RESISTÊNCIA DE MATERIAIS.doc EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM 22 SET 2016

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
 
Solução: 
a) As componentes de tensão em AB 
   
y x xy
0
x y x y
x ' xy
x '
Usando as Equações de Transformações
Dados :
3 MPa 5 MPa 8 MPa 40
90 90 40 130
Componentes de Tensão Normal
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
5 3 5 3
cos 2 13
2 2
        
           
        
         
   
    
      
   
   
      
 
x '
' x 'x
0 8sen 2 130 MPa
Assim :
4 1 0,1736 8 0,9848 MPa 4 1 0,1736 8 0,9848 MPa
Assim :
4 0,1736 7,8784 MPa 4,054,052 MPa 2 MPa
   
            
        
 
 
 
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   
y x xy
0
x y x y
y' xy
y'
Usando as Equações de Transformações
Dados :
3 MPa 5 MPa 8 MPa 40
90 90 40 130
Componentes de Tensão Normal
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
5 3 5 3
cos 2 13
2 2
        
           
        
         
   
    
      
   
   
      
  y'
y'
y'
0 8sen 2 130 MPa
Assim :
4 1 0,1736 8 0,9848 MPa 4 1 0,
12,05 MP
1736 8 0,9848 MPa
Assim :
4 0,1736 7,8784 MPa 12,05 MPa a
   
            
      
 
   
 
y x xy
0
x y
x 'y' xy
x 'y'
Usando as Equações de Transformações
Dados :
3 MPa 5 MPa 8 MPa 40
90 90 40 130
Componente de Tensão de Cisalhamento
sen 2 cos 2
2
Substituindo :
5 3
sen 2 130 8 cos 2 13
2
        
           
   
       
 
 
       
 
 
      x 'x 'y' y'
0 MPa
Assim :
1 0,9848 8 0,1736 MPa 0,9848 1,3888 MPa 0,404 MP 0,404 MPaa

               
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) As Tensões Principais 
 
m
x ' y '
média
y ' x ' x ' y '
x ' y '
mé i édiad a
Temos que :
Tensão Normal correspondente à máxima Tensão Cisalhante
2
Onde :
12,05 MPa 4,052 MPa 0,404 MPa
Substituindo :
4,052 12,05 7,998
MPa MPa 4,0 MPa
2 2 2
T
4,0 MPa
ensõe
 
  
 
       
    
     
 
   
2
x ' y ' x ' y ' 2
x ' y 'máx,mín
2
2
máx,mín
2 2
máx,mín máx,mín
máx,mín
s Normais Máxima e Mínima
2 2
Substituindo :
4,052 12,05 4,052 12,05
0,404 MPa
2 2
Assim :
4 8,051 0,404 MPa 4 64,82 0,1632 MPa
4
      
     
 
    
     
 
         
  
máx
min
4 8,06 MPa 12,06 MPa
64,98 MPa 4 8,06 MPa
4 8,06 MPa 4,06 MPa
   
   
    
 
minmáx
12,06 M
Assi
Pa e 4,06 P
m
a
:
M    
 
b) a máxima tensão cisalhante absoluta 
 
 
max min
máx,abs
minmáx
max min
m máx,ab, sáx abs
Temos que :
2
Onde :
12,06 MPa 4,
8,06 MP
A máxima tensão cisalhante
06 MPa
Substituindo :
12,06 4,06 16,12
 abs
MPa MPa
olu
8,0 a6 MPa
2 2
ta
2
  
 
    
   
      
 
 
 
 
 
 
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d) Círculo de Mohr 
 
   
y x xy
0
x y
C
2 22 2
x c xy
xy
x c
3 MPa 5 MPa 8 MPa ' 40
90 ' 90 40 130 130
Centro :
5 3
MPa 4 MPa C 4 MPa,0
2 2
Raio :
R 5 4 8 MPa 65 MPa 8,06 MPa R 8,06 MPa
Ângulos :
8
130 arctan arctan
5 4
        
               
   
    
            
   
        
    
   
   
 
x ' c
x '
x
x
' y '
'
82,87 82,87
Assim :
180 2 180 2 130 82,87 2,87 2,87
Tensão Normal
R cos 4 8,06 cos 2,87 MPa 4 8,06 0,9987 MPa
4 8,05 4,05 MPa
Tensão Cisalhamento
Rse
4,0
n 8,06 sen
5 MPa
     

                   
           
     
      
  
  x ' y '2,87 MPa 8,06 0,050 MPa 0,403 MPa0,403 MPa         
 
 
 
