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LISTA EDO SEPARÁVEL 2016.2

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UNIJORGE // CURSO DE ENGENHARIA 
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES 
LISTA DE EXERCÍCIOS : EDO - EDO SEPARÁVEL 
PROFESSOR: CAIO EDUARDO P. COSTA 
ALUNO : ___________________________________________________ 
 
 
1) Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial 
correspondente: 
a) Função: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 + 𝑘. 𝑒−𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑘 ∈ ℝ. EDO: 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢. cos(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos⁡(𝑥). Resp: SIM 
b) Função: 𝑥(𝑡) = 𝐶1. cos(2𝑡) + 𝐶2. 𝑠𝑒𝑛(2𝑡), 𝐶1, 𝐶2 ∈ ℝ. EDO: 𝑥
′′ + 4𝑥 = 0. 
Resp: SIM 
c) Função: 𝑧 = 𝑘. 𝑒−𝑥² , 𝑘 ∈ ℝ. EDO: 
𝑑²𝑧
𝑑𝑥²
+ 2𝑧 = 0. Resp: NÃO 
d) Função: 𝑥(𝑡) =
−2
𝑡²−1
 . EDO: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑡𝑥². Resp: SIM 
 
2) Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral 
abaixo: 
a) 𝑥² + 𝑦² = 𝐶². Resp: 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0 
b) 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 . Resp: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 0 
c) 𝑥³ = 𝐶(𝑥2 − 𝑦2). Resp: 3𝑦² − 𝑥2 = 2𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
d) 𝑦 = 𝐶1𝑥²+ 𝐶2. Resp: 𝑥
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
e) 𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2𝑥)𝑒
𝑥 + 𝐶3. Resp: 
𝑑³𝑦
𝑑𝑥³
− 2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
f) 𝑦 = 𝐶1𝑥
−1 + 𝐶2 + ln 𝑥. Resp: 𝑥²𝑦
′′ + 2𝑥𝑦′ − 1 = 0 
 
3) Determine a solução geral de cada equação diferencial: 
a) 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −2(𝑇 − 10). Resp: 𝑇 = 𝑘. 𝑒−2𝑡 + 10 
b) 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑣³−1
𝑣²
. Resp: 𝑣³ = 𝐶 − 3 ln|𝑥| 
c) 3𝑒𝑥𝑡𝑔(𝑦)𝑑𝑥 + (1 − 𝑒𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑦)𝑑𝑦 = 0. Resp: (1 − 𝑒𝑥)3 = 𝐶. 𝑡𝑔(𝑦) 
 
4) Determine a função 𝑦 = 𝑦(𝑥) que satisfaça as condições dadas: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑦 ⁡⁡𝑒⁡⁡𝑦(0) = 1. Resp: 𝑦 = − ln (
1
𝑒
− 𝑥) 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦2 ⁡𝑒⁡⁡𝑦(0) =
1
2
. Resp: 𝑦 =
1
2−3𝑥
 
 
 
 
 
 
5) Obtenha a solução da EDO 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
+
𝑆
3
= 2 que satisfaz a condição inicial 𝑆(0) = 5. 
O que acontece com a solução 𝑆(𝑡) após um longo tempo, ou seja, quanto vale 
lim𝑡→+∞ 𝑆(𝑡)? Resp: 𝑆(𝑡) = 6 − 𝑒
−
𝑡
3⁡⁡𝑒⁡ lim𝑡→+∞ 𝑆(𝑡) = 6⁡⁡ 
 
6) Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto (0,-2) de tal modo 
que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual a 
ordenada correspondente deste ponto aumentada de 3. Resp.: 𝑦 = 𝑒𝑥 − 3. 
 
7) Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição que remunera o capital 
investido de acordo com a equação 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 0,08𝐶. Supondo que o capital 
investido no instante 𝑡 = 0 seja R$10.000,00, determine o valor do capital 
aplicado no instante 𝑡. Resp.: 𝐶(𝑡) = 10000. 𝑒0,08𝑡 . 
 
