Cap.1 A Estrutura de Sólidos Cristalinos

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Chapter 3 - 1 
Centro Universitário Una 
Engenharia Mecânica 
 
 
 
Capítulo 1 
A Estrutura dos Sólidos Cristalinos 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Ciência e Tecnologia dos Materiais 
 
Chapter 3 - 2 
Chapter 3 - 3 
• Baixa densidade, empacotamento aleatório 
• Denso, empacotamento ordenado 
Estruturas densas com empacotamento ordenado 
 tendem a ter baixas energias. 
Energia e Empacotamento 
Energy 
r 
typical neighbor 
 bond length 
typical neighbor 
 bond energy 
Energy 
r 
typical neighbor 
 bond length 
typical neighbor 
 bond energy 
Chapter 3 - 4 
• arranjo de longo alcance dos átomos, 
estrutura 3D 
Materiais cristalinos... 
-todos os metais 
-muitas cerâmicas 
-alguns polímeros 
SiO2 cristalino 
Adapted from Fig. 3.22(a), 
 Callister 7e. 
Materiais e Empacotamento 
Si Oxygen 
• típico em: 
Monocristais 
Quando o arranjo periódico e repetido 
dos átomos é perfeito ou se estende ao 
longo da totalidade da amostra, sem 
interrupções. Todas as células unitárias 
possuem a mesma orientação. 
Monocristal de granada 
Chapter 3 - 5 
• ordem atômica de longo alcance ausente 
Materiais não-cristalinos... 
-estruturas complexas 
-resfriamento rápido 
SiO2 não-cristalino 
"Amorfo" = Não-cristalino Adapted from Fig. 3.22(b), 
 Callister 7e. 
Materiais e Empacotamento 
Si Oxygen 
• ocorre em: 
Policristais 
A maioria dos sólidos cristalinos é composta por um conjunto de muitos 
cristais pequenos ou grãos. 
Chapter 3 - 6 
Sistemas Cristalinos 
 7 sistemas cristalinos 
(cúbico, hexagonal, tetragonal, romboédrico, ortorrômbico, 
monoclínico e triclínico) 
14 Redes cristalinas (redes de 
Bravais) 
Fig. 3.4, Callister 7e. 
Célula unitária: pequenas entidades repetitivas de 
volume que contém num sólido cristalino. 
(Padrão repetitivo de um grupo de átomos.) 
Geometria da célula unitária 
6 parâmetros: a, b, e c (comprimentos das 
arestas e α, β e γ (ângulos entre os eixos). 
Chapter 3 - 
7 sistemas cristalinos 
- Cúbico (maior grau de simetria) 
- hexagonal 
- tetragonal 
- romboédrico (trigonal) 
- ortorrômbico 
- monoclínico 
- Triclínico (menor grau de simetria) 
 
Redes de Bravais 
Através dos 7 sistemas cristalinos 
temos no total 14 arranjos 
distintos. 
7 
Chapter 3 - 8 
 Estrutura Cristalina de Metais 
• Como podemos empilhar átomos metálicos para 
minimizar o espaço vazio? 
 