 
 
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Solução: 
   
   
y x xy
x y x y
x ' xy
x '
Usando as Equações de Transformações
Dados :
0,6 MPa 2,2 MPa 0,8 MPa 30
Componente de Tensão Normal
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
2,2 0,6 2,2 0,6
cos 2 30 0,8 se
2 2
         
        
         
   
    
         
   
 
   x ' x '
n 2 30 MPa
Assim :
1,4 0,8 0,5 0,8 0,866 MPa 1,4 0,4 0,693 MPa 1,107 MPa 1,107 MPa
 
            
 
   
   
y x xy
x y x y
y' xy
y'
Usando as Equações de Transformações
Dados :
0,6 MPa 2,2 MPa 0,8 MPa 30
Componentes de Tensão Normal
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
2,2 0,6 2,2 0,6
cos 2 30 0,8 s
2 2
         
        
         
   
    
         
   
 
   y' y'
en 2 30 MPa
Assim :
1,4 0,8 0,5 0,8 0,866 MPa 1,4 0,4 0,693 MPa 1,693 MPa 1,693 MPa
 
            
 
 
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   
     
y x xy
x y
x 'y' xy
x 'y'
Usando as Equações de Transformações
Dados :
0.6 MPa 2,2 MPa 0,8 MPa 30
Componente de Tensão de Cisalhamento
sen 2 cos 2
2
Substituindo :
2,2 0,6
sen 2 30 0,8 cos 2 30 MPa
2
Assim
         
   
       
 
 
         
 
  x ' ''y' yx
:
0,8 0,866 0,8 0,5 MPa 0,693 0,4 MPa 1,093 M 1,0P 93 M aa P             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Solução: 
a) As tensões principais. 
 
   
 
x y xy
2
x y x y 2
xymáx,mín
2 2
2
máx,mín
máx,mín máx,mín
Dados :
0 7,6 MPa 3,3 MPa
Temos que :
2 2
Substituindo :
0 7,6 0 7,6 7,6 7,6
3,3 MPa 10,89
2 2 2 2
Assim :
3,8 14,44 10,89 MPa 3,
       
      
     
 
       
              
        
máx
máx
máx,m
mí
m n
n
ín
i
8 25,33 MPa
3,8 5,03 MPa 1,23 MPa
3,8 25,33 MPa 3,8 5,03 MPa
3,8 5,03
1,23
MPa 8,83 M
M
P
Pa e
a
8,83 MPa

    
        
     
    


 
 
 
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b) A tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal média associada 
 
 
x y xy
2
x y 2
xymáx
2 2
2
máx
máx máxmáx
Dados :
0 7,6 MPa 3,3 MPa
Tensão de Cisalhamento Máxima:
2
Substituindo :
0 7,6 7,6
3,3 MPa 10,89
2 2
14,44 10,89 MPa 25,33 MPa 5,03 MPa 5, P
T
03 M a
en
       
   
    
 
 

  
            
        
 
méd
x y
médi iaa
são Média Associada :
0 7,6 7,6
MPa MPa 3,8 MP 3,8a
2 2
MPa
2
    
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução: 
y x xy
Dados :
40 MPa 60 MPa 35 MPa       
 
a) A orientação do plano de máxima tensão cisalhante 
   
   
 
 
x y
xy
y x y x
s s
xy xy xy
y x xy
y x
s p
xy
s s s s
Temos que :
2tan 2 tan 2
2 2
Onde :
40 MPa 60 MPa 35 MPa
Substituindo :
7,98 e 82
40 60 20 20
tan 2 tan 2 0,286
2 2 35 70 70
Assim :
2 arctan 0,286 2 15,96 ,
  
      
      
  
       
     
      
   

 
       02
 
b) a máxima tensão cisalhante 
 
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 
2
x y 2
xymáx
y x xy
22
x y 2 2
xymáx máx
2 2
2 2
máx máx máx
Temos que :
2
Onde :
40 MPa 60 MPa 35 MPa
Substituindo :
60 40
35 MPa
2 2
Assim :
60 40 20
35 MPa 35 MPa 1325 MPa
2 2
   
    
 
       
       
           
   
    
             
   

máx
36,4 MPa
 
c) A componente de tensão normal correspondente 
 
 
x y
média
y x xy
x y
méd médiaia
m
Temos que :
Tensão Normal correspondente à máxima Tensão Cisalhante
2
Onde :
40 MPa 60 MPa 35 MPa
Substituindo :
60 40 100
MPa MPa 50 MPa
2 2 2
Tensões Normais Máxima e Mínima
50 MPa
  
