Calc das Prob e Estat I AULA 6 Variáveis aleatória

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Variáveis Aleatória (VA) 
Unidade II - Aula 06 
Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I 
Professor: ELMIRO 
2015-1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
Introdução 
 Ao descrevemos um espaço amostral associado um 
experimento aleatório, necessariamente não especificamos que um 
resultado individual seja um valor numérico. 
Exemplos: 
1. Lance uma moeda honesta três vezes e observe a sequência de 
caras e coroas obtidas. 
={kkk, kkc, ckk, kck, kcc, ckc, cck, ccc}, em que k =cara e c =coroa. 
 
2. De um lote de 4 peças das quais 2 são defeituosas, peças são 
extraídas até as 2 defeituosas sejam retiradas. 
={DD, DPD, PDD, DPPD,...}, em que D =defeituosa e P =perfeita. 
 
3. Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos. 
 ={MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}, em que 
 F =feminino e M =masculino. 
 
 
Continuação 
 Contudo, em muitas situações experimentais, 
estaremos interessado na mensuração de algo e no seu 
registro como um número. 
 Mesmo nos exemplos anteriormente poderemos 
atribuir um número real a cada elemento do espaço amostral. 
Exemplos: 
1. Seja X o número de caras. 
 X(kkk)=3, X(kkc)=X(ckk)=X(kck)=2,X(kcc)=X(ckc)=X(cck)=1 
 e X(ccc)=0. 
2. Seja X o número de peças retiradas. 
 X(DD)=2, X(DPD)=X(PDD)=3 e X(DPPD)=X(DPDP)=...=4. 
3. Seja X o número de meninos. 
 X(MMM)=3, X(MMF)=X(MFM)=X(FMM)=2, 
 X(MFF)=X(FMF)=X(FFM)=1 e X(FFF)=0. 
 
 
 Na realização de um fenômeno aleatório, é comum termos 
interesse em um ou mais particulares resultados e a eles 
associamos um número. 
 Desta forma são obtidas funções dos resultados que são 
de nosso interesse. Nesses casos, os elementos 
resultantes são as quantidades de interesse. 
 Após a realização do fenômeno teremos uma observação 
conhecida que, no entanto, não é mais aleatória. 
 Podemos considerar que a observação conhecida do 
fenômeno aleatório, produz um particular valor observado 
da variável aleatória. 
 Assim, uma outra realização do fenômeno, fornecerá um 
outro valor observado da variável, na maioria das vezes, 
diferente do anterior. 
 
 
Características 
Continuação 
 Desejamos então atribuir um número real x a cada 
resultado do espaço amostral . 
O domínio de X é  , e os números na imagem são números 
reais. 
 
 qualitativo 
 atributo discreto 
 quantitativo v. a.  
 contínuo 
 
 
Continuação 
 Como sabemos, características de interesse em diversas 
áreas estão sujeitas à variação. 
 Essa variabilidade ocorre ao acaso pois resulta de uma 
soma de fatores não-controlados. 
 Toda vez que uma variável é influenciada pela 
aleatoriedade, diz-se que esta é uma variável aleatória. 
 Exemplos: número de livros de uma biblioteca, 
 peso de recém-nascidos. 
 Usaremos letras maiúsculas (X, Y, Z, …) para indicar 
variáveis aleatórias. 
 Letras minúsculas (x, y, z, …) representarão valores 
assumidos por variáveis aleatórias 
 
Conceitos 
 Formalmente: Uma variável aleatória (VA) pode ser 
entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado 
(valor) depende de fatores aleatórios. 
 Resumidamente, variável aleatória é uma função que 
associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, 
ou seja, X :    
 
 
  
X 
Variável 
aleatória 
X(s) s 
Continuação... 
 Exemplo: 
Experimento Aleatório E: Lançamento de duas moedas; 
Variável Aleatória X: Número de caras obtidas nas duas 
moedas. 
Espaço amostral associado a E:  = {(c, c), (c, r), (r, c), (r, r)} 
 x=0 → correspondente ao evento (r, r); 
 x=1 → correspondente ao evento (r, c), (c, r); 
 x=2 → correspondente ao evento (c, c). 
 
 
 
  X:número de cara 
obtidas 
(r, r) 
(r, c) 
(c, r) 
(c, c) 
0 
1 
2 
Continuação 
 As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou 
contínuas, dependendo do tipo de conjunto de valores que elas 
podem assumir. 
• Variável discreta: quando a variável assume valores num 
conjunto finito ou infinito numerável. 
 Exemplos: 
 Número de filhos. 
 Número de funcionários de uma empresa. 
 Número de tumores detectados por um exame. 
 Número de peças defeituosas 
 
 
Algumas definições 
• Variável contínua: quando a variável assume valores de um 
conjunto infinito não numerável. 
 Exemplos 
 Tempo até a cura de uma doença 
 Altura de árvores 
 Peso de recém-nascidos 
 Concentração de CO
2
 na água 
 Poluição sono. 
 
