Calc das Prob e Estat I AULA 5 Introduçao à Probabilidade

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Introdução à Probabilidade 
Unidade II - Aula 05 
Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I 
Professor: ELMIRO 
2015-1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
Introdução 
 No ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense, 
Chevalier de Mère, propôs a Blaise Pascal (1623–1662) 
algumas questões sobre possibilidades de vencer em jogos. 
 Eis a questão proposta: “Um jogo de dados entre dois 
adversários chega ao fim quando um dos jogadores vence três 
partidas em primeiro lugar. Se esse jogo for interrompido antes 
do final, de que maneira cada um dos adversários deve ser 
indenizado?”. 
 Pascal escreveu a Pierre de Fermat (1601–1665) sobre 
esse problema, e a correspondência entre eles deu subsídios e 
consequentemente o inicio da formatação da teoria das 
probabilidades. 
 Pierre-Simon Laplace (1749-1827), no livro Teoria 
analítica das probabilidades, demonstra admiração por essa 
nova teoria por meio da afirmação: “Uma ciência que começou 
pelo estudo dos jogos de azar e tem se transformado no mais 
importante objeto do conhecimento humano”. 
 
Continuação 
 Existem muitas situações que envolvem incertezas 
que sejam fenômenos ou experimentos aleatórios. 
 Um modelo matemático ajudará a investigar de 
maneira bastante precisa esse fenômeno, que de modo 
geral podem ser classificados como “Determinísticos” ou 
“Não-Determinísticos” 
 São Determinísticos quando os resultados são 
sempre os mesmos e determinados pelas condições sob 
as quais o procedimento seja executado. 
Exemplo: Deslocamento de um corpo; velocidade media; 
leis da física, etc. 
 
Continuação 
 São Não-Determinísticos, (Probabilísticos ou 
Aleatórios) quando aplicados em situações que envolvem 
incerteza. Desta forma os Resultados variam de uma 
observação para outra, mesmo em condições normais de 
experimentação. As condições do experimento determinam 
apenas o comportamento inserto do resultado observável. 
Para estes casos o modelo matemático aplicável é a 
“Teoria da Probabibidade” 
Exemplo: Lançamento de um dado; Índices econômicos; 
Tempo de vida de um equipamento eletrônico, etc. 
 
Continuação 
 A teoria das probabilidades é o fundamento para a 
inferência estatística. O que se busca nesta parte do curso 
é que sejamos capazes de compreenda os conceitos mais 
importantes da probabilidade e as suas aplicações. 
 O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia 
dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu 
conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo, 
podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70% de 
ser aprovado em uma determinada disciplina. Um 
professor está 90% seguro de que um novo método de 
ensino proporcione uma melhor compreensão pelos 
alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma nova 
máquina reduz em 20% o tempo de produção de um bem. 
 
Teoria da Probabilidade 
OBJETIVO 
A teoria das probabilidades busca quantificar as 
chances de ocorrer um dado fenômeno aleatório ou “não 
determinístico”. Pode também ser vista como o ramo da 
matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para 
estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. 
 Na teoria das probabilidades, estudamos os 
experimentos aleatórios equiprováveis, isto é, experimento 
onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma 
chance. 
 
Algum conceitos importantes 
 Experimento aleatório: São aqueles onde o processo 
de experimentação está sujeito a influências de fatores 
casuais que conduzem a resultados incertos e, ao ser 
repetido sob as mesmas condições, pode fornecer 
resultados diferentes. 
EXEMPLOS: 
1. Lançamento de uma moeda honesta; 
2. Lançamento de um dado; 
3. Lançamentos de duas moedas; 
4. Retirada de uma carta de um baralho completo de 
52 cartas; 
5. Determinação da vida útil de um componente 
eletrônico. 
 
Características de um experimento aleatório: 
 Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas 
condições. 
 Podemos descrever todos os possíveis resultados. 
 
Continuação 
 Espaço amostral: conjunto de todos os resultados 
possíveis de um experimento. É indicado pela letra . Os 
elementos do espaço amostral serão chamados de 
“pontos amostrais” 
EXEMPLOS 
 Nos exemplos dados anteriormente, os espaços 
amostrais são: 
1.  ={c, r} 
2. ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
3.  ={(c, r), (c, c), (r, c), (r, r), c=cara e r=coroa} 
4. ={Ao,..., Ko, Ap,..., Kp, Ae ,..., Ke, Ac,..., Kc} 
5. ={t  t  0} 
 
Continuação... 
 Evento: conjunto de resultados desejados do espaço amostral, 
ou seja, um subconjunto de . Pode ser expresso por um 
único ponto amostral ou uma reunião deles 
EXEMPLOS 
 Lançam-se dois dados (D1 e D2). Enumerar os 
seguintes eventos: 
A: saída de faces iguais; 
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10; 
C: saída de faces cuja soma seja igual a 12); 
D: saída de faces onde uma face o dobro da outra; 
E: saída de faces cuja soma seja menor que 2; 
F: saída de faces cuja soma seja menor que 15. 
 
