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ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS APOSTILA DE EEXRERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
1 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
Decompondo as forças no eixo y e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: 
   
y y
y
R F 0 :
R 0 159,65 sen 20 300 sen 60 F 0
54,60 259,81 F F 314,41 N
 
        
   

 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
2 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Solução: 
Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: 
   
x x
x
R F 0 :
R 0 F 200 cos 60 346,14 cos 30 0
F 100 299,77 399,77 F 399,77 N
 
       
    

 
 
Solução: 
Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: 
   
x x
x
R F 0 :
R 0 141,42 cos 45 141,42 cos 45 F 0
100 100 F 0 F 100 100 200 N F 200 N
 
      
        

 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
3 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Solução: 
Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: 
     
x x
x
R F 0 :
R 0 F 91,9 cos 45 250 cos 30 120 sen 60 0
F 64,98 216,51 103,92 0 F 255,45 0 F 255,45 N
 
           
        

 
 
Solução: 
Decompondo as forças no eixo y e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: 
     
y y
y
R F 0 :
R 0 329,36 sen 60 100 sen 45 100 cos 70 F 0
285,23 70,71 34,20 F 0 321,74 F 0 F 321,74 N
 
           
        

 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
4 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
Decompondo as forças no eixo x e impondo a condição de equilíbrio, obtemos: 
   
x x
x
R F 0 :
R 0 F cos 45 450 cos 65 0
190,18
0,707F 190,18 0 0,707F 190,18 F N F 268,99 N
0,707
 
       
       

 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
5 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
Considere a figura abaixo: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x B
F 0 : H 0 
 
 
B
A A
A A
M 0 :
2,7 V 75 1,80 30 0,6 30 1,2 0 2,7 V 81
81
V kN V 30 kN
2,7

          
   

 
 
y
A B B
B B
F 0 :
V 75 V 30 30 0 30 75 V 30 30 0
V 105 0 V 105 kN

          
    

 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
6 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
Solução: 
(1) Transforma-se a carga distribuída de 10 kN/m na carga concentrada Q = 40 kN. 
(2) Decompõe-se a força de 30 kN em suas componentes horizontal e vertical 
A figura mostra esta situação: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
   x A A AF 0 : H 30cos 30 0 H 25,98 0 H 25,98 kN         
 
 
 
A
B B B
B B
M 0 :
4 V 40 30 sen 30 2 0 4V (40 15) 2 0 4V 110
110
V kN V 27,5 kN
4

               
   

 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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7 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
y
A B A B A
A A
F 0 :
V 40 30 sen 30 V 0 V 40 15 V 0 V 55 27,5 0
V 27,5 0 V 27,5 kN

              
    

 
 
Solução: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x A
F 0 : H 0 
 
 
A
B B B
B B
M 0 :
30 6 4V 60 3 20 0 4V 380 0 4V 380
380
V kN V 95 kN
4

           
   

 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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8 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
y
A B A B A
A A
F 0 :
V 60 V 30 0 V 90 V 0 V 90 95 0
V 5 0 V 5 kN

           
     

 
 
Solução: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x A
F 0 : H 0 
 
A
B B B
M 0 :
3V 10 2 10 2 0 4V 20 20 0 V 0

          
 
 
y
A B A A A
F 0 :
10 40 V 10 V 0 V 60 0 0 V 60 0 V 60 kN

               
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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9 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x B
F 0 : H 0 
 
B
M 0 :
10

A
4V 20 90 1 10    
 
A A
A A A
0 20 90 4V 0 110 4V 0
110
4V 110 V kN V 27,50 kN
4
       
     
 
 
y
A B B B A
F 0 :
V 90 V 0 27,5 90 V 0 V 62,5 0 V 62,5 kN

            
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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10 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x A
F 0 : H 0 
 
A
A A A
A
M 0 :
M 20 1 20 2 15 0 M 20 40 15 kN m M 75 kN m
M 75 kN m (anti horário)

                
   

 
 
y
A A A
F 0 :
V 20 20 0 V 40 0 V 40 kN

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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11 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
Solução: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 x A AF 0 : H 3,5 0 H 3,5 kN      
 
 
A
B B B
B B B
M 0 :
3V 3,5 1,5 4,5 1,5 0 3V 5,25 6,75 0 3V 1,5 0
1,5
3V 1,5 V kN V 0,5 kN
3

           
     

 
 
y
A B A A A
F 0 :
V 4,5 V 0 V 4,5 0,5 0 V 4 0 V 4,0 kN

            
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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12 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x B
F 0 : H 0 
 
 
A
B B B
B B B
M 0 :
8V 8 4 8 2,67 0 8V 32 21,36 0 8V 53,36 0
53,36
8V 53,36 V kN V 6,67 kN
8

           
     

 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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13 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
y
A B A A A
F 0 :
V 8 8 V 0 V 16 6,67 0 V 9,33 0 V 9,33 kN

             
 
 
Solução: 
Considere a figura abaixo: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x A A
F 0 : 10,0 H 0 H 10,0kN    
 
 
A
B B B
B B B
M 0 :
3V 50 2 25,9 1 10 1 0 8V 100 25,9 10 0 3V 135,9 0
135,9
3V 135,9 V kN V 45,3 kN
3

              
     
 
y
A B A A A
F 0 :
V 25,9 50 V 0 V 75,9 45,3 0 V 30,6 0 V 30,6 kN

             

 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
14 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
Considere a figura abaixo: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x A A
F 0 : 20,0 H 0 H 20,0kN    
 
