RELATORIO LINHAS DE CAMPO ELETRICO

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LINHAS DE FORÇA ENTRE ELETRODOS NÃO SUBMERSOS
Introdução. 
O presente relatório aborda a demonstração prática da representação das linhas de campo. Verificam-se as diferentes configurações das linhas de campo elétrico entre corpos carregados eletricamente. A demonstração do fenômeno é estabelecida a partir da geração de tensão fornecida pelo gerador de Van de Graff que é fornecida a eletrodos condutores com diferentes formas geométricas. Um recipiente de vidro contendo certa quantidade de óleo dielétrico com farelo de milho adicionados à superfície são submetidos a um campo elétrico que permite a visualização das linhas de campo. As variações da intensidade do campo são observadas conforme as diferentes combinações entre os componentes condutores geometricamente distintos. Observa-se o fenômeno da condução elétrica, dos componentes adicionados ao recipiente,devido ao alinhamento dos grãos com o campo elétrico. 
Objetivo
A finalidade desse experimento é de demonstrar visualmente a existência das linhas de força através do mapeamento de campo elétrico que é visualizado com a polarização do farelo de milho adicionado ao líquido isolante. Objetiva-se também interpretar as regiões onde o campo elétrico se apresenta com maior ou menor intensidade. Busca-se entender a ausência de campo elétrico nas regiões internas aos anéis condutores.
Equipamentos e materiais utilizados:
Um gerador de Van de Graaff; 
Cabos elétricos;
Conjunto de eletrodos com: 
Um eletrodo em forma de anel maior; 
Um eletrodo em forma de anel menor; 
Dois eletrodos retos; 
Um eletrodo com gancho; 
Dois eletrodos pontuais.
Um recipiente de vidro;
Farelo de milho;
Óleo de rícino.
Embasamento teórico
Potencial Elétrico
Imaginemos um campo elétrico gerado por uma carga Q, ao ser colocada um carga de prova q em seu espaço de atuação percebemos que, conforme a combinação de sinais entre as duas cargas, esta carga q, será atraída ou repelida, adquirindo movimento e consequentemente energia cinética.
Para que um corpo adquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de alguma forma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo elétrico, é chamada Energia Potencial Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por 
A unidade usada para a  é o joule (J).
Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico que pode ser descrito por uma grandeza chamada potencial elétrico (ou eletrostático).
De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente entre a energia potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja:
Logo:
Linhas de Campo Elétrico
Podemos representar o campo elétrico traçando linhas que indicam a sua direção. As linhas de campo elétrico, introduzidas por Faraday, são também conhecidas como linhas de força. Em qualquer ponto o campo elétrico, é tangente à linha. A figura abaixo mostra que para uma carga pontual positiva o campo elétrico aponta radialmente para fora, como mostram as linhas de força. No caso de uma carga pontual negativa as linhas de força convergem para o ponto aonde se encontra a carga.
Observe como a representação do campo elétrico em termos de linhas de força é útil. Por exemplo, a medida que nos afastamos da carga pontual positiva as linhas de força estarão cada vez mais afastadas, mostrando que o campo vai ficando cada vez mais fraco. Considere uma esfera de raio r centrada em torno de uma carga pontual. Se N linhas de força emergem da carga, o número de linhas de força por unidade de área que atravessarão a superfície da esfera é N/πr2. Assim, a densidade de linhas decresce com a distância com 1/r2, que é o mesmo comportamento do campo elétrico. As representações abaixo mostram o campo elétrico em termos de linhas de força respectivamente para duas cargas iguais e positivas e para um dipolo elétrico. É muito intuitiva a construção de tal representação baseada na justaposição das representações em termos das linhas de força de cada carga isoladamente. É muito instrutivo resumir em um conjunto de regras a serem seguidas na representação do campo elétrico de um conjunto de cargas elétricas pontuais:
As linhas de campo elétrico começam nas cargas positivas (ou no infinito) e terminam nas cargas negativas (ou no infinito);
As linhas de campo são traçadas simetricamente entrando ou saindo de uma carga isolada;
O número de linhas de campo deixando uma carga positiva ou entrando em uma carga negativa é proporcionais à magnitude da carga;
A densidade de linhas de campo (o número de linhas por unidade de área perpendicular às linhas) em qualquer ponto é proporcional à magnitude do campo elétrico naquele ponto;
A grandes distâncias de um conjunto de cargas, as linhas de campo são igualmente espaçadas e radiais, como se elas se originassem de uma carga pontual de carga líquida igual à do conjunto;
Linhas de campo resultante não se cruzam.
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 (a) Cargas iguais e positivas e (b) cargas iguais e opostas
Dizemos que um campo elétrico é uniforme em uma região quando suas linhas de força são paralelas e igualmente espaçadas umas das outras, o que implica que seu vetor campo elétrico nesta região têm, em todos os pontos, mesma intensidade, direção e sentido. Uma forma comum de se obter um campo elétrico uniforme é utilizando duas placas condutoras planas e iguais. Se as placas forem postas paralelamente, tendo cargas de mesma intensidade, mas de sinal oposto, o campo elétrico gerado entre elas será uniforme conforme ilustração abaixo.
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Procedimentos experimentais
Primeira etapa 
Inicialmente dois eletrodos pontuais foram conectados aos cabos elétricos do gerador. Em seguida dois eletrodos retos metálicas foram montadas em contato com os condutores pontuais. Em seguida o recipiente de vidro, com certa quantidade de óleo de rícino foi apoiado sobre o conjunto metálico. Posteriormente foi adicionado, à superfície do óleo, farelo de milho. Após a preparação iniciamos a primeira fase com a partida do gerador eletrostático de Van Der Graff. Observou-se que as linhas de campo elétrico que se formaram ,entre as placas, ficaram paralelas e espaçadas igualmente uma da outra formando um campo elétrico uniforme conforme configuração abaixo. 
Segunda etapa 
No segundo experimento foram retiradas as placas paralelas ficando somente eletrodos em forma de cargas pontuais carregados com sinais opostos. Nesse novo sistema houve a interação entre as cargas positivas e negativas. Formando-se uma nova configuração nas linhas de campo elétrico que resultou em contínuas curvas nos grãos de fubá não revelando um campo elétrico uniforme. Neste modelo verificou-se uma maior intensidade de campo elétrico localizada em área próxima aos eletrodos. Tal constatação foi percebida pela maior concentração das linhas de força naquela região. 