 
       
      
        

   
22
x y x y 2 2
xyáx,mín máx,mín
2 2
2 2
máx,mín máx,mín
máx
máx,mín
60 40 60 40
35 MPa
2 2 2 2
Assim :
100 60 40 20
35 MPa 50 35 MPa
2 2 2
50 36,4 MPa
50 1325 MPa 50 36,4 MPa
             
            
   
      
            
   
     
       
máx
13,6 MPa
50 36,4 MPa 86,4 MPa


     
 
 
 
 
 
 
 
 
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d) O Ciclo de Mohr e as componentes obtidas nos itens anteriores 
   
   
   
 
y x xy média
x xy
y xy
média
B
Dados :
40 MPa 60 MPa 35 MPa 50 MPa
Pontos :
X , X 60 MPa, 35 MPa
Y , Y 40 MPa,35 MPa
C ,0 C 50 MPa,0
Assim :
GX 35
tan 3,50 arctan 3,50 74,05 74,05
10CG
Assim :
1 1
74,05 37,0
2 2
          
    
   
  
            
         
B
A A
2 37,02
Assim :
180 180 74,05 105,95
Assim :
1 1
105,95 52,98 52,98
2 2
     
          
           
 
2 2
2 2
min média
max média
Temos que :
R CG CX 10 35 MPa 1325 MPa 36,4 MPa
Assim :
R 50 36,4 MPa 86,4 MPa
R 50 36,4 MPa 13,6 MPa
     
        
        
 
Ciclo de Mohr: 
 
 
 
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Solução: 
 
 
   
   
   
x '1 y '1 x ' y '1 1
x '1 y '1 x '1 y '1
x1 1 x ' y '1 1
x1
Dados :
200 MPa 350 MPa 0 MPa 30
Equações de Transformações de Tensões :
Elemento 1
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
200 350 200 350
cos 2 30 0 sen 2 30
2 2
           
     
      
     
              
 
 
x
x
1
1
x1
x1
MPa
Assim :
200 350 200 350
cos 60 0 MPa
2 2
Assim :
550 150
cos 60 0 MPa 275 75 0,
237,5
5 MPa
2 2
275 37,5 MPa M237 MPa Pa,5

   
     

         
         
 
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 
   
   
   
x '1 y '1 x ' y '1 1
x '1 y '1 x '1 y '1
y1 1 x ' y '1 1
y1
Dados :
200 MPa 350 MPa 0 MPa 30
Equações de Transformações de Tensões :
Elemento 1
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
200 350 200 350
cos 2 30 0 sen 2 30
2 2
           
     
      
     
              
 
 
y
y
1
1
y1
y1
MPa
Assim :
200 350 200 350
cos 60 0 MPa
2 2
Assim :
550 150
cos 60 0 MPa 275 75 0,
312,5
5 MPa
2 2
275 37,5 MPa M312 MPa Pa,5

   
     

         
         
 
   
 
   
x '1 y '1 x ' y '1 1
x '1 y '1
xy1 1 x ' y '1 1
xy1
Dados :
200 MPa 350 MPa 0 MPa 30
Equações de Transformações de Tensões :
Elemento 1
sen 2 cos 2
2
Substituindo :
200 350
sen 2 30 0 cos 2 30 MPa
2
Assim
           
  
      
   
                   
 
   
 
xy1
x xy1y1
:
200 350
sen 60 0 cos 60 MPa
2
Assim :
150
0,866 0 MPa 75 0,8 6466 MPa 64,95 MP ,95 aa
2
MP
  
         
 
 
            
  
 
 
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 
   
   
 
x '2 y '2 x ' y '2 2
x '2 y '2 x '2 y '2
x2 2 x ' y '2 2
x2
x2
Dados :
0 MPa 0 MPa 58 MPa 25
Equações de Transformações de Tensões :
Elemento 2
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
0 0 0 0
cos 2 25 58 sen 2 25 MPa
2 2
Assim :
0 0 cos 50 5
        
     
      
 
        
        x28 sen 50 MPa 58 0,766 MPa 44,43 M 44,43 MPPa a      
 
 
   
   
 
x '2 y '2 x ' y '2 2
x '2 y '2 x '2 y '2
y2 2 x ' y '2 2
y2
y2
Dados :
0 MPa 0 MPa 58 MPa 25
Equações de Transformações de Tensões :
Elemento 2
cos 2 sen 2
2 2
Substituindo :
0 0 0 0
cos 2 25 58sen 2 25 MPa
2 2
Assim :
0 0 cos 50 58
        
