1ª Lista de Exercícios - Métodos Matemáticos

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PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS DE ME´TODOS MATEMA´TICOS
1. Com a notac¸a˜o Dnu =
dnu
dtn
, para u : I ⊂ R→ R e n ∈ N, avalie as expresso˜es:
(a) (D2 +D)e2t
(b) (tD − t)(2ln(t))
(c) (3D2 + 2D + 2)sen(t)
(d) (D + 1)(D − t)(2et + cos(t))
(e) (t2D2 − 2tD + 4)tk, k ∈ N
(f) (4t2D2 + 4tD + 4t2 + 1)
1√
t
sen(t), t 6= 0.
2. Mostre que, em cada item abaixo, a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferen-
cial ordina´ria, e determine o maior intervalo ou intervalos em que isso acontece.(usou-
se a notac¸a˜o Dnu =
dnu
dtn
)
(a) tD2x+Dx = 0 e x(t) = ln(
1
t
)
(b) 4t2D2x+ 4tDx+ (4t2 − 1)x = 0 e x(t) =
√
2
pit
sen(t).
(c) t2D2x− tDx+ x = 1 e x(t) = 1 + 2tln(t).
3. Resolva as EDOs:
(a)
dx
dt
=
x+ 1
t
(b)
dx
dt
=
x2 + x
t
(c)
dx
dt
=
x2 + 4
t2 + 4
(d)
dx
dt
= x2cos(t2)
(e)
dx
dt
= tcos(x−1/2)
(f)
dx
dt
= et
2+x2
4. Mostre que as func¸o˜es x1 : (−∞,∞)→ R tal que t 7→ eatcos(bt) e x2 : (−∞,∞)→
R tal que t 7→ eatsen(bt) sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes da EDO (D2 +
2aD + a2 + b2)x = 0, b 6= 0.
5. Encontre a soluc¸a˜o geral de cada EDO abaixo:(usou-se a notac¸a˜o Dnu =
dnu
dtn
)
2
(a) tDx+ 2x = 0
(b) sen(t)Dx+ cos(t)x = 0
(c) (1− t2)Dx− x = 0
(d) 3Dx+ kx = 0, k ∈ R
(e) 2Dx+ 3x = e−t
(f) 3tDx− x = ln(t) + 1
(g) (3t2 + 1)Dx− 2tx = 6t
(h) (t2 + 1)Dx− (1− t2)x = te−t
(i) (t2 + 1)Dx+ tx = (1− 2t)√t2 + 1
6. Suponha que um carro se move com velocidade de 50km/h quando o motorista
frea. Supondo a acelerac¸a˜o igual a −6m/s2, qual a distaˆncia percorrida pelo
carro ate´ parar?
7. Um objeto cai a partir de um altura de 200m. Quanto tempo ira´ demorar para que
ele atinja o solo?