Terceira etapa
Nesta fase uma carga pontual magnética foi montada no centro de um disco circular metálico carregado eletricamente. Ao acionarmos o gerador de tensão observou-se que as linhas de campo se concentraram perpendicularmente à superfície do anel em sentido de repulsão. Não houve configuração campo elétrico na área interna do anel.
Quarta etapa
Em outro momento montou-se uma configuração composta por uma placa paralela e um eletrodo circular. Após ligarmos o gerador eletrostático, verificou-se que as linhas de campo elétrico se configuraram de forma elíptica na área próxima ao corpo circular. Porém nas proximidades do eletrodo reto as linhas de campo se apresentam perpendiculares e uniforme.
Quinta etapa
Nesta nova configuração efetuou-se a montagem de um anel metálico em entre as duas barras paralelas. Ao ligarmos o gerador de Van de Graff observou-se um centelhamento entre as barras e o anel. Tal fenômeno foi verificado devido à proximidade em relação aos eletrodos paralelos. Pois quanto menor as distâncias entre as cargas maioro campo elétrico entre elas. Configurou-se também a quebra da barreira dielétrica do ar, ou seja, a perda da capacidade de isolamento em relação as descargas elétricas. O campo elétrico no interior do anel metálico é nulo pelo fato deste condutor estar em equilíbrio eletrostático. 
 Como estamos tratando de uma superfície oca as cargas são distribuídas pela superfície externa. Visto que as cargas se repelem, tenderão a se afastar o mais possível umas das outras, concentrando-se na periferia. 
Sexta etapa
Nesta nova fase dois anéis metálicos de diâmetros diferentes foram montados de forma concêntricas e com uma carga pontual magnética no centro dos anéis, conforme configuração abaixo. Ao ligarmos o gerador eletrostático de Van de Graff observou-se que as linhas de campo mantiveram uma configuração de repulsão e perpendicular em relação ao diâmetro externo do anel maior. Verificou-se que no interior dos anéis havia um campo elétrico nulo já que não houve formação de linhas de campo. Verificou-se que qualquer excesso de carga colocado no interior do condutor em equilíbrio eletrostático, move-se inteiramente para superfície externa. Deste modo toda a carga elétrica ficou concentrada na área externa ao maior anel.
 
Sétima etapa
Nesta fase a extremidade de uma ponteira metálica conectada a um dos condutores elétricos do gerador foi inserido no interior do recipiente contendo óleo de rícino e farelo de milho. Ao ligarmos o equipamento, visualizaram-se o alinhamento das linhas de campo apontando para fora da carga. Ressaltando-se que as sementes são corpos neutros, porém o campo elétrico produziu uma polarização das sementes ocasionando um ligeiro deslocamento das cargas no interior das moléculas da semente conforme ocorrido nos experimentos anteriores. 
Conclusão
 	Através da integração entre conceito teórico e experimento laboratorial, constatou-se que as linhas de campo entre duas cargas elétricas distintas sempre se dirigem de um corpo positivamente carregado para um corpo negativamente carregado, sempre começam ou terminam perpendicularmente às superfícies carregadas e nunca se interceptam. Verificou-se que o campo elétrico produzido entre placas paralelas é bastante uniforme. Verificou-se a perda se isolação elétrica do ar constatado pela visualização da presença do arco elétrico entre os eletrodos geometricamente diferentes e carregados. Conclui-se também que toda carga elétrica de um condutor se concentra em sua superfície.
Constatou-se a quebra da rigidez dielétrica do recipiente de vidro do óleo dielétrico quando passaram a conduzir eletricidade. 
Verificou-se que as linhas de campo produziram a polarização das sementes que por sua vez se alinharam ao campo indicando o sentido e a direção. Concluiu-se que o campo elétrico é mais fraco quando as distâncias entre as linhas de campo são maiores. 
Bibliografia
YOUNG, Hugh D; FREEDMAN Roger A. FÍsica II : Termodinâmica e Ondas. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2011. 
GUSSOW Milton. Eletricidade Básica : 12 ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
Só Física. Disponível em: 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Eletromagnetismo/Eletrodinamica.php. 
Acesso em 02 novembro 2013.
HALLIDAY, D., Resnick, R. Walker, J - Fundamentos de Física 3 – Tradução BIASI Ronaldo Sérgio de, - Rio de Janeiro: Livros técnicos e Científicos Editora, 7a Edição, 2007.
Prova: Colocamos uma gaussiana S colada à superfície interna do condutor. Como o campo elétrico dentro do condutor é nulo (E = 0) o fluxo elétrico por S também é zero. A Lei de Gauss Ф = q/εo = 0 implica que q = 0 dentro de S. Logo, se houver qualquer excesso de carga q no condutor (por exemplo, por eletrização), ele não pode estar dentro de S; só pode estar fora de S, isto é, na superfície externa do condutor. CQD
Gaiola de Faraday
Gaiola de Faraday é a designação pela qual se tornou conhecida uma experiência efectuada por Michael Faraday, em 1836, para demonstrar que uma superfície condutora electrificada possui um campo eléctrico nulo no seu interior. Isso acontece porque as cargas se distribuem de forma homogénea na parte mais externa da superfície condutora, deixando de haver manifestação de fenómenos eléctricos no seu interior.
Um condutor, quando carregado, tende a espalhar suas cargas uniformemente por toda a sua superfície. Se esse condutor for uma esfera oca, por exemplo, as cargas serão distribuídas pela superfície externa. Visto que as cargas se repelem, tenderão a se afastar o mais possível umas das outras, concentrando-se na periferia. Os efeitos de campo eléctrico criados no interior do condutor acabam se anulando, obtendo assim um campo eléctrico nulo.
Para provar esse efeito, Faraday construiu uma gaiola de metal carregada por um gerador electrostático de alta voltagem e colocou um electroscópio no seu interior para provar que os efeitos do campo eléctrico gerado pela gaiola eram nulos. O próprio Faraday entrou na gaiola para provar que seu interior era seguro.
