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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA ÁLGEBRA I ENGENHARIA Profª Cristiane Pinho Guedes www.cristianeguedes.pro.br profcristianeguedes@terra.com.br Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 1 – data:_________________ MATRIZES Introdução: Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela: Altura (m) Peso (kg) Idade (an0s) Pessoa 1 1,70 70 23 Pessoa 2 1,75 60 45 Pessoa 3 1,60 52 25 Pessoa 4 1,81 72 30 Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz: 1 70 70 23 1 75 60 45 1 60 52 25 181 72 30 , , , , Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por: A a a a a a a a a a m n n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... : : : : ... Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas) , escreveremos Am n . Também podemos usar colchetes ou duas barras, além dos parênteses, para representar uma matriz. Duas matrizes Am n [ ]aij m n e B br s ij r s [ ] são iguais se elas têm o mesmo número de linhas (m = r ) e colunas ( n = s ), e todos os seus elementos correspondentes são iguais. Tipos especiais de matrizes: Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Matriz nula é aquela em que aij 0 , para todo i e j. Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna. Matriz linha é aquela que possui uma única linha. Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde aij 0 , para i j . Matriz identidade é aquela em que aii 1 e aij 0 para i j . Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos. Profª Cristiane Pinho Guedes Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos. Matriz simétrica é aquela onde m = n e a aij ji . Operações com matrizes: Adição: A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é uma matriz, também de mesma ordem cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos: a) A + B = B + A ( comutatividade) b) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( associatividade) c) A + O = A onde O denota a matriz nula. Multiplicação por um escalar: Seja Am n [ ]aij m n e k um número, então definimos uma nova matriz k Am n. [ ]kaij m n . Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m n e números k k, 1 e k2 , temos: a) k A B kA kB( ) b) ( )k k A k A k A1 2 1 2 c) 0. A O isto é, se multiplicarmos qualquer matriz pelo número zero dará a matriz nula. d) ( . ). .( . )k k A k k A1 2 1 2 Transposição: Dada a matriz Am n [ ]aij m n , chamamos de matriz transposta de A, e representamos por mnij t bA ][ a matriz cujas linhas são as colunas da matriz A. Ex: 53 01 32 A 503 312tA Propriedades: 1) Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual a sua transposta. 2) Uma matriz é anti-simétrica se e somente se ela é igual ao simétrico da sua transposta. Exemplifique uma matriz Simétrica e uma matriz Anti-simétrica. Comente. Profª Cristiane Pinho Guedes 3) AA tt 4) ttt BABA Exercícios: Considere 142 113 201 221 102 413 BeA e calcule: 2A A + B 2A - 3B Respostas: )ܽ ൭ 6 2 8−4 0 22 4 4൱ )ܾ൭ 4 1 6−5 1 23 6 3൱ )ܿ ൭ 3 2 25 −3 −1−4 −8 1 ൱ Multiplicação de matrizes: Sejam Am n [ ]aij m n e pnrspn bB . Definimos pmuvcBA . onde: kv n k ukuv bac 1 Observações: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto é obtido , multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. Ex: 75 44 22 4.3)1.(50.31.5 4.2)1.(40.21.4 4.1)1.(20.11.2 40 11 . 35 24 12 Profª Cristiane Pinho Guedes Propriedades: (desde que sejam possíveis as operações) Em geral ABBA .. . Quando A.B = B.A, as matrizes A e B são ditas comutáveis. AIIA .. CABACBA ..).( CBACBA .... tt t ABBA .. 0. BA não implica necessariamente em A = 0 ou B = 0 Exercícios: 1) Quando possível, efetuar a multiplicação das matrizes: a) 14 31 12 202 153 b) 20 31 . 01 78 46 24 c) 2 2 1 . 101 254 341 d) 614 513 . 221 164 e) 141 513 . 12 64 2) Se 36 24 42 26 , 23 35 CeBA . Encontre X que satisfaz a equação AX + B = C 3) Encontre matrizes não-nulas A, B e C tais que AB = AC, mas B C. Profª Cristiane Pinho Guedes 4) Verdadeiro ou falso? Se a primeira e a terceira colunas de B são iguais, a primeira e a terceira colunas de AB também são. Se a primeira e a terceira linhas de B são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são. Se a primeira e a terceira linhas de A são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são. Respostas: 1) a) ቀ15 196 0 ቁ b) ቌ4681 810383 ቍ c) ൭ 323൱ d) ∄ d) ቀ18 28 −267 6 −15 ቁ 2) ቀ 20 −5 −34 7 ቁ 3) ܲݎ ݁݁ݔ ݉ ݈:ܣ = ቀ2 12 1ቁ,ܤ = ቀ4 40 0ቁ ݁ܥ = ቀ2 24 4ቁ4) )ܽ ܸ )ܾ ܨ )ܿ ܸ Matriz Inversa A matriz quadrada A, de ordem n, é dita inversível se e somente se existir uma matriz quadrada A-1, também de ordem n, tal que A.A-1 = A-1.A = In. OBS: ܣିଵ = ܣ௧ ⟺ ܣ é ݑ݉ܽ݉ܽݐ݅ݎݖࡻࡾࢀࡻࡳࡻࡺࡸ Exs: 1) Dada a matriz ܯ = ൭ ܿݏߠ −݁ݏ ݊ߠ 0݁ݏ ݊ߠ ܿݏߠ 00 0 1൱, calcular C = M.MT e classificar C. 2) Dada a matriz ܧ = ⎝ ⎜ ⎛ √ଷ ଷ √ଷ ଷ √ଷ ଷ − √ ଷ √ √ 0 − √ଶ ଶ √ଶ ଶ⎠ ⎟ ⎞ , calcular E.ET e classificar. Profª Cristiane Pinho Guedes Propriedades: (A.B)-1 = B-1.A-1 ( A-1)-1 = A ( A-1)T = ( AT)-1 Operações Elementares: São operações realizadas nas linhas (ou colunas) de uma matriz. São consideradas operações elementares: A troca da linha i pela linha j. Li ↔ Lj A multiplicação da linha i por um escalar k não nulo. Li → k.Li A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j. Li → Li + k.Lj Equivalência de matrizes: Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é equivalente à matriz A quando for possível transformar A em B através de um número finito de operações elementares. Cálculo da matriz inversa utilizando operações elementares: Problema: Calcular a inversa de uma matriz A quadrada. Solução: Construimos a matriz ( A ⁞ I ) Utilizando operações elementares “transformamos “ A em I. Consequentemente I se transformará em A-1. No final temos ( I ⁞ A-1 ) OBS: Se não conseguirmos obter a identidade (uma linha zerada) a matriz não terá inversa (detA=0). Ex: Encontrar a matriz inversa de ܣ = ൭1 2 32 4 25 2 3൱ Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 2 – data:_________________ SISTEMAS LINEARES Definição: Um sistema linear S com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: ൞ ଵܽଵݔଵ + ଵܽଶݔଶ + ଵܽଷݔଷ +⋯+ ଵܽݔ = ଵܾ ଶܽଵݔଵ + ଶܽଶݔଶ + ଶܽଷݔଷ +⋯+ ଶܽݔ = ଶܾ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ܽ ଵݔଵ + ܽ ଶݔଶ + ܽ ଷݔଷ +⋯+ ܽ ݔ = ܾ � com ܽ , ܾ ∈ ℝ ,݅= 1, … ,݉ ݆݁= 1, … , .݊ ܽ→ são os coeficientes das variáveis. ݔ → são as incógnitas (ou variáveis) ܾ→ termos independentes. Matrizes de um sistema S Formamatricial de S: ൮ ଵܽଵ ଵܽଶ … ଵܽ ଶܽଵ ଶܽଶ … ଶܽ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ܽ ଵ ܽ ଶ … ܽ ൲ .൮ ݔଵ ݔଶ ⋮ ݔ ൲ = ൮ ଵܾଶܾ ⋮ ܾ ൲ ܣ.