 
A
B B B
B B B
M 0 :
14V 2,0 7 4,0 4 2,0 6 0 14V 14 16 12 0 14V 42 0
42
14V 42 V kN V 3,0 kN
14

              
     

 
 
y
A B A A A
F 0 :
V 4,0 2,0 V 0 V 6,0 3,0 0 V 3,0 0 V 3,0 kN

             

 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
15 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
Analisando o lado direito da seção a-a: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x
F 0 : 300 N 0 N 300 kN    
 
f
M 0 :
M 500 12 300 8 0 M 6000 2400 0 M 3600 0 M 3600 kN cm

               

 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
16 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
y
F 0 :
Q 500 0 Q 500 kN

    
 
 
 
Solução: 
Analisando o lado direito da seção a-a: 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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17 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 xF 0 : 450 cos 60 N 0 225 N 0 N 225 N         
 
   
f
M 0 :
M 450 cos 60 0,24 250 0,30 450 sen 60 0,30 0
M 54 75 116,91 0 M 170,91 75 0 M 95,91 0 M 95,91 N m

          
              

 
 
y
F 0 :
Q 250 450 sen 60 0 Q 250 389,71 0 Q 139,71 Q 139,71 N

             

 
 
Solução: 
(i) Cálculo das reações nos apoios 
 
 
 
 
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18 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x A
F 0 : H 0 
 
 
A
B B B
B B B
M 0 :
4V 32 5,5 40 2 0 4V 176 80 0 4V 256 0
256
4V 256 V kN V 64 kN
4

           
     

 
 
y
A B A A A A
F 0 :
V 40 V 32 0 V 40 64 32 0 V 64 72 0 V 8 0 V 8 kN

                  

 
(ii) Esforços Solicitantes 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x
F 0 : N 0 
 
f
M 0 :
M 7,5 0,375 8 0,75 0 M 2,81 6 0 M 3,19 0 M 3,19 kN cm

               

 
 
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19 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
y
F 0 :
Q 8 7,5 0 Q 0,5 0,5 kN

     
 
 
 
Solução: 
(i) Cálculo das Reações nos Apoios 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
A
B B B B
B B
M 0 :
18 30 3 8V 0 18 90 8V 0 8V 72 0 8V 72
72
V kN V 9,0 kN
8

            
   

 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
20 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
y
A B A A A
F 0 :
V 30 V 0 V 30 9 0 V 21 0 V 21 kN

            

 
(ii) Esforços Solicitantes 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x
F 0 : N 0 
 
f
M 0 :
M 10 1,0 21 2,0 18 0 M 10 42 18 0 M 14 0 M 14 kN cm

                 

 
y
F 0 :
Q 21 10 0 Q 11 0 Q 11 kN

        
 
 
 
 
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21 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
(i) Cálculo das Reações nos Apoios 
 
 
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Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
   
x
D D
F 0 :
3 5 sen 36,87 H 0 H 6,0 kN

       

 
   
 
D
A
A A A A
M 0 :
4V 3 1,5 5 sen 36,87 1,5 5 cos 36,87 2 0
8
4V 4,5 4,5 8 4V 8 V kN V 2,0 kN
4

           
         

 
   
y
A D D D D
F 0 :
V 5 cos 36,87 V 0 2,0 4,0 V V 2,0 0 V 2,0 kN

             

 
(ii) Esforços Solicitantes 
 
Observe a figura: 
 
 
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A partir dela podemos escrever: 
   N 6,0 cos 36,87 2,0 cos 53,13 0
N 4,8 1,2 0 N 3,6 0 N 3,6 kN
     
        
 
e 
   Q 2,0 sen 53,13 6,0 sen 36,87 2,5 0
Q 1,6 3,6 2,5 0 Q 2,7 0 Q 2,7 kN
       
         
 
O momento fletor pode ser facilmente calculado a partir da figura: 
 
Calculando-o em relação ao ponto B, temos: 
M 2,5 1,25 2,0 2 6,0 1,5 0 M 3,125 4 9 0
M 8,125 0 M 8,125 kN m
           
     
 
 
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Solução: 
(i) Cálculo das Reações nos Apoios 
 
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Escrevendo as Equações de Equilíbrio: 
   
x
A A A A
F 0 :
H 3,0 sen 20 4,0 0 H 1,026 4,0 0 H 5,026 0 H 5,026 kN

               

 
 
 
A
B
B B B
B B
M 0 :
6V 4,0 5 3,0 3 3,0 sen 20 4 2,0 2 0
6V 20 9 4,104 4 0 6V 29,104 0 6V 29,104
29,104
V kN V 4,9 kN
6

          
         
   

 
 
 
y
A B A
A A A
F 0 :
V 3,0 cos 20 3,0 2,0 V 0 V 2,82 3,0 2,0 4,85 0
V 2,82 3,0 2,0 4,85 0 V 2,97 0 V 2,97 kN

            
          

 
Assim: 
     
2 22 2
A A A A A
R V H R 2,97 5,03 KN R 5,8 kN      
 
 
 
 
 
 
 
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(ii) Esforços Solicitantes 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio na Seção S: 
x
F 0 :
4,0 N 0 N 4,0 kN

   

 
f
M 0 :
4,9 4 4,0 1 3,0 1,0 M 0 19,6 7,0 M 0 12,6 M 0 M 12,6 kN m

                