Caminho de menor resistência
E que dizer de tocar nos elementos da própria gaiola durante a descarga eléctrica? Poderia isso ser fatal para o ser humano? Para obter essa resposta convém compreender alguns fenómenos relacionados com a electricidade. Por exemplo, a carga eléctrica pode ser negativa ou positiva. Estes dois tipos de carga diferentes atraem-se mutuamente. Os electrões são partículas subatómicas e de carga negativa que circulam das regiões negativas para as positivas. Ou seja, do local onde há excesso de electrões para as regiões onde os há menos. A este movimento chamamos corrente eléctrica.
Um relâmpago não é mais do que uma corrente eléctrica momentânea. As nuvens possuem excesso de electrões no seu interior e estes tendem a fugir para a superfície positiva da Terra. Tudo que se precisa agora é de um caminho condutivo para que o inferior negativo da nuvem entre em contacto com a Terra. Quando ocorrem as descargas dos relâmpagos, as enormes correntes eléctricas procurarão sempre um caminho de menor resistência até alcançar o solo.
Os pássaros e os cabos eléctricos
É esta "lei do menor esforço" que explica porque os pássaros não morrem ao pousar num fio de alta tensão. A corrente eléctrica viaja pelo fio, um bom condutor, mas "ignorará" o corpo do pássaro visto que este constitui um caminho de maior resistência. Além disso, a distância entre as patas dos animais não é suficiente para gerar uma diferença de potencial (DDP) capaz de electrocutá-los. Ou seja, para que o pássaro apanhe um choque, é necessário que a corrente eléctrica circule pelo seu corpo, gerando uma diferença de potencial. Isto aconteceria se o animal tocasse qualquer outra superfície condutora. Se um ser humano resolver agarrar com ambas as mãos um fio eléctrico sem estar isolado, escapará ileso se nenhuma parte do seu corpo tocar em outras superfícies condutoras. Se o fizesse, criaria, dessa forma, um percurso alternativo para a corrente eléctrica.
Assim, se alguém tocar num elemento da gaiola de Faraday durante uma descarga eléctrica não sofrerá danos desde que o seu corpo não constitua um caminho de menor resistência. Se a gaiola não estiver perto ou em contacto directo com a Terra, o corpo poderá ser electrocutado se o caminho de menor resistência passar por ele.
Pára-raios
O objectivo dos pára-raios normalmente é mal compreendido. Muitas pessoas acreditam que eles "atraem" os relâmpagos. Na verdade, é melhor dizer que eles fornecem um caminho de menor resistência até o solo ao conduzir as enormes correntes eléctricas quando ocorrem as descargas dos relâmpagos.
Consulte o artigo: Pára-raios
O LSF e as descargas eléctricas
Visto que o sistema Light Steel Framing é essencialmente aconstrução de edifícios usando centenas de perfis metálicos, alguns questionam a segurança dos ocupantes durante uma trovoada. Receiam que o edifício, por ter estrutura metálica, possa "atrair" relâmpagos e, assim, electrocutar os seus ocupantes durante uma tempestade.
Consulte o artigo: LSF e as descargas eléctricas
Aplicações práticas comuns
A gaiola de Faraday, ou blindagem electrostática, foi adoptada para proteger instrumentos e aparelhos de grande sensibilidade colocados no seu interior. Também serve para garantir a segurança de instalações perigosas como paióis e locais de preparação de explosivos. A protecção de edifícios contra descargas atmosféricas é outra aplicação da gaiola. Devido a esta função de protecção, a gaiola também é conhecida como écran electrostático.
Outros exemplos são os automóveis e aviões, que actuam como gaiolas de Faraday, protegendo os seus ocupantes caso sejam atingidos por uma descarga eléctrica. Ao contrário do pensamento popular, não são os pneus do carro que garantem essa protecção. Conforme explicado acima, quando uma descarga eléctrica atinge um automóvel ou um avião, as cargas serão distribuídas pela periferia e prosseguirão o seu caminho até à Terra, mantendo o interior habitável completamente livre de efeitos eléctricos.
Programa Top Gear da BBC
Em 2007, o programa Top Gear, da estação britânica de televisão BBC, abordou a questão relacionada com o que aconteceria se alguém fosse atingido por um relâmpago enquanto estivesse dentro do seu automóvel. Os princípios científicos da gaiola de Faraday são bem ilustrados neste vídeo, onde o apresentador se mantém ileso no interior da viatura enquanto esta é atingida por uma descarga de 800.000 volts.
Esfera (+) -Placa(-)
Campo elétrico não uniforme
As linhas de força "saem" da esfera (+) e "chegam" perpendicularmente à placa.
Linhas de forças não paralelas e não igualmente espaçadas, exceção feita, nas proximidades da placa.
Próximo da placa : campo uniforme.
Potencial Elétrico
Imagine um campo elétrico gerado por uma carga Q, ao ser colocada um carga de prova q em seu espaço de atuação podemos perceber que, conforme a combinação de sinais entre as duas cargas, esta carga q, será atraída ou repelida, adquirindo movimento, e conseqüentemente Energia Cinética.
Lembrando da energia cinética estudada em mecânica, sabemos que para que um corpo adquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de alguma forma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo elétrico, é chamada Energia Potencial Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por .
A unidade usada para a  é o joule (J).
Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico que pode ser descrito por uma grandeza chamada Potencial Elétrico (ou eletrostático).
De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente entre a energia potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja:
Logo:
A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta, e a unidade designa Joule por coulomb (J/C).
Quando existe mais de uma partícula eletrizada gerando campos elétricos, em um ponto P que está sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos os potenciais criados por cada carga, ou seja:
Uma maneira muito utilizada para se representar potenciais é através de equipotenciais, que são linhas ou superfícies perpendiculares às linhas de força, ou seja, linhas que representam um mesmo potencial.
Para o caso particular onde o campo é gerado por apenas uma carga, estas linhas equipotenciais serão circunferências, já que o valor do potencial diminui uniformemente em função do aumento da distância (levando-se em conta uma representação em duas dimensões, pois caso a representação fosse tridimensional, os equipotenciais seriam representados por esferas ocas, o que constitui o chamado efeito casca de cebola, onde quanto mais interna for a casca, maior seu potencial).