ܺ = ܤ A → Matriz dos coeficientes X → Matriz das variáveis B → Matriz dos termos independentes. OBS: Se B for a matriz nula, o sistema é chamado de homogêneo. Matriz Ampliada de S: ൮ ଵܽଵ ଵܽଶ … ଵܽ ଶܽଵ ଶܽଶ … ଶܽ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ܽ ଵ ܽ ଶ … ܽ ଵܾ ଶܾ ⋮ ܾ ൲ Soluções de um sistema S: Profª Cristiane Pinho Guedes Método de Redução de Gauss-Jordan: Escalonamos a matriz ampliada de S, reescrevemos o sistema equivalente a S, encontramos o valor de uma variável, e por substituição determinamos as demais variáveis. OBS1: Se o sistema for possível e indeterminado (SPI), temos que dar a resposta em função da(s) variável(variáveis) livre(s). OBS2: Um sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a solução trivial → (0, 0,..., 0). Ex1: ൞ 2ݔ− ݕ+ 3ݖ= 114ݔ− 3ݕ+ 2ݖ= 0 ݔ+ ݕ+ ݖ= 63ݔ+ ݕ+ ݖ= 4 � S POSSÍVEL DETERMINADO →uma única solução INDETERMINADO→ infinitas soluções IMPOSSÍVEL→ nenhuma solução Profª Cristiane Pinho Guedes Ex2: ൝ ݔ− 2ݕ+ ݖ= 02ݔ− ݕ− 2ݖ= 13ݔ− 3ݕ− ݖ= 2� Ex3: ൞ ݔଵ + 3ݔଶ + 5ݔଷ = 72ݔଵ− ݔଶ + 3ݔଷ = 0 ݔଵ− 4ݔଶ− 2ݔଷ = −75ݔଵ− 2ݔଶ + 8ݔଷ = 1� Profª Cristiane Pinho Guedes Ex4: ൝ ݔ+ ݕ− ݖ= 02ݔ− ݕ+ ݖ= 0 ݔ+ 2ݕ− ݖ= 0� Profª Cristiane Pinho Guedes Ex5: ൞ ݔ− 2ݕ+ 2ݖ= 02ݔ+ ݕ− 2ݖ= 03ݔ+ 4ݕ− 6ݖ= 03ݔ− 11ݕ+ 12ݖ= 0� Exercícios: 1) Determine os valores de a, de modo que o sistema abaixo tenha: I) nenhuma solução. II) mais de uma solução. III) uma única solução. ൝ ݔ+ ݕ− ݖ= 12ݔ+ 3ݕ+ ܽݖ= 3 ݔ+ ܽݕ+ 3ݖ= 2 � Profª Cristiane Pinho Guedes 2) Estudar o sistema em função de k: ൝ ݔ+ ݕ+ ݇ݖ= 23ݔ+ 4ݕ+ 2ݖ= ݇2ݔ+ 3ݕ− ݖ= 1 � Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 3 – data:__________________ VETORES Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Vetor: módulo direção sentido vyyxxABAB ABAB ),( 22 )()( ABAB yyxxv vetor unitário → módulo = 1 Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v . Operações: 1) Adição ݑሬ⃗ ݑሬ⃗+ ⃗ݒ ⃗ݒ ),( ),( 22 11 yxv yxu ),( 2121 yyxxvu 2) Diferença ݑሬ⃗ ݑሬ⃗− ⃗ݒ ⃗ݒ 3) Multiplicação por um escalar vk direção: mesma de v Profª Cristiane Pinho Guedes módulo: vkvk sentido: mesmo de v , se k > 0 e contrário ao de v , se k < 0. OBS1: versor de v v v* v OBS2: ݑሬ⃗− ⃗ݒ = ݑሬ⃗+ (−1). ⃗ݒ Decomposição de um vetor no plano: Dados dois vetores 21 vev , não colineares, qualquer vetor v , co-planar com 21 vev , pode ser decomposto segundo as direções de 21 vev . 2211 vavav v escrito como combinação linear de 21 vev . Um par de vetores 21 vev não colineares é chamado base do plano. ଶܽݒଶሬሬሬሬ⃗ ⃗ݒ ݒଶሬሬሬሬ⃗ ଵܽݒଵሬሬሬሬ⃗ ݒଵሬሬሬሬ⃗ 21 aea são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { 21 , vv } 11va = projeção de v sobre 1v segundo a direção de 2v . 22 va = projeção de v sobre 2v segundo a direção de 1v . Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais. Uma base é ortonormal quando os seus vetores são ortogonais (perpendiculares) e unitários. Bases Canônicas : do R2 : ଓ⃗= (1, 0)݁ଔ⃗= (0, 1) do R3 : ଓ⃗= (1,0,0) , ଔ⃗= (0, 1, 0)݁ ሬ⃗݇= (0, 0, 1) jiv 53)5,3( kzjyixzyxu ),,( Condição de paralelismo de dois vetores: ),,( 111 zyxu e ),,( 222 zyxv vu // ( ou colinear ) se vku . ou seja, k z z y y x x 2 1 2 1 2 1 componentes proporcionais Profª Cristiane Pinho Guedes Produto de vetores: 1) Produto Escalar. 212121 222 111 zzyyxxvu kzjyixv kzjyixu Ex: )1,2,3()2,1,4()3,2,()1,,4( BAvu . Calcular tal que 5)( BAvu . Resp: ∝= 7/3 Módulo 2 1 2 1 2 1 zyxvvv Propriedades do Produto Escalar: I) 000 uuueuu II) uvvu III) wuvuwvu )( IV) 2 uuu V) )()( vumvum Ângulo de dois vetores: cos vuvu ⃗ݒ θ ݑሬ⃗ Profª Cristiane Pinho Guedes Pela Lei dos cossenos, temos: cos2 222 vuvuvu Pela (IV) propriedade, temos : cos2 vuvvuuvuvu Pela (III) propriedade, temos: cos2 vuvvuuvvuvvuuu Pela (II) propriedade e fazendo os devidos cancelamentos, temos: cos22 vuvu cos vuvu Logo: vu vu cos Daí, conclui-se que: Se agudoévu 0 Se obtusoévu 0 Se laresperpendicusãoveuretoévu 0 Condição de ortogonalidade de dois vetores: ݑሬ⃗ ⊥ ⃗ݒ ⇔ ݑሬ⃗ . ⃗ݒ= 0 Exercícios: 1) Sabendo que a distância entre os pontos A( -1, 2, 3) e B( 1, -1, m) é 7, calcular m. 2) Determinar α para que o vetor ⃗ݒ= ቀ∝,− ଵ ଶ , ଵ ସ ቁseja unitário. Profª Cristiane Pinho Guedes 3) Sabendo que o vetor ⃗ݒ= (2,1,−1) forma um ângulo de 60º com o vetor ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ determinado pelos pontos A( 3, 1, -2) e B( 4, 0, m), calcular m. 4) Determinar os ângulos internos do triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C( 1, 0, 2). 5) Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores (1, -1, 0) e (1, 0, 1). 6) Dados os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, -1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam os vértices de um paralelogramo. 7) Determinar os valores de m e n para que os vetores ݑሬ⃗= (݉ + 1, 3, 1)݁⃗ݒ= (4, 2, 2݊− 1) sejam paralelos. Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 4 – data:__________________ Uma Aplicação na Física: O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o O Trabalho realizado por uma força constante definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está aplicada. Pode-se observar que a componente da f trabalho é ܨ௫ሬሬሬ⃗ , paralela ao deslocamento mostra a figura. Então หܨ௫ሬሬሬ⃗ห= ห⃗ܨห. ܿݏߠ, onde θ força e o deslocamento. A grandeza física Trabalho , notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é ܹ = ⃗ܨ. ሬ݀ሬሬ⃗ ݑ ܹ = ห⃗ܨห. ห݀⃗ ห. ܿݏߠ e 1 J = 1 N . 1 m Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas fo deslocar o bloco de A até B, sabendo que CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o Trabalho. O Trabalho realizado por uma força constante ⃗ܨ ao longo de um determinado deslocamento definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está se observar que a componente da força ⃗ܨ que realiza o , paralela ao deslocamento ܣܤሬሬሬሬሬ⃗= ݀⃗, conforme , onde θ é o ângulo entre a , notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é e 1 J = 1 N . 1 m Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, ⃗ܨ ,ܨሬሬሬ⃗,ܨேሬሬሬሬሬ⃗݁ ሬ⃗ܲ e pela força resultante para deslocar o bloco de A até B, sabendo que ห⃗ܨห= 10ܰ ,หܨሬሬሬ⃗ห= 8ܰ , หܲሬ⃗ห= 3ܰ ,หܨேሬሬሬሬ⃗ห= 3ܰ CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas ao longo de um determinado deslocamento ݀⃗ é definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está , notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema e pela força resultante para ܰ , ሬ݀ሬሬሬ⃗= ܣܤሬሬሬሬሬ⃗݁ห݀⃗ ห= 10݉ Profª Cristiane Pinho Guedes Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor ( R3 ) Seja o vetor ⃗ݒ= ݔଓ⃗+ ݕଔ⃗+ ݇ݖሬ⃗= (ݔ,ݕ,ݖ). Ângulos diretores de ⃗ݒ são os ângulos α, β e γ que ⃗ݒ forma com os vetores ଓ⃗, ଔ⃗݁ ሬ⃗݇da base canônica. z ⃗ݒ ሬ⃗݇ α γ ଔ⃗ yx ଓ⃗ cos α = ௩ሬ⃗.ప⃗|௩ሬ⃗|.|ప⃗| = (௫,௬,௭).(ଵ,,)|௩ሬ⃗|.ଵ = ௫|௩ሬ⃗| cos β = ௩ሬ⃗.ఫ⃗|௩ሬ⃗|.|ఫ⃗| = (௫,௬,௭).(,ଵ,)|௩ሬ⃗|.ଵ = ௬|௩ሬ⃗| cos γ = ௩ሬ⃗.ሬ⃗|௩ሬ⃗|.หሬ⃗ห= (௫,௬,௭).(,,ଵ)|௩ሬ⃗|.ଵ = ௭|௩ሬ⃗| Notemos que ( cos α, cos β, cos γ) = ቀ ௫|௩ሬ⃗| , ௬|௩ሬ⃗| , ௭|௩ሬ⃗|ቁ= (௫,௬,௭)|௩ሬ⃗| = ௩ሬ⃗|௩ሬ⃗| = ݒ∗ሬሬሬሬ⃗ (versor de ⃗ݒ ) Portanto: ඥ ܿݏଶ ∝ + ܿݏଶߚ+ ܿݏଶߛ= 1 ⟹ ܿݏଶ ∝ + ܿݏଶߚ+ ܿݏଶߛ= 1 “ A soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1.” Exercícios: 1) Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60º. Determinar α. Profª Cristiane Pinho Guedes 2) Dados os pontos A( 2, 2, -3) e B( 3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do vetor ܣܤሬሬሬሬሬ⃗. 3) Um vetor ⃗ݒ forma com os vetores ଓ⃗݁ ଔ⃗ ângulos de 60º e 120º, respectivamente. Determinar o vetor ⃗ݒ, sabendo que |⃗ݒ|= 2. Projeção de um vetor Sejam os vetores ݑሬ⃗ e ⃗ݒ, com ݑሬ⃗≠ 0ሬሬሬ⃗݁⃗ݒ≠ 0ሬሬሬ⃗ , e θ o ângulo por eles formado. O vetor ݓሬሬ⃗ que representa a projeção de ݑሬሬሬ⃗ sobre ݒሬሬሬ⃗ é calculado por: ݎଔሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗௩ሬ⃗ݑሬ⃗= ቆ ݑሬ⃗. ⃗ݒ|⃗ݒ|. |⃗ݒ|ቇ . ⃗ݒ= (ݑሬ⃗. ⃗ݒ∗). ⃗ݒ∗ ݑሬ⃗ ݑሬ⃗ θ Θ ݓሬሬ⃗ ⃗ݒ ݓሬሬ⃗ ⃗ݒ Profª Cristiane Pinho Guedes Exemplo1: Determinar o vetor projeção de ݑሬ⃗= (2,3,4) sobre ⃗ݒ= (1,−1,0). Exemplo2: Sejam os pontos A(1, 2, -1), B(-1, 0, -1) e C(2, 1, 2). Pede-se: a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A. b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. c) Determinar o pé da altura relativa à hipotenusa. Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 5 – data:__________________ 2) Produto Vetorial Dados os vetores ݑሬ⃗= ݔଵଓ⃗+ ݕଵଔ⃗+ ݖଵሬ⃗݇ e ⃗ݒ= ݔଶଓ⃗+ ݕଶଔ⃗+ ݖଶሬ⃗݇, tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores ݑሬሬሬ⃗ e ⃗ݒ, e se representa por ݑሬሬሬ⃗× ⃗ݒ ou ݑሬ⃗∧ ⃗ݒ o vetor: ݑሬሬሬ⃗× ⃗ݒ= (yଵzଶ− zଵyଶ)ı⃗ − (xଵzଶ− zଵxଶ)ଌ⃗+ (xଵyଶ− yଵxଶ)kሬ⃗ Podemos também calcular o produto vetorial através de um determinante “fictício”, mostrado abaixo: ݑሬ⃗× ⃗ݒ= ቮଓ⃗ ଔ⃗ ሬ⃗݇ݔଵ ݕଵ ݖଵ ݔଶ ݕଶ ݖଶ ቮ Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores ݑሬ⃗= 5ଓ⃗+ 4ଔ⃗+ 3ሬ⃗݇e ⃗ݒ= ଓ⃗+ ሬ⃗݇. Propriedades: I) ݑሬ⃗× ݑሬ⃗= 0ሬ⃗ II) ݑሬ⃗× ⃗ݒ= −⃗ݒ× ݑሬ⃗ (o P.V. não é comutativo) III) ݑሬ⃗× (⃗ݒ+ ݓሬሬ⃗) = ݑሬ⃗× ⃗ݒ+ ݑሬ⃗× ݓሬሬ⃗ IV) (݉ .ݑሬ⃗) × ⃗ݒ= ݉ . (ݑሬ⃗× ⃗ݒ) = ݑሬ⃗× (݉ . ⃗ݒ) V) ݑሬ⃗× ⃗ݒ= 0ሬ⃗ se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ݑሬ⃗ e ⃗ݒ são colineares. VI) ݑሬ⃗× ⃗ݒ é ortogonal simultaneamente aos vetores ݑሬ⃗e ⃗ݒ. VII) Os vetores u , v e u x v tem as direções das arestas de um triedro Oxyz direto (se um saca-rolhas, girando de um ângulo menor do que , de Ox para Oy, avançar no sentido positivo de Oz, o triedro é direto). ݑሬ⃗× ⃗ݒ ⃗ݒ ݑሬ⃗ ⃗ݒ× ݑሬ⃗ Profª Cristiane Pinho Guedes VIII) |ݑሬ⃗× ⃗ݒ| = |ݑሬ⃗|. |⃗ݒ|. ݁ݏ ݊ߠ Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial de Dois Vetores Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ݑሬ⃗= ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ e ⃗ݒ= ܣܥሬሬሬሬሬ⃗. B ݑሬ⃗ h θ A ⃗ݒ C|ݑሬ⃗× ⃗ݒ| = ܵ 3) Produto Misto Dados os vetores ݑሬ⃗= ݔଵଓ⃗+ ݕଵଔ⃗+ ݖଵሬ⃗݇ , ⃗ݒ= ݔଶଓ⃗+ ݕଶଔ⃗+ ݖଶሬ⃗݇ e ݓሬሬ⃗= ݔଷଓ⃗+ ݕଷଔ⃗+ ݖଷሬ⃗݇, tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores ݑሬሬሬ⃗ , ⃗ݒ e ݓሬሬ⃗, e se representa por (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗ ) o número real : (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = ݑሬ⃗. (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗) ou (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = อxଵ yଵ zଵxଶ yଶ zଶxଷ yଷ zଷอ Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores ݑሬ⃗= 2ଓ⃗+ 3ଔ⃗+ 5ሬ⃗݇, ⃗ݒ= −ଓ⃗+ 3ଔ⃗+ 3ሬ⃗݇ e ݓሬሬ⃗= 4ଓ⃗− 3ଔ⃗+2ሬ⃗݇. Propriedades: I) (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares. Repetindo: se ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒe ݓሬሬ⃗ são coplanares, (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = 0 . Esta propriedade é de fundamental importância em vários tópicos a serem estudados. De forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano se os vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ forem coplanares, isto é, se ൫ܣܤሬሬሬሬሬ⃗,ܣܥሬሬሬሬሬ⃗,ܣܦሬሬሬሬሬ⃗൯= 0. Profª Cristiane Pinho Guedes 3 vetores coplanares 3 vetores não coplanares Observação: O produto vetorial e o produto misto não são definidos em 2 . Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Geometricamente, o produto misto ).( wvu é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores ݑሬ⃗= ܣܦሬሬሬሬሬ⃗, ⃗ݒ= ܣܤሬሬሬሬሬ⃗݁ݓሬሬ⃗= ܣܥሬሬሬሬሬ⃗. ܸ = |ݑሬ⃗. (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗)| = |(ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗)| Volume do Tetraedro Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é 1/6 do volume do paralelepípedo. Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ e, portanto, o volume do tetraedro ABCD é: ܸ = ଵ ൫ܣܤሬሬሬሬሬ⃗,ܣܥ,ሬሬሬሬሬሬ⃗ ܣܦሬሬሬሬሬ⃗൯ D C A B Profª Cristiane Pinho Guedes Exercícios: 1) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ݑሬ⃗= (2,−6,3) e ⃗ݒ= (4,3,1). 2) Dados os vetores ݑሬ⃗= (1,2,−1) e ⃗ݒ= (0,−1,3), calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 3.ݑሬ⃗ e ⃗ݒ− ݑሬ⃗. Profª Cristiane Pinho Guedes 3) Calcular a área do triângulo de vértices A(1, -2, 1), B(2, -1, 4) e C( -1, -3, 3). 4) Qual deve ser o valor de m para que os vetores ܽ⃗= (݉ , 2,−1), ሬܾ⃗= (1,−1,3) ݁ܿ⃗= (0,−2,4) sejam coplanares? 5) Dados os vetores ݑሬ⃗= (ݔ, 5,0), ⃗ݒ= (3,−2, 1) ݁ݓሬሬ⃗= (1, 1,−1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗ seja 24 u. v. Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 6 – data:__________________ ESTUDO DA RETA 1) Equação vetorial da reta Uma reta r está perfeitamente determinada quando conhecemos um ponto por onde ela passa e um vetor que dá a direção dela (chamado vetor diretor da reta). Consideremos o ponto ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) pertencente à reta r e o vetor diretor ⃗ݒ. Seja P(x,y,z) um ponto qualquer de r. Os vetores ܣܲሬሬሬሬሬ⃗݁⃗ݒ são colineares. Logo, ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= ݐ. ⃗ݒ, com t ÆR. ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= ݐ. ⃗ݒ ⟹ ܲ− ܣ = ݐ. ⃗ݒ ⇒ ܲ = ܣ+ ݐ. ⃗ݒ ⟹ (ݔ,ݕ,ݖ) = (ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) + ݐ. ( ,ܽ ,ܾ )ܿ, ݊ ݀݁⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ (1) De (1) , tiramos as equações paramétricas de r. 2) Equações Paramétricas da reta. ൝ ݔ= ݔଵ + ܽݐ ݕ= ݕଵ + ܾݐ ݖ= ݖଵ + ܿݐ�,ݐ ∈ ܴ , onde ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) é um ponto pertencente à reta e ⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ é o vetor diretor ⃗ݒ. A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia de -∞ a +∞. Exemplo 1: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3, -1, 2) e é paralela ao vetor ⃗ݒ= (−3,−2, 1). Exemplo 2: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelos pontos A(1, -2, -3) e B( 3, 1, -4). 3) Equações Simétricas da reta. Das equações paramétricas, supondo a.b.c ≠ 0, temos: ݐ= ݔ− ݔଵ ܽ , ݐ= ݕ− ݕଵ ܾ , ݐ= ݖ− ݖଵ ܿ Logo: ݔ− ݔଵ ܽ = ݕ− ݕଵ ܾ = ݖ− ݖଵ ܿ Que são as equações simétricas da reta que passa pelo ponto ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) e tem vetor diretor ⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ Profª Cristiane Pinho Guedes Exemplo 1: Encontre as equações simétricas da reta r, que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e B(4, 0, -2). Exemplo 2: Verifique se os pontos A(5, 2, -6), B(-1, -4, -3) e C(7, 4, -7) estão alinhados. Retas paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados 1) Duas das componentes do vetor diretor são nulas: 1.1) Seja ⃗ݒ= ( ,ܽ 0,0). Então ⃗ݒ= ( ,ܽ 0,0) = .ܽ (1,0,0) = .ܽ ଓ⃗. Logo ⃗ݒ//ଓሬ⃗⇒ ⃗ݒ//݁݅ ݔݔ . z ⃗ݒ= ( ,ܽ 0,0) Reta paralela ao eixo x r ଓ⃗=(1,0,0) y x 1.2) Seja ⃗ݒ= (0, ,ܾ 0). Então ⃗ݒ= (0, ,ܾ 0) = .ܾ (0,1,0) = .ܾ ଔ⃗. Logo ⃗ݒ//ଔ⃗⇒ ⃗ݒ//݁݅ ݔݕ . z ⃗ݒ= (0, ,ܾ 0) r Reta paralela ao eixo y ଔ⃗= (0,1,0) y x Profª Cristiane Pinho Guedes 1.3) Seja ⃗ݒ= (0,0, )ܿ. Então ⃗ݒ= (0,0, )ܿ = .ܿ (0,0,1) = .ܿ ሬ⃗݇. Logo ⃗ݒ//ሬ⃗݇⇒ ⃗ݒ//݁݅ ݔݖ. z ⃗ݒ= (0,0, )ܿ r Reta paralela ao eixo z ሬ⃗݇= (0,0,1) y x 2) Uma componente do vetor diretor é nula: 2.1) Seja ⃗ݒ= (0, ,ܾ )ܿ. Então ⃗ݒ. ଓ⃗= (0, ,ܾ )ܿ. (1,0,0) = 0. Logo ⃗ݒ⊥ ଓ⃗⇒ ݎ//݈ܽ ݊ݕݖ. Equações simétricas: ቊ ݔ= ݔଵ ݕ− ݕଵ ܾ = ݖ− ݖଵ ܿ �2.2) Seja ⃗ݒ= ( ,ܽ 0, )ܿ. Então ⃗ݒ. ଔ⃗= ( ,ܽ 0, )ܿ. (0,1,0) = 0. Logo ⃗ݒ⊥ ଔ⃗⇒ ݎ//݈ܽ ݊ݔݖ. ቊ ݕ= ݕଵ ݔ− ݔଵ ܽ = ݖ− ݖଵ ܿ � 2.3) Seja ⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ 0). Então ⃗ݒ. ሬ⃗݇= ( ,ܽ ,ܾ 0). (0,0,1) = 0. Logo ⃗ݒ⊥ ሬ⃗݇⇒ ݎ//݈ܽ ݊ݔݕ . ቊ ݖ= ݖଵ ݔ− ݔଵ ܽ = ݕ− ݕଵ ܾ � Exercícios: 1) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 3, -2) e tem a direção do vetor ⃗ݒ= 3ଓ⃗+ 2ሬ⃗݇. 