lista8 calculo1 2016

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082210 - Ca´lculo Diferencial e Integral 1
Oitava lista de exerc´ıcios
Prof. Rafael F. Barostichi 9 de maio de 2016
1. Da apostila do Prof. Joa˜o Sampaio(para encontrar uma co´pia da mesma, basta acessar o link
http://www.dm.ufscar.br/profs/sampaio/calculo1.html), resolva os seguintes exerc´ıcios:
Aula 18, pa´gina 167, Integrais que requerem completamento de quadrados: 1,2,9;
Integrais envolvendo func¸o˜es trigonome´tricas: 2,3,4,7,8,14,15;
Fo´rmulas de reduc¸a˜o: 1,2.
Aula 19, pa´gina 178, Substituic¸o˜es trigonome´tricas: 1,2,3,4;
Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais: 1,2,3,4,5,6,7.
Aula 20, pa´gina 191, A´reas de Regio˜es Planas: 1,2,4,5.
2. Deduza a a´rea do c´ırculo de raio r, r > 0.
(Resposta: pir2)
3. Calcule a a´rea da elipse descrita pela equac¸a˜o 9x2 + y2 ≤ 3.
(Resposta: pi).
4. Calcule
∫ pi
−pi
sennx cosmxdx, sendo m e n naturais na˜o-nulos.
5. Calcule
∫ pi
−pi
sennx senmxdx, sendo m e n naturais na˜o-nulos.
6. Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, dos seguintes
conjuntos:
(a) F = {(x, y) ∈ R2; x2 6 y 6 x};
(b) G = {(x, y) ∈ R2; 1 6 x2 + y2 6 4, y > 0}
(c) H = {(x, y) ∈ R2; 1 6 x ≤ 4, 0 6 y 6 √x}.
(Respostas: (a)
2pi
15
(b)
28pi
3
(c)
15pi
2
)
1
7. Calcule:
(a) o volume da esfera gerada pela rotac¸a˜o do semic´ırculo de raio R ao redor do eixo x.
(b) o volume do cone reto de revoluc¸a˜o de raio R e altura h.
(c) o volume do tronco de cone reto de revoluc¸a˜o de altura h e raios das bases r e R.
(Respostas: (a)
4piR3
3
(b)
piR2h
3
(c)
pih
3
(R2 + r2 +Rr))
8. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x da regia˜o sob a curva y =
√
x
de 0 ate´ 4.
(Resposta: 8pi)
9. Ache o volume de um so´lido obtido pela rotac¸a˜o do eixo x do conjunto de pares (x, y) tais que
x2 + y2 6 r2, y > 0 (r > 0).
(Resposta: 4pir3/3)
10. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o compreendida entre
o eixo y e a curva y =
2
x
,
1
2
6 x 6 2.
(Resposta: 3pi)
11. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x , do conjunto
A =
{
(x, y) ∈ R2 ; 1
x
6 y 6 x , 1 6 x 6 2
}
.
(Resposta:
11pi
6
)
12. Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y , da regia˜o compreendida entre
a para´bola y = x2 e a reta y = 2x no primeiro quadrante.
(Resposta:
8pi
3
)
13. Ache o volume de um so´lido obtido pela rotac¸a˜o do eixo y da regia˜o limitada por y = x3, y = 8 e
x = 0.
(Resposta: 96
pi
5
)
14. Calcule o comprimento da curva dada por:
(a) y = x3/2, 1 6 x 6 4.
(Resposta:
8
27
[
103/2 −
(
13
4
)3/2]
)
(b) y =
√
1− x2, 0 6 x 6
√
2
2
.
(Resposta:
pi
4
)
(c) y =
x2
2
, 0 6 x 6 1. (Resposta: 1
2
[
√
2 + ln(1 +
√
2)] )
2
15. Calcule as integrais impro´prias
(a)
∫ 3
−∞
dx
(9− x)2
(b)
∫ 0
−∞
e−xdx.
(Resposta: (a)
1
6
(b) Diverge)
16. Determine a a´rea A da regia˜o do primeiro quadrante limitado pela curva y = 2−x, o eixo x e o
eixo y.
(Resposta:
1
ln 2
)
17. Determine para que valores de p ∈ R a integral
∫ ∞
1
1
xp
dx e´ convergente.
(Resposta: A integral converge ⇔ p > 1)
18. Calcule
∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx.
(Resposta: pi)
19. Calcule
(a)
∫ 4
3/2
(
x− 3
2
)−2
dx
(b)
∫ pi/2
0
cosx√
senx
dx.
(Respostas: (a) Diverge (b) 2)
BONS ESTUDOS!!!
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