Lista de exercícios - 1ºEE

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LISTA DE EXERCICIOS I UNIDADE.
COMPLEMENTOS DE MATEMA´TICA. II
SEMESTRE 2016, CTG, UFPE
Liliana Gabriela Gheorghe
23 de Agosto de 2016
0.1 Lista 1. (aulas 1,2 e 3)
Nume´ros complexos em fo´rma algebrica e polar. Mo´dulo e argumento de um
nu´mero complexo. Operac¸o˜es com nu´meros complexos. O conjugado. O inverso
de um nume´ro complexo. Uma interpretac¸a˜o geome´trica para somas e produ-
tos de nume´ros complexos: traslac¸o˜es e roto-dilatac¸o˜es. As raizes n-esimas de
um nume´ro complexo. Interpretac¸a˜o geome´trica. Representac¸o˜es de regio˜es do
plano complexo.
Nota: 0s exerc´ıcios marcados com ! sa˜o altamente recomendaveis; os marca-
dos com * ou ** apresentam n´ıvel de dificuldade acima da me´dia e sa˜o apenas
para o leitor interesado.
Exercicio 1. ! Sejam a, b ∈ C. i) mostre que a equac¸a˜o da mediatriz do
segmento [a, b] e´ |z − a| = |z − b|. Interprete geometricamente.
ii) mostre que a equac¸a˜o parame´trica da reta que passa por a e b e´
z = (1− λ)a+ λb, λ ∈ R.
Em seguida, elimine o para´metro λ e deduza a equac¸a˜o (livre de para´metros) da
reta (ab) de direc¸a˜o ~AB = b− a e´
z − a
b− a =
z − a
b− a .
Interprete geometricamete este fato.
Exercicio 2. !
Desenhe no plano complexo os conjuntos
1
• {z ∈ C : Re(z) ∈ (0, 1)}; {z ∈ C : Re((1 + i)z) ∈ (0, 1)}; {z ∈ C :
Re((1 + iz) ∈ (0, 1)};
• {z ∈ C : |z − 1| ∈ (0, 1)}; {z ∈ C : |2z − 1| ∈ (0, 1)};
• z : |z + i| < |z − 1| }; { z : |z − 2|+ |z + 2| > 2}, {z : Re[ 1(z−1) ] ≤ 1.
Exercicio 3. !
Explicitando a fo´rmula de Moivre (cost + isent)n = cos(nt) + isen(nt),
usando o binoˆmio de Newton, e separando as partes reais e imaginarias, ache
fo´rmulas explicitas para cos(nt) e sen(nt) em func¸a˜o de sen(t) e cos(t). Escreva
essas fo´rmulas para os casos n = 2, n = 3 e n = 4.
Exercicio 4. ! Mostre que
√
3 + 4i = { +(2 + i), −(2 + i)}.
(Sugesta˜o: use as fo´rmulas de bisecc¸a˜o para cosseno)
ii) Mais geral, prove as seguintes fo´rmulas:
√
a+ ib = �0
√
(a+
√
a2 + b2)/2 + �1i
√
(−a+
√
a2 + b2)/2
onde �0, �1 ∈ {+1 − 1} e o produto �0�1 tem o mesmo sinal que o nu´mero real
b.
Exercicio 5. ! Ache a parte real, a parte imagina´ria e o modulo do nu´mero
complexo
z =
1 + cost+ isent
1 + cost− isent .
Exercicio 6. !!
Calcule, usando numeros complexos, as seguintes somas:
2
i)
m−1∑
n=0
cos(nt) = cos[(m− 1)t/2]sen(mt/2)
sen(t/2)
.
ii)
m−1∑
n=0
sen(nt) = sen[(m− 1)t/2]sen(mt/2)
sen(t/2)
.
(Sugesta˜o: calcule
∑m−1
n=0 e
int, e separe as partes reais e imaginarias.)
Transformac¸o˜es linear fraciona´rias
Inversa˜o complexa. Interpretac¸a˜o geome´trica. Transformac¸o˜es linear fraciona´rias
e suas propriedades geome´tricas. Representac¸o˜es de regio˜es do plano complexo
delimitados por circulos e retas. A forma geral das transformac¸a˜os que mandam
o disco nele mesmo, o semiplano superior nele mesmo e o disco no semiplano.
Exercicio 7. !! Use transformac¸o˜es linear fraciona´rias para desenhar o se-
guinte conjunto
{z ∈ C : arg 2z−1z−1 ∈ (0, pi3 )}.
i) Sugesta˜o: considere T (z) = 2z−1z+1 = w; a condic¸a˜o fica: argw ∈ (0, pi3 );
agora e´ deduzir a imagem deste Aˆngulo, pela transformac¸a˜o T−1(w)!!)