2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1, 0, 9) e B(4, 8, 9). Profª Cristiane Pinho Guedes 3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0, 3, -2) e tem a direção do vetor ⃗ݒ= 2ଓ⃗. Ângulo de duas retas O ângulo entre duas retas r1 e r2 é o menor ângulo entre o vetor diretor de r1 e o vetor diretor de r2. ܿݏߠ= |ݒଵ.ሬሬሬሬሬ⃗ݒଶሬሬሬሬ⃗||ݒଵሬሬሬሬ⃗|. |ݒଶሬሬሬሬ⃗| , ܿ݉ 0 ≤ ߠ≤ ߨ2 Exercício: Calcular o ângulo entre as retas ݎଵ:൝ ݔ= 3 + ݐݕ= ݐ ݖ= −1 − 2ݐ�e ݎଶ: ௫ାଶିଶ = ௬ିଷଵ = ݖ. OBS1: Duas retas são paralelas quando seus vetores diretores são paralelos (vetores diretores têm componentes proporcionais). OBS2: Duas retas são ortogonais quando seus vetores diretores são ortogonais ( ݒଵ.ሬሬሬሬሬ⃗ݒଶሬሬሬሬ⃗= 0) Exercício: Calcular o valor de m para que as retas abaixo sejam ortogonais. ݎଵ:ቄݕ= ݉ݔ− 3 ݖ= −2ݔ �݁ ݎଶ:൝ݔ= −1 + 2ݐݕ= 3 − ݐ ݖ= 5ݐ � OBS3: Sejam as retas: r1 que passa pelo ponto A1 e tem a direção do vetor ݒଵሬሬሬሬ⃗ r2 que passa pelo ponto A2 e tem a direção do vetor ݒଶሬሬሬሬ⃗ As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores ݒଵሬሬሬሬ⃗, ݒଶሬሬሬሬ⃗ e ܣଵܣଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ forem coplanares, isto é ൫ݒଵሬሬሬሬ⃗,ݒଶሬሬሬሬ⃗,ܣଵܣଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗൯= 0 r1 r2 Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 7 – data:__________________ POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS 1) Coplanares: concorrentes ou paralelas r1 r1 r2 r2 2) Reversas: r1 r2 Exemplos: 1) Estudar a posição relativa das retas: )ܽ ݎଵ: ቄݕ= 2ݔ− 3 ݖ= −ݔ �݁ ݎଶ: ൝ݔ= 1 − 3ݐݕ= 4 − 6ݐ ݖ= 3ݐ � Profª Cristiane Pinho Guedes )ܾ ݎଵ: ݔ2 = 1 − ݕ= ݖ݁ݎଶ: ൝ݔ= 2 − 4ݐݕ= 2ݐ ݖ= −2ݐ+ 1� )ܿ ݎଵ: ݔ− 22 = ݕ3 = ݖ− 54 ݁ݎଶ: ൝ݔ= 5 + ݐݕ= 2 − ݐ ݖ= 7 − 2ݐ� ݀) ݎଵ: ቄݕ= 3 ݖ= 2ݔ ݁ ݎଶ�:ݔ= ݕ= ݖ Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Aula 8 – data:__________________ ESTUDO DO PLANO 1) Equação geral do plano Um plano π está perfeitamente determinado quando conhecemos um ponto pertencente ao plano ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) e um vetor normal ሬ⃗݊= ܽଓ⃗+ ܾଔ⃗+ ܿ݇ሬ⃗ . Consideremos o ponto ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) pertencente ao plano π e o vetor normal ሬ⃗݊. Seja P(x, y, z) um ponto qualquer de π. Os vetores ܣܲሬሬሬሬሬ⃗݁ ሬ⃗݊ são perpendiculares. Logo, ܣܲሬሬሬሬሬ⃗. ሬ⃗݊= 0. ሬ⃗݊ A(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) P(x, y, z) ܣܲሬሬሬሬሬሬ⃗. ሬ݊ሬሬ⃗= 0 ⟹ ( ,ܽ ,ܾ )ܿ. (ݔ− ݔଵ,ݕ− ݕଵ,ݖ− ݖଵ) = 0 ݊ ݀݁ ሬ⃗݊= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ . Logo,(ܽݔ− ݔଵ) + (ܾݕ− ݕଵ) + (ܿݖ− ݖଵ) = 0 ⟹ ܽݔ+ ܾݕ+ ܿݖ− ܽݔଵ− ܾݕଵ− ܿݖଵ = 0 Fazendo: −ܽݔଵ− ܾݕଵ− ܿݖଵ = ݀ , temos ܽݔ+ ܾݕ+ ܿݖ+ ݀ = 0. Portanto, a equação geral do plano é : ߨ ∶ ܽݔ+ ܾݕ+ ܿݖ+ ݀ = 0 com ሬ⃗݊= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ. Obs: Se ሬ⃗݊é um vetor normal ao plano, então ݇ሬ⃗݊ também é normal ao plano. Exemplos: 1) Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto (2, -1, 3), sendo ሬ⃗݊= (3, 2,−4) um vetor normal a π. 2) Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (3, 1, -4) e é paralelo ao plano2ݔ− 3ݕ+ ݖ− 6 = 0 Profª Cristiane Pinho Guedes 3) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2, -1, 4) e B(4, -3, -2). (plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao segmento, passando pelo ponto médio) 4) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (2, 1, -2) e é perpendicular à reta ݎଵ:൝ݔ= −4 + 3ݐݕ= 1 + 2ݐ ݖ= ݐ � 5) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (1, -3, 4) e é paralelo aos vetores ݒଵሬሬሬሬ⃗= (3, 1,−2)݁ݒଶሬሬሬሬ⃗= (1,−1, 1) 6) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos (2, 1, -1), (0, -1, 1) e (1, 2, 1). Profª Cristiane Pinho Guedes 7) Calcular os valores de m e n para que o plano ߨଵ: (2݉ − 1)ݔ− 2ݕ+ ݊ݖ− 3 = 0 seja paralelo ao plano ߨଶ: 4ݔ+ 4ݕ− ݖ= 0 8) Verificar se a reta ݎ: ௫ିଶ ଷ = ௬ାଵ ିଶ = ௭ ିଵ é perpendicular ao plano ߨ: 9ݔ− 6ݕ− 3ݖ+ 5 = 0 9) Determine os valores de m e n para que a reta ݎ:൝ ݔ= 2 + ݐݕ= 1 + ݐ ݖ= −3 − 2ݐ�esteja contida no plano ߨ:݉ݔ+ ݊ݕ+ 2ݖ− 1 = 0 Profª Cristiane Pinho Guedes LISTAS DE EXERCÍCIOS Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Professora: Cristiane Pinho Guedes Lista nº 1 - Matrizes 1) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: Moderno Mediterraneo Colonial Ferro Madeira Vidro T a Tijoloint 5 20 16 7 17 7 18 12 9 21 6 25 8 5 13 a) Se ele construir 5, 7 e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? 2) Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissões de potências distintas. Estabelecemos que aij 1 na matriz abaixo significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j, aij 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma. A 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 Qual seria o significado da matriz A2 ? a) Calcule A2 . b) Qual o significado de c13 2 ? c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirmação: “ A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão”. d) Qual o significado das matrizes A A A 2 3, ? e) Se A fosse simétrica o que significaria? 3) Existem 3 tipos de marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu. O termo aij da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo. Para De 0 7 0 2 0 1 0 3 0 5 0 2 0 4 0 4 0 2 , , , , , , , , , Os termos da diagonal dão a probabilidade a ii de se comprar um carro da mesma marca. Calcule A2 e interprete. Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Professora: Cristiane Pinho Guedes Lista nº 2 – Matriz Inversa Nos problemas 1 a 17, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas. 1) ܣ = ቀ3 51 2ቁ 2) ܤ = ൭−3 4 −50 1 23 −5 4൱ 3) ܥ = ቌ 1 0 0 02 1 0 034 23 12 01ቍ 4)ܦ = ൭ 1 0 −22 −2 −2 −3 0 2൱ 5)ܧ = ൭−4 0 −10−2 −4 −42 −2 6൱ 6)ܨ = ൭−3 −6 −120 3 −3−6 −9 −24൱ 7) ܩ = ൭−1 10 −7−1 −4 31 −2 1൱ 8) ܪ = ൭2 2 23 4 71 2 5൱ 9) ܬ= ൭−1 −2 −3−2 −4 −5−3 −5 −6൱ 10) ܮ= ൭−3 −1 −32 −4 −11 −2 −2൱ 11) ܯ = ൭−1 0 0−1 −1 0−1 −1 −1൱ 12) ܰ = ൭ 1 −2 −4−2 −1 23 0 −5൱ 13) ܲ = ൭ 0 2 −11 4 −2 −1 −7 3൱ 14) ܳ = ൭−1 −1 −1−3 −3 −4−3 −4 −3൱ 15) ܴ = ൭2 0 00 3 00 0 7൱ 16) ܵ= ൭0 0 50 6 09 0 0൱ 17) ܶ = ቌ −1 2 0 −80 −1 2 100 00 −10 1−1ቍ Nos problemas 18 a 23, supondo as matrizes quadradas e inversíveis, resolver as equações matriciais na variável X.18) ܣ.ܦ .ܺ = ܣ.ܤ.ܥ 19) ܦ.்ܺ = ܦ .ܥ 20) ܣ.ܤ.ܥ.ܺଶ.ܦଶ = ܣ.ܤ.ܥ.ܺ21) ܦିଵ.ܺ.ܦ = ܣ.ܥ 22) ܥ.ܺ + 2.ܤ = 3.ܤ Profª Cristiane Pinho Guedes RESPOSTAS: 1) ܣିଵ = ቀ 2 −5 −1 3ቁ 2) ܤିଵ = ቌ− ଵସଷ − ଽଷ − ଵଷଷ−2 −1 −21 1 1ቍ 3) ܥିଵ = ቌ 1 0 0 0 −2 1 0 010 −21 1−2 01ቍ 4) ܦିଵ = ⎝ ⎛ −1 2ൗ 0 −1 2ൗ1 4ൗ −1 2ൗ −1 4ൗ −3 4ൗ 0 −1 4ൗ ⎠⎞ 5) ܧିଵ = ⎝⎛ −4 5 2ൗ −51 2ൗ − 1 2ൗ 1 2ൗ3 2ൗ −1 2 ⎠⎞ 6) ܨିଵ = ⎝⎛ 11 3ൗ 4 3ൗ −2 −2 3ൗ 0 1 3ൗ −2 3ൗ −1 3ൗ 1 3ൗ ⎠⎞ 7) ܩିଵ = ⎝ ⎛ −1 2ൗ −1 −1 2ൗ −1 −3 2ൗ −5 2ൗ3 2ൗ −2 −7 2ൗ ⎠⎞ 8) ∄ܪିଵ 9) ܬିଵ = ൭ −1 3 −23 −3 1 −2 1 0൱ 10) ܮିଵ = ൭ 6 4 −115 3 −9 −8 −5 14 ൱ 11) ܯ ିଵ = ൭−1 0 01 −1 00 1 −1൱ 12) ܰିଵ = ൭ 5 −10 −8−4 7 63 −6 −5൱ 13) ܲିଵ = ൭−2 1 0−1 −1 −1 −3 −2 −2൱ 14) ܳିଵ = ൭−7 1 13 0 −13 −1 0൱ 15) ܴିଵ = ⎝ ⎛ 1 2ൗ 0 00 1 3ൗ 00 0 1 7ൗ ⎠⎞ 16) ܵିଵ = ⎝ ⎛ 0 01 9ൗ0 1 6ൗ 01 5ൗ 0 0 ⎠⎞ 17) ܶିଵ = ቌ −1 −2 −4 20 −1 −2 −300 00 −10 −1−1ቍ 18) ܺ = ܦିଵ.ܤ.ܥ 19) ܺ = ܥ் 20) ܺ = ܦିଵ 21) ܺ = ܦ .ܣ.ܥ.ܦିଵ 22) ܺ = ܥିଵ.