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23/05/14 1 Revisão Profa. Renata M. G. Dalpiaz O que é Estatística? Uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para: Coleta, Organização, Descrição, Análise, Interpretação de dados e a utilização dos mesmos na tomada de decisão. Estatística pode ser: Descritiva: • Organização • Tabulação • Representação • Gráficos • Tabelas Inferencial: • Análise e Interpretação dos dados • Testes de Probabilidade 23/05/14 2 Definições • População: conjunto formado por todos os e l ementos cu jas ca rac te r í s t i cas o pesquisador deseja conhecer. • Amostra: subconjunto da população. Para calcular o tamanho da amostra Onde • n = tamanho da amostra • N = população • n0 = número índice • E = percentual de erro admitido 0 0 2 0 nN n*N ne e 1 n + =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= Modelos • Determinísticos: quando somos capazes de calcular com exatidão uma variável. • Probabilísticos: quando se baseia em resultados possíveis ou probabilidades. 23/05/14 3 Definições • Experimento aleatório é aquele que poderá ser repetido indefinidamente e cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas todos os resultados são possíveis. • Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. • Evento é um subconjunto do espaço amostral. Eventos • Eventos mutuamente exclusivos: são aque l e s que não podem o co r r e r simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = Φ • Evento elementar: contém um único ponto amostral. • Evento composto: consiste de dois ou mais eventos simples . Eventos • Dois eventos são ditos dependentes se a probabilidade de um ocorrer altera a probabilidade do outro ocorrer, isto é, P(A/B) = P(A). • Dois eventos de um espaço amostral S são denominados de independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afeta a probabilidade do outro ocorrer. P(A/B) = P(A). 23/05/14 4 Eventos Mutuamente Exclusivos • São tais que a ocorrência de um exclui a possibilidade da ocorrência do outro. )B(P)A(P)BA(P += Eventos Mutuamente exclusivos • São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = Φ. • Ao jogar um dado, observamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Então, sejam os eventos A = ocorrer número par e B = ocorrer números ímpares. Logo: A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}. • A e B são considerados mutuamente exclusivos pois A ∩ B = Φ. Probabilidade de Eventos não Mutuamente Exclusivos. • A ocorrência de um evento particular qualquer não elimina a ocorrência de todos os outros possíveis. )BA(P)B(P)A(P)BA(P −+= 23/05/14 5 Continuando Probabilidade Independente. • Do i s ou ma i s even to s são d i t o s independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência dos outros. )B(P*)A(P)BA(P = Probabilidade de Evento Complementar • A regra para o evento complementar é: )(1)'( APAP −= 23/05/14 6 • Uma DDP enumera cada valor que a variável aleatória pode assumir, ao lado de sua probabilidade. • Sendo que: – A probabilidade de cada valor da variável está entre 0 e 1. – A soma de todas as probabilidades é 1. Distribuição discreta de probabilidade • Determine se a distribuição exemplificada na tabela ao lado é de probabilidade ou não. • O b s e r v e q u e c a d a probabilidade está entre 0 e 1 e a soma é 1,00. Portanto, é u m a d i s t r i b u i ç ã o d e probabilidade. x P(x) 5 0,28 6 0,21 7 0,36 8 0,15 Exemplo • Média: • Variância: • Desvio padrão: ∑ −= )(*)( 22 xPx µσ 2σ=σ ∑= )(* xPxµ Propriedades 23/05/14 7 Valor esperado • De uma variável aleatória discreta é igual à média da variável aleatória. • Valor esperado = E(x) = µ = ∑xP(x) • Sempre composta por “n” observações, que atendem às seguintes características: – são do tipo “sim” ou “não”; – as observações são independentes entre si. Distribuição binomial • É uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz às seguintes condições: • O experimento consiste na contagem do número de vezes, x, que um evento ocorre em um determinado