 2. PROCESSOS DA SEGUNDA PRÁTICA: 
4.2.1. 1º Experimento: 
 Na segunda prática foram utilizados além do gerador, um retro projetor, recipiente de vidro, óleo de rícino, sementes de grama e uma estrutura metálica que tinha dois pólos metálicos ligados a dois fios que saiam do gerador de Van Der Graff. 
 Primeiramente foi colocado o recipiente de vidro contendo óleo de rícino sobre o retro projetor. Então foi posicionado um dos eletrodos na superfície do óleo no centro, logo em seguida foram jogados sementes de grama dentro do recipiente contendo o óleo e o eletrodo. Conectou-se um fio que saia do gerador que estava desligado no eletrodo. 
 Depois da montagem do ensaio o retro projetor e o gerador foram ligados. Foi possível perceber que ouve um alinhamento na movimentação das sementes de grama que partia da extremidade do eletrodo e que se estendiam em direção a margem do recipiente de vidro. 
4.2.2. 2º Experimento: 
 Na segunda experiência acrescentou-se um segundo eletrodo dentro do recipiente de vidro, esse segundo eletrodo foi conectado a um fio de aterramento. Os dois eletrodos foram distanciados um do outro dentro do recipiente de vidro. As sementes de grama foram desorganizadas na superfície do óleo. Quando o gerador de Van Der Graff foi ligado às sementes de grama se alinharam de forma que partiam de um eletrodo ao outro. 
5.1. RESULTADOS DA PRIMEIRA PRÁTICA 
No primeiro experimento, ouve eletrização por indução. A indução ocorre quando se tem um corpo que esta inicialmente eletrizado e que é colocado próximo a um corpo neutro. Com isso, a configuração das cargas do corpo neutro se modifica de forma que as cargas de sinal contrário (positivo e negativo) tendem a se aproximar mais da outra. Porém, as de sinais contrários tendem a ficar o mais afastado possível. Ou seja, na indução ocorre a separação entre algumas cargas positivas e negativas do corpo neutro ou corpo induzido. Com isto, ao aproximarmos a mão que tem cargas positivas e negativas na esfera do gerador ligado que por sua vez esta positiva, produzira faíscas e estalos que são causados pelo deslocamento e expansão do ar aquecido. A transferência de eletros de um porco para o outro é denominada descarga elétrica, que é o rompimento de elétrons no ar. 
Quando uma pessoa coloca a mão na cúpula do gerador de Van Der Graff a eletrização da pessoa por contato faz com que por indução, se acumulem cargas de mesmo sinal que da esfera nos pontos extremos do corpo humano, no caso os cabelos. Assim, todos os fios de cabelo ficam eletrizados tendo à mesma polaridade da esfera, conseqüentemente se repelem, provocando o eriçamento total ou parcial do cabelo. 
No caso dos papeis metálicos picados, quando o gerador é ligado ocorrem transferências contínuas de cargas elétricas para a esfera, o potencial elétrico gerado é o mesmo gerado também para os papeis alumínio que por sua vez se repelem por possuir polaridade igual ao da cúpula. Desta forma a distribuição regular das cargas no corpo da esfera forma um campo elétrico de direção radial e com orientação para o centro da mesma. 
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 7. REFERÊNCIAS 
 GARCÍA, Ángel Franco. Eletromagnetismo: O gerador de Van der Graaff. Disponível em: <http://www.fisica.ufs.br/egsantana/elecmagnet/campo_electrico/graaf/graaf.htm> . Acesso em: 19 maio 2012. 
 EVANGELISTA, André Geraldo; SILVA, Fabiana Da; RIBEIRO, Renata Priscila Fonseca. RELATORIO VAN DE GRAAF: PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAABML8AF/relatorio-van-graaf-fisica-iii> . Acesso em: 19 maio 2012. 
 NETTO, Prof. Luiz Ferraz. Gerador eletrostático de Van de Graaff. . Disponível em: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala11/11_03.asp> . Acesso em: 19 maio 2012. 
 CARVALHO, Thomas. Fisica: Campo eletrico. Disponível em: <http://www.infoescola.com/fisica/campo-eletrico/> . Acesso em: 19 maio 2012. 
 Sala de Física, leiturade Física, Gerador de Vande Graaff. <http://www.geocities.ws/saladefisica5/leituras/vandegraaff.html> Acesso em: 19 maio 2012. 
5.2. RESULTADOS DA SEGUNDA PRÁTICA 
No experimento envolvendo óleo de rícino, sementes de grama e o gerador de Van Der Graaff, na qual foi usado apenas um eletrodo, a configuração originada pela carga positiva do eletrodo ligado ao gerador mostra que ouve um alinhamento das sementes de rícino em forma de um espiral partindo do centro do eletrodo para as bordas do prato. Neste experimento podemos confirma que pólos positivos causam uma força de repulsão. 
No segundo experimento na qual foram usados dois eletrodos, sendo um ligado a maquina de Van Der Graaff e o segundo aterrado o resultado foi um pouco diferente do primeiro já que ouve repulsão do pólo positivo. No segundo ensaio após ligarmos o gerador às partículas de grão de grama se alinharam de forma que partiam do eletrodo ligado ao gerador e que se encontravam no eletrodo aterrado. Os pólos positivos causam repulsão entre as partículas e os pólos negativos causam retração nos grãos, com isso o eletrodo aterrado puxou a carga positiva do eletrodo magnetizado com o gerador. Foi possível perceber que no eletrodo positivo ouve a dispersão de algumas linhas de partículas, essa dispersão se deve ao fato de que não avisa concentração de forças contrarias perto dessas extremidades. 
Conclui-se neste experimento também que cada geometria do eletrodo proporciona um campo elétrico diferente. 
Capacitores podem ser fabricados de diversas formas, e não somente do tipo “placas paralelas”. Um tipo de capacitor que é bastante estudado é o capacitor esférico, muito usado em laboratórios que trabalham com diferenças de potencial muito altas, que chegam a centenas de milhares de volts.
Os laboratórios que trabalham com esse tipo de equipamento, ou seja, utilizam máquinas eletrostáticas (como por exemplo, o gerador de Van de Graaf), empregam esse tipo de capacitor com a intenção de obter tensões altíssimas.