ܤ Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Professora Cristiane Pinho Guedes Lista nº 3 Sistemas Lineares 1) Classificar e resolver os sistemas: a x y z x y z x y z b x y z y z c x y z x y z x y z d x y z x y z x y z e x y z x ) ) ) ) ) 2 3 2 2 3 5 4 5 2 7 24 4 6 0 3 2 6 9 0 2 3 10 3 4 6 23 3 2 3 10 5 3 7 5 4 2 2 4 8 10 3 9 12 24 4 16 y z x y z f x y z x y z g x y z x y z x y z h x y y z x y z 26 46 7 14 20 6 2 4 0 9 3 6 0 4 6 11 2 3 4 9 3 2 2 7 0 2 4 6 4 6 ) ) ) 2) Resolva o sistema: 2 2 5 3 2 2 3 4 2 3 12 3 2 10 a b d a b c d a b c d a b c d Resp: 1) a) SPD S={( 1, 2, 3)} b) SPI S={( 1, 4 61 z , z)} c) SI S= d) SPD S={( 1, 1, 1)} e) SI S= f) SPI S= {( x, -3x - 2z, z)} g) SPI S= {( ( 3 + 2z)/5, (13 - 8z)/5, z)} h) SPI S={( y, y, 2 3 y )} 2) S={( 22, 25, 7, 37)} Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Professora Cristiane Pinho Guedes Lista nº 4 Sistemas Lineares – Discussão 1) Resolva e classifique os sistemas abaixo: )ܽ ൝3ݔ+ 2ݕ− 5ݖ= 82ݔ− 4ݕ− 2ݖ= −4 ݔ− 2ݕ− 3ݖ= −4 � b) ൝ 2ݔ+ 4ݕ+ 6ݖ= −63ݔ− 2ݕ− 4ݖ= −38 ݔ+ 2ݕ+ 3ݖ= −3 � c) ൝ ݔ+ ݕ− ݖ= 02ݔ− 3ݕ+ ݖ= 04ݔ− 4ݕ− 2ݖ= 0� d) ൝ ݔ+ 3ݖ= −82ݔ− 4ݕ= −43ݔ− 2ݕ− 5ݖ= 26� 2) Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e z para que os sistemas abaixo sejam compatíveis (possíveis). a) ൝ ଵܽ + 2 ଶܽ = ݔ −3 ଵܽ + 4 ଶܽ = ݕ2 ଵܽ− ଶܽ = ݖ � b) ൝ ܽ+ 2ܾ= ݔ −2ܽ+ ܾ= ݕ −ܽ+ ܾ= ݖ� 3) Resolver, em função de x e y, o sistema: ൜ 3ܽ+ 5ܾ= ݔ ܽ+ 2ܾ= ݕ� 4) Determinar o valor de k para que o sistema abaixo admita solução não trivial: ൝ ݔ− ݕ− ݖ= 0 ݔ− 2ݕ− 2ݖ= 02ݔ+ ݇ݕ+ ݖ= 0� GABARITO: 1) a) S = {( 3, 2, 1)} b) S = ቄቀିସଵା௭ ସ , ଶଽି ଵଷ௭ ଼ ,ݖቁቅ c) S = {( 0, 0, 0)} d) S = {( 4, 3, -4)} 2) a) x = y + 2z b) x = 5z – 3y 3) a = 2x – 5y e b = 3y – x 4) k = 1 Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I Lista de exercícios nº 5 - Vetores 1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ⃗ݒ = (2, -5), sabendo que sua origem é o ponto A (-1, 3). 2) Dados os vetores ݑሬ⃗= (3, -1) e ⃗ݒ = (-1, 2), determinar o vetor ݓሬሬ⃗ tal que a) 4 (ݑሬ⃗ - ⃗ݒ) + ଵ ଷ ݓሬሬ⃗ = 2 ݑሬ⃗ - ݓሬሬ⃗ b) 3 ݓሬሬ⃗ - (2 ⃗ݒ - ݑሬ⃗) = 2(4 ݓሬሬ⃗ - 3 ݑሬ⃗) 3) Dados os pontos A (-1, 3), B (2, 5) e C (3, -1), calcular ܱܣሬሬሬሬሬ⃗ - ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܱܥሬሬሬሬሬ⃗− ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ e 3 .ܤܣሬሬሬሬሬ⃗− 4 .ܥܤሬሬሬሬሬ⃗. 4) Dados os vetores ݑሬ⃗= (3,-4) e ⃗ݒ = (-9/4 , 3), verificar se existem números a e b tais que ݑሬ⃗= a ⃗ݒ e ⃗ݒ = b ݑሬ⃗. 5) Dados os vetores ݑሬ⃗= (2,- 4), ⃗ݒ = (-5, 1) e ݓሬሬ⃗ = (-12,6), determinar 1k e 2k tal que ݓሬሬ⃗= 1k ݑሬ⃗+ + 2k ⃗ݒ. 6) Dados os pontos A (-1, 3), B (1, 0), C (2, -1), determinar D tal que ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ = ܤܣሬሬሬሬሬ⃗. 7) Dados os pontos A (2, -3, 1) e B (4, 5, -2), determinar o ponto P tal que ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= ܲܤሬሬሬሬሬ⃗. 8) Dados os pontos A (-1, 2, 3) e B (4, -2, 0), determinar o ponto P tal que ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= 3.ܣܤሬሬሬሬሬ⃗. 9) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2 ⃗ݒ = (6, 10, 4) - ⃗ݒ. 10) Encontrar os números 1a e tais que ݓሬሬ⃗ = 2211 vava , sendo 1v = (1, -2, 1), 2v = (2, 0,-4) e ݓሬሬ⃗ = (-4, -4, 14). 11) Determinar a e b de modo que os vetores ݑሬ⃗= (4, 1, -3) e ⃗ݒ = (6, a, b) sejam paralelos. 12) Verificar se são colineares os pontos: a) A (-1, -5, 0), B (2, 1, 3) e C (-2, -7, -1) b) A (2, 1, -1), B (3, -1, 0) e C (1, 0, 4) 13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A (3, 1, -2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7). 14) Mostrar que os pontos A (4, 0, 1), B (5, 1, 3), C (3, 2, 5) e D (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo. 15) Determinar o simétrico do ponto P (3, 1, -2) em relação ao ponto A (-1, 0, -3). GABARITO: 1) (1,-2) 2) a) ݓሬሬ⃗= (− ଵହ ଶ , ଵହ ଶ ) b) ݓሬሬ⃗= (ଶଷ ହ ,− ଵଵ ହ ) 3) (-4, 1), (2, 5), (-5, -30) 4) a = - 4/3 , b = - ¾ 5) k1 = -1 e k2 = 2 6) D(4, -4) 7) P(3, 1, -1/2 ) 8) (14, -10, -6) 9) ⃗ݒ= (1,1,1) 10) a1= 2 , a2 = -3 11) a = 3/2 e b = - 9/2 12) a) sim b) não 13) a = -3 e b = 13 15) (-5, -1, -4) 2a Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I Lista de exercícios nº 6 - Vetores II 1) Dados ݑሬ⃗= (4,2) ݁ ⃗ݒ= (−3,5) o produto escalar ݑሬ⃗ . ⃗ݒ é igual a a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2 2) Se A = (7, -1), B = ( 0, 4) e C = (-2, 3), então, o produto escalar dos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗݁ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ é a) – 8 b) 15 c) 0 d) – 13 e) 9 3) O módulo do vetor (4, -2) é igual a a) 5 b) 2 c) 4 d) 2√3 e) 2√5 4) Dados ݑሬ⃗= (3,−1) ݁⃗ݒ= (1,4), o módulo do vetor soma ݑሬ⃗+ ⃗ݒ é igual a a) √27 b) 4 c) 5 d) 3√5 e) √10 + √17 5) O vetor ሬ݉ሬ⃗= ቀܽ , ଵ ଷ ቁé um vetor unitário se a = a) ± ଶ ଷ b) ±2√2/3 c) ± ଵ ଷ d) ±√3 e) n r a 6) Um vetor unitário na direção da bissetriz do 1º e 3º quadrante é a) ½ (1, 1) b) (1, 1) c) √2)(1, 1) d) √ଶ ଶ (1,1) e) n r a 7) A distância do ponto P( 8, -6) à origem do sistema cartesiano é a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) n r a 8) Os pontos A(1, 1), B(-2, 3) e C(3, -2) são os vértices de um triângulo cujo perímetro é a) 2√13 + 5√2 b) √2 + √3 + √17 c) 2(√13 + √5) d) √102 9) Os pontos A(1, 0), B(0, 1) e C(2, 2) são os vértices de um triângulo a) eqüilátero b) retângulo c) isósceles, mas não retângulo d) escaleno e) n r a 10) Dado o triângulo de vértices A(0, 0(, B(5, -3) e C(3, -3), a medida da mediana relativa ao vértice A é a) 5 b) 4 c) √17 d) √20 11) Na figura temos A = (2, 3), A’= (6, 9), AB ∥ A’B’. Se หܣܤሬሬሬሬሬ⃗ห= 3,5 , então ቚܣ'ܤ'ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ቚ= a) 7 b) 9 c) 10,5 d) 12 e) n r a 12) O ponto (x, 2x) é eqüidistante dos pontos (3, 0) e (-7, 0) para x = a) -2 b) – 5/2 c) -3 d) 0 e) 7/2 13) Um vetor paralelo ao vetor (4, -2) é a) (6, -4) b) (-2, 1) c) -2, 4) d) (1, ½) Profª Cristiane Pinho Guedes 14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é a) (1, 2) b) (12, 6) c) (1, -2) 15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y = a) 3 b) 3,5 c) 4,5 16) Dados A(1, 0), B(2, 3) e C(5, y), os vetores a) -4/3 b) 4/3 c) ¾ 17) Dados ݑሬ⃗= (3,0) ݁ ⃗ݒ= (2,2), os vetores a) 0 b) -1 c) ¾ 18) Os pontos A(1, 1), B(4, 6) e C(6, -2) são os vértices de um triângulo a) retângulo em A b) retângulo em B d) isósceles, mas não retângulo 19) Se ݑሬ⃗= (ଵ ଶ , ଵ ଷ ) ݁ ⃗ݒ= (ଵ ଶ , ଶ ଷ ), então a ângulo formado pelos vetores a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º 20) O seno do ângulo formado pelos vetores a) ½ b) 0 c) √3/2 21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é a) necessariamente 1b) necessariamente 0 d) a tangente do ângulo formado por eles 22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é a) superior a 2 b) ඥ2 + √ 23) Num triângulo equilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares respectivamente a) 9/2 e -9/2 b) 9/2 e 9/2 24) Os pontos (1, 1), (a, b) e (a2, b2) são colineares se e somente se a) a = 1 b) a = b e) a ≠ b ≠ 1 ≠a 25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se a) a = 0 b) a ≠ 1 e a ≠ -1 26) A( -1, -5), B(1, 3) e C(7, -5) são os a) 16 b) 64 27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a, pontos médios dos lados do triângulo ABC é a) a/2 b) 2a² 28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5, a) x = 5/3 ou x = 11/2 b) x = 2 ou x = 11/2 ou x = 17/3 d) x = 5/3 ou x = 13/3 29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa e B(2, 3), então temos necessariamente a) 2x – y = 1 b) x + y = 3 d ) x – y = 5 e) x + y = 5 14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é d) (-12, 6) 15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y = d) -8/7), B(2, 3) e C(5, y), os vetores ܣܥሬሬሬሬሬሬ⃗݁ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ são ortogonais se y = d) -3/4 , os vetores ⃗ݒ e ݑሬ⃗+ ݇⃗ݒ (k real) são ortogonais se k = d) -3/4 2) são os vértices de um triângulo b) retângulo em B c) retângulo em C e) eqüilátero , então a ângulo formado pelos vetores ݑሬ⃗+ ⃗ݒ e 2ݑሬ⃗− 5º c) 60º d) 120º 20) O seno do ângulo formado pelos vetores ܤܥሬሬሬሬሬሬ⃗݁ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a d) 1 21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é b) necessariamente 0c) o cosseno do ângulo formado por eles d) a tangente do ângulo formado por eles 22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é √3 c) √2 d) √3 ilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares ܣܥሬሬሬሬሬሬ⃗.ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ c) ଽ√ଷ ଶ ݁ ଽ√ଷ ଶ d) -9/2 e 9/2 ) são colineares se e somente se c) a = 1, b = 1 e a = bd) a = 1 ou b = 1 ou a = b 25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se c) a ≠ 0 e a ≠ 3 d) a = 2 ou a = 4 5) são os vértices de um triângulo cuja área é c) 56 d) 32 27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a, -a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados do triângulo ABC é c) a² d) a²/2 e) a²/4 28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5, - b) x = 2 ou x = 11/2 c) x = 2 d) x = 5/3 ou x = 13/3 29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa por A(1, 4) e B(2, 3), então temos necessariamente c) x – y = -3 e) x + y = 5 (k real) são ortogonais se k = ⃗ݒ é , sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a c) o cosseno do ângulo formado por eles 22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é ܣ⃗ܤ e ܤܥሬሬሬሬሬሬ⃗.ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ valem d) a = 1 ou b = 1 ou a = b d) a = 2 ou a = 4 a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os -1) e C(6, 3) se Profª Cristiane Pinho Guedes 30) Se a área hachurada na figura é igual a 16, então a vale a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) n r a 31) Dados os vetores ݑሬ⃗= (2, 4,−1) ݁ ⃗ݒ= (0, 1, 3)݀ℝଷ, o vetor ݓሬሬ⃗ que satisfaz a equação 3ݓሬሬ⃗+ ݑሬ⃗== ݓሬሬ⃗+ 2⃗ݒ é a) (2, 5, 2) b) (1, -1, 7/2 ) c) (1, 3, 5/2) d) (2, 3, -4) e) (6, 14, 0) 32) Dados A(1, 0, 1), B(2, 3, -1) e C(x, y, z), se ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ = 3ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, então, podemos concluir que x + y + z = a) 18 b) 6 c) 12 d) 8 e) 10 33) Dados ݑሬ⃗= (1, 2,−1), ⃗ݒ= (3, 2,1) ݁ݓሬሬ⃗= (4, 0, 5), o produto escalar dos vetores 2ݑሬ⃗+ 3⃗ݒ ݁ ݑሬ⃗−−⃗ݒ+ 2ݓሬሬ⃗ é a) 118 b) 128 c) 108 d) 8 e) n r a 34) Dados ݑሬ⃗= (1, 0, 0), ⃗ݒ= (1,1,0) ݁ݓሬሬ⃗= (1, 1, 1),o vetor (ݑሬ⃗. ⃗ݒ)ݓሬሬ⃗− (⃗ݒ.ݓሬሬ⃗)ݑሬ⃗é igual a a) (1, 1, -1) b) (1, -1, 1) c) (-1, 1, 1) d) (-1, -1, 1) e) (1, -1, -1) 35) Qual dos vetores seguintes é um vetor unitário? a) (1, 1, 1) b) (1/3, 1/3, 1/3) c) (1/2, -1/2, 0) d) (0, 1, -1) e) (8/9, 1/9, 4/9) 36) Se o vetor (4, 12, k) tem módulo 13, k pode ser a) -3 b) 1 c) -10 d) 5 37) A medida do ângulo interno A do triângulo ABC, A = (1, 1, 1), B = (2, 0, 2) e C = (1, 3, 3) é a) 45º b) 60º c) 30º d) 90º e) 120º 38) Se for verdadeira a igualdade |ݑሬ⃗. ⃗ݒ| = |ݑሬ⃗|. |⃗ݒ| podemos concluir que os vetores a) são ortogonais b) são paralelos e de mesmo sentido c) são paralelos e de sentidos opostos d) são paralelos, podendo ter o mesmo sentido ou sentidos opostos e) não são paralelos, nem ortogonais 39) Um vetor paralelo ao vetor (8, 0, 2) é a) (16, 0, 8) b) (4, 0, 4) c) (-16, 0, 4) d) (2, 0, ½) 40) Se os vetores (2, -1, 5) e (8, a, b) são paralelos, podemos concluir que a + b vale a) 16 b) 20 c) 24 d) 4 41) Os vetores (1, 1, k) e (k, -1, 1) são ortogonais se k = a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2 42) Os pontos A(0, 1, 0), B(k, 1, 1) e C(k, k, -1) são os vértices de um triângulo retângulo em A se k= a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2 43) Os pontos A(1, -1, 3), B(2, 1, 7) e C(4, 2, 6) são a) os vértices de um triângulo retângulo b) os vértices de um triângulo eqüilátero c) os vértices de um triângulo isósceles e não retângulo d) são colineares 44) Se o ponto P(x, y, z) pertence ao plano yz e eqüidista dos pontos A(1, 1, 0) e B(-1, 0, 1), podemos concluir que a) x = y = z b) x = 0 e y = z c) y = 0 e x = z d) x = 0 e y + z = 0 Profª Cristiane Pinho Guedes GABARITO: 1) A 32) D 2) E 33) E 3) E 34) C 4) C 35) E 5) B 36) A 6) D 37) D 7) C 38) D 8) A 39) D 9) C 40) A 10) A 41) C 11) C 42) A 12) A 43) A 13) B 44) B 14) D 15) B 16) A 17) D 18) A 19) B 20) D 21) C 22) B 23) A 24) D 25) B 26) D 27) E 28) A 29) E 30) B 31) B Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I Lista de exercícios nº 7 – Vetores – Produto Escalar. 1) Dados os vetores ݑሬ⃗ = (1, a, -2a - 1), ⃗ݒ = (a, a -1,1) e ݓሬሬ⃗ = (a, -1, 1), determinar a de modo que ݑሬ⃗. ⃗ݒ = (ݑሬ⃗ + ⃗ݒ) . ݓሬሬ⃗. 2) Dados os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar ⃗ݔ o vetor tal que 2⃗ݔ - ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ = ⃗ݔ + +(ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ . ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ ) ܣܥሬሬሬሬሬ⃗. 3) Determinar o vetor ⃗ݒ , sabendo que (3, 7, 1) + 2⃗ݒ = (6, 10, 4) - ⃗ݒ . 4) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3ܤܣሬሬሬሬሬ⃗ -2ܤܥሬሬሬሬሬ⃗. 5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: ݑሬ⃗=(1, 1, 1) e 1 2 1, , 6 6 6 v 6) Determinar o valor de n para que o vetor ⃗ݒ = (n, -4/5 , 2/5) seja unitário. 7) Seja o vetor ⃗ݒ = (m + 7) ଓ⃗+ (m + 2) ଔ⃗+ 5ሬ⃗݇. Calcular m para que I ⃗ݒ I = 38 . 8) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que 7v , sendo ⃗ݒ= mܣܥሬሬሬሬሬ⃗ + ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ . 9) Dados os pontos A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determinar m de modo que Iܣܤሬሬሬሬሬ⃗I= 35 . 10) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0). 11) Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, -3, 1) e B(-2, 1, -1). 12) Seja o triângulo de vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B. 13) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o produto escalar dos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܥሬሬሬሬሬ⃗. 14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular ܣܤሬሬሬሬሬ⃗. ܣܥሬሬሬሬሬ⃗+ +ܤܣሬሬሬሬሬ⃗. ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ + ܥܣሬሬሬሬሬ⃗.ܥܤሬሬሬሬሬ⃗. 15) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1). 16) Sabendo que o ângulo entre os vetores ݑሬ⃗ = (2,1, -1) e ⃗ݒ =(1, -1, m + 2) é 3 determinar m. 17) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores ݑሬ⃗=(1, n, 2) e ଔ⃗. 18) Dados os vetores ܽ⃗ = (2, 1, ), ሬܾ⃗= ( + 2, -5, 2) e ܿ⃗= (2 , 8, ), determinar o valor de para que o vetor ܽ⃗ + ሬܾ⃗ seja ortogonal ao vetor ܿ⃗ - ܽ⃗ . 19) Determinar o vetor ⃗ݒ, paralelo ao vetor ݑሬ⃗= (1, -1, 2), tal que ⃗ݒ . ݑሬ⃗ =-18. 20) Determinar o vetor ⃗ݒ ortogonal ao vetor ݑሬ⃗ = (2, -3, -12) e colinear ao vetor ݓሬሬ⃗ = (-6,4,-2). 21) Determinar o vetor ⃗ݒ , colinear ao vetor ݑሬ⃗ = (-4, 2, 6), tal que ⃗ݒ. ݓሬሬ⃗ = -12, sendo ݓሬሬ⃗ = (-1, 4, 2). 22) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) são vértices de um triângulo retângulo. 23) Qual o valor de a para que os vetores a = ଓ⃗+ 5ଔ⃗- 4ሬ⃗݇e b = ( + 1) ଓ⃗+ 2ଔ⃗+ 4ሬ⃗݇sejam ortogonais? 24) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1). 25) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar. 26) Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e y. Determinar y. 27) Determinar o vetor v, sabendo que I ⃗ݒ I = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, ⃗ݒ . ݓሬሬ⃗ = 6 e ݓሬሬ⃗=2ଔ⃗+3ሬ⃗݇. Profª Cristiane Pinho Guedes 28) Sabe-se que I ⃗ݒ I = 2, cos = 1/2 e cos = - 1/4 . Determinar ⃗ݒ . 29) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor ⃗ݒ = (2, -1, 1). 30) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor ⃗ݒ = (1, -1, 2). 31) 0 vetor ⃗ݒ é ortogonal aos vetores ݑሬ⃗ =(2, -1, 3) e ݓሬሬ⃗ = (1, 0, -2) e forma ângulo agudo com o vetor ଔ⃗ . Calcular ⃗ݒ , sabendo que I ⃗ݒ I = 3 6 32) Determinar o vetor ⃗ݒ , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições ⃗ݒ . ⃗ݒ1 =10 2.v v =-5, sendo ⃗ݒ1 =(2,3,-1) e 2v =(1,-1,2). 33) Determinar o vetor projeção do vetor ݑሬ⃗ = (1, 2, -3) na direção de ⃗ݒ =(2, 1, -2). 34) Qual o comprimento do vetor projeção de ݑሬ⃗ = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x? 35) Se o vetor ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ tem co-senos diretores p, q e r e ângulos diretores e, , quais são os co-senos e os ângulos diretores de ܤܣሬሬሬሬሬ⃗? 36) Mostrar que se u e ⃗ݒ são vetores, tal que ݑሬ⃗ + ⃗ݒ é ortogonal a ݑሬ⃗ - ⃗ݒ, então l ݑሬ⃗ I = l ⃗ݒ I 37) Mostrar que, se u é ortogonal a ⃗ݒ e ݓሬሬ⃗, ݑሬ⃗ é também ortogonal a ⃗ݒ + ݓሬሬ⃗. 38) Calcular o módulo dos vetores ݑሬ⃗ + ⃗ݒ e ݑሬ⃗ - ⃗ݒ, sabendo que I ݑሬ⃗ I = 4, I ⃗ݒ I= 3 e o ângulo entre ݑሬ⃗ e ⃗ݒ é de 60°. 39) Sabendo que I ݑሬ⃗ I = 2, I ⃗ݒ I =3 e que ݑሬ⃗ e ⃗ݒ formam um angulo de 4 3 , determinar I (2ݑሬ⃗ - ⃗ݒ) . (ݑሬ⃗ - 2⃗ݒ)I . 40) Determinar ݑሬ⃗. ⃗ݒ+ ݑሬ⃗. ݓሬሬ⃗+ ⃗ݒ. ݓሬሬ⃗, sabendo que ݑሬ⃗+ ⃗ݒ+ ݓሬሬ⃗= 0, I ݑሬ⃗ I= 2, I ⃗ݒ I= 3 , 5w 41) 0 vetor ⃗ݒ é ortogonal aos vetores ܽ⃗ = (1, 2, 0) e ሬܾ⃗ = (1, 4, 3) e forma ângulo um agudo com o eixo dos x. Determinar ⃗ݒ , sabendo que I ⃗ݒ I = 14. Respostas dos Problemas Propostos: 1. a = 2 2. (-17, -13, -15) 3. (1, 1, 1) 4. (7/9, 4/9, 4/9) 5. ⃗ݒé unitário 6. ± √ହ ହ 7. −4 ݑ− 5 8. 3 ݑ−13/5 9. −3 ou -1 10. 2(√11 + √3) 11. (1, 0, 0) 12. 45º 13. 50 14. 169 15. ܣመ= ܽܿݎ cos ଵ ଷ√ଶ଼ ܤ= ܽܿݎ cos ଶ√ ଽ ܥመ= ܽܿݎ cos ଶ √ସଶ 16. m = - 4 17. ±√15 18. 3 ݑ− 6 Profª Cristiane Pinho Guedes 19. (-3, 3, -6) 20. t . (3, -2, 1) 21. (2, -1, -3) 22. ܤܣሬሬሬሬሬ⃗.ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ = 0 23. – 3 ou 2 24. ܣመ 25. não 26. 60º ou 120º 27. (4, 3, 0) ou (-4, 3, 0) 28. ⃗ݒ= ቀ1,− ଵ ଶ , ± √ଵଵ ଶ ቁ 29. Um deles é ቀ0, ଵ √ଶ , ଵ √ଶ ቁ 30. ቀ± ହ √ ,∓ ହ √ , ±10/√6ቁ 31. (2, 7,1) 32. (−1,4,0) 33. ଵ ଽ (2,1,−1) 34. 3 35. –p, -q e –r ou π – α , π – β e π – γ 38. √37 ݁√13 39. 26 + 15√2 40. – 9 41. (12, -6, 4) Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I Lista de exercícios nº 8 – Vetores – Produto Vetorial e Produto Misto . 1) Dados os vetores ݑሬ⃗ = (2, -1, 1), ⃗ݒ = (1, -1, 0) e ݓሬሬ⃗ = (-1, 2, 2), calcular:)ܽ ݓሬሬ⃗× ⃗ݒ )ܾ ⃗ݒ× (ݓሬሬ⃗− ݑሬ⃗) )ܿ(ݑሬ⃗+ ݒ)ሬሬሬሬ⃗× (ݑሬ⃗− ⃗ݒ) ݀)(2 ݑሬ⃗) × (3⃗ݒ) )݁(ݑሬ⃗× ݒ)ሬሬሬሬ⃗. (ݑሬ⃗× ⃗ݒ) )݂ (ݑሬ⃗× ݒ)ሬሬሬሬ⃗.ݓሬሬ⃗݁ݑሬ⃗. (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗) ݃) (ݑሬ⃗× ݒ)ሬሬሬሬ⃗× ݓሬሬ⃗݁ݑሬ⃗× (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗) ℎ) (ݑሬ⃗+ ⃗ݒ). (ݑሬ⃗× ݓሬሬ⃗) 2 ) Dados os vetores ܽ⃗ = (1, 2, 1) e ሬܾ⃗= (2, 1, 0), calcular:)ܽ 2ܽ⃗× (ܽ⃗+ ሬܾ⃗) )ܾ (ܽ⃗+ 2 ሬܾ⃗) × (ܽ⃗− 2 ሬܾ⃗) 3) Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e C(3, 2, 1), determinar o vetor ܥܤሬሬሬሬሬ⃗ x (ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ - 2 ܥܣሬሬሬሬሬ⃗). 4) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2ܽ⃗ + ሬܾ⃗ e ሬܾ⃗ - ܽ⃗, sendo ܽ⃗ = (3, -1, -2) e ሬܾ⃗= (1, 0, -3). 5) Dados os vetores ܽ⃗ = (1, -1, 2), ሬܾ⃗ = (3, 4, -2) e ܿ⃗= (-5, 1, -4), mostrar que ܽ⃗ . ( ሬܾ⃗ x ܿ⃗) = ( ܽ⃗x ሬܾ⃗) . ܿ⃗. 6) Determinar o valor de m para que o vetor ݓሬሬ⃗ = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗ݒ1 =(2,- 1,0) e ⃗ݒ2 =(1,-3,-1). 7) Dados os vetores ⃗ݒ = 2 ,5, cba e ݓሬሬ⃗ = (-3a, x, y), determinar x e y para que ⃗ݒ x ݓሬሬ⃗=0. 8) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗ݒi = (1, 1, 0) e ⃗ݒ2 = (2, -1, 3). Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5. 9) Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:)ܽଔ⃗× 2ଓ⃗ )ܾ 3ଓ⃗× 2ሬ⃗݇ 10) Sabendo que I ܽ⃗ I= 3, I ሬܾ⃗ I= 2 e 45° é o ângulo entre ܽ⃗ e ሬܾ⃗, calcular I ܽ⃗ x ሬܾ⃗ I. 11) Se lݑሬ⃗ x ⃗ݒI= 3 3 , Iݑሬ⃗ I = 3 e 60° é o ângulo entre ݑሬ⃗ e ⃗ݒ, determinar I ⃗ݒ I. 12) Dados os vetores ܽ⃗ = (3, 4, 2) e ሬܾ⃗ =(2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 2ܽ⃗ - ሬܾ⃗e ܽ⃗ + ሬܾ⃗. 13) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ݑሬ⃗ = (3; 1, 2) e ⃗ݒ = (4, -1, 0). 14) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1, -2, 3), B(4, 3,-1), C(5, 7, -3) e D(2, 2, 1) é um paralelogramo e calcular sua área. 15) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2ݑሬ⃗ e - ⃗ݒ , sendo ݑሬ⃗ = (2, -1, 0) e ⃗ݒ = (1, -3, 2). 16) Calcular a área do triângulo de vértices a) A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3) b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0) c) A(2, 3, -1), B(3, 1, -2) e C(-1, 0, 2) d) A(-1, 2, -2), B(2, 3, -1) e C(0, 1, 1) 17) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades B(1, 1, -1) e C(0, 1, 2). 18) Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1,), B(1, -1, 0) e C(2, 1, -1) são vértices de um triângulo de área 2 29 . 19) Dado o triângulo de vértices A(0, 1, -1), B(-2, 0, 1) e C(1, -2, 0), calcular a medida da altura relativa ao lado BC. Profª Cristiane Pinho Guedes 20) Determinar ⃗ݒ tal que ⃗ݒ seja ortogonal ao eixo dos y e ⃗ݒ = ⃗ݒ x ݓሬሬ⃗, sendo ݑሬ⃗= (1, 1, -1) e ݓሬሬ⃗ = (2,-1, 1). 21) Dados os vetores ݑሬ⃗ =(0, 1, -1), ⃗ݒ =(2, -2, -2) e ݓሬሬ⃗ =(1, -1, 2), determinar o vetor ⃗ݔ, paralelo a ݓሬሬ⃗, que satisfaz à condição: x u v . 22) Dados os vetores ݑሬ⃗ = (2, 1, 0) e ⃗ݒ = (3, -6, 9), determinar o vetor ⃗ݔ que satisfaz a relação ⃗ݒ= ݑሬ⃗× ⃗ݔe que seja ortogonal ao vetor ݓሬሬ⃗ = (1, -2, 3). 23) Demonstrar que ܽ⃗ x ሬܾ⃗= ሬܾ⃗x ܿ⃗= ܿ⃗x ܽ⃗, sabendo que ܽ⃗+ ሬܾ⃗+ ܿ⃗= 0. 24) Sendo ݑሬ⃗ e ⃗ݒ vetores do espaço, com 0v : a) determinar o número real r tal que ݑሬ⃗ - r⃗ݒ seja ortogonal a ⃗ݒ; b) mostrar que (ݑሬ⃗ + ⃗ݒ) x (ݑሬ⃗ - ⃗ݒ) = 2⃗ݒ x ݑሬ⃗ . 25) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. 26) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: a) ݑሬ⃗ =(3, -1, 2), ⃗ݒ =(1, 2, 1) e ݓሬሬ⃗=(-2,3,4) b) ݑሬ⃗ =(2, -1, 0), ⃗ݒ =(3, 1, 2) e ݓሬሬ⃗=(7, -1, 2) 27) Verificar se são coplanares os pontos: a) A(1, 1, 1), B(-2,-1,-3), C(0, 2,-2) e D(-1, 0, -2) b) A(1,0,2), B(-1, 0, 3), C(2,4,1) e D(-1, -2, 2) c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1) 28) Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), C(5, -1, 1) e D(3, -2 -2) são coplanares? 29) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: a) ܽ⃗ =(2,-1,k), ሬܾ⃗=(1,0,2) e ܿ⃗=(k,3,k)b) ܽ⃗ =(2, 1, 0), ሬܾ⃗=(1, 1,-3) e ܿ⃗=(k, 1,-k) c) ܽ⃗ =(2, k, 1), ሬܾ⃗=(1, 2, k) e ܿ⃗=(3, 0, -3) 30) Sejam os vetores ݑሬ⃗ =(1,1,0), ⃗ݒ = (2, 0,1), ݓሬሬ⃗1 =3ݑሬ⃗ -2⃗ݒ, ݓሬሬ⃗2 = ݑሬ⃗ +3⃗ݒ e ݓሬሬ⃗3 =ଓ⃗+ଔ⃗-2ሬ⃗݇. Determinar o volume do paralelepípedo definido por ݓሬሬ⃗1, ݓሬሬ⃗2 e ݓሬሬ⃗3. 31) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ⃗ݒ1 = 2ଓ⃗-ଔ⃗, ⃗ݒ2 = 6ଓ⃗+mଔ⃗-2ሬ⃗݇e ⃗ݒ3 = - 4ଓ⃗+ሬ⃗݇seja igual a 10. 