 2-dimensões 
vs. 
Empilhamento de camadas 2D gera estruturas 3D 
Chapter 3 - 9 
• Tendem a ter um empacotamento denso. 
• Razões para o empacotamento denso: 
-Tipicamente, somente um elemento está presente, assim todos 
 os raios atômicos são os mesmos. 
- A ligação metálica é não-direcional. 
- Pequenas distâncias entre os vizinhos mais próximos tendem 
 a ter uma baixa energia de ligação. 
- A nuvem de elétrons protegem os núcleos iônicos carregados 
 positivamente uns dos outros. 
• Tem estrutura cristalina simples. 
Estruturas Cristalinas de Metais 
Chapter 3 - 10 
• Coordenação = 12 
Adapted from Fig. 3.1, Callister 7e. 
(Courtesy P.M. Anderson) 
• Átomos localizados em cada um dos vértices e nos centros 
 de todas as faces do cubo. 
Estrutura Cúbica de Face Centrada (CFC) 
ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag 
4 átomos/cél.unit.: 6 faces x 1/2 + 8 vértices x 1/8 
 4 átomos na estrutura CFC 
Compartilhado por 
oito células unitárias 
Compartilhado por 
duas células unitárias 
Chapter 3 - 11 
• FEA de uma estrutura cúbica de face centrada = 0,74 
Fator de Empacotamento Atômico (CFC) 
FEA máximo alcançado para esferas de mesmo diâmetro. 
FEA = 
4 
3 
p r 3 4 
átomos 
cél.unit. átomo 
volume 
a 3 
cél.unit. 
volume 
Direção de maior empacotamento: 
comprimento = 4R = 2 a 
Contém em uma célula unitária: 
 6 x 1/2 + 8 x 1/8 
 = 4 átomos/cél.unit. (estrutura CFC) 
a 
2 a 
Adapted from 
Fig. 3.1(a), 
Callister 7e. 
a=2r 2 
Chapter 3 - 12 
• Coordenação = 8 
Célula unitária com 
esferas reduzidas. 
(Courtesy P.M. Anderson) 
• Átomos localizados em todos os 8 vértices e um único átomo 
 localizado no centro do cubo. 
--Nota: Todos os átomos são idênticos; o átomo central tem forma diferente 
 apenas para facilitar a visualização. 
Estrutura Cúbica de Corpo Centrado (CCC) 
ex: Cr, W, Fe(), Ta, Mo 
2 átomos/cél.unit.: 1 centro + 8 vértices x 1/8 
 2 átomos na estrutura CCC 
Célula unitária com 
esferas rígidas. 
Agregado de muitos átomos 
Chapter 3 - 13 
Fator de Empacotamento Atômico (CCC) 
a 
FEA = 
4 
3 
p r 
3 
2 
átomos 
cél.unit. átomo 
volume 
a 3 
unit cell 
volume 
comprimento = 4R = 
Direção de maior empacotamento: 
3 a 
• FEA para uma estrutura cúbica de corpo centrado = 0,68 
a 
R 
Adapted from 
Fig. 3.2(a), Callister 7e. 
a 2 
a 3 
a=4r/ 3 
Chapter 3 - 14 
• Raras devido a baixa densidade de empacotamento 
 (única excessão é a estrutura do Po) 
• Direções de maior empacotamento são as arestas do cubo 
• nº coordenação = 6 
 (vizinhos mais próximos) 
(Courtesy P.M. Anderson) 
Estrutura Cúbica Simples (CS) 
Parâmetro de rede 
a = 2r 
Modelo de esferas rígidas 
Chapter 3 - 15 
• FEA para uma estrutura CS = 0,52 
FEA = 
a 3 
4 
3 
p r 3 1 
nº átomos 
cél.unit. 
átomo 
(esfera) 
volume 
cél.unit. 
(cubo) 
volume 
Fator de Empacotamento Atômico (FEA) 
FEA = 
Volume de átomos em uma cél.unit. 
Volume total da célula unitária 
*assume modelo de esferas rígidas 
• contém 8x1/8 = 1 átomo/célula unitária 
 1 átomo na estrutura CS 
= 0,52 
(a=2r) 
1/8. 
Chapter 3 - 16 
• Coordenação = 12 
• FEA = 0,74 
• Projeção 3D 
• Projeção 2D 
Adapted from Fig. 3.3(a), Callister 7e. 
Estrutura Hexagonal Compacta (HC) 
1/6 x 12 + ½ x 2 + 3 = 6 átomos/cél.unit. 
 
ex: Cd, Mg, Ti, Zn 
• c/a = 1,633 (valor ideal) 
c 
a 
sítios A 
 sítios B 
sítios A 
Camada inferior 
Camada mediana 
 Camada superior 
 Nota: Nem todos os metais possuem células unitárias com simetria cúbica. 
FEA = 
4 
3 
p r 3 6 
24r3 2 
Chapter 3 - 17 
• A verdadeira distinção entre as estruturas HC e CFC está no local onde a 3ª 
camada compacta está posicionada. 
 E
s
tr
u
tu
ra
 h
e
x
a
g
o
n
a
l 
c
o
m
p
a
c
ta
 
