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Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 1 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Decompondo as forças no eixo y e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: y y y R F 0 : R 0 159,65 sen 20 300 sen 60 F 0 54,60 259,81 F F 314,41 N Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 2 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: x x x R F 0 : R 0 F 200 cos 60 346,14 cos 30 0 F 100 299,77 399,77 F 399,77 N Solução: Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: x x x R F 0 : R 0 141,42 cos 45 141,42 cos 45 F 0 100 100 F 0 F 100 100 200 N F 200 N Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 3 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: x x x R F 0 : R 0 F 91,9 cos 45 250 cos 30 120 sen 60 0 F 64,98 216,51 103,92 0 F 255,45 0 F 255,45 N Solução: Decompondo as forças no eixo y e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: y y y R F 0 : R 0 329,36 sen 60 100 sen 45 100 cos 70 F 0 285,23 70,71 34,20 F 0 321,74 F 0 F 321,74 N Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 4 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: x x x R F 0 : R 0 F cos 45 450 cos 65 0 190,18 0,707F 190,18 0 0,707F 190,18 F N F 268,99 N 0,707 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 5 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Considere a figura abaixo: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x B F 0 : H 0 B A A A A M 0 : 2,7 V 75 1,80 30 0,6 30 1,2 0 2,7 V 81 81 V kN V 30 kN 2,7 y A B B B B F 0 : V 75 V 30 30 0 30 75 V 30 30 0 V 105 0 V 105 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 6 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (1) Transforma-se a carga distribuída de 10 kN/m na carga concentrada Q = 40 kN. (2) Decompõe-se a força de 30 kN em suas componentes horizontal e vertical A figura mostra esta situação: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A AF 0 : H 30cos 30 0 H 25,98 0 H 25,98 kN A B B B B B M 0 : 4 V 40 30 sen 30 2 0 4V (40 15) 2 0 4V 110 110 V kN V 27,5 kN 4 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 7 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 y A B A B A A A F 0 : V 40 30 sen 30 V 0 V 40 15 V 0 V 55 27,5 0 V 27,5 0 V 27,5 kN Solução: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A F 0 : H 0 A B B B B B M 0 : 30 6 4V 60 3 20 0 4V 380 0 4V 380 380 V kN V 95 kN 4 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 8 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 y A B A B A A A F 0 : V 60 V 30 0 V 90 V 0 V 90 95 0 V 5 0 V 5 kN Solução: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A F 0 : H 0 A B B B M 0 : 3V 10 2 10 2 0 4V 20 20 0 V 0 y A B A A A F 0 : 10 40 V 10 V 0 V 60 0 0 V 60 0 V 60 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 9 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x B F 0 : H 0 B M 0 : 10 A 4V 20 90 1 10 A A A A A 0 20 90 4V 0 110 4V 0 110 4V 110 V kN V 27,50 kN 4 y A B B B A F 0 : V 90 V 0 27,5 90 V 0 V 62,5 0 V 62,5 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 10 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A F 0 : H 0 A A A A A M 0 : M 20 1 20 2 15 0 M 20 40 15 kN m M 75 kN m M 75 kN m (anti horário) y A A A F 0 : V 20 20 0 V 40 0 V 40 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 11 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A AF 0 : H 3,5 0 H 3,5 kN A B B B B B B M 0 : 3V 3,5 1,5 4,5 1,5 0 3V 5,25 6,75 0 3V 1,5 0 1,5 3V 1,5 V kN V 0,5 kN 3 y A B A A A F 0 : V 4,5 V 0 V 4,5 0,5 0 V 4 0 V 4,0 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 12 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x B F 0 : H 0 A B B B B B B M 0 : 8V 8 4 8 2,67 0 8V 32 21,36 0 8V 53,36 0 53,36 8V 53,36 V kN V 6,67 kN 8 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 13 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 y A B A A A F 0 : V 8 8 V 0 V 16 6,67 0 V 9,33 0 V 9,33 kN Solução: Considere a figura abaixo: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A F 0 : 10,0 H 0 H 10,0kN A B B B B B B M 0 : 3V 50 2 25,9 1 10 1 0 8V 100 25,9 10 0 3V 135,9 0 135,9 3V 135,9 V kN V 45,3 kN 3 y A B A A A F 0 : V 25,9 50 V 0 V 75,9 