Introdução a circuitos

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Capítulo 2 
INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
 
Nesta aula serão apresentados os modelos que descrevem os principais componentes dos 
circuitos elétricos e os conceitos a eles associados, bem como as leis fundamentais que 
governam tais circuitos. Na parte final, estudos de casos são apresentados a fim de ilustrar a 
aplicação dos conceitos e leis. 
Leis básicas de circuitos elétricos 
O funcionamento de qualquer circuito elétrico pode ser analisado aplicando-se dois tipos de 
equações: 
• Equações descritivas: que descrevem o comportamento individual dos elementos 
de circuito; 
• Leis de Kirchhoff: que descrevem as relações entre os elementos de circuito. 
As equações de ambos os tipos são normalmente escritas em termos das variáveis tensão e 
corrente, sendo que as equações descritivas expressas desse modo são conhecidas como 
características v-i. Cada componente de um circuito elétrico possui uma característica v-i 
que o identifica plenamente. Note que essa característica corresponde a um modelo abstrato 
do componente físico real, cujo funcionamento pode ser bem complicado. Freqüentemente, 
a característica é expressa por meio de um gráfico e, nesse caso, recebe o nome de curva 
característica. 
Principais elementos de circuito e suas equações 
descritivas 
Os elementos de circuito têm, em geral, a forma de bipolos, ou seja, são dispositivos que 
apresentam dois terminais. Nesse caso, as características v-i de um bipolo referem-se à 
tensão entre seus terminais e à corrente que o atravessa, como ilustra a figura abaixo. 
 
Capítulo 2 – Introdução aos Circuitos Elétricos 
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Dependendo da profundidade da análise que se deseja fazer, os bipolos podem ser 
representados por equações descritivas mais simples ou mais detalhadas. No que se segue, 
os principais bipolos serão descritos através de modelos aproximados, porém suficientes 
para retratar a essência de seu comportamento elétrico. 
Fonte de tensão 
As fontes de tensão têm curvas características como as mostradas na figura abaixo. 
 
Uma fonte ideal mantém constante sua tensão independentemente do valor da corrente 
fornecida. Uma fonte real, porém, sempre apresentam uma diminuição da tensão à medida 
que a corrente fornecida cresce. Uma fonte real pode ser representada pelo modelo expresso 
pela equação descritiva Eo - ri, onde r representa uma resistência interna (suposta constante 
na figura) responsável pela queda da tensão da fonte proporcional à corrente fornecida, 
dando origem à curva característica mostrada na figura. O nível da queda de tensão em 
função da corrente de uma fonte pode ser quantificada através de um parâmetro chamado 
regulação de tensão, definido como: 
 
 
Portanto, a regulação indica a variação porcentual da tensão da fonte, desde a situação a 
vazio (sem carga) até a situação de plena carga, em relação à condição de plena carga. Se a 
variação é pequena, diz-se que a fonte tem uma boa regulação. Observe que uma fonte 
ideal tem regulação nula. 
Os símbolos normalmente utilizados para representar as fontes de tensão nos circuitos são: 
 
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Fonte de corrente 
Uma fonte de corrente é uma fonte que fornece um valor constante de corrente 
independentemente do nível de tensão entre seus terminais. Sua curva característica e o 
símbolo utilizado para representá-la nos circuitos são mostrados em seguida. 
 
Resistor e lei de Ohm 
A equação descritiva dos resistores lineares é a conhecida lei de Ohm: “Em um condutor, a 
razão entre a tensão aplicada e a corrente que circula é uma constante, chamada resistência 
elétrica”: 
 
 
A lei de Ohm foi descoberta experimentalmente pelo físico alemão George S. Ohm em 
1826, embora a história registre que o químico inglês Henry Cavendish descobriu (mas não 
divulgou!) a mesma lei por volta de 1780. Em homenagem a George Ohm a unidade de 
resistência é chamada de ohm (símbolo ). Portanto 1 ohm é a resistência oferecida à 
passagem de uma corrente de 1 ampere produzida por uma tensão de 1 volt. 
 
