VA Estatistica Aula 9 Revisao Impressao

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Revisão 
 
Profa. Renata M. G. Dalpiaz 
O que é Estatística? 
Uma parte da matemática aplicada que 
fornece métodos para: Coleta, Organização, 
Descrição, Análise, Interpretação de dados e a 
utilização dos mesmos na tomada de decisão. 
Estatística pode ser: 
Descritiva: 
•  Organização 
•  Tabulação 
•  Representação 
•  Gráficos 
•  Tabelas 
Inferencial: 
•  Análise e Interpretação 
dos dados 
•  Testes de Probabilidade 
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Definições 
•  População: conjunto formado por todos os 
e l ementos cu jas ca rac te r í s t i cas o 
pesquisador deseja conhecer. 
•  Amostra: subconjunto da população. 
Para calcular o tamanho da amostra 
Onde 
•  n = tamanho da amostra 
•  N = população 
•  n0 = número índice 
•  E = percentual de erro admitido 
0
0
2
0 nN
n*N
ne
e
1
n
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
Modelos 
•  Determinísticos: quando somos capazes de 
calcular com exatidão uma variável. 
•  Probabilísticos: quando se baseia em 
resultados possíveis ou probabilidades. 
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Definições 
•  Experimento aleatório é aquele que 
poderá ser repetido indefinidamente e cujo 
resultado não pode ser previsto com 
certeza, mas todos os resultados são 
possíveis. 
•  Espaço amostral é o conjunto de todos os 
possíveis resultados de um experimento. 
•  Evento é um subconjunto do espaço 
amostral. 
Eventos 
•  Eventos mutuamente exclusivos: são 
aque l e s que não podem o co r r e r 
simultaneamente. Portanto dois eventos A e 
B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = 
Φ 
•  Evento elementar: contém um único ponto 
amostral. 
•  Evento composto: consiste de 
 dois ou mais eventos simples . 
Eventos 
•  Dois eventos são ditos dependentes se a 
probabilidade de um ocorrer altera a 
probabilidade do outro ocorrer, isto é, 
 P(A/B) = P(A). 
•  Dois eventos de um espaço amostral S são 
denominados de independentes se a 
probabilidade de um deles ocorrer não afeta 
a probabilidade do outro ocorrer. 
P(A/B) = P(A). 
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Eventos Mutuamente Exclusivos 
•  São tais que a ocorrência de um exclui a 
possibilidade da ocorrência do outro. 
)B(P)A(P)BA(P +=
Eventos Mutuamente exclusivos 
•  São aqueles que não podem ocorrer 
simultaneamente. Portanto dois eventos A e 
B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = Φ. 
•  Ao jogar um dado, observamos que 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
•  Então, sejam os eventos A = 
ocorrer número par e B = ocorrer 
números ímpares. 
Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}. 
•  A e B são considerados 
mutuamente exclusivos pois 
A ∩ B = Φ. 
Probabilidade de Eventos não 
Mutuamente Exclusivos. 
•  A ocorrência de um evento particular 
qualquer não elimina a ocorrência de todos 
os outros possíveis. 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P  −+=
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Continuando 
Probabilidade Independente. 
•  Do i s ou ma i s even to s são d i t o s 
independentes se a ocorrência de um deles 
não afetar a ocorrência dos outros. 
)B(P*)A(P)BA(P =
Probabilidade de Evento 
Complementar 
•  A regra para o evento complementar é: 
)(1)'( APAP −=
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•  Uma DDP enumera cada valor que a 
variável aleatória pode assumir, ao lado de 
sua probabilidade. 
•  Sendo que: 
– A probabilidade de cada valor 
 da variável está entre 0 e 1. 
– A soma de todas as 
 probabilidades é 1. 
Distribuição discreta de 
probabilidade 
•  Determine se a distribuição 
exemplificada na tabela ao 
lado é de probabilidade ou 
não. 
•  O b s e r v e q u e c a d a 
probabilidade está entre 0 e 1 
e a soma é 1,00. Portanto, é 
u m a d i s t r i b u i ç ã o d e 
probabilidade. 
x P(x) 
5 0,28 
6 0,21 
7 0,36 
8 0,15 
Exemplo 
•  Média: 
•  Variância: 
•  Desvio padrão: 
∑ −= )(*)( 22 xPx µσ
2σ=σ
∑= )(* xPxµ
Propriedades 
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Valor esperado 
•  De uma variável aleatória discreta é igual à 
média da variável aleatória. 
•  Valor esperado = E(x) = µ = ∑xP(x) 
•  Sempre composta por “n” observações, que 
atendem às seguintes características: 
– são do tipo “sim” ou “não”; 
– as observações são independentes entre 
si. 
Distribuição binomial 
•  É uma distribuição discreta de probabilidade 
de uma variável aleatória x que satisfaz às 
seguintes condições: 