45,3 0 V 30,6 0 V 30,6 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 14 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Considere a figura abaixo: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A F 0 : 20,0 H 0 H 20,0kN A B B B B B B M 0 : 14V 2,0 7 4,0 4 2,0 6 0 14V 14 16 12 0 14V 42 0 42 14V 42 V kN V 3,0 kN 14 y A B A A A F 0 : V 4,0 2,0 V 0 V 6,0 3,0 0 V 3,0 0 V 3,0 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 15 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Analisando o lado direito da seção a-a: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x F 0 : 300 N 0 N 300 kN f M 0 : M 500 12 300 8 0 M 6000 2400 0 M 3600 0 M 3600 kN cm Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 16 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 y F 0 : Q 500 0 Q 500 kN Solução: Analisando o lado direito da seção a-a: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 17 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio: xF 0 : 450 cos 60 N 0 225 N 0 N 225 N f M 0 : M 450 cos 60 0,24 250 0,30 450 sen 60 0,30 0 M 54 75 116,91 0 M 170,91 75 0 M 95,91 0 M 95,91 N m y F 0 : Q 250 450 sen 60 0 Q 250 389,71 0 Q 139,71 Q 139,71 N Solução: (i) Cálculo das reações nos apoios Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 18 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A F 0 : H 0 A B B B B B B M 0 : 4V 32 5,5 40 2 0 4V 176 80 0 4V 256 0 256 4V 256 V kN V 64 kN 4 y A B A A A A F 0 : V 40 V 32 0 V 40 64 32 0 V 64 72 0 V 8 0 V 8 kN (ii) Esforços Solicitantes Aplicando as Equações de Equilíbrio: x F 0 : N 0 f M 0 : M 7,5 0,375 8 0,75 0 M 2,81 6 0 M 3,19 0 M 3,19 kN cm Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 19 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 y F 0 : Q 8 7,5 0 Q 0,5 0,5 kN Solução: (i) Cálculo das Reações nos Apoios Aplicando as Equações de Equilíbrio: A B B B B B B M 0 : 18 30 3 8V 0 18 90 8V 0 8V 72 0 8V 72 72 V kN V 9,0 kN 8 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 20 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 y A B A A A F 0 : V 30 V 0 V 30 9 0 V 21 0 V 21 kN (ii) Esforços Solicitantes Aplicando as Equações de Equilíbrio: x F 0 : N 0 f M 0 : M 10 1,0 21 2,0 18 0 M 10 42 18 0 M 14 0 M 14 kN cm y F 0 : Q 21 10 0 Q 11 0 Q 11 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 21 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Cálculo das Reações nos Apoios Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 22 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio: x D D F 0 : 3 5 sen 36,87 H 0 H 6,0 kN D A A A A A M 0 : 4V 3 1,5 5 sen 36,87 1,5 5 cos 36,87 2 0 8 4V 4,5 4,5 8 4V 8 V kN V 2,0 kN 4 y A D D D D F 0 : V 5 cos 36,87 V 0 2,0 4,0 V V 2,0 0 V 2,0 kN (ii) Esforços Solicitantes Observe a figura: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 23 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 A partir dela podemos escrever: N 6,0 cos 36,87 2,0 cos 53,13 0 N 4,8 1,2 0 N 3,6 0 N 3,6 kN e Q 2,0 sen 53,13 6,0 sen 36,87 2,5 0 Q 1,6 3,6 2,5 0 Q 2,7 0 Q 2,7 kN O momento fletor pode ser facilmente calculado a partir da figura: Calculando-o em relação ao ponto B, temos: M 2,5 1,25 2,0 2 6,0 1,5 0 M 3,125 4 9 0 M 8,125 0 M 8,125 kN m Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 24 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Cálculo das Reações nos Apoios Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 25 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Escrevendo as Equações de Equilíbrio: x A A A A F 0 : H 3,0 sen 20 4,0 0 H 1,026 4,0 0 H 5,026 0 H 5,026 kN A B B B B B B M 0 : 6V 4,0 5 3,0 3 3,0 sen 20 4 2,0 2 0 6V 20 9 4,104 4 0 6V 29,104 0 6V 29,104 29,104 V kN V 4,9 kN 6 y A B A A A A F 0 : V 3,0 cos 20 3,0 2,0 V 0 V 2,82 3,0 2,0 4,85 0 V 2,82 3,0 2,0 4,85 0 V 2,97 0 V 2,97 kN Assim: 2 22 2 A A A A A R V H R 2,97 5,03 KN R 5,8 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 26 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (ii) Esforços Solicitantes Aplicando as Equações de Equilíbrio na Seção S: x F 0 : 4,0 N 0 N 4,0 kN f M 0 : 4,9 4 4,0 1 3,0 1,0 M 0 19,6 7,0 M 0 12,6 M 0 M 12,6 kN m y A B A A A A F 0 : V 3,0 cos 20 3,0 2,0 V 0 V 2,82 3,0 2,0 4,85 0 V 2,82 3,0 2,0 4,85 