Estruturas Compactas - Sequência de 
Empilhamento CFC 
A 
B 
C 
a - uma fração de um plano 
compacto de átomos. 
b - segundo plano compacto 
de átomos. 
 E
s
tr
u
tu
ra
 c
ú
b
ic
a
 d
e
 f
a
c
e
s
 
c
e
n
tr
a
d
a
s
 
Chapter 3 - 18 
Cálculo de Densidade Teórica (r) 
n = número de átomos/célula unitária 
A = peso atômico (g/mol) 
VC = Volume de célula unitária = a
3 para cubo (cm3/célula unitária) 
NA = Número de Avogadro = 6,023 x 10
23 átomos/mol 
Densidade = r = 
VC NA 
n A 
 Volume total da célula unitária 
 Massa de átomos por cél. unit. 
= 
Chapter 3 - 19 
 
• Ex: Cr (CCC) 
 A = 52,00 g/mol 
 R = 0,125 nm 
 n = 2 
rteórica
 
a = 4R/ 3 = 0,2887 nm 
(1cm=107nm) 
ratual 
a 
R 
r = 
a 3 
52,00 2 
átomos 
cél.unit. 
mol 
g 
cél.unit. 
volume átomos 
mol 
6,023 x 1023 
Densidade Teórica (r) 
= 7,18 g/cm3 
= 7,19 g/cm3 
Chapter 3 - 20 
Densidade das Classes de Materiaisr metais > r cerâmicas > r polímeros 
Porque? 
Data from Table B1, Callister 7e. 
r
 (g
/c
m
 
) 
3
 
Graphite/ 
Ceramics/ 
Semicond 
Metals/ 
Alloys 
Composites/ 
fibers 
Polymers 
1 
2 
2 0 
30 
B ased on data in Table B1, Callister 
*GFRE, CFRE, & AFRE are Glass, 
Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced 
Epoxy composites (values based on 
60% volume fraction of aligned fibers 
in an epoxy matrix). 10 
3 
4 
5 
0.3 
0.4 
0.5 
Magnesium 
Aluminum 
Steels 
Titanium 
Cu,Ni 
Tin, Zinc 
Silver, Mo 
Tantalum 
Gold, W 
Platinum 
G raphite 
Silicon 
Glass - soda 
Concrete 
Si nitride 
Diamond 
Al oxide 
Zirconia 
H DPE, PS 
PP, LDPE 
PC 
PTFE 
PET 
PVC 
Silicone 
Wood 
AFRE * 
CFRE * 
GFRE* 
Glass fibers 
Carbon fibers 
A ramid fibers 
 Metais tem... 
 • empacotamento fechado 
 (ligação metálica) 
 • grandes massas atômicas 
 Cerâmicas tem... 
 • empac. menos denso 
 • elementos mais leves 
 Polímeros tem... 
 • baixa densidade de empac. 
 (normalmente amorfo) 
 • elementos leves(C,H,O) 
 Compósitos tem... 
 • valores intermediários 
Em geral 
Chapter 3 - 21 
• Muitos materiais de engenharia são policristalinos. 
 Placa de Nb-Hf-W com uma solda de feixe eletrônico. 
 
• Cada "grão“ é um monocristal. 
• Se os grãos estão orientados aleatoriamente, 
 as propriedades do material não são direcionais. 
• Tamanho de grão na faixa de 1 nm a 2 cm. 
 
Adapted from Fig. K, color inset 
pages of Callister 5e. 
(Fig. K is courtesy of Paul E. 
Danielson, Teledyne Wah 
Chang Albany) 
1 mm 
Policristais 
Isotrópico 
Anisotrópico 
As propriedades 
medidas são 
independentes 
da direção da 
medição. 
Dependência 
das 
propriedades 
em relação à 
direção. 
Chapter 3 - 22 
• Monocristais 
-As propriedades variam 
 de acordo com as direções: 
 anisotropia. 
-Exemplo: o módulo de 
 elasticidade (E) no ferro CCC: 
• Policristais 
-As propriedades podem ou 
 não variar com as direções. 
-Se os grãos são aleatoriamente 
 orientados: isotrópico. 
 (Epoly iron = 210 GPa) 
- Se os grãos são texturados, 
 anisotrópico. 
200 mm 
Data from Table 3.3, 
Callister 7e. 
(Source of data is R.W. 
Hertzberg, Deformation 
and Fracture Mechanics 
of Engineering 
Materials, 3rd ed., John 
Wiley and Sons, 1989.) 
Adapted from Fig. 
4.14(b), Callister 7e. 
(Fig. 4.14(b) is courtesy 
of L.C. Smith and C. 
Brady, the National 
Bureau of Standards, 
Washington, DC [now 
the National Institute of 
Standards and 
Technology, 
Gaithersburg, MD].) 
Monocristais vs Policristais 
E (diagonal) = 273 GPa 
E (edge) = 125 GPa 
Chapter 3 - 23 
Polimorfismo e Alotropia 
• Alguns metais pode ter duas ou mais estruturas cristalinas. 
Em sólidos elementares é conhecida por alotropia. 
 
