lista1 calculo1 2016

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082210 - Ca´lculo Diferencial e Integral 1
Primeira lista de exerc´ıcios
Prof. Rafael F. Barostichi 6 de marc¸o de 2016
1. Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a)
2x− 1
x+ 1
< 0 (b)
1− x
3− x ≥ 0
(c)
2x− 1
x− 3 > 5 (d)
x− 1
2− x < 1
(e) x(2x− 1)(x+ 1) ≥ 0 (f) x− 3
x2 + 1
< 0.
2. Verifique as identidades abaixo:
(a) x2 − a2 = (x− a)(x+ a)
(b) x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax+ a2)
(c) x4 − a4 = (x− a)(x3 + ax2 + a2x+ a3).
Voceˆ consegue deduzir uma fo´rmula para o caso geral xn − an, com n ∈ N?
3. Em cada um dos ı´tens abaixo, determine o domı´nio da func¸a˜o dada.
(a) g(x) =
2x
x2 + 1
(b) g(x) =
x+ 1
x2 + 2x
(c) g(x) =
√
x− 1
x+ 1
(d) g(x) =
3
√
x2 − x
(e) g(x) = 6
√
x− 3
x+ 2
(f) g(x) =
√
x
3
√
x− 1
(g) y =
√
x− 1 +√3− x (h) y =
√
1−√x
(i) y =
√
x−√5− 2x (j) y =
√
x−√x.
4. Considere a func¸a˜o f dada por f(x) = x2 + 4x+ 5.
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Mostre que f(x) = (x+ 2)2 + 1.
(c) Esboce o gra´fico de f .
(d) Qual o menor valor de f(x)? Em que x este menor valor e´ atingido?
Definic¸a˜o: Dados dois pontos A = (x0, y0) e B = (x1, y1) em R2, definimos a distaˆncia entre A
e B como d =
√
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2.
5. No caso em que d e´ a distaˆncia entre (0, 0) e (x, y), onde (x, y) um ponto do gra´fico de f(x) =
1
x
,
expresse d em func¸a˜o de x.
1
6. Suponha que (x, y) seja um ponto do plano cuja soma das distaˆncias a (−1, 0) e (1, 0) e´ igual a 4.
(a) Verifique que
x2
4
+
y2
3
= 1.
(b) Supondo y > 0, expresse y em func¸a˜o de x e esboce o gra´fico da func¸a˜o obtida.
7. Na fabricac¸a˜o de uma caixa, de forma cil´ındrica, e volume 1(m3), utilizam-se, nas laterais e no
fundo, um material que custa 1.000 o metro quadrado e na tampa um outro que custa 2.000 o
metro quadrado. Expresse o custo C do material utilizado, em func¸a˜o do raio r da base.
8. Expresse a a´rea de um triaˆngulo equila´tero em func¸a˜o do lado l.
9. Considere a func¸a˜o f(x) = max
{
x,
1
x
}
.
(a) Calcule f(2), f(−1) e f(1/2).
(b) Determine o domı´nio e esboce o gra´fico de f .
10. Considere a func¸a˜o f(x) = max
{
x,
1
x
}
.
(a) Calcule f(2), f(−1) e f(1/2).
(b) Determine o domı´nio e esboce o gra´fico de f .
11. Determine o maior conjunto A tal que Imf ⊂ Dg e em seguida construa a composta h(x) =
g(f(x)).
(a) g(x) =
√
x e f : A→ R, f(x) = x2 − x.
(b) g(x) =
2
x+ 2
e f : A→ R, f(x) = x+ 3.
(c) g(x) =
√
x− 1 e f : A→ R, f(x) = x2.
(d) g(x) =
√
x− 1 e f : A→ R, f(x) = 2x+ 1
x− 3 .
(e) g(x) =
1
x
e f : A→ R, f(x) = x3 − x2.
(f) g(x) =
√
x2 − 1 e f : A→ R, f(x) = x2 − 2.
12. Em cada um dos ı´tens abaixo, determine f de modo que g(f(x)) = x, para todo x ∈ Df , sendo g
dada.
(a) g(x) =
1
x
(b) g(x) =
x+ 2
x+ 1
(c) g(x) = x2, x > 0 (d) g(x) = x2 − 2x, x > 1
(e) g(x) = 2 +
3
x+ 1
(f) g(x) = x2 − 4x+ 3, x > 2.
13. Em cada um dos ı´tens abaixo determine se a func¸a˜o dada e´ injetora, sobrejetora, bijetora.
(a) f : R→ R dada por f(x) = 5x+ 1.
(b) f : R→ R dada por f(x) = x2 + 4.
(c) f : [0,∞)→ [0,∞) dada por f(x) = x2 + 4.
(d) f : [0,∞)→ [4,∞) dada por f(x) = x2 + 4.
2
14. Suponha que P (x) = a0x
n + a1x
n−1 + · · · + an−1x + an seja um polinoˆmio de grau n, com
coeficientes inteiros, isto e´, a0 6= 0, a1, a2, . . . , an sa˜o nu´meros inteiros. Seja α um nu´mero inteiro.
Prove que se α for raiz de P (x), enta˜o α sera´ um divisor do termo independente an.
15. Utilizando o exerc´ıcio anterior, determine, caso existam, as ra´ızes inteiras da equac¸a˜o:
(a) x3 + 2x2 + x− 4 = 0 (b) x3 − x2 + x+ 14 = 0
(c) 2x3 − x2 − 1 = 0 (d) x3 + 3x2 − 4x− 12 = 0.
16. Seja P (x) um polinoˆmio de grau n. Prove que
α e´ uma raiz de P (x)⇔ P (x) e´ divis´ıvel por x− α.
(Sugesta˜o: dividindo-se P (x) por x−α, obte´m-se um quociente Q(x) e um resto R, R constante,
tais que P (x) = (x− α)Q(x) +R.)
17. Fatore o polinoˆmio dado:
(a) x2 − 3x+ 2 (b) x2 − 6x+ 9
(c) x3 + 2x2 − x− 2 (d) x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2.
18. Calcule, a partir da ideia intuitiva, os seguintes limites:
(a) lim
x→1
x+ 2.
(b) lim
x→2
x2 + x
x+ 3
.
(c) lim
x→0
x2 + x
x
.
(d) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 .
(e) lim
x→−1
−x2 − 2x+ 3.
(f) lim
x→1
x4 − 2x3 + 4x2 + x− 4
x2 − 1 .
(g) lim
x→2
x4 − 16
x− 2 .
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