 
 
 
y
A B A
A A A
F 0 :
V 3,0 cos 20 3,0 2,0 V 0 V 2,82 3,0 2,0 4,85 0
V 2,82 3,0 2,0 4,85 0 V 2,97 0 V 2,97 kN

            
          

 
 
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Solução: 
Analisando a estrutura acima da seção S 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
x
F 0 : 1,0 Q 0 Q 1,0 kN     
 
f
M 0 :
M 3,0 1,5 1,0 0,67 5,0 2,5 kN m M 4,5 0,67 12,5 kN m M 8,67 kN m

               

 
 
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y
F 0 :
N 3,0 5,0 0 N 3,0 5,0 0 N 8,0 0 N 8,0 kN

             

 
 
 
Solução: 
Classificação 
(i) estrutura isostática se 2n = b + a, onde 
 
n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio 
 
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Observando a figura acima, temos que: 
n = 3 b = 3 a = 3 
Assim: 
2n b a 2 3 3 3 6 6 Estrutura Isostática        
 
A treliça em questão é simples e isostática. 
(ii) Reações nos Apoios 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
 
x A
A B B B
B
y A B A A
A
F 0 : H 0
11200
M 0 : 0,7V 1,6 7000 0 0,7V 11200 V kgf
0,7
V 16.000 kgf
F 0 : V V 7000 0 V 16000 7000 0 V 9000 0
V 9000 kgf
 
       
  
          
   



 
Assim, temos: 
 
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(iii) Cálculo das Forças nas Barras 
 Nó A 
 
Cálculo do ângulo θ 
 
co 1,2 12
tg artg 36,87
ca 1,6 16
 
          
 
 
 
 
 
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Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó A:    
   
x AB AC AB AC
AB AC AB AC
y AC AC
AC AC
F 0 : N N cos 0 N N cos 36,87 0
N 0,8 N 0 N 0,8 N
F 0 : N sen 9000 0 N sen 36,87 9000 0
0,6 N 9000 0 0,6 N 9000
       
      
         
     


 
Assim, resolvendo o sistema: 
 
 
AB AC
AC AC AC
AB AC AB AB
N 0,8 N
9000
0,6 N 9000 N kgf N 15.000 kgf tração
0,6
Substituindo :
N 0,8 N N 0,8 15000 kgf N 12.000 kgf compressão
  


     

         
 
 Nó B 
 
Cálculo do ângulo 

 
 
co 1,2 12
tg artg 53,13
ca 0,9 9
 
          
 
 
 
 
 
 
 
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Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: 
   
 
 
x BC BC BC
BC BC
12000
F 0 : N cos 12000 0 N cos 53,13 12000 N kgf
cos 53,13
Assim :
12000
N kgf N 20.000 kgf compressão
0,6
          

    

 
Assim, resolvendo o sistema: 
 
 
AB AC
AC AC AC
AB AC AB AB
N 0,8 N
9000
0,6 N 9000 N kgf N 15.000 kgf tração
0,6
Substituindo :
N 0,8 N N 0,8 15000 kgf N 12.000 kgf compressão
  


     

         
 
Resumo: 
Barra N (kgf) Efeito 
1 (AC) +15.000 tração 
2 (AB) -12.000 compressão 
3 (BC) -20.000 compressão 
 
 
 
 
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Solução: 
Solução: 
(i) Classificação 
estrutura isostática se 2n = b + a, onde 
 
n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio 
 
 
 
Observando a figura acima, temos que: 
n = 5 b = 7 a = 3 
Assim: 
2n b a 2 5 3 7 10 10 Estrutura Isostática        
 
A treliça em questão é simples e isostática. 
 
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(ii) Reações nos Apoios 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
 
x A
A B B B
B
y A B A A
A
F 0 : H 0
6480
M 0 : 7,2V 10,8 600 0 7,2V 6480 V kgf
7,2
V 900 kgf
F 0 : V V 600 0 V 900 600 0 V 300 0
V 300 kgf
 
       
  
          
   



 
Assim, temos: 
 
(iii) Cálculo das Forças nas Barras 
 Nó A 
 
 
 
Cálculo do ângulo θ 
 
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 
co 2,7 27
tg arctg 36,87
ca 3,6 36
 
          
 
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó A: 
   
   
 
x AB AE AB AE
AB AE AB AE
y AE AE
AE AE AE AE
F 0 : N N cos 0 N N cos 36,87 0
N 0,8 N 0 N 0,8 N
F 0 : N sen 300 0 N sen 36,87 300 0
300
0,6 N 300 0 0,6 N 300 N kgf N 500 kgf tração
0,6
       
      
         
          


 
Substituindo: 
AB AE AB AB
N 0,8 N N 0,8 500 kgf N 400 kgf         
 
 
 Nó E 
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó E: 
       
     
 
x ED EB ED EB
ED EB ED EB
y EB
EB EB
F 0 : N N cos 500 cos 0 N N cos 36,87 500 cos 36,87 0
Assim :
N 0,8 N 500 0,8 0 N 0,8 N 400
e
F 0 : 500sen N sen 0 sen
N 500 0 N 500 kgf compressão
           
        
          
    

 
Substituindo: 
 
 
ED EB ED
ED ED
N 0,8 N 400 N 0,8 500 400
N 400 400 N 800 kgf tração
       
    
 
 
 
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36 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 Nó B 
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: 
   