8) Crescimento populacional. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma 
taxa proporcional a quantidade presente, isto é, 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝛼.𝑄, 𝑜𝑛𝑑𝑒⁡𝑄 =
𝑄(𝑡)é⁡𝑎⁡𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒⁡𝑒𝑚⁡𝑢𝑚⁡𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜⁡𝑡⁡𝑒⁡𝛼 ∈ ℝ. Após uma hora observam-se 
1000 núcleos de bactérias na cultura e, após 4 horas, 3000 núcleos. Determine: 
a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo 
arbitrário 𝑡. Resp.: 𝑁(𝑡) = 694. 𝑒0,366𝑡 . 
b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura. Resp.: 694. 
 
9) Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao 
tempo 𝑡. Para 𝑡 = 0⁡𝑠, a velocidade da partícula é 9⁡𝑚/𝑠. Sabendo-se que 
ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando 𝑡 = 3⁡𝑠, 
escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.: 𝑎(𝑡) =
−2𝑡⁡, 𝑣(𝑡) = −𝑡2 + 9⁡, 𝑠(𝑡) = −
𝑡3
3
+ 9𝑡 − 18. 
 
10) Considere um corpo que se move ao longo de um eixo 𝑠 de tal forma que a sua 
aceleração 𝑎 = 𝑎(𝑡) é sempre o dobro da sua velocidade 𝑣 = 𝑣(𝑡). Determine 
a equação que descreve a posição 𝑠 = 𝑠(𝑡) desse corpo, sabendo que quando 
𝑡 = 0 temos posição nula e que 𝑣(0) = 3⁡𝑚/𝑠. Resp.: 𝑠(𝑡) =
3
2
(𝑒2𝑡 − 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Um material radioativo se desintegra a uma taxa 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 proporcional a 𝑚, onde 
𝑚 = 𝑚(𝑡) é a quantidade de matéria no instante 𝑡. Supondo que a quantidade 
inicial (𝑒𝑚⁡𝑡 = 0) de matéria seja 300 e que 10 anos após já tenha se 
desintegrado 
1
3
 da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que 
metade da quantidade inicial se desintegre. Resp.: 𝑚(𝑡) = 𝑒
ln(
2
3)
10
.𝑡. 300⁡⁡,
𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒⁡17⁡𝑎𝑛𝑜𝑠. 
 
12) Termologia. Conhecemos de observações experimentais que a temperatura 
superficial de um objeto varia numa taxa proporcional a diferença entre a 
temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de resfriamento de 
Newton. Portanto, se 𝑇(𝑡) é a temperatura do objeto no tempo 𝑡 e 𝑇𝑎 é a 
temperatura ambiente constante, temos a relação: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘. (𝑇 − 𝑇𝑎),⁡⁡⁡𝑜𝑛𝑑𝑒⁡𝑘⁡𝜖⁡ℝ 
depende do material de que é constituída a superfície do objeto. Usando estes 
dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a 
temperatura do ar 30°𝐶 e resfriando a substância de 100°𝐶 para 70°𝐶 em 25 
minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de 
40°𝐶. Resp.: Temos que 𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + (𝑇0 − 𝑇𝑎). 𝑒
𝑘𝑡 ⁡, 𝑑𝑎í⁡𝑘 ≅ −0,0224. Assim, 
𝑡 ≅ 87⁡𝑚𝑖𝑛. 
 
13) Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, 
em que a temperatura é de 5°C. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20°C; 
após 5 minutos, 10°C. Qual a temperatura da sala? Use a Lei de resfriamento 
de Newton. Resp.: 𝑇(𝑡) = 15. 3
1−𝑡
4 + 5⁡⁡𝑒⁡⁡𝑇(0) ≅ 24,7°𝐶. 
 
14) O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia 
chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do 
cadáver que era de 30°C. Duas horas mais tarde ele tomou novamente a 
temperatura que era de 23°C. A temperatura do quarto onde se encontrava a 
vitima era constante a 20°C. Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar 
a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma 
pessoa viva é de 37°C. Resp: 00:07h.

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