     
      
 
       
        y2sen 50 MPa 58 0,766 MPa 44,43 MP 44,43 MPaa        
  
   
 
x '1 y '1 x ' y '1 1
x '2 y '2 x ' y '2 2
x '2 y '2
xy2 1 x ' y '2 1
xy2
Dados :
200 MPa 350 MPa 0 MPa 30
0 MPa 0 MPa 58 MPa 25Equações de Transformações de Tensões :
Elemento 2
sen 2 cos 2
2
Substituindo :
0 0
sen 2 25
2
           
        
  
      
 
      
 
   
yx 2y2 x
58 cos 2 25 MPa 0 58 cos 50 MPa
58 0,643 MPa 37,29 MPa 37,29 MPa
      
      
 
 
 
 
 
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Somando-se as tensões dos elementos (1) e (2) 
x x1 x2 x
y y1 y2 y
xy xy1 x
x
x
xy2 yxy
237,5 44,43 MPa 193,07 MPa
312,5 44,43 MPa
193,07 MPa
356,93356,93 MPa
64,95 37,29 MPa 102,24 MPa
MPa
102,24 MPa
            
            
        
  
  
  
 
 
 
 
Solução: 
 
médi
x y
média
y x xy
x y
média a
Temos que :
Tensão Normal correspondente à máxima Tensão Cisalhante
2
Onde :
70 MPa 15
110 MPa
0 MPa 75 MPa
Substituindo :
150 70 220
MPa MPa 110 MPa
2 2 2
  
 
      
   
     
 
 
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 
     
2 2
2x y x y 2
xymáx,mín máx,mín
2
2 2 2
máx,mín máx,mín
máx
máx,mín
Tensões Normais Máxima e Mínima
120 70 150 70
75 MPa
2 2 2 2
Assim :
220 80
75 MPa 110 40 75 MPa
2 2
110 7225 MPa 110 85 MPa
         
             
  
 
           
 
 
     
min
110 85 MPa 195 MPa
110 85 MPa 25 MPa
 

   
 z max,abs
max min
max,abs
z minmáx
max min
max,abs ma max,ax,a bs sb
a) 0 ?
2
Onde :
0 195 MPa 25 MPa
Substituindo :
195 25 170
MPa MPa 8585 M Ma
2 2
P
2
aP
    
  
 
     
   
         
 
z max,abs
max min
max,abs
z minmáx
max min
max,abs max,ab max, bs a s
b) 45 MPa ?
2
Onde :
45 MPa 195 MPa 25 MPa
Substituindo :
195 25 170
MPa MPa 85 MPa
2 2 2
85 MPa
    
  
 
     
 
 
 
       
 
 
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 
z max,abs
max min
max,abs
z minmáx
max min
max,abs max,abs
max,abs max,abs
c) 45 MPa ?
2
Onde :
45 MPa 195 MPa 45 MPa
Substituindo :
195 45 195 45
MPa MPa
2 2 2
240
MPa 12 120 MPa0 MPa
2
     
  
 
       
    
     
    
 
 
 
Solução: 
y x xy
Dados :
0 120 MPa 150 MPa     
 
 
 
 
 
 
 
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a) As tensões principais 
 x ymédia
y x xy
x y
mé médiadia
x
máx,mín
Temos que :
Tensão Normal correspondente à máxima Tensão Cisalhante
2
Onde :
0 120 MPa 150 MPa
Substituindo :
120 0 120
MPa MPa 60 M 60 MPaPa
2 2 2
Tensões Normais Máxima e Mínima
  
 
     
   
      

 

2 2
y x y 2 2
xy máx,mín
2
2 2 2
máx,mín máx,mín
máx
máx,mín
min
120 0 120 0
150 MPa
2 2 2 2
Assim :
120 120
150 MPa 60 60 150 MPa
2 2
60 161,55 MPa 221,55 MPa
60 26100 MPa 60 161,55 MPa
60 161,55 M
        
          
  
 
         
 
   
     
   Pa 101,55 MPa


 
 
minmáx
221,55 MP
As
a e 101,55 MPa
sim :
    
 
 
b) a máxima tensão cisalhante absoluta 
 
 
max min
máx,abs
minmáx
max min
máxm ,absáx,abs
Temos que :
2
Onde :
221,55 MPa 101,55 M
A má
Pa
Substituindo :
221,55 101,55 323,10
MPa MPa 161,55 MPa
2
xima tensão cisalhante abs
161,55 MPa
o uta
2 2
l
  
 
    
   
      