VA Estatistica Aula 5 Tema 5 Impressao

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Tema 5: Intervalos de confiança 
 
Profa. Renata M. G. Dalpiaz 
Definições 
•  Estimação é o processo que consiste no 
uso de dados da amostra para estimar 
valores de parâmetros populacionais 
desconhecidos, tais como média, desvio 
padrão, proporções, entre outros. 
•  Estimativa é cada valor particular 
assumido por um estimador. A estimativa 
pode ser: 
– Pontual 
– Intervalar 
Definições 
•  Estimador é a quantidade calculada em 
função dos elementos da amostra, que será 
usada no processo de estimação do 
parâmetro desejado. O estimador é uma 
variável aleatória caracterizada por uma 
distribuição de probabilidade e seus 
respectivos parâmetros próprios. 
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Estimativa pontual 
•  Ocorre quando fazemos uma única 
estimativa para um determinado parâmetro 
populacional. Veja: 
alpopulacion média estima amostral Média →→
Estimativa Intervalar 
•  Ocorre quando é feita uma estimativa de 
um intervalo de valores possíveis, no qual 
se admite que o parâmetro populacional 
esteja. 
•  Aqui, obtém-se um intervalo de valores (em 
torno do parâmetro amostral) no qual se 
julga, com um risco conhecido de erro, 
esteja o parâmetro da população. A esse 
interva lo chamamos intervalo de 
confiança. 
Estimativa Intervalar 
•  Mas antes de se obter uma estimativa 
intervalar, você deve, determinar qual a 
confiança necessária de que sua estimativa 
contém a média populacional μ. 
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Nível de confiança c 
•  É a probabilidade de que o intervalo 
e s t i m a d o c o n t e n h a o p a r â m e t r o 
populacional. 
•  O nível de confiança c é a área sob a curva 
normal padrão entre os valores críticos –Zc 
e Zc. 
Erro de estimativa 
•  É a distância entre a estimativa pontual e o 
valor do parâmetro real. 
•  Na maioria dos casos μ é desconhecido e x 
varia de amostra para amostra. 
Notação de intervalo de confiança 
•  x – E < μ < x + E 
Onde: 
X = estatística amostral 
μ = média populacional 
E = erro máximo de estimativa 
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Estimativas de média de uma população 
•  Para calcular a Estimativa de Médias de 
uma População, deve-se utilizar o desvio 
padrão da distribuição que constitui a 
amostra (distribuição amostral) e levar em 
consideração se o desvio padrão da 
população é, ou não, conhecido. 
 
Se o desvio padrão populacional é conhecido 
•  Estimativa Pontual da Média 
 
•  Estimativa Intervalar da Média 
x:Populaçãox:Amostra =µ
n
σ
z:seráintervalarestimativaA
n
σ
sseEntão,
zsμ:Populaçãox:Amostra
x
x
±µ
=
±
Atenção! 
•  A Est imat iva Interva lar da Méd ia 
Populacional é baseada na hipótese de que 
a distribuição das médias amostrais é 
normal, por isso utilizamos a variável z. 
Para grandes amostras (n > 30) o resultado é 
garantido pelo Teorema do Limite Central. 
Para amostras pequenas (n ≤ 30) é necessário 
saber se a população submetida à amostragem tem 
distribuição normal ou aproximadamente normal. 
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Definição: erro de estimação 
•  É a diferença entre a média da amostra e a 
verdadeira média da população. 
•  O intervalo de confiança tem centro na 
média da amostra, então o erro máximo 
provável admitido é igual à metade da 
amplitude 
 do intervalo. 
•  Fórmula do erro: 
n
σ
ze x=
Importe notar que: 
•  Quando se aumenta z ou σx, o erro 
potencial aumenta. 
•  Quanto maior a amostra, menor o erro 
potencial. 
Quando o desvio padrão populacional 
é desconhecido 
•  A análise utilizará o mesmo critério, 
contudo, a avaliação inicial consiste em 
verificar o tamanho da amostra (n), para 
determinar: 
Quando utilizar a distribuição normal 
(amostras grandes: n > 30); 
Quando utilizar a Distribuição t de Student 
(amostras pequenas n ≤ 30). 
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Fórmulas: 
n
s
zx ±
•  Amostras grandes 
•  Amostras pequenas 
n
s
tx ±
Distribuição t de Student 
Para amostras pequenas, a distribuição normal 
apresenta valores menos precisos, fato que 
levou a Estatística a produzir um modelo 
melhor: a distribuição t de Student, cuja 
principal diferença da distribuição normal é que 
a Student tem mais área nas caudas. 
Veja a figura: 
Assim como na Curva Normal, 
na Distribuição t de Student 
•  Existe um valor de t para cada tamanho de 
amostra (quanto maior a amostra, mais a 
distribuição t de Student se aproxima da 
distribuição normal). 
•  Para o cálculo do valor de t é necessário 
estabelecer: 
– O nível de confiança desejado. 
– O número de graus de 
 liberdade a ser utilizado. 
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Fórmula 
•  Área remanescente do nível de confiança c: 
•  = 1 - c 
•  Graus de liberdade: 
 onde: 
 n = tamanho da amostra 
 
