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ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS 1.� Forças no plano A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 1 abaixo. F α F α Figura 2.1 O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. 2. Equilíbrio de um ponto material Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço. Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”. Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, escreve-se: 0==Σ RF onde: F = força R = resultante das forças Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 01Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material pode ser representada por um diagrama de corpo livre, como indica a figura ao lado. F3 F2 A F4 F1 Figura 2.2 Exemplo: verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são: 0=Σ xF 0º302000º3010001500 =−−=Σ sensenFx 010005001500 =−−=Σ xF ok 0=Σ yF 0866º30cos1000º30cos2000 =−−=Σ yF 08668661732 =−−=Σ yF ok xA F = 1500N1 F = 1000N3 F = 866N2 30° y F = 2000N4 30° Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio 3. Resultante de uma força Constata-se experimentalmente que duas forças P e Q que atuam sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto material. Essa força é chamada de resultante de P e Q. Portanto, a resultante de um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação idêntica à produzida pelo grupo ou sistema de forças. A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou analíticas. a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de três forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de forças, como indicado nas figuras abaixo. Regra do paralelogramo Q A P A P Q R R Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 02Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados Regra do Triângulo A Q A R=P+Q P Q P R=P+Q Composição de forças R=F1+F2-F3 F3 R=F1+F2 F1 F1 R=F1+F2+F3 F2 F3 F3 F2 F3 Decomposição de forças F Fx y x y F b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de equilíbrio. Exemplos Determinar a Resultante das duas forças P e Q agem sobre o parafuso A. Q=60 N 25º 20ºA P=40 N Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 03Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados a. Soluções gráficas 35.0° R=98 N A 20º 25º P=40 N Q=60 N R=98 N Q=60 N A P=40 N 35.0° Regra do paralelogramo Regra do triângulo b. Solução analítica: trigonometria Cálculo da força resultante: Lei dos cossenos: BPQQPR cos2222 −+= º155cos604024060 222 ×××−+=R NR 7,97= Cálculo do ângulo α Lei dos senos R senB Q senA = 7,97 º155 60 sensenA = 25,0=senA º15=A º20+= Aα º35º20º15 =+=α A R Q=60 N α P=40 N B 155° C Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de reação que equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário”. Portanto, o parafuso está reagindo por uma força de mesma intensidade da resultante de P e Q, mas em sentido contrário. A força de reação pode ser decomposta em duas forças Fx e Fy, que são suas projeções sobre os eixos (x e y). NFx 80º35cos7,97 =×= NsenFy 56º357,97 =×= A R=97,7 N 35° Fx=80 N 20º Fy=56 N R=97,7 N P=40 N 25º Q=60 N 35.0° Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 04Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados Verificação do equilíbrio do ponto A Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que a somatória de todas as forças que agem no ponto A sejam nulas, ou seja: 0 1 =∑ = n i nF y Q=60 N Fy=56 N x 25º 20ºAFx=80 N P=40 N ∑ = 0xF ∑ =−×+×= 080º20cos40º45cos60xF 00 = ok ∑ = 0yF ∑ =−×+×= 056º2040º4560 sensenFy 00 = ok Um caso particular da terceira lei de Newton é a lei da gravitação que trata da atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força de atração exercida pela Terra sobre o ponto material é definida como o seu peso (P). a intensidade do peso P de um ponto material de massa m é expresso como. gmP ⋅= onde g=9,81 m/s2 é a aceleração da gravidade. 2. Determinar as forças nos cabos. gmP ⋅= ( )2/81,9)(75 smkgP ×= NP 736= 30°50° A 75 kg C B 736 N 80° 60° ACT 40° TAB solução gráfica: desenho do polígono de forças. º80 736 º40º60 sensen T sen T ACAB == TAB = 647 N e TAC = 480 N Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 05Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 50° 30° A 736 N TAB ACT solução analítica: equações de equilíbrio. 