. 
Continuação... 
Solução 
 ={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,6) (1,6) 
 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,6) (3,6) 
 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,6) (4,6) 
 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,6) (6,6)} 
Os eventos pedidos são: 
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 
B = {(4, 6), (5,5), (6, 4)} 
C = {(6, 6)} 
D = {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 6), (6, 3)} 
E =  (evento impossível) 
F =  (evento certo) 
Continuação... 
 Evento simples: todo subconjunto do espaço amostral 
com apenas um elemento. Exemplo: 
Evento C: saída de faces cuja soma seja igual a 12  
C = {(6, 6)} 
 Evento composto: todo subconjunto do espaço amostral 
com mias de um elemento. Exemplo: 
Evento B: saída de faces cuja soma seja igual a 10;  
B = {(4, 6), (5,5), (6, 4)} 
 Eventos mutuamente exclusivos: se a ocorrência de 
um deles, implica na não-ocorrência do outro. Exemplo: 
Evento C: saída de faces cuja soma seja igual a 12  
C = {(6, 6)} 
Evento B: saída de faces cuja soma seja igual a 10  
B = {(4, 6), (5,5), (6, 4)} 
Continuação... 
 Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o 
espaço amostral. 
EXEMPLOS 
Evento F: saída de faces cuja soma seja menor que 15.  
F =  (evento certo) 
 Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio. 
EXEMPLOS 
Evento E: saída de faces cuja soma seja menor que 2  
E =  (evento impossível) 
Continuação... 
CLASSE DE EVENTOS 
DEFINIÇÃO: Classe de Eventos é um conjunto formado por 
todos os eventos possíveis (subconjuntos) do espaço amostral. 
É representado por F() 
EXEMPLO 
 Consideremos um espaço amostral finito: 
  = {e1, e2, e3, e4}, então: 
  
 {el} {e2} {e3} {e4} 
F(n) = {el, e2} {el, e3) {el, e4} {e2, e3) {e2, e4} {e3, e4} 
 {el, e2, e3} {el, e2, e4} {el, e3, e4} {e2, e3, e4} 
 {el, e2, e3, e4} 
 
Continuação... 
Continuação... 
Diagrama de Venn 
 Uma forma de determinar o espaço amostral a 
através de um dispositivo gráfico em que o espaço 
amostral é representado por um retângulo e os eventos 
por círculos. Este dispositivo e denominado de 
“Diagrama de Venn” 
 
 
 
 A B 
 
  
, Continuação... 
Operações com eventos 
 Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. 
Consideremos um espaço amostral finito: 
 = {e1, e2, e3,..., en}. Sejam A e B dois eventosde F(). 
1. REUNIÃO 
DEFINIÇÃO: AB= {ei   ei  A ou ei B}, i = 1,2, ... ,n. 
 
 
 
 
 
A B 
 
2. INTERSEÇÃO 
DEFINIÇÃO: AB= {ei   ei  A e ei B}, i = 1,2, ... ,n. 
 
 
 A B 
 
  
3. COMPLEMENTAÇÃO 
DEFINIÇÃO: 𝐴 =  - A = {ei   ei  A}. 
 
 
 A 
 
  
Continuação... 
Continuação... 
A B 
 
4. SUBTRAÇÃO 
DEFINIÇÃO: A - B= {ei   ei  A e ei B}, i = 1,2, ... ,n 
 
 
 
 
 
 
 
Lei da Dualidade de Morgan 
1. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 
2. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 
Exercício... 
Continuação... 
PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL 
Definição: Dizemos que os eventos A1, A2, A3,..., An 
formam uma partição do Espaço Amostral  se: 
1. Ai    i=1,2,3, ... n 
2. AiAj=   i≠j 
3. Ai
n
i=1 =  
A1 
A4 
A2 
A3 
An  
.... 
Problemas 
1. Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os 
eventos: 
a) faces iguais; b) cara na 1ª moeda; 
c) coroa na 2ª e 3ª moedas. 
 
2. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias 
com três crianças, em relação ao sexo das mesmas, segundo a 
ordem do nascimento. Enumerar os eventos: 
A=Ocorrência de dois filhos do sexo masculino; 
B=Ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino; 
C=Ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino. 
Continuação... 
3. Um lote contém peça de 5, 10, 15, ... , 30 mm de diâmetro. 
Suponha que 2 peças sejam selecionadas no lote, Se x e y 
indicam respectivamente os diâmetros da 1ª e 2ª peças 
selecionadas, o par (x ; y) representa um ponto amostral. 
Usando a plano cartesiano, indicar os seguintes evento 
a) A={x=y} b) B={y>x} c) C={x=y-10) 
 
4. Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. 
Exprimir os eventos abaixo, usando as operações reunião, 
interseção e complementação. 
a) Somente A ocorre; b) A e C ocorrem e B não; 
c) A, B e C ocorrem; d) Pelo menos um ocorre; 
e) Exatamente um ocorre; f) Nenhum ocorre; 
g) Exatamente dois ocorrem; h) Pelo menos dois ocorrem; 
i) No máximo dois ocorrem. 
Probabilidade 
Continuação... 
Propriedades Fundamentais 
 Se  for o conjunto vazio, então: 
 P()=0. 
 Se for o evento complementar de A, então: 
P( ) = 1 - P(A). 
 Se A e B forem eventos quaisquer tais que A  B então: 
P(A)  P(B). 
 Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
A A
Continuação... 
Espaços amostrais finitos e equiprováveis 
 Um espaço amostral  é dito finito se  = 
{a1,a2,...,an}. 
 Considere o evento Ai = {ai} formado por um 
resultado simples. A cada evento simples {ai} 
associaremos um número pi, denominado de 
probabilidade de {ai}, satisfazendo às seguintes 
condições: 
1. pi  0, i = 1, 2, ..., n. 
2. p1 + p2 + ... + pn =1. 
 
 
 
 
Continuação... 
Se considerarmos o espaço equiprovável teremos: 
p1 = p2 = ... = pn = p 
logo p + p + ...+ p =1  np = 1  p=
1
𝑛
 
Considere agora o evento B={a1,a2,...,ak} com k<n 
Então B pode ser escrto como: 
B= A1  A2... Ak então 
P(B) P(A1) +P(A2)+...+P(Ak) = 
1
𝑛
+
1
𝑛
+...+
1
𝑛
= 
𝑘
𝑛
=
𝑛(𝐵)
𝑛()
 ou seja; 
P(B)=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
 
 
 
 
Continuação... 
Exemplos 
1. Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A tem duas vezes 
mais chance de ganhar que B e B tem duas vezes mais chance 
que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto 
é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ou C 
ganhe? 
Solução: 
 Seja P(C) = p. Como B tem duas vezes mais chance de 
ganhar do que C, então P(B)=2p. Como A tem duas vezes mais 
chance de vencer do que B, P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p. 
Sabemos que a soma das probabilidades tem que ser 1; então: 
p + 2p + 4p = 1  7p = 1  p = 1/7. 
Logo, P(A) = 4/7 ; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7 
Por definição, P(B  C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7 
Continuação... 
2. Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos. Seja 
P(A) = 0,20 e P(B) =0,30. Calcule as probabilidades: 
 a. P(A) b. P(B) 
 c. P(AB) d. P(AB) 
 e. P(AB) e. P(AB) 
 
3. Suponha agora que os eventos A e B sejam 
mutuamente exclusivos. Adicionalmente sabemos que 
P(AB)=0,10. Calcule as mesmas probabilidades. 
Continuação... 
Continuação... 
Tabela de contingência 
 Revela a existência de eventos combinados, e 
facilita o tratamento probabilístico de tais eventos. 
 É uma tabela que disponibiliza informações 
diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas 
informações é possível visualizar também o número de 
casos comuns às interseções de eventos. 
Continuação... 
EXEMPLO: Perguntou-se, a uma amostra de adultos em 
três cidades, se eles gostavam de um novo suco. Os 
resultados estão a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Determine a probabilidade de uma pessoa sorteada: 
a. seja de Patos ou tenha respondido SIM a pesquisa. 
b. seja de J. Pessoa e tenha respondido NÃO a 
pesquisa. 
 
Resultado J. Pessoa C. Grande Patos Total 
Sim 100 150 150 400 
Não 125 130 95 350 
Não Sabe 75 170 5 250 
Total 300 450 250 1000 
Continuação... 
EXEMPLO: Perguntou-se, a uma amostra de adultos 
formados em engenharia, em três capitais do nordeste, 
se eles atuavam na área. Os resultados estão a seguir. 
 