0 V 2,97 0 V 2,97 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 27 AFONSO CARIOCA – FONE:(62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Analisando a estrutura acima da seção S Aplicando as Equações de Equilíbrio: x F 0 : 1,0 Q 0 Q 1,0 kN f M 0 : M 3,0 1,5 1,0 0,67 5,0 2,5 kN m M 4,5 0,67 12,5 kN m M 8,67 kN m Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 28 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 y F 0 : N 3,0 5,0 0 N 3,0 5,0 0 N 8,0 0 N 8,0 kN Solução: Classificação (i) estrutura isostática se 2n = b + a, onde n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 29 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Observando a figura acima, temos que: n = 3 b = 3 a = 3 Assim: 2n b a 2 3 3 3 6 6 Estrutura Isostática A treliça em questão é simples e isostática. (ii) Reações nos Apoios Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A B B B B y A B A A A F 0 : H 0 11200 M 0 : 0,7V 1,6 7000 0 0,7V 11200 V kgf 0,7 V 16.000 kgf F 0 : V V 7000 0 V 16000 7000 0 V 9000 0 V 9000 kgf Assim, temos: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 30 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (iii) Cálculo das Forças nas Barras Nó A Cálculo do ângulo θ co 1,2 12 tg artg 36,87 ca 1,6 16 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 31 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó A: x AB AC AB AC AB AC AB AC y AC AC AC AC F 0 : N N cos 0 N N cos 36,87 0 N 0,8 N 0 N 0,8 N F 0 : N sen 9000 0 N sen 36,87 9000 0 0,6 N 9000 0 0,6 N 9000 Assim, resolvendo o sistema: AB AC AC AC AC AB AC AB AB N 0,8 N 9000 0,6 N 9000 N kgf N 15.000 kgf tração 0,6 Substituindo : N 0,8 N N 0,8 15000 kgf N 12.000 kgf compressão Nó B Cálculo do ângulo co 1,2 12 tg artg 53,13 ca 0,9 9 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 32 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: x BC BC BC BC BC 12000 F 0 : N cos 12000 0 N cos 53,13 12000 N kgf cos 53,13 Assim : 12000 N kgf N 20.000 kgf compressão 0,6 Assim, resolvendo o sistema: AB AC AC AC AC AB AC AB AB N 0,8 N 9000 0,6 N 9000 N kgf N 15.000 kgf tração 0,6 Substituindo : N 0,8 N N 0,8 15000 kgf N 12.000 kgf compressão Resumo: Barra N (kgf) Efeito 1 (AC) +15.000 tração 2 (AB) -12.000 compressão 3 (BC) -20.000 compressão Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 33 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Solução: (i) Classificação estrutura isostática se 2n = b + a, onde n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio Observando a figura acima, temos que: n = 5 b = 7 a = 3 Assim: 2n b a 2 5 3 7 10 10 Estrutura Isostática A treliça em questão é simples e isostática. Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 34 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (ii) Reações nos Apoios Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A B B B B y A B A A A F 0 : H 0 6480 M 0 : 7,2V 10,8 600 0 7,2V 6480 V kgf 7,2 V 900 kgf F 0 : V V 600 0 V 900 600 0 V 300 0 V 300 kgf Assim, temos: (iii) Cálculo das Forças nas Barras Nó A Cálculo do ângulo θ Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 35 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 co 2,7 27 tg arctg 36,87 ca 3,6 36 Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó A: x AB AE AB AE AB AE AB AE y AE AE AE AE AE AE F 0 : N N cos 0 N N cos 36,87 0 N 0,8 N 0 N 0,8 N F 0 : N sen 300 0 N sen 36,87 300 0 300 0,6 N 300 0 0,6 N 300 N kgf N 500 kgf tração 0,6 Substituindo: AB AE AB AB N 0,8 N N 0,8 500 kgf N 400 kgf Nó E Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó E: x ED EB ED EB ED EB ED EB y EB EB EB F 0 : N N cos 500 cos 0 N N cos 36,87 500 cos 36,87 0 Assim : N 0,8 N 500 0,8 0 N 0,8 N 400 e F 0 : 500sen N sen 0 sen N 500 0 N 500 kgf compressão Substituindo: ED EB ED ED ED N 0,8 N 400 N 0,8 500 400 N 400 400 N 800 kgf tração Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 36 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Nó B Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: x BC BC BC BC BC y BD BD BD BD BD BD F 0 : N 400 500cos 0 N 400 500cos 36,87 0 Assim : N 400 500 0,8 0 N 400 400 0 N 800 kgf compressão e F 0 : N 900 500sen 0 N 900 500sen 36,87 0 N 900 500 0,6 0 N 900 300 0 N 600 0 N 