32) Os vetores ܽ⃗ =(2, -1, -3), ሬܾ⃗ =(-1, 1, -4) e ܿ⃗ =(m+ 1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular m. 33) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, -1, -4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܦሬሬሬሬሬ⃗. 34) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados: a) A(1,0,0), B(0, 1,0), C(0,0, 1) e D(4,2,7) b) A(-1, 3, 2), B(0, 1, -1), C(-2, 0, 1) e D(1, -2, 0). Para este, calcular também a medida da altura traçada do vértice A. GABARITO: 1) a) (2, 2, -1) b) (-1, -1, 0) c) (-2, -2, 2) d) (6, 6, -6) e) 3 f) -1 e -1 g) (4, -1, 3) e (1, -4, -6) h) 1 2) a) (-2, 4, -6) b) (4, -8, 12) 3) (12, -8, -12) 4) x (3, 7, 1) 5) ܽ⃗ . ( ሬܾ⃗ x ܿ⃗) = ( ܽ⃗x ሬܾ⃗) . ܿ⃗= 10 6) – 5 7) x = -15 b , y = 3/2 c Profª Cristiane Pinho Guedes 8) Duas soluções para cada caso: ቀଵ √ଷ ,− ଵ √ଷ ,−1/√3ቁou ቀ− ଵ √ଷ , ଵ √ଷ , ଵ √ଷ ቁ5ቀଵ √ଷ ,− ଵ √ଷ ,− ଵ √ଷ ቁ ݑ5ቀ− ଵ √ଷ , ଵ √ଷ , ଵ √ଷ ቁ 10) 3 11) 2 12) ቀ √ଷ , ଷ √ଷ ,−15/√30ቁ 13) √117 14) √89 15) 6√5 16) a) √6 b) 7/2 c) 9√2/2 d) 2√6 17) √74 18) 3 ou 1/5 19) 3√35/7 20) (1, 0, 1) 21) (-2, 2, -4) 22) (2y – 9, y, 3) 24) a) ݎ= (ݑሬ⃗. ⃗ݒ)/|⃗ݒ|ଶ 26) a) não b) sim 27) a) sim b) não c) sim 28) m = 4 29) a) 6 b) 3/2 c) 2 ou -3 30) 44 uv 31) 6 ou -4 32) 2 ou -8/3 33) 6 ou 2 34) a) 2 b) 4 e 8/√10 Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I Listade exercícios nº 9. 1) Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta ݎ:ݔ− 3 −1 = ݕ+ 12 = 2 − ݖ2 2) Determinar o ponto da reta ݎ:൝ݔ= 2 − ݐݕ= 3 + ݐ ݖ= 1 − 2ݐ�que tem abscissa 4. 3) Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença à reta ݎ:൝ݔ= 1 − 2ݐݕ= −3 − ݐ ݖ= −4 + ݐ� 4) Determinar os pontos da retaݎ: ௫ିଷ ଶ = ௬ାଵ ିଵ = ௭ ିଶ que têm: (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1 5) 0 ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P. 6) Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4,0, -3) e tem a direção do vetor kjiv 542 . 7) Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pares de pontos: a) A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1) b) A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3) 8) Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos pontos P1(-1, 0, 3) e P2(1, 2, 7). 9) Mostrar que os pontos A (-1, 4, -3), B (2, 1, 3) e C (4, -1, 7) são colineares. 10) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(l, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à mesma reta? 11) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:)ܽ ቊ௫ାଵଷ = ௭ି ଷସ ݕ= 1 � ݀) ቄݕ= 3ݖ= −1�)ܾ ቄݔ= 2ݕ ݖ= 3 � )݁ ቄ ݕ= −ݔݖ= 3 + ݔ�)ܿ ൝ ݔ= 2ݐݕ= −1 ݖ= 2 − ݐ� )݂ ݔ= ݕ= ݖ 12) Determinar as equações das seguintes retas: a) reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x; b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano x0z; c) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y; d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor i - j ; e) reta que passa pelos pontos M(2, -.3, 4) e N(2, -1, 3). Respostas: 1) Apenas P1 2) (4, 1, 5) 3) m = -2, n = -5 4) (5, -2, -2), (-7, 4, 10), (2, -1/2, 1) 5) P(2, 1, 9) 6) y = 2x – 8 e z = 5/2 x – 13 7) a) ቊݕ= ௫ଶ− ହଶ ݖ= −2ݔ+ 5� b) ቄݕ= −ݔ+ 1ݖ= 3 � 8) x = ½ z – 5/2 e y = ½ z – 3/2 10) m = -5 12) )ܽ ቄݕ= −2 ݖ= 4 � )ܾ ቄݔ= 3ݖ= 1� )ܿ ൜ݔ= 2ݕ= 3� ݀) ൜ݖ= 2ݔ= −ݕ+ 3� )݁ ቊ ݔ= 2௬ାଵ ଶ = ௭ି ଷ ିଵ � Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I Lista de exercícios nº 10 . 1) Determinar o ângulo entre as seguintes retas:)ܽ ݎ: ൝ݔ= −2 − 2ݐݕ= 2ݐ ݖ= 3 − 4ݐ �݁ ݏ: ௫ସ = ௬ାଶ = ௭ି ଵଶ )ܾ ݎ: ቄݕ= −2ݔ− 1ݖ= ݔ+ 2 ݁ ݏ: ௬ଷ = ௭ାଵିଷ ,ݔ= 2 �)ܿ ݎ: ൝ݔ= 1 + √2 ݐݕ= ݐ ݖ= 5 − 3ݐ ݁ ݏ: ൜ݔ= 0ݕ= 0�� ݀) ݎ: ௫ିସଶ = −ݕ= ି௭ି ଵଶ ݁ ݏ: ቊ ݔ= 1௬ାଵସ = ௭ି ଶଷ � 2) Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas ݎ: ݔ− 24 = ݕ+ 45 = ݖ3 ݁ ݏ: ቄݕ= ݊ݔ+ 5ݖ= 2ݔ− 2� 3) Calcular o valor de n para que seja de 30° o ângulo que a reta ݎ: ቄݕ= ݊ݔ+ 5 ݖ= 2ݔ− 3� forma com o eixo dos y. 4) A reta ݎ: ൝ݔ= 1 + 2ݐݕ= ݐ ݖ= 3 − ݐ� forma um ângulo de 60° com a reta determinada pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m). Calcular o valor de m. 5) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:)ܽ ݎ: ൝ݔ= −3ݐݕ= 3 + ݐ ݖ= 4 �݁ ݏ: ௫ାହ = ௬ିଵ ;ݖ= 6 )ܾ ݎ: ൝ݔ= 2 − 3ݐݕ= 3ݖ= ݉ݐ �݁ ݏ: ௫ିସ = ௭ି ଵହ ;ݕ= 7 6) A reta r passa pelo ponto A(1, -2, 1) e é paralela à reta ݏ: ൝ݔ= 2 + ݐݕ= −3ݐ ݖ= −ݐ � .Se P(-3, m, n) r, determinar m e n. 7) Quais as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 1, 0) e é paralela à reta ݎ:ݔ+ 11 = ݕ4 = −ݖ? 8) A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3,- 1,1) e D(0, y, z). Determinar o ponto D. 9) A reta ݎ: ቄݕ= ݉ݔ+ 3 ݖ= ݔ− 1 � é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) e B(-2, 2m, 2m). Calcular o valor de m. RESPOSTAS: 1) a) 60º b) 30º c) 30º d) ߠ= ܽܿݎ cosቀଶ ଷ ቁ≅ 4811' 2) 7 ou 1 3) ± √15 4) – 4 5) a) -2 b) -5/2 6) m = 10 e n = 5 7) y = 4x + 9 e z = -x – 2 8) D(0, 1, 0) 9) 1 ou -3/2 Profª Cristiane Pinho Guedes CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I Lista de exercícios nº 11 . 1) Seja o plano : 2 x - y+ 3 z+ 1=0 . Calcular: a) 0 ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3; b) 0 ponto de que tem abscissa 1 e cota 2; c) 0 valor de k para que o ponto P(2, k + 1, k) pertença a ; d) 0 ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota. Nos problemas 2 a 10, determinar a equação geral do plano 2) paralelo ao plano : 2x - 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto A(4, -1, 2); 3) perpendicular à reta 1 32 : yz yx r e que contém o ponto A(1, 2, 3); 4) mediador do segmento de extremos A(1, -2, 6) e B(3, 0, 0); 5) mediador do segmento de extremos A(5, -1, 4) e B(-1, -7, 1); 6) paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1); 7) paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2, 0, 2) e B(0, -2, 1); 8) paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1); 9) paralelo ao plano xOy e que contém o ponto A(5, -2, 3); 10) perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1). Nos problemas 11 a 14, escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos: 11) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C(1, 1, -1). 12) A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1). 13) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C(0, 2, 5). 14) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3). 15) Determinar o valor de a para que os pontos A(a,-1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) e D(1,0, 3) sejam coplanares. Nos problemas de 16 a 19, determinar a equação geral do plano nos seguintes casos: 16) 0 plano passa pelo ponto A(6, 0, -2) e é paralelo aos vetores kjei 2 17) 0 plano passa pelos pontos A(-3, 1,-2) e B(-1, 2, 1) e é paralelo ao vetor kiv 32 18) 0 plano contém os pontos A(1,-2,2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano : 2x+y -z+ 8=0. 19) 0 plano contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos 1 : 2x - y - 4z - 6 = 0 e 2 :x + y+ 2z - 3 =0. RESPOSTAS: 1) a) (4, 3, -2) c) k = -2 b) (1, 9, 2) d) (0, -2, -1) 2) 2x - 3y - z - 9 = 0 3) 2 x + y - z - 1= 0 4) x + y - 3z + 8 = 0 5) 4x + 4y + 2z + 3 = 0 6) 3x+2y- 6=0 Profª Cristiane Pinho Guedes 7) y - 2z + 4 = 0 8) x + 2z - 2 = 0 9) 9) z = 3 10) y = 4 11) 4x + 5y + 3z – 6 = 0 12) x – 2y = 0 13) x = 0 14) z = 3 15) a = -3 16) y + 2z + 4 = 0 17) 3x - 12y + 2z + 25 = 0 18) x – 12y – 10z – 5 = 0 19) 2x – 8y + 3z = 0 Profª Cristiane Pinho Guedes
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