Todo componente de um circuito elétrico que obedece à lei de Ohm é chamado de resistor 
ôhmico ou resistor linear, pois sua curva característica v-i é uma reta. Entretanto, existem 
resistores que não são ôhmicos, por exemplo as lâmpadas comuns incandescentes, cuja 
curva característica v-i é não-linear: , em que varia entre 1,7 e 1,9. A figura 
abaixo mostra o símbolo normalmente usado para representar resistores ôhmicos, bem 
como as curvas características de um resistor ôhmico e de uma lâmpada incandescente. 
 
Observe que a resistência é dada pela tangente à curva e, no caso da lâmpada, a resistência 
vai aumentando à medida que a tensão de alimentação vai crescendo até atingir o valor 
nominal, devido ao aumento da temperatura no filamento. 
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Para complementar, observe na figura em seguida a curva característica de uma lâmpada 
incandescente de 127 V, 60 W obtida experimentalmente em laboratório. 
 
A propósito, por que as lâmpadas incandescentes quase sempre costumam queimar no 
instante em que se liga o interruptor para acendê-las? Pense nisso. 
Indutor e lei de Faraday 
Todo dispositivo que produz um fluxo magnético a partir de uma corrente elétrica é 
chamado de indutor, como ilustra a figura abaixo. Freqüentemente, utilizam-se núcleos de 
material ferromagnético para aumentar a magnitude e a densidade do fluxo. 
 
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Um indutor é linear se o fluxo magnético é diretamente proporcional à corrente, ou seja 
weber. A constante de proporcionalidade L é chamada indutância, cuja unidade é 
denominada henry (símbolo H) em homenagem ao físico americano Joseph Henry (1797-
1878). A figura em seguida mostra o símbolo usado para representar um indutor nos 
circuitos elétricos e a curva característica de um indutor linear. Os indutores são 
também chamados bobinas ou enrolamentos. 
 
Para expressar a equação descritiva de um indutor linear em termos das variáveis tensão e 
corrente é necessário aplicar a lei de Faraday. Essa lei foi descoberta experimentalmente 
pelo físico inglês Michael Faraday, em 1831, e pode ser enunciada simplificadamente 
como segue: 
“Todo condutor atravessado pelas linhas de força de um campo magnético variável sofre a 
indução de uma tensão proporcional à variação do fluxo que o enlaça”. 
O significado da lei de Faraday pode ser compreendido com a ajuda da experiência 
ilustrada na figura abaixo. 
 
Observe que, quando o imã vai se aproximando da bobina, as linhas de força do campo 
magnético vão cortando cada vez mais as espiras condutoras (fluxo variável), gerando uma 
tensão nos terminais da bobina. Fechando-se o circuito com um amperímetro, este indicará 
uma corrente fluindo. O importante é a variação do fluxo que enlaça o condutor. Como 
não há contato direto entre o imã e a bobina, diz-se que a tensão é induzida e daí vem o 
nome lei de indução de Faraday. Como será percebido ao longo deste curso, essa lei é 
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essencial para se compreender como funcionam os geradores, transformadores e motores 
elétricos, não constituindo exagero afirmar que, sem a lei de Faraday, seria impossível 
utilizar energia elétrica como fazemos nos dias de hoje. 
 
Usando-se o conceito de derivada, a lei de Faraday pode ser expressa por: 
 
 
em que representa o fluxo magnético que enlaça todas as espiras da bobina. 
Combinando-se a lei de Faraday com a equação , sendo L constante,chega-se à 
equação descritiva de um indutor linear: 
 
 
Capacitor 
Todo dispositivo que armazena carga elétrica de forma condensada é chamado de 
capacitor, como está ilustrado na figura abaixo. Os capacitores também podem ser 
chamados condensadores, nome que, embora apropriado, está fora de moda. 
 