O capacitor esférico é composto de um elemento em forma esférica, ligado a uma fonte de alta tensão. Podemos dizer que a capacitância de um capacitor esférico depende do seu raio R, e é dada por:
A região interior de um condutor em equilíbrio possui campo elétrico nulo. Desta forma, o potencial no interior de um capacitor é constante e pode ser calculado utilizando sua capacitância.
O potencial fora do capacitor, a uma distância r (r > R) é o mesmo de uma carga pontual Q colocada no centro:
Caso coloquemos dois capacitores esféricos em contato, ambos terão o mesmo potencial, redistribuindo suas cargas da seguinte forma:
Capacitores podem ser fabricados de diversas formas, e não somente do tipo “placas paralelas”. Um tipo de capacitor que é bastante estudado é o capacitor esférico, muito usado em laboratórios que trabalham com diferenças de potencial muito altas, que chegam a centenas de milhares de volts.
Os laboratórios que trabalham com esse tipo de equipamento, ou seja, utilizam máquinas eletrostáticas (como por exemplo, o gerador de Van de Graaf), empregam esse tipo de capacitor com a intenção de obter tensões altíssimas.
O capacitor esférico é composto de um elemento em forma esférica, ligado a uma fonte de alta tensão. Podemos dizer que a capacitância de um capacitor esférico depende do seu raio R, e é dada por:
A região interior de um condutor em equilíbrio possui campo elétrico nulo. Desta forma, o potencial no interior de um capacitor é constante e pode ser calculado utilizando sua capacitância.
O potencial fora do capacitor, a uma distância r (r > R) é o mesmo de uma carga pontual Q colocada no centro:
Caso coloquemos dois capacitores esféricos em contato, ambos terão o mesmo potencial, redistribuindo suas cargas da seguinte forma:
POLARIZAÇÃO DE DIELÉTRICOS E LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO
Leandro Joviano da Silva
Marcos Botler
Universidade do Estado do Rio de Janeiro-UERJ
Resumo:
O campo elétrico é um campo vetorial que é formado por uma distribuição de vetores. Uma carga possuí um campo em sua volta, quando colocado uma segunda carga próxima notando-se a presença de uma força.
Para determinação do campo elétrico é necessária a utilização de uma carga de prova ou seja, uma carga positiva que é utilizada para medir a força eletrostática. O campo elétrico existe independente da existência uma outra carga.
Quando aproximamos o bastão acrílico conectado à placa ao outro eletroscópio a haste desce um pouquinho, pois a carga vai ser transferida por indução dividindo a carga e assim mantendo o princípio de conservação das cargas.
O campo elétrico, é calculado através da fórmula E= F/q.
Palavras- Chave: Campo Elétrico; Campo Vetorial; Força.
Introdução: A experiência número 2, foi divida em duas partes, tendo como objetivo, verificar a diferença entre campos elétricos criados por separação de cargas e polarização, observando o comportamento no condutor e no dielétrico.
eletroscópio, quando se aproxima a placa do eletroscópio, e não quando se aproxima a placa de acrílico.
Figura 1 Eletroscópio em contato com a placa.
Aproximando a placa isolante a haste desce totalmente, pois perderá energia.
2ª parte:
Com auxílio de óleo, grãos, e peças de cobre, pode-se, através da eletrização, imitar o comportamento das linhas de campo elétrico ( que embora não se acredite mais na existência das mesmas, é uma boa forma de vizualizar o campo elétrico), em diferentes casos, como quando se tem uma carga pontual, ou um dipólo eletrico, cargas pontuais, anel carregado, entre outras situações.
Obs: Nota-se, que as linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas (onde começam) e se aproximam das cargas negativas (onde terminam).
Figura 2
As linhas de campo se afastam da carga positiva (onde começam).
Figura 3
Linhas de campo para uma carga pontual positiva e uma carga pontual negativa de mesmo valor absoluto. As cargas se atraem.
Figura 4
Linhas de campo para duas cargas pontuais de mesmo sinal.
As cargas se repelem.
Figura 5
Linhas de campo radiais devido à simetria(começam na positiva e terminam na negativa). Cargas pontual no centro do anel com carga oposta se atraem.
Figura 6
Linhas de campo se aroximam do anel carregado negativamente (onde terminam).O campo dentro do anel é nulo pois, baseado no princípio da Lei de Gauss, a carga se concentra na superfície do anel.
Dem:
 se Q=0, E=0
Figura 7
Linhas de campo radiais devido à simetria (começam na positiva e terminam na negativa). Anéis concêntricos com cargas opostas se atraem.
Figura 8
Linhas de campo perpendiculares à placa considerando esta infinita( já que as forças aplicadas em outras direções se cancelam devido à simetria) se afastam da placa, onde começam.
Figura 9
Linhas de campo saem perpendicular da placa em direção à carga (se atraindo). Número de linhas é maior no meio onde a distância é menor.
Figura 10
Linhas de campo perpendicular saem da placa positiva em direção à placa negativa (onde terminam), se atraem pois possuem cargas opostas.
Figura 11
Linhas de campo para corpo pontudo,radiais nas extremidades e normais no meio. Número de linhas de campo é maior na ponta.
Estudar o campo elétrico gerado por dois elementos condutores com uma diferença de potencial aplicada nos mesmos. Para isto, teremos que nos familiarizarmos com grandezas como potencial elétrico e campo eletrostático, como não podemos medir diretamente campo elétrico (ou linhas de força) serão feitas às curvas equipotenciais, utilizaremos para o mapeamento uma cuba eletrolítica, que nos permitirá desenhar as curvas equipotenciais (e as linhas de força) e finalmente calcular o campo elétrico gerado em um ponto P entre duas superfícies equipotenciais, através da diferença de potencial.
Materiais empregados:
Cuba Eletrolítica;
Fonte de Tensão AC;
Fios de Ligação;
Multímetro empregado como voltímetro;
Soluçãode Sulfato de Cobre;
Gerador de Tensão 7KV;
Retro projetor;
Tipos variados de eletrodos metálicos;
Semolina;
Óleo rícino;
Suportes para os eletrodos;
Cuba suporte para o óleo.
Procedimentos e resultados:
Experimento 1: Superfícies equipotenciais e Potencial Elétrico.
Placas paralelas.