6 00 kgf compressão Nó D Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó D: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 37 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 x DC DC DC DC DC F 0 : N cos 800 0 N cos 36,87 800 Assim : 800 0,8 N 800 N kgf N 1000 kgf tração 0,8 Resumo: Barra N (kgf) Efeito 1 (AE) + 500 tração 2 (AB) - 400 compressão 3 (EB) - 500 compressão 4 (ED) + 800 tração 5 (BD) - 600 compressão 6 (DC) + 1000 tração 7 (BC) - 800 compressão Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 38 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239Solução: (i) Classificação (i) Classificação estrutura isostática se 2n = b + a, onde n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio Observando a figura acima, temos que: n = 7 b = 11 a = 3 Assim: 2n b a 2 7 11 3 14 14 Estrutura Isostática Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 39 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 A treliça em questão é simples e isostática. (ii) Reações de Apoio Aplicando as Equações de Equilíbrio x A A A B B B y A B A A F 0 : 160 H 0 H 160 kN M 0 : 8V 160 1,5 0 8V 240 V 30 kN F 0 : V V 0 V 30 0 V 30 kN Assim, temos: (iii) Cálculo das Forças nas Barras Alguns nós de uma treliça podem estar sob condições especiais que facilitem a determinação das forças normais nas barras nele concorrentes. Estes nós notáveis têm a característica fundamental e comum entre eles o fato de que não há carga externa aplicada. O Nó G apresenta esta característica. Este nó liga três barras, sem carga externa, duas situadas sobre a mesma linha de ação e outra qualquer, ou seja, duas barras opostas e a terceira não colinear com as anteriores. Neste caso as forças nas duas barras opostas são idênticas e a força normal na outra barra é zero. Assim: NGC =NCG = 0, e aplicando as equações de equilíbrio ao nó C obtemos: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 40 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Cálculo do Ângulo co 1,5 15 tg arctg 36,87 ca 2,0 20 Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó C: x CD CG CD CGF 0 : N N cos 0 N N cos 36,87 0 CD DC y CB CG CB CG N N 0 F 0 : N N sen 0 N N sen 36,87 0 CB BC N N 0 Nó B Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó B: x BA BG BA BG BA BG y BC BG BC BG BG BG GB BA BG BA BA AB F 0 : N N cos 0 N N cos 36,87 N 0,8N F 0 : N N sen 30 0, mas N 0 : N sen 36,87 30 0,6N 30 N N 50 kN compressão Substituindo : N 0,8N N 0,8 50 kN N N 40 kN tração Nó G Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó G: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 41 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 x GC GB GD GC GB GD CG GC GC F 0 : N cos N sen N cos 0 N cos 36,87 N sen 53,13 N cos 36,87 0, mas N N 0 0,8N 0 GB GD GD GB GD DG y GC GB GD GC 0,8N 0,8N 0 N N N N 50 kN compressão F 0 : N sen N cos N sen 0 N sen 36,87 0 GB GD GB GD GD GB GD DG N cos 53,13 N sen 36,87 0 0,6N 0,6N 0 N N N N 50 kN compressão Nó D Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó D: x DC DE DF DCF 0 : N 50 cos N N c os 0 N 0 DE DF DE DF DE DF y DF DF DF DF DF FD DE DF DE 50 cos 36,87 N N c os 36,87 0 50 0,8 N 0,8N 0 N 0,8N 40 F 0 : N sen 50sen 0 N sen 36,87 50sen 36,87 0 0,6N 50 0,6 0 0,6N 30 N N 50 kN tração Substituindo : N 0,8N 40 N 0,8 DE DE ED50 40 N 40 40 80 kN N N 80 kN compressão Nó E Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó E: x ED EF EF EF EF FE y EA EF EA EF EA EA AE F 0 : N N cos 0 80 N cos 36,87 0 0,8N 80 N N 100 kN tração F 0 : N N sen 0 N N sen 36,87 N 100 0,6 kN N N 60 kN compresão Nó A Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 42 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio ao nó A: x AF AF AF AF FA y AF AF AF AF FA F 0 : 40 N cos 160 0 N cos 36,87 120 0 0,8N 120 N N 150 kN tração ou 90 F 0 : N sen 30 60 0 N sen 36,87 90 N kN N N 150 kN tração 0,6 Resumo: Barra Força (kN) Efeito 1 (AE) - 60 compressão 2 (ED) - 80 compressão 3 (EF) + 100 tração 4 (FD) + 50 tração 5 (FA) + 150 tração 6 (AB) + 40 tração 7 (DG) - 50 compressão 8 (GB) - 50 compressão 9 (DC) 0 10 (CG) 0 11 (CB) 0 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 43 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Classificação