 titanium 
 , -Ti 
 
 carbono 
 diamante, grafita 
CCC 
CFC 
CCC 
1538ºC 
1394ºC 
 912ºC 
-Fe 
-Fe 
-Fe 
líquido 
Sistema do ferro 
Na maioria das vezes, uma 
transformação polimórfica 
vem acompanhada de 
mudanças na massa 
específica e em outras 
propriedades físicas. 
Chapter 3 - 24 
Ponto de Coordenadas 
A posição de qualquer ponto localizado no interior de uma 
célula unitária pode ser especificada em termos de suas 
coordenadas, calculadas como múltiplos fracionários dos 
comprimentos das arestas das células unitárias (a, b, c). 
 
Especifique as coordenadas de pontos para todas as posições atômicas 
em uma célula unitária CCC. 
 
 
Chapter 3 - 25 
Direções Cristalográficas 
É definida como uma linha entre dois pontos ou um vetor 
1. Vetor reposicionado (se necessário) para passar 
através da origem. 
2. Leia as projeções em termos das dimensões da 
célula unitária a, b, e c. 
3. Ajuste os valores nos menores números inteiros. 
4. Coloque entre colchetes, sem vírgula [uvw]. 
ex: 1, 0, ½ => 2, 0, 1 => [ 201 ] 
-1, 1, 1 
Famílias de direções (direções equivalentes) <uvw> 
Direções em cristais cúbicos que possuam os mesmos índices, independende 
da ordem ou do sinal, como [123] e [213], são equivalentes. 
São equivalentes: [100], [100], [010], [010], [001] e [001]. 
z 
x 
quando o vetor representa um nº negativo. [ 111 ] => 
y 
O espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo. 
3 índices direcionais 
Chapter 3 - 26 
Direções Cristalográficas HC 
1. Reposicionar o vetor (se necessário) para 
passar através da origem. 
2. Leia as projeções em termos das 
dimensões da célula unitária a1, a2, a3, ou z. 
3. Ajuste os valores nos menores números 
inteiros. 
4. Coloque entre colchetes, sem vírgula, 
[uvtw]. 
[ 1120 ] ex: ½, ½, -1, 0 => 
Adapted from Fig. 3.8(a), Callister 7e. 
As linhas tracejadas vermelhas indicam 
projeções sobre os eixos a1 e a2. 
a1 
a2 
a3 
-a3 
2 
a 2 
2 
a 1 
- 
a3 
a1 
a2 
z 
Chapter 3 - 27 
Direções Cristalográficas HC 
• Cristais hexagonais 
– Os 4 parâmetros de rede de Miller-Bravais estão 
relacionados com os índices direcionais (ex., u'v'w') 
como segue: 
= 
= 
= 
' w w 
t 
v 
u 
) v u ( + - 
) ' u ' v 2 ( 
3 
1 
- 
) ' v ' u 2 ( 
3 
1 
- = 
] uvtw [ ] ' w ' v ' u [  
Fig. 3.8(a), Callister 7e. 
- 
a3 
a1 
a2 
z 
[010] se torna [1210] 
Chapter 3 - 28 
ex: linear density of Al in [110] 
direction 
 a = 0.405 nm 
 
Densidade Linear 
 
• Densidade atômica linear  DL = 
 
 
 
a 
[110] 
Comprimento do vetor 
direção 
Nº de átomos centrados 
no vetor direção 
 átomos 
comprimento 
1 3,5 nm 
a 2 
2 
DL110 
- = = 
As unidades da densidade linear são 
o inverso do comprimento: nm-1, m-1. 
Chapter 3 - 29 
Planos Cristalográficos 
- Os planos cristalográficos são especificados por três índices de Miller 
como (hkl). 
 
