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Exame de A´lgebra Linear - 2013
Unifesp- 2o semestre - 13/04/2013
Nome: Turma:
Matr´ıcula:
Assinatura:
Questa˜o Nota
1
2
3-5
Total
Instruc¸o˜es:
- Identifique com seu nome completo e sua turma as folhas de respostas.
- Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova.
- Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa˜o Seja o sistema linear dado por 
x+ y − z = a
2x− y + z = b
x− z = c
(a) (1,4 pontos) Ache a matriz escalonada reduzida e determine sua soluc¸a˜o.
(b) (1,2 pontos) Para que valores de a, b e c as soluc¸o˜es deste sistema podem constituir
um subespac¸o vetorial do R3? Justifique.
Resoluc¸a˜o: 1 1 −1 a2 −1 1 b
1 0 −1 c
 L2=L2−2L1L3=L3−L1=⇒
 1 1 −1 a0 −3 3 b− 2a
0 −1 0 c− a
 L2=L23=⇒
 1 1 −1 a0 1 −1 b−2a
3
0 −1 0 c− a
 L3=L3+L2=⇒
 1 1 −1 a0 1 −1 b−2a
3
0 0 −1 3c−a−b
3
 L3=−L3=⇒
 1 1 −1 a0 1 −1 b−2a
3
0 0 1 a+b−3c
3
 L2=L2+L3=⇒
 1 1 −1 a0 1 0 a− c
0 0 1 a+b−3c
3
 L1=L1+L3=⇒
 1 1 0 4a+b−3c30 1 0 a− c
0 0 1 a+b−3c
3
 L1=L1−L2=⇒
 1 0 0 a+b30 1 0 a− c
0 0 1 a+b−3c
3

Logo temos o sistema equivalente
x = a+b
3
y = a− c
z = a+b−3c
3
1
Para os valores de a = b = c = 0 temos que as soluc¸o˜es desse sistema constituem
um subespac¸o vetorial, pois considerando A =
 1 1 −12 −1 1
1 0 −1
, e v1,v2 duas das
soluc¸o˜es de Av = 0 a soma v1 + v2 e λv1, λ ∈ R continuam sendo soluc¸o˜es, o que o
torna fechado quanto a soma e multiplicac¸a˜o por escalar.
2a Questa˜o Seja a transformac¸a˜o T : R2 → R2 dada por
T (x, y) = (x− y, 2x+ y).
(a) (0,8 pontos) Determine o nu´cleo de T .
(b) (0,8 pontos) Determine a dimensa˜o da imagem de A.
(c) (0,2 pontos) E´ um isomorfismo?
(d) (0,8 pontos) Ache [T ]γγ onde γ = {(1, 1), (0, 1)}
Resoluc¸a˜o:
O nu´cleo e´ determinado pelas soluc¸o˜es de{
x− y = 0
2x+ y = 0
Portanto x = y = 0 ou seja dim(ker(T )) = 0 o que a torna um isomorfismo. Tambe´m
podemos determinar a dimensa˜o da imagem pelo teorema do nu´cleo e imagem como
sendo dim(Im(T )) = 2. A representac¸a˜o matricial na base γ e´ dada por
T (1, 1) = (0, 3) = 0(1, 1) + 3(0, 1)
T (0, 1) = (−1, 1) = −1(1, 1) + 2(0, 1)
Logo e´ so´ dispor os coeficientes como colunas da matriz
[T ]γγ =
[
0 −1
3 2
]
3a Questa˜o (1,6 pontos) Considere a matriz
A =
 0 −1 −10 1 0
−1 −1 0

Assinale a alternativa INCORRETA:
(a) Possui autovalores λ1 = 1 e λ2 = −1.
(b) O autovetor associado a` λ1 = −1 e´ v = (1, 0, 1).
2
(c) E´ a representac¸a˜o matricial do operador T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) =
(−z, y − x,−y) da base γ = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} para a base canoˆnica.
(d) E´ diagonaliza´vel, sendo que a matriz diagonalizada e´ a que conte´m os
seus autovalores na diagonal.
Resoluc¸a˜o:
O ca´lculo dos autovalores e´ dado por∣∣∣∣∣∣
−λ −1 −1
0 1− λ 0
−1 −1 −λ
∣∣∣∣∣∣ = λ2(1− λ)− (1− λ) = (1− λ)(λ2 − 1) = 0
tem portanto dois autovalores distintos λ1 = 1 e λ2 = −1. Logo na˜o e´ diagonaliza´vel.
O vetor v = (1, 0, 1) e´ um autovetor, por inspec¸a˜o:
Av =
 0 −1 −10 1 0
−1 −1 0
 10
1
 = −
 10
1

