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Exercícios de Espaços e Conjuntos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
MAT038 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
PROF. ROBERTO RODRIGUEZ
LISTA DE EXERCÍCIOS
DATA: 16/06/2016
Exercício 0.1. Em R4 são considerados os seguintes subespaços
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − 2y + z = 0, z + 3t = 0 }
W = {(2a, a + 4b, 0, c + b) ∈ R4 : a, b, c ∈ R}
Determinar a base e a dimensão de U e W.
Exercício 0.2. Sejam os subespaços de R3 e R4, respectivamente, dados pelas condições:
x + y = 0
y + z = 0
2x + 3y + z = 0
x − y + z + t = 0
x − y + 4z = 0
5x + 6y − z + t = 0
Determinar a base e a dimensão de cada um deles.
Exercício 0.3. Considere os seguintes subconjuntos de R4
S = {(5,−2, 3, 4), (1, 0,−1, 0), (7,−3, 5, 6)}
T1 = {(1, 0, 0, 0), (1,−1, 1,−1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}
T2 = {(6,−5/2, 4, 5), (11,−3, 1, 6), (13/2,−5/2, 7/2, 5), (−3, 1,−1,−2)}
1. Determine uma base B do subespaço gerado por S .
2. Estender o conjunto B achado no item anterior a uma base de R4, adicionando, se for
possível, vetores de T1.
3. Realizar o mesmo exercício que no item anterior, mas considerando T2.
Exercício 0.4. Para V = R3, estudar se cada um dos conjuntos de vetores seguintes é um sistema
linearmente independente ou dependente:
S = {(3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3)}
T = {(3, 2, 1), (1,−3, 2), (−1,−2, 3)}
Exercício 0.5. Resolver os seguintes sistemas, determinar o conjunto solução de cada um deles.
(a) {x + 2y − 3z = 4
1
GAAL ROBERTO RODRIGUEZ
(b)

x + 2y − 3z = 4
x + 3y + z = 11
2x + 5y − 4z = 13
(c)
{
x + 2y − 3z + t = 4
x + 3y + z = 11
Achar a base e a dimensão de cada conjunto solução.
Exercício 0.6. Determinar se v ∈ S em cada um dos seguintes casos:
1. v = (1, 2,−1), S = [(1, 3, 2), (2, 0, 1), (1, 1, 1)] ⊆ R3
2. v = (1, 0,−1, 3), S = [(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 1), (0, 1, 0,−2)] ⊆ R4
Exercício 0.7. Seja V um subespaço vetorial e sejam v1, v2, v1 ∈ V .
Mostrar que se v1 + 3v2 − v3 = 0 e 2v1 − v2 − v3 = 0, então:
[v1, v2, v3] = [v3].
Exercício 0.8. Seja S = [(1,−1, 2, 1), (3, 1, 0,−1), (1, 1,−1,−1)] ⊆ R4
1. Determinar se (2, 1, 3, 5) ∈ S .
2. Determinar se {x ∈ R4/ x1 − x2 − x3 = 0} ⊆ S .
3. Determinar se S ⊆ {x ∈ R4/ x1 − x2 − x3 = 0}.
Exercício 0.9. Em cada um dos seguintes casos achar uma base do subespaço de soluções do
sistema linear homogêneo Ax = 0
(a)
 2 0 3 −11 −2 1 0−1 1 0 1

(b)
 0 5 31 −1 2
2 3 1

(c)

3 −1 0 1 2
−1 0 4 −1 0
3 1 1 0 1
2 0 0 3 1

Determinar a dimensão de cada subespaço.
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