Um capacitor é linear se a carga elétrica armazenada é diretamente proporcional à tensão 
em seus terminais, ou seja q = Cv coulomb. A constante de proporcionalidade C é chamada 
capacitância, cuja unidade é denominada farad (símbolo F) em homenagem ao físico 
inglês Michael Faraday (1791-1867). A ordem de grandeza das capacitâncias normalmente 
encontradas na prática é microfarad , ou seja, . A figura abaixo mostra o 
símbolo usado para representar um capacitor nos circuitos elétricos e a curva característica 
q-v de um capacitor linear. 
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A equação descritiva de um capacitor em termos de tensão e corrente pode obtida 
derivando-se a equação q=Cv em relação ao tempo: 
 
 
Lembrando que dq/dt corresponde à corrente no capacitor, tem-se a equação descritiva de 
um capacitor linear: 
 
 
Diodo e tiristor 
Nem todos os componentes de um circuito elétrico podem ser representados por modelos 
lineares. É o caso de diodos e tiristores, que são elementos de circuito construídos com 
material semicondutor e apresentam uma característica v-i essencialmente não-linear. 
Diodos e tiristores são dispositivos essenciais para a construção de retificadores 
(convertem tensão alternada em contínua) e inversores (convertem tensão contínua em 
alternada), que têm grande utilização em carregadores de baterias (automóvel, celular, 
calculadora), galvanoplastia (banhos eletroquímicos), equipamentos “no-break”, controle 
de velocidade em motores elétricos e transmissão de energia a longa distância em corrente 
contínua. 
 
Diodo é um dispositivo que pode ser modelado como uma chave ideal que abre ou fecha 
dependendo da tensão aplicada em seus terminais, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
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Esse comportamento pode ser entendido observando-se a sua curva característica v-i: se 
uma tensão VACpositiva é aplicada entre o anodo (A) e o catodo (C) diz-se que o diodo está 
em estado de condução, podendo ser representado por uma chave fechada ideal, 
desprezando-se a pequena queda de tensão entre seus terminais; quando a tensão VAC for 
negativa o diodo entra em estado de bloqueio, ou seja, não circula corrente e o modelo 
corresponde a uma chave aberta. A tensão negativa (reversa) não pode ser exageradamente 
grande, pois provocará a ruptura do material semicondutor (avalanche). 
 
Tiristor é um dispositivo semicondutor com três terminais. Além dos terminais anodo e 
catodo, os tiristores possuem um terceiro terminal chamado gatilho (G), cuja finalidade é 
permitir o controle de seu funcionamento através da aplicação externa de um pulso de 
tensão, conforme ilustrado na figura abaixo. 
 
A curva característica típica de um tiristor indica que este somente entrará em estado de 
condução se duas condições forem obedecidas: existir uma tensão VAC positiva (não muito 
grande) entre seus terminais e for aplicado um pulso de tensão no gatilho. Nesse caso, o 
tiristor pode ser modelado por uma chave fechada ideal, desprezando-se a queda de tensão. 
 
Para um tiristor entrar em estado de bloqueio (representado por uma chave aberta) duas 
outras condições são necessárias: a tensão VAC deve ser negativa e a corrente de condução 
(que passa no tiristor) deve ser pequena (menor que um valor mínimo especificado pelo 
fabricante). Existem ainda tiristores (tipo GTO) que, estando conduzindo, podem ser 
bloqueados por meio de um outro pulso externo no gatilho, permitindo assim maior 
controle na operação. 
Leis de Kirchhoff 
Além das equações que descrevem cada componente, para se resolver um circuito elétrico é 
necessário dispor de equações que relacionem os vários componentes entre si, ou seja, que 
descrevam a topologia do circuito. Isso é feito através das leis de Kirchhoff, enunciadas 
pelo físico de origem russa Gustav Kirchhoff em 1847. 
 
As leis de Kirchhoff são extremamente gerais, valendo para qualquer tipo de circuito desde 
que seus componentes possam ser representados por bipolos com parâmetros concentrados, 
quer dizer, resistências, indutâncias ou capacitâncias não são distribuídas ao longo do 
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componente como acontece em linhas de transmissão. Antes de enunciar as leis é 
conveniente estabelecer as seguintes definições: 
• bipolo: elemento de circuito com dois terminais. 
• nó: ponto de conexão de dois ou mais bipolos. 
• malha: caminho fechado que parte de um nó e retorna a ele próprio, sem passar 
mais de uma vez pelo mesmo nó. 
Lei dos Nós (1a. lei de Kirchhoff) : “Em qualquer nó a soma algébrica das correntes é 
zero”. 
 