 
   
x BC BC
BC BC BC
y BD BD
BD BD BD BD
F 0 : N 400 500cos 0 N 400 500cos 36,87 0
Assim :
N 400 500 0,8 0 N 400 400 0 N 800 kgf compressão
e
F 0 : N 900 500sen 0 N 900 500sen 36,87 0
N 900 500 0,6 0 N 900 300 0 N 600 0 N 6
         
          
         
             


 00 kgf compressão
 
 Nó D 
 
 
 
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó D: 
 
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37 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
   
 
x DC DC
DC DC DC
F 0 : N cos 800 0 N cos 36,87 800
Assim :
800
0,8 N 800 N kgf N 1000 kgf tração
0,8
      
      

 
Resumo: 
Barra N (kgf) Efeito 
1 (AE) + 500 tração 
2 (AB) - 400 compressão 
3 (EB) - 500 compressão 
4 (ED) + 800 tração 
5 (BD) - 600 compressão 
6 (DC) + 1000 tração 
7 (BC) - 800 compressão 
 
 
 
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38 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239Solução: 
(i) Classificação 
(i) Classificação 
estrutura isostática se 2n = b + a, onde 
 
n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio 
 
Observando a figura acima, temos que: 
n = 7 b = 11 a = 3 
Assim: 
2n b a 2 7 11 3 14 14 Estrutura Isostática        
 
 
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39 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
A treliça em questão é simples e isostática. 
(ii) Reações de Apoio 
Aplicando as Equações de Equilíbrio 
 
 
 
x A A
A B B B
y A B A A
F 0 : 160 H 0 H 160 kN
M 0 : 8V 160 1,5 0 8V 240 V 30 kN
F 0 : V V 0 V 30 0 V 30 kN
     
        
         



 
Assim, temos: 
 
(iii) Cálculo das Forças nas Barras 
Alguns nós de uma treliça podem estar sob condições especiais que facilitem a determinação das forças normais 
nas barras nele concorrentes. Estes nós notáveis têm a característica fundamental e comum entre eles o fato de 
que não há carga externa aplicada. 
O Nó G apresenta esta característica. Este nó liga três barras, sem carga externa, duas situadas sobre a mesma 
linha de ação e outra qualquer, ou seja, duas barras opostas e a terceira não colinear com as anteriores. Neste 
caso as forças nas duas barras opostas são idênticas e a força normal na outra barra é zero. Assim: 
NGC =NCG = 0, e aplicando as equações de equilíbrio ao nó C obtemos: 
 
 
 
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40 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Cálculo do Ângulo 

 
 
co 1,5 15
tg arctg 36,87
ca 2,0 20
 
          
 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó C: 
   x CD CG CD CGF 0 : N N cos 0 N N cos 36,87        
   
0
CD DC
y CB CG CB CG
N N 0
F 0 : N N sen 0 N N sen 36,87
  
        
0
CB BC
N N 0  
 
 Nó B 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó B: 
   
 
   
   
x BA BG BA BG BA BG
y BC BG BC
BG BG BG GB
BA BG BA BA AB
F 0 : N N cos 0 N N cos 36,87 N 0,8N
F 0 : N N sen 30 0, mas N 0 :
N sen 36,87 30 0,6N 30 N N 50 kN compressão
Substituindo :
N 0,8N N 0,8 50 kN N N 40 kN tração
           
     
         
          


 
 Nó G 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó G: 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
41 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
           x GC GB GD GC GB GD CG GC
GC
F 0 : N cos N sen N cos 0 N cos 36,87 N sen 53,13 N cos 36,87 0, mas N N 0
0,8N
               
 
       
0
GB GD GD GB GD DG
y GC GB GD GC
0,8N 0,8N 0 N N N N 50 kN compressão
F 0 : N sen N cos N sen 0 N sen 36,87
        
            
 
0
GB GD
GB GD GD GB GD DG
N cos 53,13 N sen 36,87 0
0,6N 0,6N 0 N N N N 50 kN compressão
    
        
 
 Nó D 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó D: 
   x DC DE DF DCF 0 : N 50 cos N N c os 0 N           
       
 
0
DE DF
DE DF DE DF
y DF DF
DF DF DF FD
DE DF DE
50 cos 36,87 N N c os 36,87 0
50 0,8 N 0,8N 0 N 0,8N 40
F 0 : N sen 50sen 0 N sen 36,87 50sen 36,87 0
0,6N 50 0,6 0 0,6N 30 N N 50 kN tração
Substituindo :
N 0,8N 40 N 0,8
     
        
           
         
     

   DE DE ED50 40 N 40 40 80 kN N N 80 kN compressão           
 
 Nó E 
 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó E: 
     
     
x ED EF EF EF EF FE
y EA EF EA EF EA EA AE
F 0 : N N cos 0 80 N cos 36,87 0 0,8N 80 N N 100 kN tração
F 0 : N N sen 0 N N sen 36,87 N 100 0,6 kN N N 60 kN compresão
              
                


 
 Nó A 
 
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42 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao nó A: 
     
     
x AF AF AF AF FA
y AF AF AF AF FA
F 0 : 40 N cos 160 0 N cos 36,87 120 0 0,8N 120 N N 150 kN tração
ou
90
F 0 : N sen 30 60 0 N sen 36,87 90 N kN N N 150 kN tração
0,6
              
             