intervalo. • A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma para cada intervalo. Distribuição de Poisson 23/05/14 8 • Pode ser considerada como um caso particular da distribuição binomial e é utilizada quando o número de dados for maior ou igual a 50 (n ≥ 50) e a probabilidade p for menor ou igual a 10% (p ≤ 0,1) Distribuição de Poisson M = Média = (N*P). N = número de casos considerados. P = Probabilidade. X = Sucesso em N eventos. e = 2,7 m X e X MXP −= ! )( Como calcular Vamos praticar 23/05/14 9 Exercício 1 As pontuações de um teste de QI em adultos são normalmente distribuídas com média µ = 100 e desvio padrão σ = 15. Calcule a probabilidade de um adulto escolhido ao acaso ter QI entre 70 e 115. Resolvendo • A pontuação de 70 está dois desvios padrão abaixo da média enquanto a pontuação 115 está um desvio acima. Aplicando a regra empírica, você encontrará: Área = 0,135 + 0,34 +0,34 Área = 0,815 = 81,5% Exercício 2 Um levantamento indica que pessoas usam seus computadores em média durante 2,4 anos antes de adquirir uma nova máquina. O desvio padrão é de 0,5 ano. Selecionando ao acaso alguém que tenha computador, obtenha a probabilidade de que ele o use por menos de 2 anos antes de comprar outro. Suponha que a variável aleatória x seja normalmente distribuída. 23/05/14 10 Resolvendo • Calculando a variável reduzida, você obterá: • Consultando a tabela P(z < – 0,8) = 0,2119 P(z < – 0,8) = 21,19 8,0 5,0 4,22 −= − = − = σ µxz Exercício 3 Esboce a curva normal padrão e sombreie a área apropriada sob a curva. a) Para obter a área à esquerda de z, determine a área que corresponde a z na Tabela Normal Padrão. b) Para obter a área à direita de z, use a Tabela para determinar a área correspondente a z. c) Para obter a área entre dois escores z, -0,75 e 1,23, determine a área correspondente a cada um deles na Tabela. 23/05/14 11 Finalizando Estimativa Intervalar • Ocorre quando é feita uma estimativa de um intervalo de valores possíveis, no qual se admite que o parâmetro populacional esteja. • Aqui, obtém-se um intervalo de valores (em torno do parâmetro amostral) no qual se julga, com um risco conhecido de erro, esteja o parâmetro da população. A esse interva lo chamamos intervalo de confiança. Estimativa Intervalar • Mas antes de se obter uma estimativa intervalar, você deve, determinar qual a confiança necessária de que sua estimativa contém a média populacional μ. 23/05/14 12 Erro de estimativa • É a distância entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro real. • Na maioria dos casos μ é desconhecido e x varia de amostra para amostra. Notação de intervalo de confiança • x – E < μ < x + E Onde: X = estatística amostral μ = média populacional E = erro máximo de estimativa Definição: erro de estimação • É a diferença entre a média da amostra e a verdadeira média da população. • O intervalo de confiança tem centro na média da amostra, então o erro máximo provável admitido é igual à metade da amplitude do intervalo. • Fórmula do erro: n σ ze x= 23/05/14 13 Definições importantes • Teste dehipótese é uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elementos amostrais. • Hipótese é a teoria que se deseja comprovar como correta. Testes de hipóteses Para realizá-los, deve-se considerar: • Teste T: amostra menor que 30 e variância desconhecida. • Teste Z: amostra maior ou igual a 30 e variância conhecida ou não. Observe com atenção! • Sempre haverá duas hipóteses: – H0 que é a hipótese nula ou hipótese probanda, e – H1: hipótese alternativa. • Geralmente a hipótese alternativa H1 representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo a hipótese nula H0 formulada com o expresso propósito de ser rejeitada. 23/05/14 14 Mais definições: • Erro é uma falha na avaliação de uma hipótese. • Tipos de erro: Dois tipos de erro podem ser cometidos num teste de hipóteses: – Erro Tipo I (α): A hipótese nula é verdadeira e o pesquisador a rejeita. – Erro Tipo II (β): A hipótese nula é falsa e o pesquisador a aceita.
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