 
 
 
 
 Um adulto é selecionada ao acaso. Determine a 
probabilidade de que: 
a. Seja de Natal ou tenha respondido Sim 
b. Seja de Recife e tebha respondido Não 
c. Seja de J. Pessoa. 
Resultado J. Pessoa Recife Natal Total 
Sim 160 220 180 560 
Não 135 80 95 310 
Total 295 300 275 870 
Continuação... 
Probabilidade Condicional 
EXEMPLO 1: Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não 
defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote. 
Sejam A={o 1 artigo é defeituoso} e B={o 2 artigo é defeituoso}. 
Calcule P(A) e P(B) 
a) com reposição; b) sem reposição. 
b) Se extrairmos com reposição, P(A)=P(B)=20/100, pois cada vez 
que estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas 
no total de 100. 
b) Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que 
P(A)=20/100. E sobre P(B)? É evidente que, a fim de 
calcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do lote no 
momento de se extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se 
A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a necessidade de se 
introduzir um novo conceito. Se não vejamos. 
 
Continuação... 
 Se o 1 artigo retirado é defeituoso então sabemos que 
o evento A ocorreu, então a probabilidade do o 2 artigo ser 
defeituoso sabendo-se que o 1 artigo é defeituoso será 
representado por: 
P(B/A)=19/99. (probabilidade da ocorrência do evento B dado 
a ocorrência do evento A) 
 Se o 1 artigo retirado é não defeituoso então sabemos 
que o evento A não ocorreu, então a probabilidade do o 2 
artigo ser defeituoso sabendo-se que o 1 artigo é não 
defeituoso será representado por: 
P(B/𝐴)=20/99. (probabilidade da ocorrência do evento B dado 
a não ocorrência do evento A) 
 
 
Continuação... 
EXEMPLO 2: Consideremos 250 alunos que cursam o 
primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são 
homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 
140 cursam química (Q). A distribuiçãodos alunos a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 Um aluno sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de 
que esteja cursando química, dado que mulher? 
 
 
 
Sexo 
CURSO 
Total 
Física(F) Química(Q) 
Homens(M) 40 60 100 
Mulheres(F) 70 80 150 
Total 110 140 250 
Continuação... 
 Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de 
80
150
 e 
representamos por: 
P(Q/M)=
80
150
 (probabilidade de que o aluno curse química, 
condicionado ao fato de ser mulher) 
 Observamos porem, que P(MQ)=
80
250
 e P(M)=
150
250
. Para 
obtermos o resultado do problema basta considerar que: 
P(Q/M) = 
80
250
150
250
=
80
150
 
Logo P(Q/M)= 
P(M∩Q)
P(M)
. 
Continuação... 
Probabilidade Condicional: Definição 
 A probabilidade de um evento A ocorrer, dado (ou 
na condição de) que o evento B já ocorreu, será dado 
por: 
 
 
 
Obs.:Sempre que calcularmos P(A|B), estaremos 
essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço 
amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo em relação ao 
espaço original  
0P(B) para,
P(B)
B)P(A
B)|P(A 


Continuação... 
1. Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabilidade 
da soma das faces obtidas ser igual a 6, dado que o 
primeiro dado saiu um número menor que 3. 
Solução: 
={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,6) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,6) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,6) (4,6) 
 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,6) (6,6)} 
 
A = {soma igual a 6} = {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)} 
B = {1º dado com nº < 3 } = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
 (2,2) (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)} 
A  B = {(1,5), (2,4)} 
Logo P(A | B)= 
2
36
12
36
= 2/12 = 1/6 
 
 
Exemplos: 
Continuação... 
1. Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação 
do status de promoção de oficiais masculinos e femininos, são 
apresentados na tabela abaixo (dados fictícios): 
 
 
 
 
 Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino 
de oficiais levantou um caso de discriminação com base em que 288 
oficiais masculinos receberam promoções mas somente 36 oficiais 
femininas foram promovidas. A administração da polícia argumentou 
que o número relativamente baixo de promoções para as oficias 
femininas foi devido não à discriminação, mas ao fato de que há 
relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora, 
como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu 
questionamento da acusação de discriminação? 
Continuação... 
Teorema da Multiplicação 
 A mais importante consequência da definição de 
probabilidade condicional é o seguinte teorema: 
 Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo 
espaço amostral , então: 
 ou 
 O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser 
generalizado para mais de dois eventos, assim: 
 Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um 
mesmo espaço amostral , a probabilidade da ocorrência 
simultânea de A1, A2,..., An é dada por: 
P( Ai) = P A1 . P A2/A1
n
i=1 . P(A3/A1 ∩ A2)P(A4/A1 ∩ A2
∩ A3)…P(An/ A1 ∩ A2…An−1) 
 
