Cálculo 1 - Gabarito Prova 3 - Integrais - 2016/1 UFMG

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Cálculo I: Gabarito 3a prova, Turmas E2, OL. 22 de dezembro de 2012, 10h00, Duração: 1h40.
1. (6pts) Calcule limx→∞ x
1
x
. (Justifique todos os elementos da sua resposta.)
Primeiro, exponenciamos x1/x = (eln x)1/x = e
ln x
x
. Como a função exponencial é contínua, podemos escrever
lim
x→∞x
1/x = lim
x→∞ e
ln x
x (1pts) = exp
(
lim
x→∞
lnx
x
)
.
Observe que o limite limx→∞ ln xx é da forma indeterminada �
∞
∞ �, e que as funções f(x) = lnx e g(x) = x são ambas deriváveis
para todo x > 0 e tendem a +∞ quando x→∞. Logo, como
lim
x→∞
(lnx)′
(x)′
= lim
x→∞
1/x
1
= 0 ,
temos, pela Regra de Bernoulli-l'Hôpital, limx→∞ ln xx = limx→∞
1/x
1 = 0 (4pts). Isso implica
lim
x→∞x
1
x = e0 = 1 .(1pts)
(Veja também: Exemplos 5.46, 5.48 e 5.49 da apostila.)
2. Considere a região R do plano delimitada pelo gráfico da função f(x) = cosx, o eixo x, e as retas verticais x = 0, x = pi2 .
a) (8pts) Monte uma integral que dê o volume i) do sólido S1 obtido girando R em torno da reta y = −1, ii) do sólido S2
obtido girando R em torno do eixo y, usando cascas.
b) (8pts) Calcule o volume de S2.
Considere um retângulo infinitesimal (de largura dx), baseado em x ∈ [0, pi/2]:
dx
x
cosx
Para S1: ao girar em torno da reta y = −1, este retângulo gera um sólido (espécie de anel) de volume igual a uma diferença
de dois cilindros: pi(cosx− (−1))2 × dx− pi(1)2 × dx. Logo, integrando sobre todos os anéis, obtemos
V (S1) =
∫ pi/2
0
pi{(cosx+ 1)2 − 1}dx .(4pts)
Obs: Podia também usar cascas, e obter
V (S1) =
∫ 1
0
2pi(y + 1) arccos y dy .
Para S2: ao girar em torno do eixo y, aquele retângulo gera uma casca de volume igual a 2pix× cosx× dx. Logo,
V (S2) =
∫ pi/2
0
2pix cosx dx .(4pts)
Para calcular V (S2), comecemos por uma integração por partes:∫
x cosx dx = xsenx−
∫
1 · senx dx
= xsenx+ cosx+ C .(4pts)
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
V (S2) = 2pi
{
xsenx+ cosx+ C
}x=pi/2
x=0
= 2pi(pi/2− 1) .(4pts)
3. (10pts) Calcule a primitiva
∫
x3
√
1− x2 dx.
A primitiva pode ser calculada de vários jeitos (ver o vídeo �Substituições Trigonométricas (parte 2)�). Pode chamar x = senθ
(dx = cos θ dθ) e obter (essa primitiva foi calculada no Exemplo 6.43)∫
x3
√
1− x2 dx =
∫
(senθ)3
√
1− (senθ)2 cos θ dθ
=
∫
sen3θ cos2 θ dθ(6pts)
=
∫
(1− cos2 θ) cos2 θsenθ dθ
(u = cos θ) = −
∫
(1− u2)u2 du(2pts)
= − 13u3 + 15u5 + C
= − 13 (cos θ)3 + 15 (cos θ)5 + C
= − 13 (1− x2)3/2 + 15 (1− x2)5/2 + C(2pts)
Pode também chamar u = 1− x2 (du = −2x dx), e obter∫
x3
√
1− x2 dx =
∫
x2
√
1− x2 · x dx
= − 12
∫
(1− u)√u du(5pts)
= − 12
∫
u1/2 du+ 12
∫
u3/2 du
= − 13u3/2 + 15u5/2 + C
= − 13 (1− x2)3/2 + 15 (1− x2)5/2 + C(5pts)
4. (8pts) Determine se a integral imprópria
∫∞
2
dx
x2+2x converge ou diverge.
O jeito mais fácil é de observar que
0 ≤ 1
x2 + 2x
≤ 1
x2
para todo x do intervalo de integração [2,∞). Logo,∫ ∞
2
1
x2 + 2x
dx ≤
∫ ∞
2
1
x2
dx ,
e esta segunda integral é do tipo
∫∞
a
dx
xp com p = 2 > 1, logo ela ela converge, portanto a primeira converge também (8pts).
Senão, pode usar a definição: ∫ ∞
2
1
x2 + 2x
dx = lim
L→∞
∫ L
2
1
x2 + 2x
dx .(2pts)
Observe que x2 + 2x tem um ∆ > 0, e que pode ser fatorado: x2 + 2x = x(x + 2). Procurando uma decomposição (ver
Exemplo 6.29, Exercício 6.37 (item 4), Exercício 6.41 (item 6)):
1
x2 + 2x
=
1
x(x+ 2)
=
A
x
+
B
x+ 2
.
Verifique-se que A = 1/2, B = −1/2 (1pts). Logo,∫
dx
x2 + 2x
= 12
∫
dx
x
− 12
∫
dx
x+ 2
= 12
{
lnx− ln(x+ 2)}+ C(2pts)
= 12 ln
x
x+ 2
+ C .
Logo, ∫ ∞
2
1
x2 + 2x
dx = 12 limL→∞
{
ln
L
L+ 2
− ln 2
2 + 2
}
= − 12 ln 12 , (3pts)
que existe e é finito. Portanto a integral imprópria converge.
5. BONUS (+5pts) Defina, usando notações matemáticas precisas, o que significa integrar uma função f : [a, b]→ R.
(Ver apostila.)
2