 
Resumo: 
Barra Força 
(kN) 
Efeito 
1 (AE) - 60 compressão 
2 (ED) - 80 compressão 
3 (EF) + 100 tração 
4 (FD) + 50 tração 
5 (FA) + 150 tração 
6 (AB) + 40 tração 
7 (DG) - 50 compressão 
8 (GB) - 50 compressão 
9 (DC) 0 
10 (CG) 0 
11 (CB) 0 
 
 
 
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Solução: 
(i) Classificação 
estrutura isostática se 2n = b + a, onde 
 
n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio 
 
 
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Observando a figura acima, temos que: 
n = 4 b = 5 a = 3 
Assim: 
2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática        
 
A treliça em questão é simples e isostática. 
(ii) Reações de Apoio 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
 
 
 
x A A
A B B
B B
y A B A A
A A
F 0 : H 5 5 0 H 10 kN
M 0 : 2,5V 2,5 10 1,0 5 5 5 5 4,5 0 2,5V 77,5
77,5
V kN V 31 kN
2,5
F 0 : V V 10 5 0 V 31 15 0 V 31 15
V 15 31 kN V 16 kN
       
             

    
            
     



 
 
 
 
 
 
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Assim, temos: 
 
 
(iii) Cálculo das Forças nas Barras 
 Nó A 
 
Aplicando as Equações de equilíbrio ao Nó A: 
Cálculo dos Ângulos 
e 
 
 
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 
 
co 2,5 25
tg arctg 32
ca 4,0 40
e
co 1,0 10
tg arctg 21,8
ca 2,5 25
 
          
 
 
          
 
 
       
       
X AD AB AD AB
AD AB
y AD AB AD AB
AD AB
F 0 : N cos N sen 10 0 N cos 21,8 N sen 32 10
0,93N 0,53N 10
e
F 0 : N sen N cos 16 0 N sen 21,8 N cos 32 16
0,37N 0,85N 16
          
 
          
 

 
Resolvendo o sistema: 
 
 
AD AB
AD AB
AD AD
AB AB
0,93N 0,53N 10
0,37N 0,85N 16
10 0,53
16 0,85 8,5 8,48
N kN N 0,034 kN compressão
0,93 0,53 0,7905 0,1961
0,37 0,85
e
0,93 10
0,37 16 14,88 3,7
N kN N 18,81 kN tração
0,93 0,53 0,7905 0,1961
0,37 0,85
 

 

    


    

 
 Nó B 
 
 
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Cálculo dos Ângulos 
e 
 
 
 
co 2,5 25
tg arctg 32
ca 4,0 40
e
co 1,0 10
tg arctg 26,6
ca 2,0 20
 
          
 
 
          
 
 
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: 
       
 
   
   
X BC BC
BC BC BC BC
y BC BD
BC BD BC
F 0 : N cos 18,81sen 0 N cos 26,6 18,81sen 32 0
9,97
0,89N 18,81 0,53 0 0,89N 9,97 N kN N 11,2 kN tração
0,89
e
F 0 : 31 N sen 18,81cos N 0
31 N sen 26,6 18,81 cos 32 N 0 31 0,45N 18,81
         
         
      
         


 
BD
BC BD BC BD BC BD
BC BD BD BD BD
0,85 N 0
31 0,45N 16,0 N 0 15 0,45N N 0 0,45N N 15
Substituindo :
0,45N N 15 0,45 11,2 N 15 5,04 N 15 N 20,04 kN tração
  
           
              
 
 Nó D 
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó D: 
       
 
X DC DC
DC DC DC DC
F 0 : N sen 5 0,034sen 0 N sen 26,6 0,034sen 68,2 0
5,032
0,45N 5 0,034 0,93 0 0,45N 5 0,032 N kN N 11,2 kN compressão
0,45
          

             

 
 
Resumo: 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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48 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Barra N (kN) Efeito 
1 (AD) -0,034 compressão 
2 (DC) - 11,2 compressão 
3 (BC) + 11,2 tração 
4 (AB) + 18,81 tração 
5 (BD) +20,04 tração 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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49 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
(i) Classificação 
estrutura isostática se 2n = b + a, onde 
 
n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio 
 
 
Observando a figura acima, temos que: 
n = 4 b = 5 a = 3 
Assim: 
2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática        
 
A treliça em questão é simples e isostática. 
(ii) Reações de Apoio 
Escrevendo as Equações de Equilíbrio: 
 
 
 
x A A
A B B B
y A B A B A
F 0 : H 1 0 H 1,0 kN
M 0 : 1,0 5 4,0V 0 4,0V 5,0 V 1,25kN
F 0 : V 2,0 V 0 V V 2,0 1,25 2,0kN V 0,75 kN
      
           
             



 
 
 
Assim, temos: 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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(iii) Forças nas Barras 
 Nó A 
 
Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó A: 
 
 
x AD AD DA
y AC AC CA
F 0 : N 1 0 N N 1,0 kN tração
F 0 : N 0,75 0 N N 0,75 kN compressão
      
      


 
 Nó B 
 
Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó B: 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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51 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
x BC BC CB
y BD BD DB
F 0 : N 0 N N 0
F 0 : 1,25 N 0 N N 1,25 kN tração
     
      


 
 Nó D 
 
Cálculo do Ângulo 

 
 
co 5 5
tg arctg 51,34
ca 4 4
 
          
 
 
Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó D: 
     
 
 
x DC DC DC
DC DC CD
F 0 : 1 N cos 0 1 N cos 51,34 0 N cos 51,34 1
1
N kN N N 1,6 kN compressão
cos 51,34
             

    