Recebemos uma cuba eletrolítica com solução aquosa fraca de sulfato de cobre, e dentro dessa solução dois eletrodos (placas retangulares), como mostra a figura 1. Assim, conectamos uma tensão alternada aos eletrodos e em seguida foi conectada uma ponta de prova do voltímetro a um dos eletrodos, sendo que a outra ponta ficou livre para se movimentar. Obtemos curvas equipotenciais, observando a voltagem no voltímetro. Advertimos para o fato de que essa disposição das placas nos fornece curvas equipotenciais perpendiculares a linhas do campo elétrico existente entre as duas placas paralelas, logo essas curvas equipotenciais são paralelas aos eletrodos, como mostra o anexo 1. Ao longo dessas curvas não encontramos diferença de potenciais.
Figura 1 – Cuba eletrolítica, com placas paralelas.
Placas circulares concêntricas.
Nessa parte da experiência recebemos uma cuba eletrolítica semelhante à descrita anteriormente, no entanto, as placas se encontravam de forma diferente, sua disposição pode ser observada na figura 2:
Figura 2 – Esquema representativo da
disposição das placas na cuba eletrolítica.
Como as linhas de campo elétrico agora se encontram de forma diferente a do procedimento anterior é natural que encontremos curvas equipotenciais diferentes.
Observe as curvas equipotenciais no anexo 2.
Os resultados obtidos podem ser explicados da seguinte maneira: Tanto as placas paralelas quanto as placas circulares concêntricas são feitas de material condutor (são metálicas) e o campo elétrico num condutor é normal à sua superfície, mas a diferença de potencial ΔV, em uma superfície equipotencial é nula. Assim, através da expressão:
  temos que, nas situações em que trabalhamos,  e d são não nulos, então a única maneira de obter um resultado nulo para ΔV é tendo  perpendicular a .
Como as linhas de campo são perpendiculares à superfície do condutor e o vetor  (ao longo da superfície equipotencial), por sua vez, é perpendicular às linhas de campo, concluímos que as superfícies equipotenciais são sempre paralelas às placas, o que é condizente com os resultados apresentados nos anexos.
Após encontrarmos as superfícies equipotenciais conseguimos calcular o campo elétrico para quatro pontos distintos, afim de melhor exemplificar o experimento, conforme pode ser visto no anexo 3.
Para realizar cada cálculo, pegamos sempre dois pontos distintos, em superfícies equipotenciais diferentes, medimos a menor distância entre eles e assim encontramos o campo elétrico. Os resultados obtidos comprovam a teoria que nos diz que entre placas paralelas o campo elétrico é uniforme.
Potencial Elétrico:
O potencial elétrico é uma grandeza escalar que pode ser definida como sendo o trabalho necessário para levar uma carga de prova  de uma carga de uma superfície equipotencial para outra. O potencial elétrico caracteriza o campo elétrico.
Diferença de potencial:
Geralmente, quando o ponto de aplicação de uma força conservativa  sofre um deslocamento , a variação na função energia potencial é calculada como:
 Equação (1)
A força exercida por um campo elétrico  sobre uma carga puntiforme é:
.  Equação (2)
Assim, quando uma carga é submetida a um deslocamento , a variação na energia potencial eletrostática é:
.  Equação (3)
A variação da energia potencial é proporcional à carga . A variação de energia potencial por unidade de carga é chamada de diferença de potencial :
 Equação (4)
Para um deslocamento finito desde o ponto a até o ponto b, a variação no potencial vale:
 Equação (5)
Experimento 2: Linhas de força.
Ao colocarmos na cuba o óleo junto com a semolina, conectamos aos suportes primeiramente um eletrodo metálico, e conectamos também outro eletrodo do gerador ao anel metálico, em seguida ligamos o gerador de 7 kV.
Observamos que as linhas de força são uniformemente espaçadas ao longo do eletrodo. Dependendo do formato do eletrodo, as linhas de forças podem ter direção radial, no caso de um eletrodo circular, podem ser retas, no caso de placas paralelas, entre outros formatos.
Fizemos o experimento com outros três eletrodos diferentes. Os primeiros eletrodos apresentavam formato de “linhas” paralelas, depois colocamos um eletrodo em formato de “linha” e outro de uma circunferência e, por último, colocamos um eletrodo em formato de “gota” e o outro também de circunferência. Fazendo isso observamos que as linhas de campo não se cruzam e ainda podemos notar como uma carga puntiforme pode interferir no campo elétrico de outra carga.
As linhas de campo obtidas nos experimentos estão representadas nas figuras abaixo.
Figura 3 – Linhas de campo.
Figura 4 – Linhas de campo.
Figura 5 – Linhas de força.
As linhas de campo elétrico ou linhas de força nos mostram a orientação da força exercida sobre uma carga de prova. Para um ponto qualquer nas proximidades de uma carga puntiforme positiva, o campo elétrico é orientado radialmente afastando-se da carga, por esta razão, as linhas do campo elétrico nas proximidades de uma carga positiva também serão orientadas de forma a se afastarem da carga. De forma análoga, concluímos que as linhas de campo elétrico nas proximidades de uma carga puntiforme negativa são orientadas em direção (atraindo) à carga negativa.
Figura 6 - Representação do campo elétrico de uma única carga puntiforme
positiva e de outra puntiforme negativa.
Figura 7 - Representação das linhas de campo
para duas cargas puntiformes iguais positivas.
Figura 8 - Representação das linhas de campo
para duas cargas puntiformes iguais
sendo uma positiva e a outra negativa
(dipolo elétrico).
Experimento 3: Sopro elétrico e descarga corona.
Para verificação do fenômeno do sopro elétrico e da descarga corona, tínhamos à nossa disposição uma fonte de alta tensão com seus terminais ligados à condutores pontiagudos e uma vela acesa, como mostra a figura 9.
Figura 9 – Representação do experimento.
