VA Estatistica Aula 4 Tema 4 Impressao

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Tema 4: Distribuição de 
Probabilidade Normais 
 
Profa. Renata M. G. Dalpiaz 
Distribuição normal 
•  É amp lamente u t i l i zada en t re as 
distribuições de probabilidade sendo 
aplicada em diversos fenômenos no 
desenvolvimento teórico da amostragem. 
Propriedades de uma Distribuição normal 
•  É uma d i s t r i b u i ç ã o c on t í n u a d e 
probabilidade de uma variável aleatória x. 
Seu gráfico é chamado de curva normal. 
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Propriedades 
• A média, a moda e a mediana são sempre 
iguais. 
• A curva normal tem formato de sino e é 
simétrica em torno da média. 
• A área total sob a curva normal 
 é igual a 1. 
• A curva normal aproxima-se 
 mais do eixo x quanto mais os 
 valores se afastam da média. 
 A curva nunca toca o eixo. 
Curva normal 
•  Que tem por equação 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
µ−
−
πσ
=
2x
*
2
1
e*
2
1
y
A equação da “normal” 
Para escrever a equação é preciso saber que: 
•  y representa a ordenada, ou seja, a altura 
da curva para um determinado valor da 
variável x; 
•  e = 2,71828; 
•  π = 3,1416; 
•  µ = média da população; 
•  σ = desvio padrão. 
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Curvas normais e probabilidade 
•  A área de uma região sob uma curva de 
probabilidade é igual a probabilidade de 
que a variável aleatória tenha um valor no 
intervalo correspondente. 
•  A altura e o formato da curva dependem da 
média (µ) e do desvio padrão (σ). 
Regra empírica 
Numa distribuição normal pode-se aproximar 
áreas sob a curva da seguinte maneira: 
• 68% da área está entre µ – σ e µ + σ; 
• 95% da área está entre µ – 2σ e µ + 2σ; 
• 99,7% da área está entre 
 µ – 3σ e µ + 3σ; 
Distribuição normal padrão – 
cálculo exato da área 
•  O cálculo dessa área envolve a matemática 
avançada: a área se calcula por integração. 
•  Para simplificar o cálculo, utiliza-se a 
variável reduzida de z (encontrada na 
tabela). 
•  Para isso, transforma-se a 
 curva normal em curva normal 
 padrão reduzida. Assim a 
 média passa ser zero com 
 desvio padrão igual a 1. 
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Normal padrão para reduzida 
•  A transformação da curva normal em curva 
normal padrão reduzida consiste em 
converter a variável x na variável z, 
utilizando a seguinte equação: 
σ
µ−
=
xz
Distribuição normal padrão 
•  É uma distribuição normal com média 0 e 
um desvio padrão de 1. 
Distribuição normal padrão 
•  Uma vez que cada distribuição normal pode 
ser transformada em uma distribuição 
normal padrão, pode-se usar escores z e a 
curva normal padrão para obter áreas sob 
qualquer curva normal. 
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Propriedades da Distribuição normal padrão 
•  A área acumulada está próxima de zero 
para escores z próximos de -3,49. 
•  A área acumulada cresce à medida que o 
escore z também cresce. 
•  A área acumulada para z=0 é 0,5000. 
Exercício 
Numa empresa, um consultor levanta a 
seguinte questão com relação à montagem de 
uma peça da linha de produção, sabendo que 
a montagem dessa dura, em média, 75 
segundos com um desvio padrão de 6 
segundos. 
Qual a probabilidade de um trabalhador da 
fábrica escolhido ao acaso para montar uma 
peça entre 70 e 75 segundos? 
Resolvendo 
Com esse resultado de Z= 0,833, 
iremos para a tabela de Z, para 
encontrar o valor de P. 
83,0z
6
7570
z
xx
z =⇒
−
=⇒
σ
−
=
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Tabela ao final do livro 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 
0,0 0,5120 
... ... 
... ... 
0,8 0,7967 
Exercício 1 
As pontuações de um teste de QI em adultos são 
normalmente distribuídas com média μ = 100 e 
de sv i o pad rão σ = 15 . Ca l cu l e a 
probabilidade de um adulto escolhido ao 
acaso ter QI entre 70 e 115. 