portanto e´ um autovetor associado ao autovalor λ2 = −1.
A representac¸a˜o matricial nessa base e´ dada por
T (1, 1, 0) = (0, 0,−1)
T (0, 1, 1) = (−1, 1,−1)
T (0, 0, 1) = (−1, 0, 0)
como a base que estamos indo e´ a canoˆnica e´ so´ dispoˆr estes vetores como colunas de
uma matriz, que e´ a matriz procurada.
4a Questa˜o (1,6 pontos) Considere o conjunto
S =
{
1− x2, x+ 1}
Assinale a alternativa CORRETA:
(a) x(x+ 1) na˜o pertence ao espac¸o gerado por S.
(b) S gera P2(R).
(c) dim(S) = 3
(d) Temos que a matriz de mudanc¸a [I]γS =
[
2 −1
−1 −1
]
onde γ = {1− x− 2x2, x2 − x}
(e) Dado o polinoˆmio q(x) = −3− 2x+ 2x2 teremos [q(x)]S =
[ −2
−2
]
3
Resoluc¸a˜o: O vetor x(x + 1) = x2 + x pertence ao espac¸o gerado por S pois e´ uma
combinac¸a˜o linear dos vetores deste espac¸o:
x2 + x = a(1− x2) + b(x+ 1) = −ax2 + bx+ b− a,
igualando os polinoˆmios vemos que a = −1 e b = 1. No entanto na˜o e´ poss´ıvel achar
as coordenadas de q(x) = 2x2 − 2x− 3
2x2 − 2x− 3 = a(1− x2) + b(x+ 1) = −ax2 + bx+ b− a⇒

a = 2
b = −2
b− a = −3
Isso vem do fato de como dim(S) = 2 ele na˜o pode gerar o P2(R), pois sua dimensa˜o
e´ 3.
A matriz de mudanc¸a da base γ para a base S e´ dada por
1− x− 2x2 = a(1− x2) + b(x+ 1) = 2(1− x2)− (x+ 1)
x2 − x = c(1− x2) + d(x+ 1) = −(1− x2)− (x+ 1)
⇒ [I]γS =
[
a c
b d
]
=
[
2 −1
−1 −1
]
5a Questa˜o (1,6 pontos) Considere o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 =
(0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
I- O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4].
II- S = [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)]
III- [v1,v2,v3,v4] 6= R4
IV- Seja R = {(x, y, z, t) ∈ R4|t = z + y}. Enta˜o S ∩R = [(0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0)]
Assinale a alternativa CORRETA:
(a) Somente as proposic¸o˜es I e II sa˜o verdadeiras.
(b) Somente as proposic¸o˜es II e IV sa˜o verdadeiras.
(c) Somente as proposic¸o˜es III e IV sa˜o verdadeiras.
(d) Todas as proposic¸o˜es sa˜o verdadeiras.
(e) Todas as proposic¸o˜es sa˜o falsas.
Resoluc¸a˜o:
O vetor dado pertence ao conjunto, pois e´ combinac¸a˜o linear dos vetores da base,
(2,−3, 2, 2) = x(1,−1, 0, 0) + y(0, 0, 1, 1) + z(−2, 2, 1, 1) + t(1, 0, 0, 0)
4
nos leva ao sistema 
x− 2x+ t = 2
−x+ 2z = −3
y + z = 2
y + z = 2
e o sistema tem soluc¸a˜o portanto, pois tem menos equac¸o˜es que inco´gnitas.
Devemos verificar se o conjunto e´ linearmente independente, o que fazemos colocando
como linhas de uma matriz e determinando se usando as operac¸o˜es de linhas de
matrizes podemos reduzir a uma matriz equivalente, que evidencie os vetores que sa˜o
combinac¸a˜o linear dos demais:
1 0 0 0
1 −1 0 0
0 0 1 1
−2 2 1 1
 L2=L2−L1L4=L4+2L1=⇒

1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 1 1
0 2 1 1
 L2=−L2L4=L4−L3=⇒

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 2 0 0
 L4=L4−2L1=⇒

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0

logo reduzimos aos vetores que sa˜o linearmente independentes e constituem real-
mente uma base, ou seja [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)] . Como a dimensa˜o e´ 3 na˜o
e´ poss´ıvel gerar o R4.
O conjunto R e´ gerado por
(x, y, z, t) = (x, y, z, z + y) = x(1, 0, 0, 0) + y(0, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, 1).
Logo a intersecc¸a˜o entre os conjuntos e´ S ∩R = [(0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0)].
5