Sopro elétrico:
 Ao realizar o experimento verificamos que ligando a fonte, a chama da vela se inclinava no sentido de uma das pontas (verificamos posteriormente que se tratava da ponta negativa). Essa observação pode ser explicada da seguinte maneira:
 A ponta negativa repele elétrons das moléculas de ar que estão próximas a ela. Elétrons de muitas dessas moléculas acabam "escapando". A molécula, com falta de elétrons deixa de ser neutra e passa a ter carga resultante positiva (torna-se um íon positivo). Esse íon é então atraído pela ponta negativa. Quando os íons positivos são atraídos pela ponta, arrastam consigo outras moléculas de ar. Há então um deslocamento de moléculas de ar para a ponta negativa, como um "sopro". Através da chama da vela o fenômeno torna-se mais evidente, pois o ar, ao ser deslocado, arrasta consigo a chama para a ponta tal como se a chama fosse soprada, por isso verificamos uma "inclinação" da chama no sentido da ponta negativa.
Figura 10 – Sopro elétrico.
Efeito corona:
Se, entre dois condutores, existir uma grande diferença de potencial, junto às suas superfícies poderá surgir um campo elétrico de valor tal que o gás ou o ar, no meio do qual se encontram seja ionizado.
Se isto acontecer, o efeito obtido é equivalente ao aumento das dimensões dos condutores, visto que o gás ou o ar ionizado se torna condutor também. Nessas condições, dá-se como que uma aproximação dos condutores e um aumento da sua superfície.
De uma maneira geral, podemos dizer que, se os condutores forem de pequena seção e estiverem bastante afastados, o efeito da ionização traduz-se por uma diminuição do campo zona circunvizinha. Desta forma, ionizada a primeira camada que envolveos condutores, a ionização não prossegue nas camadas seguintes e o fenômeno não progride.
A ionização limita-se como que uma bainha à volta dos condutores, visível sob o aspecto de uma luz azulada e sensível ao ozônio. Esta situação a que chamamos de efeito coroa ou corona.
Se a forma e a distância dos condutores forem outras, pode dar-se o contrário, isto é, o campo ir mantendo nas camadas sucessivas valores suficientemente altos para provocarem a ionização até o ponto de se estabelecer um caminho de gás ou ar ionizado entre os condutores.
As cargas elétricas deixam de encontrar resistência e passam em grande quantidade de um condutor para o outro, sob a forma de um arco. É a descarga elétrica.
Conclusão:
A partir dos experimentos citados acima, concluímos que as superfícies equipotenciais são sempre paralelas às placas, o que nos diz que a intensidade de um campo elétrico depende da sua posição em relação aos elementos que criam este campo (a intensidade do campo elétrico é inversamente proporcional à distância entre os elementos, ou seja, quanto mais próximas as cargas estiverem, maior será a intensidade do campo elétrico). Concluímos também que as linhas de força de um campo elétrico, independente dos eletrodos, se orientam radialmente e são uniformemente espaçadas.
Referências bibliográficas:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física 3 – Eletromagnetismo. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: Eletricidade & Magnetismo e Ótica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC.
Cortar tiras de papel alumínio (5m x 60 m) e fixar na superfície externa da esfera com fita adesiva.
b) Ligar o gerador eletrostático e regular para uma velocidade média de rotação do motor. c) Qual é a direção do campo elétrico criado em torno da esfera?
Ao ligarmos o gerador, o potencial elétrico da esfera devidamente isolada é zero.
Mantendo-se constante a diferença de potencial da fonte, ocorrem transferências contínuas de cargas elétricas até que a esfera adquira o mesmo potencial elétrico da fonte. Desta forma a distribuição regular das cargas no corpo da esfera forma um campo elétrico de direção radial e com orientação para o centro da mesma.
Nos condutores as cargas se concentram nas superfícies. Por isso quando repetimos a experiência, desta vez, afixando as fitas de alumínio na parte interna da esfera, nada se observa pois neste local o campo elétrico é nulo. O que se explica pela lei de Gauss.
“Qualquer excesso de cargas colocado em um condutor isolado se moverá inteiramente para a superfície do condutor. Nenhum excesso de carga será encontrado no interior do corpo do condutor”.
Figura 7: Gerador de Van de Graaff d) Pegar com a mão “fiapos” de algodão e aproximá-los da esfera do gerador, mantendo a mão numa posição próxima. O que ocorre? Porque? A esfera induz cargas nos fiapos de algodão, sendo que as cargas de sinal oposto ao da esfera ficam mais próximas da esfera do que as cargas de mesmo sinal, causando como resultado, uma atração.
Figura 7: Gerador de Van de Graaff
2.2 – Procedimento I: O Poder das Pontas a) Colocar o torniquete ligado à esfera do gerador; b) Ligar o gerador eletrostático e regular para velocidade de rotação média. c) Comentar o que ocorreu e justificar o fato. O torniquete começou a girar. Isto ocorre porque nas pontas eletrizadas do torniquete o ar se ioniza e os íons que possuem carga de mesmo sinal que as pontas são repelidas. Esses por sua vez repelem as pontas (forças de reação) determinando a rotação do torniquete em sentido anti-horário e com velocidade elevada.
Figura 8: Gerador de Van de Graaff d) Fazer uma pessoa que esteja com os cabelos bem secos ficar em pé sobre a base isolada (isopor) com as mãos em contato com a esfera do gerador. Ligar o gerador observando o que acontece com os cabelos da pessoa.
Figuras 9 e 10: Efeito dos cabelos eletrizados
Explique o fenômeno. A eletrização da pessoa por contato faz com que por indução, se acumulem nos cabelos cargas de mesmo sinal que o da esfera. Como as cargas presentes em cada fio de cabelo que fica eletrizado com cargas da mesma polaridade, que conseqüentemente se repelem, o que provoca o eriçamento do cabelo.
e) Quais as conclusões que se pode tirar? A conclusão que se pode tirar é que em torno da esfera eletrostática cria um campo elétrico e que esse campo elétrico aponta para fora. Ao aproximarmos o algodão da esfera, as cargas eletrostática induz cargas nos fiapos de algodão, sendo que as cargas de sinal oposto ao da esfera ficam mais próximas da esfera do que as cargas de mesmo sinal, causando como resultado, uma atração. Ao colocarmos o torniquete e ligarmos o gerador, o torniquete começou a girar. Isto ocorre porque nas pontas eletrizadas do torniquete o ar se ioniza e os íons que possuem carga de mesmo sinal que as pontas são repelidas. Esses por sua vez repelem as pontas (forças de reação) determinando a rotação do torniquete em sentido antihorário e com velocidade elevada. A eletrização da pessoa por contato faz com que por indução, se acumulem nos cabelos cargas de mesmo sinal que o da esfera. Como as cargas presentes em cada fio de cabelo são de mesmo sinal, ocorre uma força de repulsão entre eles, o que provoca o eriçamento do cabelo.