 P(A/B) P(B)B)P(A  P(B/A)P(A)B)P(A 
Continuação... 
Exemplos: 
 Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas. 
Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição. Calcule a 
probabilidade dessas 3 lâmpadas serem boas. Então 
P(A1A2A3) = P(A1)xP(A2/A1)xP(A3/A1 A2) =
4
6
 . 
3
5
 . 
2
4
 = 
1
5
 
 Dois carros são selecionados em uma linha de 
produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a 
probabilidade de ambos os carros serem defeituosos. 
Sejam os eventos: A = o 1o carro é defeituoso. 
 B = o 2o carro é defeituoso. 
Logo P(A) = 5/12 e P(B/A) = 4/11, então: 
 
 , 
 
 
 
P(AB) = P(A).P(A/B) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,1515 
Continuação... 
Teorema da probabilidade Total 
 Sejam A um evento qualquer do espaço amostral  e 
B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaço amostral , 
então: 
P(A) = P(A/ B1)P(B1) + P(A/ B2)P(B2) + ... + P(A/ Bk)P(Bk) 
Ou seja: 
P(A)= 
 
P A B P Bi i
i
k
( / ) ( )


1
Continuação... 
EXEMPLO: No curso de Engenharia Mecânica 5% dos 
homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais. 
Sabe-se também que 60% dos estudantes são homens. 
Sorteando-se aleatoriamente um estudante, calcule a 
probabilidade de que ele esteja acima do peso. 
Sejam: A = o estudante esta acima do peso. 
 M=a estudante seja mulher e H=o estudante seja homem 
Então pelo teorema da multiplicação de probabilidade, teremos: 
 
P(A) = P(A/M)P(M) + P(A/H)P(H) = 0,02 x 0,4 + 0,05 x 0,6= 
 0,04 
Continuação... 
Eventos independents 
 Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de 
ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-
ocorrência) do evento A, ou seja: 
P(A/B)=P(A) ou P(B/A)=P(B) 
Assim A e B são eventos independentes se P(AB) = P(A).P(B). 
Exemplo: 
Lançam-se 3 moedas. Verificar se são independentes os seguintes 
eventos: A: saída de cara na 1ª moeda; B: saída de coroa na 2ª e 3ª 
moedas. 
 = {(ccc), (ccr), (crc), (crr), (rcc), (rcr), (rrc), (rrr)} 
A= {(ccc), (ccr), (crc), (crr)}  P(A)= 
4
8
=
1
2
 
B= {(crr), (rrr)}  P(B)= 
2
8
=
1
4
 (AB)= {(crr)}  P(AB)= 
1
8
 
Como P(A).P(B)= 
1
2
.
1
4
 = 
1
8
 ⇒ P(AB)=P(A).P(B), temos que A e B são 
eventos independentes. 
Continuação... 
Teorema de Bayes 
 Sejam B1, B2, ..., Bk uma partição do espaço amostral , 
ou seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento 
qualquer associado a  , então: 
 
 
 
 
)).P(BP(A/B)).P(BP(A/B
)).P(BP(A/B
p(A)
A)P(B
/A)P(B
kk11
iii
i





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Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes são homens 
e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 
4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dado que um 
estudante com menos de 1,60m foi sorteado aleatoriamente, 
qual a probabilidade de ser mulher ? 
Solução: Sejam os eventos: H={Homem}, M = {Mulher}, 
 A = {menos de 1,60m} 
 
 






A)P(HA)P(M
A)P(M
P(A)
A)P(M
P(M/A)
0,60)(0,010,40)(0,04
0,400,04
)P(A/H).P(H)P(A/M).P(M
)P(A/M).P(M





727,0
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Exemplo: Uma determinada peça é produzido por três 
fábricas: 1, 2 e 3. Sabe-se que 1 produz o dobro de peças que 
2, e que 2 produz o mesmo número de peças que 3. Sabe-se 
também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2 são 
defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por 3 são 
defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um 
deposito e em seguida uma é escolhida ao acaso. Qual a 
probabilidade da peça escolhida seja defeituosa?. Sabendo-se 
que a peça selecionada seja perfeita qual a probabilidade de 
ter sido produzida pela fabrica 3?