estrutura isostática se 2n = b + a, onde n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 44 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Observando a figura acima, temos que: n = 4 b = 5 a = 3 Assim: 2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática A treliça em questão é simples e isostática. (ii) Reações de Apoio Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A A B B B B y A B A A A A F 0 : H 5 5 0 H 10 kN M 0 : 2,5V 2,5 10 1,0 5 5 5 5 4,5 0 2,5V 77,5 77,5 V kN V 31 kN 2,5 F 0 : V V 10 5 0 V 31 15 0 V 31 15 V 15 31 kN V 16 kN Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 45 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Assim, temos: (iii) Cálculo das Forças nas Barras Nó A Aplicando as Equações de equilíbrio ao Nó A: Cálculo dos Ângulos e Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 46 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 co 2,5 25 tg arctg 32 ca 4,0 40 e co 1,0 10 tg arctg 21,8 ca 2,5 25 X AD AB AD AB AD AB y AD AB AD AB AD AB F 0 : N cos N sen 10 0 N cos 21,8 N sen 32 10 0,93N 0,53N 10 e F 0 : N sen N cos 16 0 N sen 21,8 N cos 32 16 0,37N 0,85N 16 Resolvendo o sistema: AD AB AD AB AD AD AB AB 0,93N 0,53N 10 0,37N 0,85N 16 10 0,53 16 0,85 8,5 8,48 N kN N 0,034 kN compressão 0,93 0,53 0,7905 0,1961 0,37 0,85 e 0,93 10 0,37 16 14,88 3,7 N kN N 18,81 kN tração 0,93 0,53 0,7905 0,1961 0,37 0,85 Nó B Rua 96 nº 285 –Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 47 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Cálculo dos Ângulos e co 2,5 25 tg arctg 32 ca 4,0 40 e co 1,0 10 tg arctg 26,6 ca 2,0 20 Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: X BC BC BC BC BC BC y BC BD BC BD BC F 0 : N cos 18,81sen 0 N cos 26,6 18,81sen 32 0 9,97 0,89N 18,81 0,53 0 0,89N 9,97 N kN N 11,2 kN tração 0,89 e F 0 : 31 N sen 18,81cos N 0 31 N sen 26,6 18,81 cos 32 N 0 31 0,45N 18,81 BD BC BD BC BD BC BD BC BD BD BD BD 0,85 N 0 31 0,45N 16,0 N 0 15 0,45N N 0 0,45N N 15 Substituindo : 0,45N N 15 0,45 11,2 N 15 5,04 N 15 N 20,04 kN tração Nó D Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó D: X DC DC DC DC DC DC F 0 : N sen 5 0,034sen 0 N sen 26,6 0,034sen 68,2 0 5,032 0,45N 5 0,034 0,93 0 0,45N 5 0,032 N kN N 11,2 kN compressão 0,45 Resumo: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 48 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Barra N (kN) Efeito 1 (AD) -0,034 compressão 2 (DC) - 11,2 compressão 3 (BC) + 11,2 tração 4 (AB) + 18,81 tração 5 (BD) +20,04 tração Solução: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 49 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (i) Classificação estrutura isostática se 2n = b + a, onde n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio Observando a figura acima, temos que: n = 4 b = 5 a = 3 Assim: 2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática A treliça em questão é simples e isostática. (ii) Reações de Apoio Escrevendo as Equações de Equilíbrio: x A A A B B B y A B A B A F 0 : H 1 0 H 1,0 kN M 0 : 1,0 5 4,0V 0 4,0V 5,0 V 1,25kN F 0 : V 2,0 V 0 V V 2,0 1,25 2,0kN V 0,75 kN Assim, temos: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 50 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (iii) Forças nas Barras Nó A Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó A: x AD AD DA y AC AC CA F 0 : N 1 0 N N 1,0 kN tração F 0 : N 0,75 0 N N 0,75 kN compressão Nó B Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó B: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 51 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 x BC BC CB y BD BD DB F 0 : N 0 N N 0 F 0 : 1,25 N 0 N N 1,25 kN tração Nó D Cálculo do Ângulo co 5 5 tg arctg 51,34 ca 4 4 Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó D: x DC DC DC DC DC CD F 0 : 1 N cos 0 1 N cos 51,34 0 N cos 51,34 1 1 N kN N N 1,6 kN compressão cos 51,34 Resumo: Barra N (kN) Efeito 1 (AD) +1,0 tração 2 (BD) +1,25 tração 3 (BC) 0 4 (CA) -0,75 compressão 5 (CD) -1,6 compressão Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 52 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Classificação estrutura isostática se 2n = b + a, onde n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio Observando a figura acima, temos que: n = 4 b = 5 a = 3 Assim: 2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática A treliça em questão é simples e isostática. Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 53 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (ii) Reações de Apoio Escrevendo as Equações de Equilíbrio: x B B B A A A y A B B B F 0 : H 0 H 0 M 0 : 150 1,5 4,5V 0 4,5V 225 V 50kN F 0 : V 150 V 0 V 50 150 100kN V 100 kN Assim, temos: (iii) Cálculo das Forças nas Barras Nó A Cálculo do Ângulo co 1,0 10 tg arctg 33,7 ca 1,5 15 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 54 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó A: x AD AC AD AC AD AC y AC AC AC AC AD AC AD AD F 0 : N N cos 0 N N cos 33,7 0 N 0,83N F 0 : N sen 50 0 N sen 33,7 50 50 N kN N 90,1 kN compressão sen 33,7 Substituindo : N 0,83N N 0,83 90,1 kN N 74,8 kN tração Nó C Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó C: x CB CD CB CD CB CD CB CD CB CD y F 0 : N N cos 90,1cos 0 N N cos 33,7 90,1cos 33,7 0 N 0,83N 90,1 0,83 0 N 0,83N 74,8 0 N 0,83N 74,8 e F 0 : 90,1sen CDN sen CD DC CB CD CB CB CB BC 0 N N 90,1 kN tração Substituindo : N 0,83N 74,8 N 0,83 90,1 74,8 N 74,8 74,8 N N 149,6 kN compressão Nó B Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 55 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó B: x BD BD BD BD BD DB y BD BD BD BD DB F 0 : 149,6 N cos 0 149,6 N cos 33,7 0 149,6 149,6 0,83N 0 N kN N N 180,2 kN tração 0,83 ou 100 F 0 : 100 N sen 0 100 N sen 33,7 0 N kN sen 33,7 Assim : N N 180,2 kN tração Resumo: Barra N (kN) Efeito 1 (AD) +74,8 tração 2 (DB) +180,2 tração 3 (BC) - 149,6 compressão 4 (AC) - 90,1 compressão 5 (BD) +90,1 tração Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 56 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Classificação estrutura isostática se 2n = b + a, onde n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio Observando a figura acima, temos que: n = 4 b = 5 a = 3 Assim: 2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática A treliçaem questão é simples e isostática. (ii) Reações nos Apoios Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A A B B B B y A B A A A F 0 : H 89 0 H 89,0 kN 239 M 0 : 3V 1 89 1 150 0 3V 239 V kN 3 V 79,67 kN F 0 : V V 150 0 V 79,67 150 0 V 70,33 0 V 70,33 kgf Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 57 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Assim, temos: (iii) Cálculo das Forças nas Barras Nó A Cálculo do Ângulo co 1,0 tg arctg 1,0 45 ca 1,0 Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó A: X AC AD AC AD AC AD y AC AC AC AC AC AC AD AD AD F 0 : N cos N 89 0 N cos 45 N 89 0,71N N 89 e F 0 : N sen 70,33 0 N sen 45 70,33 0,71N 70,33 70,33 N kN N 90,06 kN compressão 0,71 Substituindo : 0,71N N 89 0,71 99,06 N 89 N 70, AD33 89 N 159,33 kN tração Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 58 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Nó D Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó D: x DB DB y DC F 0 : N 159,33 0 N 159,33 kN tração e F 0 : N 0 Nó B Cálculo do Ângulo co 1,0 tg arctg 0,5 26,56 ca 2,0 Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: x BC BC BC BC BC F 0 : N cos 159,33 0 N cos 26,56 159,33 0 159,33 0,89N 159,33 N kN N 179,02 kN compressão 0,89 Resumo: Barra N (kN) Efeito Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 59 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 1 (AC) -90,06 compressão 2 (AD) + 159,33 tração 3 (DC) zero 4 (DB) + 159,33 tração 5 (BC) - 179,02 compressão Solução: (i) Reações de Apoio Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 60 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio: A B B B y A B A A M 0 : 3V 1,5 2 0 3V 3 V 1,0 kN e F 0 : V 2 V 0 V 2 1 0 V 1,0 kN Assim: (ii) Esforços Seccionais (ou Solicitantes) Convenções dos Sinas Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 61 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M A + 1,0 kN 0 C a Esquerda + 1,0 kN +1,5 kN.m C a Direita - 1,0 kN +1,5 kN.m B - 1,0 kN 0 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 62 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 63 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Reações de Apoio