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Resolvendo 
•  A pontuação de 70 está dois desvios padrão 
abaixo da média enquanto a pontuação 115 
está um desvio acima. Aplicando a regra 
empírica, você encontrará: 
 Área = 0,135 + 0,34 +0,34 
 Área = 0,815 = 81,5% 
Exercício 2 
Um levantamento indica que pessoas usam 
seus computadores em média durante 2,4 
anos antes de adquirir uma nova máquina. O 
desvio padrão é de 0,5 ano. Selecionando ao 
acaso alguém que tenha computador, obtenha 
a probabilidade de que ele o use por menos 
de 2 anos antes de comprar outro. 
Suponha que a variável aleatória x seja 
normalmente distribuída. 
Resolvendo 
•  Calculando a variável reduzida, você 
obterá: 
•  Consultando a tabela 
 P(z < – 0,8) = 0,2119 
 P(z < – 0,8) = 21,19 
8,0
5,0
4,22
−=
−
=
−
=
σ
µxz
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Exercício 3 
Esboce a curva normal padrão e sombreie a área 
apropriada sob a curva. 
a) Para obter a área à esquerda de z, determine a 
área que corresponde a z na Tabela Normal Padrão. 
b) Para obter a área à direita de z, use a Tabela para 
determinar a área correspondente a z. 
c) Para obter a área entre dois escores z, -0,75 e 1,23, 
determine a área correspondente a cada um deles na 
Tabela. 
Distribuição normal 
•  É amplamente ut i l i zada ent re as 
distribuições de probabilidade sendo 
aplicada em diversos fenômenos no 
desenvolvimento teórico da amostragem. 
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Propriedades de uma 
Distribuição normal 
•  É uma distribuição contínua de probabilidade 
de uma variável aleatória x. Seu gráfico é 
chamado de curva normal. 
Propriedades 
• A média, a moda e a mediana são sempre 
iguais. 
• A curva normal tem formato de sino e é 
simétrica em torno da média. 
• A área total sob a curva normal é igual a 1. 
• A curva normal aproxima-se mais do eixo x 
quanto mais os valores se afastam da 
média. 
 A curva nunca toca o eixo. 
Curva normal 
•  Que tem por equação 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
µ−
−
πσ
=
2x
*
2
1
e*
2
1
y
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Curvas normais e probabilidade 
•  A área de uma região sob uma curva de 
probabilidade é igual a probabilidade de que 
a variável aleatória tenha um valor no 
intervalo correspondente. 
•  A altura e o formato da curva dependem da 
média (µ) e do desvio padrão (σ). 
Regra empírica 
Numa distribuição normal pode-se aproximar 
áreas sob a curva da seguinte maneira: 
• 68% da área está entre µ – σ e µ + σ; 
• 95% da área está entre µ – 2σ e µ + 2σ; 
• 99,7% da área está entre 
 µ – 3σ e µ + 3σ; 
Distribuição normal padrão – 
cálculo exato da área 
•  O cálculo dessa área envolve a matemática 
avançada: a área se calcula por integração. 
•  Para simplificar o cálculo, utiliza-se a 
variável reduzida de z (encontrada na 
tabela). 
•  Para isso, transforma-se a curva normal em 
curva normal padrão reduzida. Assim a 
 média passa ser zero com desvio padrão 
igual a 1. 
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Normal padrão para reduzida 
•  A transformação da curva normal em curva 
normal padrão reduzida consiste em 
converter a variável x na variável z, 
utilizando a seguinte equação: 
σ
−
=
xxz
Distribuição normal padrão 
•  É uma distribuição normal com média 0 e 
um desvio padrão de 1. 
Distribuição normal padrão 
•  Uma vez que cada distribuição normal pode 
ser transformada em uma distribuição 
normal padrão, pode-se usar escores z e a 
curva normal padrão para obter áreas sob 
qualquer curva normal. 
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Propriedades da Distribuição normal padrão 
•  A área acumulada está próxima de zero 
para escores z próximos de -3,49. 
•  A área acumulada cresce à medida que o 
escore z também cresce. 
•  A área acumulada para z=0 é 0,5000.