0=Σ xF 0º50cosº30cos =⋅−⋅ ABAC TT º30cos º50cos⋅= ABAC TT (1) 0=Σ yF 0736º30º50 =−⋅+⋅ senTsenT ACAB Substituindo TAC pela relação (1), tem-se 736º30 º30cos º50cosº50 =⋅⋅+⋅ senTsenT ABAB TAB = 647 N e TAC = 480 N Exercícios 1. Determinar a força F e o ângulo α. A AT =2,5 kN BT = 2,5 kN F y α x 50°20° C 20° B50° α F Respostas: F=2,85 kN e α = 74,7º 2. Determinar as forças nos cabos x y 60° 20° AT TB P m=50 kg A 60° 20° B Respostas: TA = 761,3 N e TB = 381 N 3. Determinar a resultante do sistema de forças indicado e o seu ângulo de inclinação em relação ao eixo x. 70° F = 15 N3 F = 10 N1 x50° F = 20 N2 Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 06Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados Roteiro: a. Determinar inicialmente a resultante entre as forças F1 e F2 e seu respectivo ângulo (α12) em relação ao eixo x. Chamar a resultante de R12; b. Em seguida, determinar a resultante de todo o sistema, chamando-a de R123 (R123 é a resultante entre R12 e F3); c. Finalmente, determinar o ângulo (α123) de R123 em relação ao eixo x. Respostas: R123 = 32,19 N e α123 = 61,46º 4. Determinar o valor da força F. a) y x 159,65 N 300 N20° 60° F b) x F60° 346,41 N 30° 200 N y Resp. F = 314,41 N Resp. F = 400 N c) F y x 45° 45° 141,42 N 141,42 N d) y x F30° 60° 45° 250 N 120 N 91,9 N Resp. F = 200 N Resp. F = 255,45 N e) 329,36 N 100 N 100 N F 60° 70° 45° x y f) 65° 61 kg 45° F 450 N Resp. F = 321,74 N Resp. F=268,95 N Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 07Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 4. Momento de uma força Define-se Momento como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do módulo de F e da distância de F em ao eixo fixo. Considere-se uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0, como indicado na figura. A força F é representada por um vetor que define seu módulo, direção e sentido. O vetor d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. 0 A d M0 F Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo dFM ×=0 onde: M0= momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 0 = pólo ou centro de momento d= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de alavanca O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de M0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. M-M+ No SI, onde a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m). Portanto, o momento é expresso em newtons × metros (N × m). 4.1. Momento de um sistema de forças coplanares Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em relação ao ponto 0, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo ponto 0. 0 A A F F 3 1 1 2 A 2b1 b2 b3 F3 ∑ = = n i FS i MM 1 0,0, 4.2. Teorema de Varignon Seja R a resultante do sistema de forças S. “O Momento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é igual ao momento do sistema ou seja, a soma algébrica dos Momentos de todas as forças componentes em relação ao mesmo ponto O”. ∑ = == n i FSR i MMM 1 0,0,0, Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 08Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 4.3. Momento de um binário Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. b 1-F 2A A1 F1 Exemplos 1. Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado na figura. Determinar: a) o momento da força em relação a D; b) a menor força aplicada em D que ocasiona o mesmo momento em relação a D; c) o módulo e o sentido da força vertical que, aplicada em C, produz o mesmo momento em relação a D; d) a menor força que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relação a D. B 30° A D 22 5m m 225mm C 12 5m m 300mm 450 N 30° B 197.3mm 22 5m m C225mm 52.6° D12 5m m 300mm 37.4°325 30° 22.6° A 450 N Solução a) braço de alavanca 197,3 mm Momento M=F×b M=450×197,3= 88785 N.mm ou M= 88,8 N.m B 30° A 22 5m m 375 mm 225mm C 53.1° 36.9° 12 5m m D 300mm 450 N b) Para se obter a menor força aplicada em B que ocasiona o mesmo momento em relação a D, deve-se utilizar o maior braço de alavanca, ou seja: 375300225 22 =+=b mm b MF = 8,236 375,0 8,88 ==F N c) b MF = 7,394 225,0 8,88 ==F N Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 09Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados d) A menor força que, aplicada em C, ocasiona o mesmo momento em relação a D é aquela cujo braço de alavanca é o maior possível, ou seja: 2,318225225 22 =+=b mm b MF = 279 3182,0 8,88 ==F N 30° 318,2 mm22 5m m C225mm D1 25 m m 300mm B A 450 N 2. A figura abaixo representa uma junta rebitada, composta por dois rebites de mesmo diâmetro. Determinar as forças