: 
Como vimos na análise do movimento do pendulo, a última esfera está parada antes da colisão, e adotando a energia potencial gravitacional como nula no repouso do sistema, temos que a energia potencial dela é igual a zero. Do mesmo modo que, após o impacto, a primeira esfera fica parada, ou seja, sua energia mecânica também é nula. Desse modo, a equação fica reduzida a:
Chamando e as velocidades das esferas 1 e 2 respectivamente antes da colisão, e e as velocidades das esferas 1 e 2 respectivamente depois da colisão, a equação ficaria assim:
Simplificando um pouco a equação, ela fica escrita do seguinte modo:
Como mostramos anteriormente, e, como as massas das esferas são iguais, 
Ou seja, que para que, de fato, verifiquemos a conservação do momento do sistema, é necessário que a altura que a última bola alcance seja igual à altura de que a primeira bola foi lançada.
Pela análise dos resultados do experimento, vimos que nem sempre essa conservação ocorreu. Isso porque, como foi mencionado, não podemos adotar o sistema apenas com forças conservativas na prática. Forças como atrito, resistência de ar e ainda a dissipação da energia em forma de som e até mesmo de calor, interferem na conservação do momento de forma completa. Mas, com base nos dados coletados, podemos afirmar que houve a conservação do momento, mesmo que não completamente.
4. CONCLUSÃO
O estudo permitiu visualizar a conservação do momento dentro de um sistema. Permitiu também perceber a diferença entre um sistema formado apenas de forças conservativas e um sistema onde não se pode ignorar forças como atrito e resistência do ar. Isso porque pudemos perceber a diferença, mesmo que sutilmente, que essas forças podem causar em relação a um sistema considerado ideal.
Outro conceito que pode ser bem visualizado foi a conservação de energia mecânica do sistema. Através desse estudo pudemos ver como a energia pode passar por diversas transformações em um único sistema e, mesmo assim, se conservar.
Através da análise dos resultados podemos, então, concluir que, desprezando as forças não conservativas e, adotando o sistema como ideal, onde toda a energia seja transferida entre as esferas durante o impacto, o momento linear se conservará sempre nas colisões elásticas. 
Como proposto por Lavoisier, "A energia não pode ser criada e nem destruída, apenas transformada em outros tipos de energia." No sistema, pudemos perceber com mais clareza essas transformações ao longo do percurso das esferas, antes e depois das colisões 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física – Vol. 1. 8ª Ed. Editora LTC. 2008.
MENDES, Mariane. Pêndulo De Newton No Ensino De Mecânica. Disponível em: <http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/pendulo-newton-no-ensino-mecanica.htm>. Acesso em: 11 nov. 2015.
ORSI, Carla Ferrari. Pêndulos de Newton. Disponível em: <http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem2_2002/962020_Carla_pendulo_newton.pdf >. Acesso em 11 nov. 2015
TEIXEIRA, Mariane Mendes; Colisões elásticas e inelásticas. Disponível em:
<http://www.mundoeducacao.com/fisica/colisoes-elasticas-inelasticas.htm>. Acesso em 12 nov. 2015.
SOUSA, Bruno et. al. Pêndulo de Newton. Disponível em: <http://obardafisica.blogspot.com.br/2013/03/pendulo-de-newton.html >. Acesso em: 11 nov. 2015.