 
Resumo: 
Barra N (kN) Efeito 
1 (AD) +1,0 tração 
2 (BD) +1,25 tração 
3 (BC) 0 
4 (CA) -0,75 compressão 
5 (CD) -1,6 compressão 
 
 
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52 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
(i) Classificação 
estrutura isostática se 2n = b + a, onde 
 
n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio 
 
 
Observando a figura acima, temos que: 
n = 4 b = 5 a = 3 
Assim: 
2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática        
 
A treliça em questão é simples e isostática. 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
53 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
(ii) Reações de Apoio 
Escrevendo as Equações de Equilíbrio: 
 
 
x B B
B A A A
y A B B B
F 0 : H 0 H 0
M 0 : 150 1,5 4,5V 0 4,5V 225 V 50kN
F 0 : V 150 V 0 V 50 150 100kN V 100 kN
    
        
            



 
Assim, temos: 
 
 
(iii) Cálculo das Forças nas Barras 
 Nó A 
 
Cálculo do Ângulo 

 
 
co 1,0 10
tg arctg 33,7
ca 1,5 15
 
          
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
54 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó A: 
   
   
 
 
   
x AD AC AD AC AD AC
y AC AC
AC AC
AD AC AD AD
F 0 : N N cos 0 N N cos 33,7 0 N 0,83N
F 0 : N sen 50 0 N sen 33,7 50
50
N kN N 90,1 kN compressão
sen 33,7
Substituindo :
N 0,83N N 0,83 90,1 kN N 74,8 kN tração
          
       

   

         


 
 
 Nó C 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó C: 
       
 
x CB CD CB CD
CB CD CB CD CB CD
y
F 0 : N N cos 90,1cos 0 N N cos 33,7 90,1cos 33,7 0
N 0,83N 90,1 0,83 0 N 0,83N 74,8 0 N 0,83N 74,8
e
F 0 : 90,1sen
           
           
 

  CDN sen   
 
CD DC
CB CD CB CB CB BC
0 N N 90,1 kN tração
Substituindo :
N 0,83N 74,8 N 0,83 90,1 74,8 N 74,8 74,8 N N 149,6 kN compressão
    
               
 
 
 Nó B 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
55 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Escrevendo as Equações de Equilíbrio para o Nó B: 
   
 
   
 
 
x BD BD
BD BD BD DB
y BD BD BD
BD DB
F 0 : 149,6 N cos 0 149,6 N cos 33,7 0
149,6
149,6 0,83N 0 N kN N N 180,2 kN tração
0,83
ou
100
F 0 : 100 N sen 0 100 N sen 33,7 0 N kN
sen 33,7
Assim :
N N 180,2 kN tração
      
       
         

  

 
Resumo: 
Barra N (kN) Efeito 
1 (AD) +74,8 tração 
2 (DB) +180,2 tração 
3 (BC) - 149,6 compressão 
4 (AC) - 90,1 compressão 
5 (BD) +90,1 tração 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
56 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Solução: 
(i) Classificação 
estrutura isostática se 2n = b + a, onde 
 
n = número de nós b = número de barras a = número de reações de apoio 
 
 
Observando a figura acima, temos que: 
n = 4 b = 5 a = 3 
Assim: 
2n b a 2 4 5 3 8 8 Estrutura Isostática        
 
A treliçaem questão é simples e isostática. 
(ii) Reações nos Apoios 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
 
 
x A A
A B B B
B
y A B A A
A
F 0 : H 89 0 H 89,0 kN
239
M 0 : 3V 1 89 1 150 0 3V 239 V kN
3
V 79,67 kN
F 0 : V V 150 0 V 79,67 150 0 V 70,33 0
V 70,33 kgf
      
         
  
          
  



 
 
 
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Assim, temos: 
 
(iii) Cálculo das Forças nas Barras 
 Nó A 
 
Cálculo do Ângulo 

 
   
co 1,0
tg arctg 1,0 45
ca 1,0
         
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó A: 
   
   
 
 
X AC AD AC AD AC AD
y AC AC AC
AC AC
AC AD AD
AD
F 0 : N cos N 89 0 N cos 45 N 89 0,71N N 89
e
F 0 : N sen 70,33 0 N sen 45 70,33 0,71N 70,33
70,33
N kN N 90,06 kN compressão
0,71
Substituindo :
0,71N N 89 0,71 99,06 N 89
N 70,
           
          

   
      



 AD33 89 N 159,33 kN tração   
 
 
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 Nó D 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio ao Nó D: 
 x DB DB
y DC
F 0 : N 159,33 0 N 159,33 kN tração
e
F 0 : N 0
     
 


 
 Nó B 
 
Cálculo do Ângulo 

 
   
co 1,0
tg arctg 0,5 26,56
ca 2,0
         
 
 
Equações de Equilíbrio Aplicadas ao Nó B: 
   
 
x BC BC
BC BC BC
F 0 : N cos 159,33 0 N cos 26,56 159,33 0
159,33
0,89N 159,33 N kN N 179,02 kN compressão
0,89
        

      

 
Resumo: 
Barra N (kN) Efeito 
 
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1 (AC) -90,06 compressão 
2 (AD) + 159,33 tração 
3 (DC) zero 
4 (DB) + 159,33 tração 
5 (BC) - 179,02 compressão 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
(i) Reações de Apoio 
 
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Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
 
A B B B
y A B A A
M 0 : 3V 1,5 2 0 3V 3 V 1,0 kN
e
F 0 : V 2 V 0 V 2 1 0 V 1,0 kN
        
          