Aplicando as equações de Equilíbrio: A B B B y A B A A M 0 : 3,5V 0,5 3,0 0 3,5V 1,5 V 0,4 kN e F 0 : V 3,0 V 0 V 3,0 0,43 0 V 2,6 kN Assim: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 64 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Convenções de Sinais Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M A + 2,6 kN 0 C a Esquerda + 2,6 kN +1,5 kN.m C a Direita - 0,4 kN +1,5 kN.m B - 0,4 kN 0 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 65 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Solução: (i) Reações de Apoio Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 66 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as equações de Equilíbrio: A B B B y A B A A M 0 : 2,0V 2,0 0 2,0V 2,0 V 1,0kN e F 0 : V V 0 V 1,0 0 V 1,0 kN Assim, temos: (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Convenções de Sinais Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 67 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M A - 1,0 kN 0 C a Esquerda - 1,0 kN -1,0 kN.m C a Direita - 1,0 kN +1,0 kN.m B - 1,0 kN 0 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 68 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Reações de Apoio Em primeiro lugar, transforma-se a carga distribuída em carga concentrada; como mostra a figura abaixo: Q p L Q 1,00 2,00 kN Q 2,00 kN Aplicando as Equações de Equilíbrio à Estrutura: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 69 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 A B B B y A B A A M 0 : 2,0V 2,0 1,0 0 2,0V 2,0 V 1,0kN e F 0 : V V 2 0 V 1,0 2,0 0 V 1,0 kN Assim, temos: (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Convenções dos Sinais Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 70 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 A C B A C C B Esforço Cor tan te : Q 1,0 kN Q 1,0 1,0 0 Q 1,0 kN Momento Fletor : M 0 M 1,0 1,0 1,0 0,5 kN m M 0,5 kN m M 0 Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M A + 1,0 kN 0 C zero +0,5 kN.m B - 1,0 kN 0 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 71 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 72AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Reações no Apoio (Engaste) Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A A A y A A F 0 : H 0 M 0 : M 2,0 2,0 0 M 4,0 kN m e F 0 : V 2 0 V 2,0 kN Assim, temos: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 73 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Convenções dos Sinais Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M A + 2,0 kN -4,0 kN.m B + 2,0 kN 0 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 74 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 75 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Reações de Apoio Transforma-se a carga distribuída em carga concentrada, localizando-a e aplicam-se as Equações de Equilíbrio: Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A A A y A A F 0 : H 0 M 0 : M 4,0 1,0 0 M 4,0 kN m e F 0 : V 4,0 0 V 4,0 kN (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 76 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Convenção dos Sinais Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M A + 4,0 kN -4,0 kN.m B 0 0 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 77 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Reações nos Apoios Transforma-se a carga distribuída em carga concentrada e aplicam-se as Equações de Equilíbrio: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 78 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 x G G G A A A A y A G A F 0 : 30 20 H 0 H 10 kN M 0 : 3V 30 3 30 4 90 1,5 20 5 0 3V 90 120 135 100 0 3V 265 V 88,3 kN e F 0 : V 30 90 V 0 88,3 120 0 V 31,7 kN Assim, temos: (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante), N (Esforço Normal) e M (Momento Fletor) Convenção dos Sinais Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 79 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M A 0 -88,3 kN 0 B -30 kN -88,3 kN +60 kN.m C -30 kN 0 0 D +58,3 kN -30 kN +90 kN.m E -31,7 kN -30 kN +50 kN.m F +10 kN -31,7 kN + 50 kN.m G + 10 kN -31,7 kN 0 H a Esquerda 0 - 88,3 kN 0 H a Direita -30 kN - 88,3 kN 0 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 80 