2.3 – Procedimento I: Linhas de força em um campo elétrico
 gerador eletrostático;(Material necessário: 
 eletrodos de várias formas;(
 cuba de vidro;(
 1 vidro de óleo de soja;(
 farinha de mandioca;(
 fixadores de eletrodos;(
 2 cabos de ligações; a) Montar um par de eletrodos na cuba de vidro. b) Colocar óleo de soja na cuba de acrílico, uma camada de aproximadamente 3 m, de modo a cobrir os eletrodos. c) Espalhar sobre o óleo um pouco de farinha de mandioca.(
d) Ligar o gerador eletrostático e regular para uma velocidade média de rotação.
Observar o aspecto que apresenta o campo elétrico que irá aparecer entre os dois eletrodos, cuja configuração se materializará pela distribuição adquirida pelas partículas no óleo. Se houver dificuldade em estabelecer o campo elétrico, deve-se isolar com esmalte as partes dos eletrodos que ficam imersas no interior do óleo. e) Fazer o mesmo procedimento para os demais pares de eletrodos. f) Faça figuras representando as linhas de força observadas.
Os eletrodos possuem cargas elétricas puntuais de mesmo módulo e sinais opostos. Sob a influência do campo elétrico gerado por essas cargas, a farinha foi se orientado de acordo com as linhas de forças (figura 1), caracterizando a configuração o campo elétrico entre os dois eletrodos.
Figura 1: Linha de força – experimento letra A
Neste experimento (figura 12) os condutores são círculos maciços, as cargas estão armazenadas todas na casca da esfera, um dos condutores esta carregado positivamente e o outro negativamente, sendo assim começa a atração das cargas formando um campo elétrico nas partes mais próximas entre os condutores, algumas linhas do campo elétrico tendem ao infinito por estarem afastado um do outro.
16 Figura 12: Linha de força – experimento letra B
Figura 13: Linha de força – experimento letra C
Neste experimento (figura 14) o primeiro condutor possui uma ponta, as cargas se acumulam nela. O campo elétrico é formado pela ponta e o segundo condutor, algumas linhas tendem ao infinito, pois estão afastadas.
Figura 14: Linha de força – experimento letra D
Neste experimento (figura 15) um condutor circular é colocado dentro de um condutor circular oco, então o campo elétrico é formando dentro do condutor circular oco, pois o campo elétrico vai ser formado entre o condutor maciço e o oco.
Figura 15: Linha de força – experimento letra E
2.4 – Procedimento IV: Descarga em gases a alta pressão
 gerador de correia;(Material necessário: 
 uma conexão de fio;(
 uma esfera de cabo isolante;(
Objetivo do experimento: 1. Identificar os eletrodos anodo e catodo; 2. Classificar os gases dentroda família dos condutores; 3. Concluir a importância da pressa (a que um gás é submetido) e da distância entre os eletrodos sobre a capacidade de condução elétrica do gás; 4. Descrever as condições necessárias para uma descarga elétrica através de um gás a alta pressão.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Ligamos o aparelho e aproximamos o bastão de teste da cabeça do gerador (figuras 16 e 17).
Figura 16: Gerador de correia com bastão
Resultado Foi verificado que o gás em questão é o ar atmosférico. No momento em que aproximamos o bastão de teste ao Gerador ocorreu uma transferência visível de elétrons de um corpo para o outro. Essa transferência é denominada descarga elétrica, que é o rompimento de elétrons no ar.
Figura 17: Aproximação do bastão de teste junto à cabeça do gerador
A transferência é parecida com o fenômeno natural, os raios, possuindo até mesmo uma cor parecida, sendo esbranquiçado e com o espectro combinado do oxigênio e do nitrogênio. O raio algumas vezes parece possuir outras cores, quando ocorre em ambientes e meios diferentes. Em contraste com o amarelo das luzes artificiais, o raio pode parecer azulado e vice-versa.
3 CONCLUSÃO
Pode-se concluir que o experimento atingiu o objetivo proposto para o aprendizado, de forma que através de uma configuração simples conseguiu-se visualizar com clareza a formação dos campos elétricos pelas linhas equipotenciais formadas pelo campo elétrico gerado. Pôde-se notar o seu comportamento diante de cada mudança estabelecida através da troca de configuração e disposição dos materiais usados nos experimentos.
Portanto pode-se comprovar que as linhas de força são sempre perpendiculares às superfícies metálicas dos eletrodos desta forma nunca podendo ser paralelas aos mesmos, pois as linhas demonstram o trajeto do campo elétrico de um eletrodo ao outro como que se formando uma ponte entre eles para a circulação da corrente elétrica, constatou-se assim, a existência do campo elétrico e fez-se o seu mapeamento com o auxilio da farinha de mandioca sobre o óleo de rícino.
Com o conhecimento teórico de Campo Elétrico obtido a principio, vislumbra-se pelos experimentos realizados sua ação prática que condiz com a ação teórica. Com relação ao alinhamento da farinha de mandioca, ao contrário dos materiais condutores, os dielétricos podem armazenar energia em seu interior. Isso é possível porque ao se aplicar um campo elétrico externo em um dielétrico não ocorre a movimentação de cargas livres, mas um deslocamento relativo nas posições das cargas negativas (elétrons) e positivas, dando origem às cargas polarizadas.
Somente com a aplicação de um campo elétrico é que as cargas positivas e negativas se deslocam buscando um alinhamento na direção das linhas de força do campo em uma formação, por esta razão é que as partículas de farinha de mandioca se alinham quando energizados os eletrodos.
O experimento foi muito satisfatório com aprendizado e como forma de se demonstrar como funciona o Gerador de Van de Graaff e colocar em prática a teoria para se entender melhor os fenômenos físicos
4 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, D., Resnick, R. Walker, J - Fundamentos de Física 3 – Tradução BIASI Ronaldo Sérgio de, - Rio de Janeiro: Livros técnicos e Científicos Editora, 7a Edição, 2007.
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