 
Assim: 
 
(ii) Esforços Seccionais (ou Solicitantes) 
Convenções dos Sinas 
 
 
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(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
 
Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M 
A + 1,0 kN 0 
C a Esquerda + 1,0 kN +1,5 kN.m 
C a Direita - 1,0 kN +1,5 kN.m 
B - 1,0 kN 0 
 
 
 
 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
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Solução: 
(i) Reações de Apoio 
 
Aplicando as equações de Equilíbrio: 
 
 
A B B B
y A B A A
M 0 : 3,5V 0,5 3,0 0 3,5V 1,5 V 0,4 kN
e
F 0 : V 3,0 V 0 V 3,0 0,43 0 V 2,6 kN
        
          


 
Assim: 
 
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(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
Convenções de Sinais 
 
 
Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M 
A + 2,6 kN 0 
C a Esquerda + 2,6 kN +1,5 kN.m 
C a Direita - 0,4 kN +1,5 kN.m 
B - 0,4 kN 0 
 
 
 
 
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(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
 
Solução: 
(i) Reações de Apoio 
 
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Aplicando as equações de Equilíbrio: 
 
 
A B B B
y A B A A
M 0 : 2,0V 2,0 0 2,0V 2,0 V 1,0kN
e
F 0 : V V 0 V 1,0 0 V 1,0 kN
       
         


 
Assim, temos: 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
Convenções de Sinais 
 
 
 
 
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Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M 
A - 1,0 kN 0 
C a Esquerda - 1,0 kN -1,0 kN.m 
C a Direita - 1,0 kN +1,0 kN.m 
B - 1,0 kN 0 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
 
 
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Solução: 
(i) Reações de Apoio 
Em primeiro lugar, transforma-se a carga distribuída em carga concentrada; como mostra a figura abaixo: 
 
Q p L Q 1,00 2,00 kN Q 2,00 kN      
 
 
 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio à Estrutura: 
 
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69 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
A B B B
y A B A A
M 0 : 2,0V 2,0 1,0 0 2,0V 2,0 V 1,0kN
e
F 0 : V V 2 0 V 1,0 2,0 0 V 1,0 kN
        
           


 
Assim, temos: 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
Convenções dos Sinais 
 
 
 
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70 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
A
C
B
A
C C
B
Esforço Cor tan te :
Q 1,0 kN
Q 1,0 1,0 0
Q 1,0 kN
Momento Fletor :
M 0
M 1,0 1,0 1,0 0,5 kN m M 0,5 kN m
M 0
 
   
 

         

 
 
Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M 
A + 1,0 kN 0 
C zero +0,5 kN.m 
B - 1,0 kN 0 
 
 
 
 
 
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71 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
 
 
 
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72AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
(i) Reações no Apoio (Engaste) 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
x A
A A A
y A A
F 0 : H 0
M 0 : M 2,0 2,0 0 M 4,0 kN m
e
F 0 : V 2 0 V 2,0 kN
 
        
      



 
Assim, temos: 
 
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73 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
Convenções dos Sinais 
 
Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M 
A + 2,0 kN -4,0 kN.m 
B + 2,0 kN 0 
 
 
 
 
 
 
 
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74 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
 
 
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75 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
Solução: 
(i) Reações de Apoio 
Transforma-se a carga distribuída em carga concentrada, localizando-a e aplicam-se as Equações de Equilíbrio: 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
x A
A A A
y A A
F 0 : H 0
M 0 : M 4,0 1,0 0 M 4,0 kN m
e
F 0 : V 4,0 0 V 4,0 kN
 
        
      



 
 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
 
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76 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Convenção dos Sinais 
 
Seção Esforço Cortante - Q Momento Fletor - M 
A + 4,0 kN -4,0 kN.m 
B 0 0 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
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77 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
Solução: 
(i) Reações nos Apoios 
Transforma-se a carga distribuída em carga concentrada e aplicam-se as Equações de Equilíbrio: 
 
 
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78 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
x G G
G A
A A A
y A G A
F 0 : 30 20 H 0 H 10 kN
M 0 : 3V 30 3 30 4 90 1,5 20 5 0
3V 90 120 135 100 0 3V 265 V 88,3 kN
e
F 0 : V 30 90 V 0 88,3 120 0 V 31,7 kN
      
          
           
           



 
Assim, temos: 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante), N (Esforço Normal) e M (Momento Fletor) 
Convenção dos Sinais 
 
 
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79 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M 
A 0 -88,3 kN 0 
B -30 kN -88,3 kN +60 kN.m 
C -30 kN 0 0 
D +58,3 kN -30 kN +90 kN.m 
E -31,7 kN -30 kN +50 kN.m 
F +10 kN -31,7 kN + 50 kN.m 
G + 10 kN -31,7 kN 0 
H a Esquerda 0 - 88,3 kN 0 
H a Direita -30 kN - 88,3 kN 0 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
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80 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
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81 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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82 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
Solução: 
(i) Reações nos Apoios 
 
 
 
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83 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio à estrutura: 
 
 
 
x A A
G E E E E
y A E A A
F 0 : 2,0 H 0 H 2,0 kN
M 0 : 6V 4,0 3 2,0 4 0 6V 12 8 0 6V 20 V 3,3 kN
e
F 0 : V 4,0 V 0 V 4,0 3,3 0 V 0,7 kN
     
               
           



