Lista de Álgebra Linear (Produto interno) com exercícios resolvidos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
CAMPUS SALINÓPOLIS
WERLLEN LISBOA DE ATAIDE
Lista 1
Algebra Linear
Salinópolis
Setembro/2016
Questão 1. Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈., .〉 e ‖.‖ a norma induzida
por ele.
Prove que:
‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = 2(‖~u‖2 + ‖~v‖2) (1)
Solução: Queremos provar que:
‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = 2(‖~u‖2 + ‖~v‖2) (2)
Temos no primeiro membro da igualdade que:
‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = 〈~u− ~v, ~u− ~v〉+ 〈~u− ~v, ~u− ~v〉
Agora usaremos as propriedades (iii) e (iv) de produto interno que diz:
Sejam ~u,~v e ~w ∈ V e α ∈ IR, então:
(i) 〈~v,~v〉 ≥ 0 ∀ ~v ∈ V, e 〈~v,~v〉 = 0↔ ~v = 0
(ii) 〈α~v1, ~v2〉 = α〈~v1, ~v2〉
(iii) 〈~u+ ~v, ~w〉 = 〈~u, ~w〉+ 〈~v, ~w〉
(iv) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉
Assim temos:
‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = 〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉+ 〈~u− ~v, ~u− ~v〉
= 〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉+ 〈~u, ~u− ~v〉+ 〈−~v, ~u− ~v〉
= 2〈~u, ~u〉+ 2〈~u,~v〉+ 2〈~v,~v〉 − 2〈~u,~v〉
= 2(〈~u, ~u〉+ 〈~v,~v〉)
= 2(‖~u‖2 + ‖~v‖2)
Portanto (1) está provado.
Questão 2. Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈., .〉 e ‖.‖ a norma induzida
por ele.
2
Prove que:
〈~u,~v〉 = 1
4
‖~u+ ~v‖2 − 1
4
‖~u− ~v‖2 (3)
Solução: Queremos provar que:
〈~u,~v〉 = 1
4
‖~u+ ~v‖2 − 1
4
‖~u− ~v‖2 (4)
Vamos desenvolver o segundo membro da igualdade:
1
4
‖~u+ ~v‖2 − 1
4
‖~u− ~v‖2 = ‖~u+ ~v‖2 − ‖~u− ~v‖2)
=
1
4
(〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 − 〈~u− ~v, ~u− ~v〉)
=
1
4
[〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉 − (〈~u, ~u− ~v〉+ 〈−~v, ~u− ~v〉)]
=
1
4
[〈~u, ~u〉+ 2〈~u,~v〉+ 〈~v,~v〉 − (〈~u, ~u〉 − 2〈~u,~v〉+ 〈~v,~v〉)]
=
1
4
(4〈~u,~v〉)
= 〈~u,~v〉
Portanto (2) está provado.
Questão 3. Sejam ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) vetores em IR2. Mostre que as expressões a
seguir definem produtos internos em IR2.
a) 〈~u,~v〉 = 3x1x2 + 5y1y2
Solução: Por hipótese ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) e 〈~u,~v〉 = 3x1x2 + 5y1y2,
assim para provarmos que 〈 ~u,~v〉 é produto interno, ele tem que respeitar quatro
propriedades, essas são:
Com ~u,~v ∈ IR2 e α ∈ IR:
(i) 〈~v,~v〉 ≥ 0 ∀ ~v ∈ IR2, e 〈~v,~v〉 = 0↔ ~v = 0
(ii) 〈α~v1, ~v2〉 = α〈~v1, ~v2〉
(iii) 〈~u+ ~v, ~w〉 = 〈~u, ~w〉+ 〈~v, ~w〉
(iv) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉
3
Assim começaremos a provar (iv), seguindo nossa lei de formação dada no enun-
ciado, temos que:
〈~v, ~u〉 = 3x2x1 + 5y2y1
⇒ 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉
Para provar (i), temos que:
〈~v,~v〉 = 3x22 + 5y22
⇒ 〈~v,~v〉 ≥ 0
E se ~v = (0, 0), vamos ter que:
〈~v,~v〉 = 3× 0 + 5× 0 = 0
E se 〈~v,~v〉 = 0 temos:
〈~v,~v〉 = 0 = 3x22 + 5y22 ≥ x22
⇒ 0 ≥ x22
Por outro lado, por definição:
x22 ≥ 0
Assim:
0 ≥ x22 ≥ 0⇒ x22 = 0
Do mesmo modo vamos ter que:
0 ≥ y22 ≥ 0⇒ y22 = 0
Portanto ~v = (0, 0), e com isso (i) está provado. Agora vamos provar o item (ii),
4
para isso vamos supor λ ∈ IR, portanto, temos:
λ~u = λ(x1, y1) = (λx1, λy1)
Com isso temos que:
〈λ~u,~v〉 = 3λx1y1 + 5λx2y2
= λ(3x1y1 + 5x2y2)
= λ〈~u,~v〉
Portanto concluímos que (ii) está provado, e para provarmos (iii), suponha
~w ∈ IR2, tal que, ~w = (x3, y3), com isso temos que:
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2)
⇒ 〈~u+ ~v, ~w〉 = 3(x1 + x2)x3 + 5(y1 + y2)y3
= 3x1x3 + 3x2x3 + 5y1y3 + 5y2y3
= 3x1x3 + 5y1y3 + 3x2x3 + 5y2y3
= 〈~u, ~w〉+ 〈~v, ~w〉
Assim concluímos que 3x1x2 + 5y1y2 define um produto interno ∈ IR.
b) Qual a norma induzida por este produto interno?