 
Continuação 
Observação: Um caso especial de variável aleatória discrete é 
quando esta pode assumir um dentre dois valores possíveis. 
 Este tipo de variável recebe, em estatística, o nome de 
variável “dicotômica” ou “binária”. 
 
 Exemplos: 
 Classificar um tumor como malígno ou benígno 
 Determinar, através de uma imagem de satélite, se 
numa determinada área de floresta está ou não 
ocorrendo uma queimada 
 Em coletas de sangue, se o fator Rh é + ou – 
Variáveis Aleatória Discreta 
Função de Distribuição de Probabilidades 
 A função de distribuição de probabilidade de uma variável 
aleatória qualquer X é uma descrição das probabilidades associadas 
aos valores possíveis de X que permite a definição de um modelo 
matemático apropriado a cada situação. 
 Para uma variável aleatória discreta, esta distribuição é 
frequentemente especificada por uma tabela composta dos valores 
possíveis da V.A. juntamente com a probabilidade de cada um destes 
valores. 
 Em alguns casos, é conveniente expressar a probabilidade 
em termos de uma fórmula. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos. 
 ={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)} 
 Defina X: nº de crianças do sexo masculino (M). 
 Então X é uma V.A. discreta que assume valores no conjunto 
 X: {0, 1, 2, 3}. 
 
2) Observar o tempo de reação a um certo medicamento. 
 Defina X: tempo de reação ao medicamento. X é uma V.A. 
contínua que assume qualquer valor real positivo. 
 X: {t+/ t≥0} 
Continuação... 
Exemplo 1: 
E: lançamento de três moedas honestas; 
X: número de caras obtidas. 
 = {(c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (r,c,c) (c,r,r), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)} 
X: { 0, 1, 2, 3) 
 
Função Distribuição de probabilidade: 
 
 
 
 
Uma função de probabilidade deve satisfazer: 
 0≤P(X=x)≤1 
 P(X=x) = 1𝑛𝑖=1 
 
Continuação... 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 
Exemplo 2: 
 Um dado é lançado duas vezes de forma 
independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser 
menor do que 6. 
Solução: 
E: lançamento de dois dados; 
X: soma dos pontos obtidos nos dois dados: 
 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), 
 (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), 
 (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), 
 (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), 
 (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), 
 (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. 
X:{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 
Continuação... 
Função distribuição de probabilidade 
 
 
 
Então, 
P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) 
 = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36. 
Poderíamos estar interessado em outras V.A’s, tais como: 
1. Y: valor máximo obtido dentre osdois lançamentos 
 
 
 
 
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
P(X=X) 
1
36
 
2
36
 
3
36
 
4
36
 
5
36
 
6
36
 
5
36
 
4
36
 
3
36
 
2
36
 
1
36
 
y 1 2 3 4 5 6 
P(Y=y) 
1
36
 
3
36
 
5
36
 
7
36
 
9
36
 
11
36
 
Continuação... 
2. Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento 
 
 
 
 
3. W: pontos do segundo lançamento 
 
 
z -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
P(Z=z) 
1
36
 
2
36
 
3
36
 
4
36
 
5
36
 
6
36
 
5
36
 
4
36
 
3
36
 
2
36
 
1
36
 
w 1 2 3 4 5 6 
P(W=w) 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
1
6
 
, Função de distribuição acumulada 
Definição: 
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X 
é a função FX: RR definida por: 
 FX(x) = P(X ≤ x) = P(X=t)
x
t=1 
Exemplo: 
 Determine a função de distribuição acumulada do 
exemplo 2 obtida anteriormente para a V.A. Y 
Solução. 
 A função de distribuição de probabilidade da V.A. 
 Y: “valor máximo obtido dentre os dois lançamentos” obtida é 
 
 
 