 
Assim, temos: 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante), N (Esforço Normal) e M (Momento Fletor) 
Convenções dos Sinais 
 
 
 
 
 
 
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84 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M 
A + 2,0 kN - 0,7 kN 0 
B + 2,0 kN - 0,7 kN +8,0 kN.m 
B’ + 0,7 kN 0 + 8,0 kN.m 
C à Esquerda + 0,7 kN 0 + 10,0 kN.m 
C à Direita - 3,3 kN 0 + 10,0 kN.m 
D - 3,3 kN 0 0 
D’ 0 - 3,3 kN 0 
E 0 - 3,3 kN 0 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
 
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85 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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86 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
Solução: 
(i) Reações no Apoio 
Transformando as cargas distribuídas em cargas concentradas e localizando-as: 
 
 
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87 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 
 
x A A
A A A A
y A A
F 0 : 4,5 H 0 H 4,5 kN
M 0 : M 4,5 1,5 5,0 2,5 3,0 1,5 0 M 14,75 0 M 14,8kN m
e
F 0 : V 3,0 5,0 0 V 8,0 kN
      
             
       



 
Assim, temos: 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
88 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
 
 
Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M 
A + 4,5kN - 8,0 kN +14,8 kN.m 
B -3,0 kN - 8,0 kN +8,0 kN 
C 0 0 0 
D +5,0 kN 0 +12,5 kN 
E 0 0 0 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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89 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
 
 
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90 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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91 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Solução:(i) Reações de Apoio 
 
Aplicando as Equações de Equilíbrio: 
 x A A
A A A
y A
F 0 : H 3,0 0 H 3,0 kN
M 0 : M 4,0 3,0 1,5 0 M 8,5 kN m
e
F 0 : V 0
      
         
 



 
Assim, temos: 
 
(ii) Esforços Solicitantes Q (Esforço Cortante) e M (Momento Fletor) 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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92 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Seção Esforço Cortante - Q Esforço Normal - N Momento Fletor - M 
A 0 -3,0 kN -8,5,0 kN.m 
B Esquerda 0 -3,0 kN -8,5 kN.m 
B Direita 0 -3,0 kN -4,5 kN.m 
C +3,0 kN -3,0 kN -4,5 kN.m 
D 0 0 0 
 
(iii) Diagramas dos Esforços Solicitantes 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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93 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
 
Solução: 
Decompondo a estrutura: 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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94 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Assim, temos: 
Figura Área 
(cm²) el
x
(cm) 
el
y
cm) 
x el
S A x 
(cm³) 
y el
S A y 
(cm³) 
 
 
9 
 
1,5 
 
-1,5 
 
13,5 
 
-13,5 
 
 
-7,0686 
 
1,7268 
 
-1,7268 
 
-12,21 
 
12,21 
 
 
6 
 
1 
 
1,333 
 
6 
 
8 
 
 
12,566 
 
- 1,6976 
 
1,6976 
 
-21,33 
 
21,33 
 Soma
 20,4974 -14,04 28,04 
Temos que: 
3 3
x y
x
G G G
y
G G G
S 14,04 cm e S 28,04 cm
Assim :
S 14,04
x x cm x 0,685 cm
A 20,4974
e
S 28,04
y y cm y 1,368 cm
A 10,9314
  

     
    
 




 
 
2
el el
4r r
x y A
3 4

  

 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
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95 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Assim: 
el el el el el el
2 2
2 2
4r 4 3
x y x y cm x y 1,2732 cm
3 3
e
r 3
A A cm A 7,0686 cm
4 4

       
 
  
    
 
e 
el el el el el el
2 2
2 2
4r 4 4
x y x y cm x y 1,6976 cm
3 3
e
r 4
A A cm A 12,566 cm
4 4

       
 
  
    
 
 
 
Solução: 
Decompondo a estrutura: 
 
Assim, temos: 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
96 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Figura Área (cm²) 
el
x
(cm) 
el
y
cm) 
x el
S A x 
(cm³) 
y el
S A y 
(cm³) 
 
 
9 
 
-1,5 
 
1,5 
 
- 13,5 
 
13,5 
 
 
9 
 
2,0 
 
1,0 
 
18 
 
1500 
 
 
-7,0686 
 
-1,7268 
 
1,2732 
 
12,21 
 
-9,0 
 Soma
 10,9314 16,71 13,5 
 
Temos que: 
3 3
x y
x
G G G
y
G G G
S 16,71 cm e S 13,5 cm
Assim :
S 16,71
x x cm x 1,53 cm
A 10,9314
e
S 13,5
y y cm y 1,23 cm
A 10,9314
 
    
    
 




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
97 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
 
 
Solução: 
Decompondo a estrutura dada: 
 
 
Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia 
Email: afonsocarioca@hotmail.com / afonsocarioca@gmail.com 
 
98 AFONSO CARIOCA – FONE: (62) 3095-4964 / WHATSAPP: (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
Assim, temos: 
Figura Área (cm²) 
el

(cm) 
el

cm) 
el
S A

  
(cm³) 
el
S A

  
(cm³) 
I 400 20 -5 8000 -2000 
II 300 20,667 5 8000 1500 
II 225 43,333 15 9750 3375 
 Soma
 925 25750 2875 
 
Temos que: 
3 3
G G G
G G G
S 25.750 cm e S 2.875 cm
Assim :
S 25750
cm 27,838 cm
A 925
e
S 2875
cm 3,1081 cm
A 925
 


 
       
       
 





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