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 81 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 82 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Reações nos Apoios Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 83 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio à estrutura: x A A G E E E E y A E A A F 0 : 2,0 H 0 H 2,0 kN M 0 : 6V 4,0 3 2,0 4 0 6V 12 8 0 6V 20 V 3,3 kN e F 0 : V 4,0 V 0 V 4,0 3,3 0 V 0,7 kN Assim, temos: (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante), N (Esforço Normal) e M (Momento Fletor) Convenções dos Sinais Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 84 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M A + 2,0 kN - 0,7 kN 0 B + 2,0 kN - 0,7 kN +8,0 kN.m B’ + 0,7 kN 0 + 8,0 kN.m C à Esquerda + 0,7 kN 0 + 10,0 kN.m C à Direita - 3,3 kN 0 + 10,0 kN.m D - 3,3 kN 0 0 D’ 0 - 3,3 kN 0 E 0 - 3,3 kN 0 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 85 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 86 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: (i) Reações no Apoio Transformando as cargas distribuídas em cargas concentradas e localizando-as: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 87 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A A A A A y A A F 0 : 4,5 H 0 H 4,5 kN M 0 : M 4,5 1,5 5,0 2,5 3,0 1,5 0 M 14,75 0 M 14,8kN m e F 0 : V 3,0 5,0 0 V 8,0 kN Assim, temos: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 88 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M A + 4,5kN - 8,0 kN +14,8 kN.m B -3,0 kN - 8,0 kN +8,0 kN C 0 0 0 D +5,0 kN 0 +12,5 kN E 0 0 0 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 89 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 90 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 91 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução:(i) Reações de Apoio Aplicando as Equações de Equilíbrio: x A A A A A y A F 0 : H 3,0 0 H 3,0 kN M 0 : M 4,0 3,0 1,5 0 M 8,5 kN m e F 0 : V 0 Assim, temos: (ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 92 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M A 0 -3,0 kN -8,5,0 kN.m B Esquerda 0 -3,0 kN -8,5 kN.m B Direita 0 -3,0 kN -4,5 kN.m C +3,0 kN -3,0 kN -4,5 kN.m D 0 0 0 (iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 93 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Decompondo a estrutura: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 94 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Assim, temos: Figura Área (cm²) el x (cm) el y cm) x el S A x (cm³) y el S A y (cm³) 9 1,5 -1,5 13,5 -13,5 -7,0686 1,7268 -1,7268 -12,21 12,21 6 1 1,333 6 8 12,566 - 1,6976 1,6976 -21,33 21,33 Soma 20,4974 -14,04 28,04 Temos que: 3 3 x y x G G G y G G G S 14,04 cm e S 28,04 cm Assim : S 14,04 x x cm x 0,685 cm A 20,4974 e S 28,04 y y cm y 1,368 cm A 10,9314 2 el el 4r r x y A 3 4 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 95 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Assim: el el el el el el 2 2 2 2 4r 4 3 x y x y cm x y 1,2732 cm 3 3 e r 3 A A cm A 7,0686 cm 4 4 e el el el el el el 2 2 2 2 4r 4 4 x y x y cm x y 1,6976 cm 3 3 e r 4 A A cm A 12,566 cm 4 4 Solução: Decompondo a estrutura: Assim, temos: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 96 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Figura Área (cm²) el x (cm) el y cm) x el S A x (cm³) y el S A y (cm³) 9 -1,5 1,5 - 13,5 13,5 9 2,0 1,0 18 1500 -7,0686 -1,7268 1,2732 12,21 -9,0 Soma 10,9314 16,71 13,5 Temos que: 3 3 x y x G G G y G G G S 16,71 cm e S 13,5 cm Assim : S 16,71 x x cm x 1,53 cm A 10,9314 e S 13,5 y y cm y 1,23 cm A 10,9314 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 97 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Solução: Decompondo a estrutura dada: Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 98 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 Assim, temos: Figura Área (cm²) el (cm) el cm) el S A (cm³) el S A (cm³) I 400 20 -5 8000 -2000 II 300 20,667 5 8000 1500 II 225 43,333 15 9750 3375 Soma 925 25750 2875 Temos que: 3 3 G G G G G G S 25.750 cm e S 2.875 cm Assim : S 25750 cm 27,838 cm A 925 e S 2875 cm 3,1081 cm A 925
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