 
 
 
y 1 2 3 4 5 6 
P(Y=y) 
1
36
 
3
36
 
5
36
 
7
36
 
9
36
 
11
36
 
Continuação... 
Logo a função de distribuição acumulada será: 
Fy(1)=P(Y=1)=1/36 
Fy(2)=P(Y=1)+P(Y=2)=1/36+3/36=4/36 
Fy(3)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=1/36+3/36+5/36=9/36 
Fy(4)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=1/36+3/36+5/36+ 
 +7/36=16/36 
Fy(5)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=1/36+3/36+ 
 +5/36+7/36+9/36=25/36 
Fy(6)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)= 
 =1/36+3/36+5/36+7/36+9/36+11/36=36/36=1 
Continuação 
Então 
 0 se y<1 
 01/36 se 1≤ y<2 
 04/36 se 2≤ y<3 
Fy(y)= 09/36 se 3≤ y<4 
 16/36 se 4≤ y<5 
 25/36 se 5≤ y<6 
 1 se y≤6 
 
 
 
Representação gráfica 
0 
1/36 
4/36 
9/36 
16/36 
25/36 
1 
1 2 3 4 5 6 Y 
F(y) 
Continuação... 
Observações importantes 
 O domínio de F é a reta real. 
 e 
 F é não decrescente, isto é, se , teremos 
 A magnitude de cada salto é p(xi), isto é 
onde 
 , isto é, F é descontínua à esquerda. 
 , isto é, F é contínua à direita. 
 
1)(lim 

xF
x
x x1 2 F x F x( ) ( )1 2
P X x F x F x( ) ( ) ( _ )  
F x F y
y x
( _ ) lim ( )
 
F x F x( _ ) ( )
F x F x( ) ( ) 
lim ( )
x
F x

 0
Continuação 
Exercício: Considere uma variável aleatória X com a seguinte 
função de probabilidade: 
 c, para k = 1, 3, 5 
 P(X=k) = 
 2c, para k = 2, 4 
 
a) Determine o valor da constante “c” que torna a distribuição 
acima uma legítima distribuição de probabilidade. 
b) Determine a função de distribuição acumulada F(x) e 
construa o gráfico. 
c) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5). 
Continuação 
Exercício: 
1. Seja X uma variável aleatória discreta com função de 
distribuição acumulada dada por: 
a. F(-2)=0,3, F(0)=0,5, F(1)=0,6, F(2)=0,8 e F(5)=1. 
b. Calcule P(-1≤X≤4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variáveis Aleatória Continuas 
 
 
 
Uma variável aleatória X é contínua se existir uma função f, 
denominada função de densidade de probabilidade (fdp) de X, 
que satisfaça as seguintes condições: 
1. f(x) ≥ 0 para todo x  𝑅𝑋 
2. f x dx = 1
+∞
−∞
 
3. Para qualquer, a e b com -∞< a < b < + ∞, teremos: 
 P(a ≤ X ≤ b) = f x dx. 
𝑏
𝑎
 
Continuação... 
Observações: 
1. P(a ≤ X ≤ b) representa a área sob a curva da função 
densidade de probabilidade entre a e b 
2. Para qualquer valor especifico de X, digamos xo, teremos 
P(X = xo) = 0, pois f x dx = 0. 
𝑥𝑜
𝑥𝑜
 
3. Como a probabilidade de X assumir valores em pontos 
isolados e nula então P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = 
 =P(a < X ≤ b) = P(a < X < b), 
 
Continuação... 
Exemplo: 
 Considere X uma variável aleatória contínua com a 
seguinte fdp: 
 
 
 
1. Mostre que f(x) é uma fdp. 
2. Calcule e 


 

valores outros quaisquer para 0,
1,x0 2x,
f(x)
P X( / ) 1 2 )4/34/1(  XP
Continuação... 
Função de Distribuição de Probabilidade Acumulada 
 Definimos função de distribuição de probabilidade 
acumulada da variável aleatória X como sendo: 
 
 
Para o caso contínuo, temos: 
 
 
Observação: Seja F(x) a função de distribuição acumulada de 
uma variável aleatória contínua X, então, a fdp de x f(x) é dada 
por para todo x no qual F(x) seja derivável. 
 
 
 
 
 
 
x)P(XF(x)   
x
f(s)dsF(x) F(x)
dx
d
 f(x) 
Exercícios: 
 
 
1. Encontre a função de distribuição acumulada da seguinte 
função de densidade de probabilidade 
 
 
 
 
2. Seja X uma variável aleatória com densidade dada por: 
 
 
 
a) Determine o valor da constante “d” que modo a torna a f(x) 
acima numa legítima função de densidade de probabilidade. 
b) Determine a função de distribuição acumulada F(x). 
c) Calcule a P(X>1), P(X<1/2) e P(-1/2<X≤2/3). 
 
 
 
 


 

valores outros quaisquer para 0,
1,x0 2x,
f(x)


 

valoresoutrosquaisquerpara 0,
2x2 ,xd
f(x)
2