1.. −= nlg
Outra forma de determinar o 
tamanho da amostra 
•  Para determinar o tamanho da amostra, 
considere: 
– O grau de confiança desejado (z); 
– Quantidade de dispersão entre os valores 
individuais da população (σx); 
– Erro tolerável ou admitido (e). 
2
x
e
*zn ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ σ
=
Intervalos de confiança e 
as distribuições t 
•  Construir um intervalo de confiança 
aplicando as distribuição t é similar a 
distribuição normal, ambos usam uma 
estimativa pontual x e uma estimativa do 
erro máximo E. 
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Intervalos de confiança 
para a média: distribuição t 
1.  Identifique as estatísticas amostrais n, x e 
s. 
2.  Identifique os graus de liberdade, o nível 
de confiança c e o valor crítico tc. 
3.  Obtenha a estimativa E do erro máximo. 
4.  Obtenha os extremos esquerdo e direito e 
forme o intervalo de confiança. 
Exercício 1 
152x
25
1i
i =∑
=
•  (Morettin, 2000, p. 47): De uma população 
normal X, com σ2 = 9, tiramos um 
amostra de 25 observações obtendo 
 
 
 Determinar um IC de 
 limites de 90% para μ. 
Resolvendo 
]06,7;10,5[%)90;08,6(
06,76,0*645,108,6
10,56,0*645,108,6
645,1
6,0
5
3
25
9
08,6
25
152
%10
2
1
2
=
=+=
=−=
=
====
===
=
∑
IC
z
n
n
x
x
c
c
x
i
µ
µ
σ
σ
-zc zc 
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Exercício 2 
•  Uma amostra com 25 elementos, tem média 
150 e desvio padrão igual a 10. Represente 
um intervalo de confiança em nível de 90%. 
 
241251..
1,09,01)1(
=−=−=
=−=−
nlg
c
Resolvendo 
•  Conhecendo o número de graus de 
liberdade (g.l. = 24) e o nível de confiança 
desejado, consulta-se a tabela (ao final do 
PLT ou na internet) e encontra-se o valor t 
(t = 1,711). 
Nestas condições: 
]42,15;58,146[
42,153
58,146
42,3150:
25
10711,1150:
:
2
1
=
=
=
±
±
±
IC
IC
IC
n
stxIC
µ
µ
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Exercício 3 
Determine o tamanho da amostra necessária 
para se estimar a média de uma população 
infinita cujo desvio padrão é igual a 2, com 
98% de confiança e erro de 0,3? 
Resolvendo 
 
•  A amostra deve ter 242 elementos. 
28,241
3,0
2
*33,2n
e
*zn
2
2
x
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ σ
=
Definições 
•  Estimação é o processo que consiste no 
uso de dados da amostra para estimar 
valores de parâmetros populacionais 
desconhecidos, tais como média, desvio 
padrão, proporções, entre outros. 
•  Estimativa é cada valor particular 
assumido por um estimador. A estimativa 
pode ser: 
– Pontual 
– Intervalar 
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Definições 
•  Estimador é a quantidade calculada em 
função dos elementos da amostra, que será 
usada no processo de estimação do 
parâmetro desejado. O estimador é uma 
variável aleatória caracterizada por uma 
distribuição de probabilidade e seus 
respectivos parâmetros próprios. 
Estimativa pontual•  Ocorre quando fazemos uma única 
estimativa para um determinado parâmetro 
populacional. Veja: 
alpopulacion média estima amostral Média →→
Estimativa Intervalar 
•  Ocorre quando é feita uma estimativa de 
um intervalo de valores possíveis, no qual 
se admite que o parâmetro populacional 
esteja. 
•  Aqui, obtém-se um intervalo de valores (em 
torno do parâmetro amostral) no qual se 
julga, com um risco conhecido de erro, 
esteja o parâmetro da população. A esse 
interva lo chamamos intervalo de 
confiança. 
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Estimativa Intervalar 
•  Mas antes de se obter uma estimativa 
intervalar, você deve, determinar qual a 
confiança necessária de que sua estimativa 
contém a média populacional μ. 
Nível de confiança c 
•  É a probabilidade de que o intervalo 
e s t i m a d o c o n t e n h a o p a r â m e t r o 
populacional. 
•  O nível de confiança c é a área sob a curva 
normal padrão entre os valores críticos –Zc 
e Zc. 
Erro de estimativa 
•  É a distância entre a estimativa pontual e o 
valor do parâmetro real. 
•  Na maioria dos casos μ é desconhecido e x 
varia de amostra para amostra. 
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Quando o desvio padrão populacional 
é desconhecido 
•  A análise utilizará o mesmo critério, 
contudo, a avaliação inicial consiste em 
verificar o tamanho da amostra (n), para 
determinar: 
Quando utilizar a distribuição normal 
(amostras grandes: n > 30); 
Quando utilizar a Distribuição t de Student 
(amostras pequenas n ≤ 30).