horizontais e verticais atuantes nos rebites. Como os rebites são iguais, as cargas e as reações verticais em cada rebite também são iguais: RAV= RBV= 3000÷2= 1500 N. O rebite A está sendo “puxado” para a direita, portanto, possuirá uma reação horizontal para a esquerda; O rebite B está sendo “empurrado” para a esquerda, portanto, possuirá uma reação horizontal para a direita. Determinação dos esforços horizontais: ∑ = 0AM RBH×200=3000×600 = 9000 N RAH= RBH=9000 N B RBV ARAH RAV RBH 20 0m m 600mm 3000 N 3. Determinar o Momento em A devido ao binário de forças ilustrado na figura MA= F×b MA= 500×0,12 = 60 N.m 30 0m m 12 0m m F1=500 N F2=500 N A 30° B Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 10Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 4. Substituir o binário da figura por uma força F vertical aplicada no ponto B. F1=F2= 500 N MA= F×b b MF = 400 15,0 60 ==F N 30 0m m 150mm AM =60N.m 12 0m m A 30° F=400 N B 5. Substituir o binário e a força F ilustrados na figura por uma única força F=400 N, aplicada no ponto C da alavanca. Determinar a distância do eixo ao ponto de aplicação desta força. MA= (400×0,15) + (200×0,12) = 84 N.m F Md = 21,0 400 84 ==d m = 210 mm 420 º60cos 210 ==AC mm 30 0m m 12 0m m AM 200 N 200 N d=210mm 150mm A 30° F=400 N AC B C 5. Determinar a intensidade da força F para que atue no parafuso o torque (momento) de 40 N.m. 217 º23cos 200 ==a mm = 0,217 m MA= F×b b MF = 1,184 217,0 40 ==F N 6. Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de φ 20 mm a uma luva, como mostra a figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força aplicada no aperto for 40 N. ∑ = 0AM 40 × 180 = F × 30 240 30 18040 =×=F N Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 11Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 4.4. Equilíbrio de corpos rígidos Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo. 0=ΣF 00=ΣM As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática. Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço: x 0 y z 0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ zF 0=Σ xM 0=Σ yM 0=Σ zM Equilíbrio ou em duas dimensões As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente no caso de uma estrutura bidimensional. Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, tem-se: x 0 y 0=zF 0== yx MM 0MM z= para cada uma das forças aplicadas ao corpo rígido, então as seis equações de equilíbrio no espaço reduzem-se a: 0=ΣxF 0=Σ yF 0=Σ AM onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser resolvidas para um máximo de três incógnitas. O equilíbrio em duas dimensões é também conhecido como equilíbrio no plano. Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 12Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 5. Apoios Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado. Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem a seguinte classificação: Apoio móvel ou • Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; • Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio; • Permite rotação. Apoio fixo • Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; • Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; • Permite rotação. Engastamento • Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; • Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; • Impede rotação. Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 13Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados 14 6. Tipos de Estruturas As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: 0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM 6.1. Estruturas hipostáticas Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais. L P A RB B R A 6.2. Estruturas isostáticas Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. No exemplo da estrutura da figura, as incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações fundamentais da Estática. RA A HA L P RB B 6.3. Estruturas hiperestáticas Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. Um tipo de estrutura hiperestática es’ta ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver as equações de equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da estrutura, como, p. ex., a sua deformabilidade para determinar todas as incógnitas. RA RB HA A AM L P B Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados Curso Prático & Objetivo Direitos Autorais Reservados
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