 
Por convenção, considera-se como positiva uma corrente entrando em um nó e negativa 
quando saindo. 
Lei das Malhas (2a. lei de Kirchhoff) : “Em qualquer malha a soma algébrica das tensões é 
zero”. 
 
 
Para estabelecer o sinal de uma tensão costuma-se usar a seguinte convenção: (a) atribui-se 
a cada bipolo uma polaridade arbitrária; (b) a cada malha associa-se um sentido de percurso 
arbitrário; (c) o sinal da tensão no bipolo é positivo se o sentido de percurso sair pelo 
terminal positivo do bipolo e negativo se sair pelo terminal negativo. O exemplo abaixo 
ilustra a aplicação da lei das malhas. 
 
No circuito da figura existem três malhas, resultando nas seguintes equações: 
 
 
 
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Observe que a equação da malha III é a soma das equações das malhas I e II, não sendo, 
portanto independente. Pode-se mostrar que em um circuito com b bipolos e n nós existem 
b-n+1 equações independentes envolvendo tensões. 
Associação em série e paralelo 
Dois bipolos estão em série quando são atravessados pela mesma corrente e estão em 
paralelo quando seus terminais apresentarem a mesma tensão. 
Como conseqüência direta das leis de Kirchhoff e das respectivas equações descritivas, as 
associações em série e paralelo de resistores, indutores e capacitores obedecem às relações 
que se seguem: 
 
Resistores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indutores: 
 
 
 
 
 
Capacitores: 
 
 
 
 
 
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A propósito, existem outras maneiras de conectar bipolos que não sejam em série ou 
paralelo? Pense nisso. 
Estudo de caso: fonte contínua com carga resistiva 
Considere a situação mostrada na figura abaixo, na qual uma fonte de energia elétrica 
(turbina+gerador) alimenta duas cargas (aquecedor e forno), ligadas em paralelo, através de 
uma linha de transmissão curta: 
 
Imagine que o gerador é um dínamo, ou seja, fornece uma tensão contínua de 220 V. 
 
Deseja-se então obter: 
(a) A corrente fornecida pelo gerador e as correntes entregues ao aquecedor e forno; 
(b) As tensões no aquecedor e forno; 
(c) A queda de tensão na linha; 
(d) A potência instantânea fornecida pelo gerador. 
 
Esse problema pode ser resolvido através do circuito equivalente (modelo abstrato) 
mostrado na figura abaixo, no qual o gerador é representado como uma fonte ideal de 
tensão, enquanto que aquecedor, forno e linha de transmissao são representados como 
resistores ôhmicos. 
 
A fonte “enxerga” um resistor equivalente cuja resistência é dada por: 
 
 
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Portanto a corrente fornecida pelo gerador é dada pela lei de Ohm: 
 
 
A queda de tensão na linha de transmissão é obtida, fazendo: 
 
 
Desse modo, as tensões no aquecedor e forno são: 
 
 
 
E as correntes entregues ao aquecedor e forno ficam: 
�
Finalmente, a potência instantânea fornecida pelo gerador é dada por: 
 
 
 
Observe que a potência instantânea é constante, como mostra a figura abaixo, pois somente 
tensões e correntes contínuas estão envolvidas. 
 
 
Estudo de caso: fonte alternada senoidal com carga 
resistiva 
Considere agora o mesmo problema anterior com uma única modificação: o dínamo foi 
substituído por um alternador, ou seja, um gerador de tensão alternada senoidal expressa 
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pela equação V. O circuito equivalente do problema é mostrado na 
figura abaixo: 
 
Do mesmo modo, o alternador “enxerga” um resistor equivalente de 2,2 e a corrente 
fornecida por ele será: 
 
 
Note que a tensão e a corrente do alternador estão em fase, ou seja, não existe diferença de 
fase entre as formas de onda senoidais. 
A queda de tensão na linha de transmissão é: 
 
 
Pela lei das malhas, as tensões no aquecedor e forno são: 
 
 
E as correntes entregues ao aquecedor e forno ficam: 
 
 
Com a potência instantânea fornecida pelo gerador acontece agora algo interessante: 
 
 
Lembrando que , a potência instantânea pode ser 
expressa por: 
 
 
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cujo gráfico está mostrado na figura que se segue. 
 