Solução: A nossa norma induzida por este produto interno ∈ IR2, será dada por:
‖~u‖ =
√
〈~u, ~u〉 =
√
3x21 + 5y
2
1
c) 〈~u,~v〉 = 4x1x2 + y1x2y2x1 + 4y1y2
Solução: Por hipótese ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) e 〈~u,~v〉 = 4x1x2 + y1x2y2x1 +
4y1y2, assim para provarmos que 〈 ~u,~v〉 é produto interno, ele tem que respeitar
quatro propriedades, essas são:
5
Com ~u,~v ∈ IR2 e α ∈ IR:
(i) 〈~v,~v〉 ≥ 0 ∀ ~v ∈ IR2, e 〈~v,~v〉 = 0↔ ~v = 0
(ii) 〈α~v1, ~v2〉 = α〈~v1, ~v2〉
(iii) 〈~u+ ~v, ~w〉 = 〈~u, ~w〉+ 〈~v, ~w〉
(iv) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉
Assim começaremos a provar (ii), seguindo nossa lei de formação dada no enun-
ciado, temos que seja α ∈ IR, portanto, temos:
α~u = α(x1, y1) = (αx1, αy1)
⇒ 〈α~u,~v〉 = 4αx1x2 + αy1x2y2αx1 + 4αy1y2
= α(4x1x2 + y1x2y2αx1 + 4y1y2)
⇒ 〈α~u,~v〉 6= α〈~u,~v〉
Portanto 4x1x2 + y1x2y2x1 + 4y1y2 não define um produto interno no IR2.
d) Qual a norma induzida por este produto interno?
Solução: Como 4x1x2 + y1x2y2x1 + 4y1y2 não define um produto interno no IR2,
não existe uma norma induzida.
Questão 4. Suponha que ~u,~v e ~w sejam vetores tais que:
〈~u,~v〉 = 2, 〈~u, ~w〉 = −1, 〈~v, ~w〉 = 5, ‖~u‖ = 1, ‖~v‖ = 2, ‖~w‖ = 1
Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
a) 〈~u+ ~v,~v + ~w〉
Solução:
〈~u+ ~v,~v + ~w〉 = 〈~u,~v + ~w〉+ 〈~v,~v + ~w〉
= 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉+ 〈~v,~v〉+ 〈~v, ~w〉
6
Agora usando os dados da hipótese, e lembrando que:
‖~v‖ =
√
〈~v,~v〉 ⇒ 〈~v,~v〉 = ‖~v‖2 = 22 = 4
Temos:
〈~u+ ~v,~v + ~w〉 = 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉+ 〈~v,~v〉+ 〈~v, ~w〉
= 2− 1 + 4 + 5 = 10
b) 〈2~v + ~w, 2~u− ~v〉
Solução:
〈2~v + ~w, 2~u− ~v〉 = 〈2~v, 2~u− ~v〉+ 〈~w, 2~u− ~v〉
= 〈2~v, 2~u〉+ 〈2~v,−~v〉+ 〈~w, 2~u〉+ 〈~w,−~v〉
= 4〈~v, ~u〉 − 2〈~v,~v〉+ 2〈~w, ~u〉 − 〈~w,~v〉
Agora usando os dados da hipótese, e lembrando que:
‖~v‖ =
√
〈~v,~v〉 ⇒ 〈~v,~v〉 = ‖~v‖2 = 22 = 4
Temos:
〈2~v + ~w, 2~u− ~v〉 = 4〈~u,~v〉 − 2〈~v,~v〉+ 2〈~u, ~w〉 − 〈~v, ~w〉
= 4× 2− 2× 4 + 2× (−1)− 5 = −7
c) ‖~u+ ~v + ~w‖
Solução:
‖~u+ ~v + ~w‖ =
√
〈~u+ ~v + ~w, ~u+ ~v + ~w〉
=
√
〈~u, ~u+ ~v + ~w〉+ 〈~v + ~w, ~u+ ~v + ~w〉
=
√
〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v + ~w〉+ 〈~v, ~u+ ~v + ~w〉+ 〈~w, ~u+ ~v + ~w〉
=
√
〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉+ 〈~v, ~u〉+ 〈~v,~v + ~w〉+ 〈~w, ~u+ ~v + ~w〉
=
√
〈~u, ~u〉+ 2〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉+ 〈~v,~v〉+ 〈~v, ~w〉+ 〈~w, ~u〉+ 〈~w,~v + ~w〉
7
=
√
〈~u, ~u〉+ 2〈~u,~v〉+ 2〈~u, ~w〉+ 〈~v,~v〉+ 〈~v, ~w〉+ 〈~w,~v〉+ 〈~w, ~w〉
=
√
〈~u, ~u〉+ 〈~v,~v〉+ 〈~w, ~w〉+ 2〈~u,~v〉+ 2〈~u, ~w〉+ 2〈~v, ~w〉
Agora usando os dados da hipótese, e lembrando que:
‖~v‖ =
√
〈~v,~v〉 ⇒ 〈~v,~v〉 = ‖~v‖2 = 22 = 4
Assim como:
‖~u‖ =
√
〈~u, ~u〉 ⇒ 〈~u, ~u〉 = ‖~u‖2 = 12 = 1
Do mesmo modo:
‖~w‖ =
√
〈~w, ~w〉 ⇒ 〈~w, ~w〉 = ‖~w‖2 = 12 = 1
Temos:
‖~u+ ~v + ~w‖ =
√
〈~u, ~u〉+ 〈~v,~v〉+ 〈~w, ~w〉+ 2〈~u,~v〉+ 2〈~u, ~w〉+ 2〈~v, ~w〉
=
√
1 + 4 + 1 + 2× 2 + 2× (−1) + 2× 5 =
√
18
8