Exercicio 8. ! i)! Sejam α, z ∈ C e d ∈ R. Prove que
{ dzz + αz + αz + 1 = 0 }
representa a equac¸a˜o de um circulo ou de uma reta. Se α = 0, o centro dele
esta´ na origem. Se d = 0, e´ uma reta.
ii)! Prove que o conjunto
{ z ∈ C, zz − za− za+ d = 0},
3
representa um circulo com centro em a.
Exercicio 9. !! Ache a imagem pela transformac¸a˜o T (z) = 1z , das seguintes
curvas:
• a famlia de circulos x2 + y2 = ax, a 6= 0; Resposta: as retas u = 1a .
• o feixe de retas paralelas y = x+ b;
Resposta: os circulos b(u2+ v2)+u+ v = 0, ou a reta u+ v = 0, se b = 0.
Soluc¸a˜o: Uma maneira algoritmica (pore´m, as vezes, bastante longa) de
tratar estes problemas e´ de descrita abaixo:
Passo 1: reescrever as equac¸o˜es das curvas em func¸a˜o de z e z, usando o fato
que x = z+z2 , e y =
z−z
2i ;
Passo 2: inverter a transformac¸a˜o e achar z = T−1(w) e z = T−1(w); e
Passo 3: obter a equac¸a˜o da curva imagem em func¸a˜o de w e w ou de u e v,
onde w = u+ iv.
Ilustraremos estas contas para o item i); o leitor deve´ra´ lidar sozinho com
os outros itens.
i) Passo 1) A equac¸a˜o do circulo fica:
zz =
a
2
(z + z);
Passo 2) A inversa da transformac¸a˜o e´ z = 1w ;
Passo 3) A equac¸a˜o da curva imagem sera´:
1
w
1
w
=
a
2
(
1
w
+
1
w
).
Passo 4) Explicitando, obtemos a curva u = 1a .
4
Exercicio 10. !!
Ache a imagem dos conjuntos dados, pelas transformac¸a˜oes correspondentes.
i) A imagem do quadrante x > 0, y > 0, pela transformac¸a˜o T (z) = z−iz+i .
Resposta: o semidisco Imw > o, |w| < 1;
ii) A imagem do aˆngulo Ω = {z = reit, 0 < t < pi/4}, pela transformac¸a˜o
T (z) = zz−1 ;
Resposta: o semiplano inferior menos o disco centrado em 1/2− i/2, de raio
√
2/2.
iii) A imagem da faixa 0 < x < 1 pela transformac¸a˜o T (z) = z−1z .
Resposta: o conjunto delimitado pela reta u = 1 e pelo circulo |w−1/2| = 1/
2.
Exercicio 11. !! Escreva a equac¸a˜o em relac¸a˜o aos pares de pontos sime´tricos
para as seguintes circumfereˆncias: i) |z − 1| = 2; par de pontos sime´tricos 0 e
−3; Resposta:
∣∣∣∣ zz+3 ∣∣∣∣ = 12 .
ii) |z − i| = √2; par de pontos sime´tricos 0 e −i; Resposta:
∣∣∣∣ zz+i = √22 .
0.2 Lista 2 (aulas 4,5,6) A exponencial, o loga-
ritmo e func¸o˜es trigonome´tricas. Equac¸a˜os
e propriedades de mapeamento.
Nota: os exercicios notados com * sa˜o facultativos e podem ser ignorados numa
primeira leitura. Os exercicios marcados com ∗∗ sa˜o dificeis; os marcados com !
sa˜o particularmente relevantes e alguns destes sera˜o utilizados posteriormente.
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Exercicio 12. ! Prove as seguintes propriedades da exponencial e logaritmo.
1) ez+w = ezew; ∀z, w ∈ C;
2) ez = ew se e somente se z = w + 2kpii; k ∈ Z.
3) a equac¸a˜o ez = w possui infinitas soluc¸o˜es, que diferem uma de outra por
mu´ltipos de 2kpii; estas sa˜o: zk = log r + it + 2kpii, w = re
it, k ∈ C; ao
contra´rio, a equac¸a˜o ez = 0, na˜o teˆm soluc¸o˜es: ez 6= 0; ∀z ∈ C;
4) (ez)′ = ez, ∀ z ∈ C.
Exercicio 13. Mostre que para todo z ∈ C, valem as seguintes ”fo´rmulas tri-
gonome´tricas complexas:”
• cos2 z + sin2 z = 1 ∀z ∈ C;
• cos(z + 2kpi) = cos z; sin(z + 2kpi) = sin z;
• sin z = cos(pi2 − z);
• cos(z+w) = cos z cosw−sin z sinw; sin(z+w) = sin z cosw+sinw cos z.
• cos(z+ T ) = cos z, para todo z ∈ C, se´ e somente se´ T = 2kpi. Idem para
sin .