 
Note que a potência fornecida não é mais constante, mas sim pulsante, com o dobro da 
freqüência da tensão do alternador e apresentando valor médio em um período igual a 
22000 W. 
A propósito, o que os dois casos apresentados têm em comum? E o que eles têm de 
diferente? Pense nisso. 
Estudo de caso: fonte alternada senoidal com carga 
indutiva 
Considere um gerador de tensão alternada senoidal (alternador) alimentando um forno de 
indução existente em uma instalação industrial através de uma linha de transmissão, 
conforme ilustrado na figura abaixo. O problema é obter a corrente e a potência 
instantânea fornecidas pelo gerador. 
 
Fornos de indução são equipamentos usados na purificação de ligas metálicas e podem ser 
modelados simplificadamente por um resistor em série com um indutor. Associando-se as 
resistências da linha e do forno, a instalação pode ser representada pelo circuito equivalente 
mostrado abaixo, assumindo resistor e indutor lineares. 
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Considerando o alternador como uma fonte ideal de tensão descrita por 
V e aplicando a 2a. lei de Kirchhoff no circuito, obtém-se: 
 
 
 
Lembrando da equação descritiva de resistores e de indutores lineares, pode-se escrever a 
seguinte equação diferencial: 
 
 
Como se vê, a obtenção da corrente fornecida pelo alternador, i(t), corresponde à solução 
de uma equação diferencial linear de 1a. ordem com entrada forçada senoidal. Isso vai 
sempre acontecer quando existirem indutores ou capacitores no circuito, pois as suas 
equações descritivas envolvem derivadas. 
 
A propósito, quando estava fazendo os cursos de Cálculo você imaginava que um dia iria 
usar aquilo? Pois é. 
 
Como se está somente interessado no comportamento do circuito em regime permanente, 
deve-se obter uma solução particular para a equação diferencial, ignorando-se a solução da 
equação homogênea, que descreve o comportamento transitório suposto já transcorrido. 
Como se sabe, a solução particular correspondente a uma entrada senoidal que tem a forma 
geral: 
 
 
Essa forma pode sempre ser expressa de forma equivalente como: 
 
 
desde que 
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A solução obtida permite concluir que a corrente tem a mesma forma de onda senoidal e a 
mesma freqüência apresentadas pela fonte, porém está defasada de um ângulo em 
relação à tensão da fonte. A figura abaixo ilustra o fato. Esse comportamento sempre 
ocorrerá quando existirem indutores ou capacitores no circuito devido às respectivas 
equações descritivas. 
 
A propósito, qual das duas formas de onda, tensão ou corrente, está “na frente” 
(adiantada) ou “atrás” (atrasada) ? Pense nisso. 
 
Falta obter a amplitude Ip e a fase da corrente. Isso pode ser feito substituindo-se a 
solução particular na equação diferencial e identificando os termos membro a membro, 
após utilização das identidades trigonométricas. 
 
e : 
 
 
 
 
 
Para se calcular a potência instantânea fornecida pelo alternador à carga, aplica-se a 
definição: 
 
 
Com ajuda das identidades trigonométricas , 
e , pode-se exprimir a potência 
instantânea em uma forma mais conveniente: 
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cujo gráfico está mostrado na figura abaixo. 
 
 
Note que a potência fornecida é pulsante como no caso puramente resistivo, com o dobro 
da frequência da tensão do alternador. Mas o fato mais interessante é que, embora 
apresentando valor médio positivo em um período, a curva da potência tem uma parte 
negativa em alguns instantes! A origem desse estranho fenômeno é a defasagem entre 
tensão e corrente alternadas (reveja o estudo de caso com carga resistiva) e pode ser 
interpretado da seguinte maneira: convenciona-se associar o sinal positivo à potência 
fornecida por um alternador (a chamada convenção de gerador); portanto, se a potência é 
momentaneamente negativa, isso significa que o alternador está recebendo potência da 
carga nesse intervalo. Esse comportamento, que tem importantes implicações práticas, 
como se verá mais tarde. vai sempre acontecer quando existirem no circuito indutores ou 
capacitores, devido à sua propriedade de armazenar energia.