•  O experimento consiste na contagem do 
número de vezes, x, que um evento ocorre 
em um determinado intervalo. 
•  A probabilidade de que o evento ocorra é a 
mesma para cada intervalo. 
Distribuição de Poisson 
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•  Pode ser considerada como um caso 
particular da distribuição binomial e é 
utilizada quando o número de dados for 
maior ou igual a 50 
 (n ≥ 50) e a probabilidade p for menor ou 
igual a 10% (p ≤ 0,1) 
Distribuição de Poisson 
M = Média = (N*P). 
N = número de casos 
 considerados. 
P = Probabilidade. 
X = Sucesso em N eventos. 
e = 2,7 
m
X
e
X
MXP −=
!
)(
Como calcular 
Vamos praticar 
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Exercício 1 
As pontuações de um teste de QI em adultos são 
normalmente distribuídas com média µ = 100 e 
desvio padrão σ = 15. Calcule a probabilidade 
de um adulto escolhido ao acaso ter QI entre 
70 e 115. 
Resolvendo 
•  A pontuação de 70 está dois desvios padrão 
abaixo da média enquanto a pontuação 115 
está um desvio acima. Aplicando a regra 
empírica, você encontrará: 
 Área = 0,135 + 0,34 +0,34 
 Área = 0,815 = 81,5% 
Exercício 2 
Um levantamento indica que pessoas usam 
seus computadores em média durante 2,4 
anos antes de adquirir uma nova máquina. O 
desvio padrão é de 0,5 ano. Selecionando ao 
acaso alguém que tenha computador, obtenha 
a probabilidade de que ele o use por menos 
de 2 anos antes de comprar outro. 
Suponha que a variável aleatória x seja 
normalmente distribuída. 
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Resolvendo 
•  Calculando a variável reduzida, você obterá: 
•  Consultando a tabela 
 P(z < – 0,8) = 0,2119 
 P(z < – 0,8) = 21,19 
8,0
5,0
4,22
−=
−
=
−
=
σ
µxz
Exercício 3 
Esboce a curva normal padrão e sombreie a 
área apropriada sob a curva. 
a) Para obter a área à esquerda de z, 
determine a área que corresponde a z na 
Tabela Normal Padrão. 
b) Para obter a área à direita de z, use a 
Tabela para determinar a área correspondente 
a z. 
c) Para obter a área entre dois escores z, -0,75 
e 1,23, determine a área correspondente a 
cada um deles na Tabela. 
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Finalizando 
Estimativa Intervalar 
•  Ocorre quando é feita uma estimativa de 
um intervalo de valores possíveis, no qual 
se admite que o parâmetro populacional 
esteja. 
•  Aqui, obtém-se um intervalo de valores (em 
torno do parâmetro amostral) no qual se 
julga, com um risco conhecido de erro, 
esteja o parâmetro da população. A esse 
interva lo chamamos intervalo de 
confiança. 
Estimativa Intervalar 
•  Mas antes de se obter uma estimativa 
intervalar, você deve, determinar qual a 
confiança necessária de que sua estimativa 
contém a média populacional μ. 
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Erro de estimativa 
•  É a distância entre a estimativa pontual e o 
valor do parâmetro real. 
•  Na maioria dos casos μ é desconhecido e x 
varia de amostra para amostra. 
Notação de intervalo de confiança 
•  x – E < μ < x + E 
Onde: 
X = estatística amostral 
μ = média populacional 
E = erro máximo de estimativa 
Definição: erro de estimação 
•  É a diferença entre a média da amostra e a 
verdadeira média da população. 
•  O intervalo de confiança tem centro na 
média da amostra, então o erro máximo 
provável admitido é igual à metade da 
amplitude 
 do intervalo. 
•  Fórmula do erro: 
n
σ
ze x=
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Definições importantes 
•  Teste dehipótese é uma regra de decisão 
utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese 
estatística com base em elementos amostrais. 
•  Hipótese é a teoria que se deseja comprovar 
como correta. 
Testes de hipóteses 
Para realizá-los, deve-se considerar: 
 
•  Teste T: amostra menor que 30 e variância 
desconhecida. 
•  Teste Z: amostra maior ou igual a 30 e 
variância conhecida ou não. 
Observe com atenção! 
•  Sempre haverá duas hipóteses: 
– H0 que é a hipótese nula ou hipótese 
probanda, e 
– H1: hipótese alternativa. 
•  Geralmente a hipótese alternativa H1 
representa a suposição que o pesquisador 
quer provar, sendo a hipótese nula H0 
formulada com o expresso propósito de ser 
rejeitada. 
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Mais definições: 
•  Erro é uma falha na avaliação de uma hipótese. 
•  Tipos de erro: Dois tipos de erro podem ser 
cometidos num teste de hipóteses: 
–  Erro Tipo I (α): A hipótese nula é 
verdadeira e o pesquisador a rejeita. 
–  Erro Tipo II (β): A hipótese nula é falsa 
e o pesquisador a aceita.