Exercicio 14. Mostre que cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z; tan iz =
i tanh z; cot iz = −i coth iz.
Observe que esta relac¸a˜o garante que todas as fo´rmulas trigonome´tricas que
envolvem sin e cos possuem um correspondente em func¸a˜o de sinh, cosh .
Usando este fato (ou na˜o), prove que
• cosh2 z − sinh2 z = 1 ∀z ∈ C;
• cosh(z + 2kpii) = cosh z; sinh(z + 2kpii) = sinh z;
6
• cosh(z+w) = cosh z coshw+sinh z sinhw; sinh(z+w) = sinh z coshw+
sinhw cosh z.
• cosh(z + T ) = cosh z, para todo z ∈ C, se´ e somente se´ T = 2kpii. Idem
para sin .
• (cosh z)′ = sinh z; (sinh z)′ = cosh z.
Exercicio 15. ! Propriedades de mapeamento da exponencial complexa.
i) Mostre que a exponencial complexa leva retas horizontais {y = y0} em
semiretas com origem em zero,e que fazem um aˆngulo y0 = t0(mod2pi), (0 ≤
t0 < 2pi) com o eixo Ou; observe que para cada y0 fixado, a correspondeˆncia
entre a reta {y = y0} e a semireta imagem, e´ injetiva; ao contra´rio, cada ponto
de uma semireta arg(w) = t0, e´ imagem de infinitos pontos do plano complexo,
que diferem um de outro por mu´ltiplos de 2pi. 1
ii) Mostre que a exponencial complexa manda retas verticais {x = x0}, em
circulos centrados em zero, de raio ex0 ,percorridos infinitas vezes. As imagem
de segmentos verticais z = x0+iy, 2kpi ≤ y < 2(k+1)pi,k ∈ Z, de comprimento
2pi sa˜o circulos e a correspondeˆncia entre estes e os circuloe e´ bijetiva!
iii) Deduza que a exponencial manda bijetivamente a faixa horizontal {(x, y) :
0 < y < 2pi, x ∈ R}, em C − {(x, 0), x > 0} e o tubo semi-infinito
{(x, y) : 0 < y < pi, x ∈ R}, no semiplano superior.
iv)!! Ache a imagem dos retaˆngulos
D = [0, 1]X[0, pi] D1 = [0, 1]X[0, 3pi]
pela transformac¸a˜o ez. Compare-as do ponto de vista da bijetividade da trans-
formac¸a˜o.
1y0 = t0(mod2pi), significa que existe um unico inteiro k tal que y0 − t0 = 2kpi
7
Exercicio 16. ! Propriedades de mapeamento da func¸a˜o sin z.
i) Mostre que a transformac¸a˜o sin leva retas horizontais {y− y0} em elipses
com focos em F1,2 = (±1, 0), se y0 6= 0; ale´m disso sin({y = 0}) = [−1, 1]; por
fim observe que esta correspondeˆncia na˜o e´ bijetiva!
ii) Mostre que sin manda retas verticais x = x0 em segmentos de hipe´rbolas
ou em retas.
iii)!! Deduza que sin manda bijetivamente a faixa infinita {(x, y), pi/2 <
x < pi/2} em C {(x, 0), |x| ≥ 1}, e o tubo semi-infinito {(x, y), 0 < x < pi/2},
bijetivamente no semiplano superior.
iv)!! Ache a imagem dos retaˆngulos
D = [0,
pi
3
]X[0, 1], [0,
2pi
3
]X[0, 1], [0,
7pi
3
]X[0, 1],
pela transformac¸a˜o senz.
Exercicio 17. Calcule todos os valores posiveis dos nu´meros (ou determine os
conjuntos!), escrevendo as respostas como nu´meros complexos em forma alge-
brica ou polar:
i) i2/3 ii) (1 + i)3/4 iii) (−1)5/2; iv) (1 + i)(1−i).
Exercicio 18. Ache todas as soluc¸o˜es complexas das seguintes equac¸o˜es i) cosz =
7; ii) logz = −i ii) ecosz = 0.
Exercicio 19. ! Ache para cada uma das func¸o˜es ez, sin z, cos z, sinh z, cosh z,
tan z, cot z, tanh z, coth z o conjunto dos pontos onde estas assumem valores
puramente reais:
• {z ∈ C : ez = ez},
• {z ∈ C : sen z = sen z},
8
• {z ∈ C : cos z = cos z},
• {z ∈ C : tan z = tan z}.
Exercicio 20. Ache
i) {z ∈ C : | tan z| = 1} {z ∈ C : | tanh z| = 1}.
Resposta: i {z ∈ C : <z = pi/4 + kpi/2} ii) {z ∈ C : <z = pi/4 + kpi/2}.
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