1. Se o plano passa pela origem selecionada, construir um outro plano 
paralelo ou estabelecer uma nova origem no vértice de uma outra 
célula unitária. 
2. O plano ou interceptará cada um dos três eixos ou será paralelo a 
algum dos eixos. Determinar o comprimento da interseção do plano com 
cada eixo, em termos das dimensões da célula unitária a, b, e c. 
3. Os valores inversos desse números são calculados. Planos paralelos a 
um eixo, tem índice igual a zero. 
4. Ajuste os valores nos menores números inteiros. 
5. Coloque entre parênteses, sem vírgula (hkl). 
Chapter 3 - 30 
Planos Cristalográficos 
Adapted from Fig. 3.9, Callister 7e. 
- Quaisquer dois planos paralelos entre si são equivalentes e 
possuem índices idênticos. 
Chapter 3 - 31 
Planos Cristalográficos 
z 
x 
y 
a b 
c 
4. Índices de Miller (110) 
exemplo a b c 
z 
x 
y 
a b 
c 
4. Índices de Miller (100) 
1. Interceptos 1 1  
2. Recíprocos 1/1 1/1 1/ 
1 1 0 
3. Redução 1 1 0 
1. Interceptos 1/2   
2. Recíprocos 1/½ 1/ 1/ 
2 0 0 
3. Redução 2 0 0 
exemplo a b c 
Chapter 3 - 32 
Planos Cristalográficos 
z 
x 
y 
a b 
c 



4. Índices de Miller (634) 
exemplo 
1. Interceptos1/2 1 3/4 
a b c 
2. Recíprocos 1/½ 1/1 1/¾ 
2 1 4/3 
3. Redução 6 3 4 
(001) (010), 
Família de Planos {hkl}: planos equivalentes, ou seja, que 
possuem o mesmo empacotamento atômico. 
 
 
(100), (010), (001), Ex: {100} = (100), 
Chapter 3 - 33 
Planos Cristalográficos HC 
• Em uma célula unitária hexagonal a mesma 
idéia será usada. 
exemplo a1 a2 a3 c 
4. Índices de Miller-Bravais (1011) 
1. Intercepots 1  -1 1 
2. Recíprocos 1 1/ 
1 0 
-1 
-1 
1 
1 
3. Redução 1 0 -1 1 
a2 
a3 
a1 
z 
Adapted from Fig. 3.8(a), 
Callister 7e. 
Chapter 3 - 34 
Densidade Planar do Ferro (100) 
Solução: A T < 912C o ferro tem uma estrutura CCC. 
(100) 
Raio do ferro r = 0,1241 nm Adapted from Fig. 3.2(c), Callister 7e. 
2D unidade 
repetitiva 
= Densidade Planar = 
a 2 
1 
átomos 
2D repeat unit 
= 
nm2 
átomos 
12,1 
m2 
átomos 
= 1,2 x 1019 
1 
2 
área 
2D repeat unit 
a=4r/ 3 
4r/ 3 
As unidades da densidade planar são 
o inverso da área: nm-2, m-2. 
Chapter 3 - 35 
Difração de Raios X 
• Diffraction gratings must have spacings comparable to 
the wavelength of diffracted radiation. 
• Can’t resolve spacings   
• Spacing is the distance between parallel planes of 
atoms. 
Chapter 3 - 36 
X-Rays to Determine Crystal Structure 
X-ray 
intensity 
(from 
detector) 
q 
q c 
d = 
n  
2 sin q c 
Measurement of 
critical angle, qc, 
allows computation of 
planar spacing, d. 
• Incoming X-rays diffract from crystal planes. 
Adapted from Fig. 3.19, 
Callister 7e. 
reflections must 
be in phase for 
a detectable signal 
spacing 
between 
planes 
d 
q 
 
q 
extra 
distance 
travelled 
by wave “2” 
Chapter 3 - 37 
Padrão de Difração de Raios X 
Adapted from Fig. 3.20, Callister 5e. 
(110) 
(200) 
(211) 
z 
x 
y 
a b 
c 
Diffraction angle 2q 
Diffraction pattern for polycrystalline -iron (BCC) 
In
te
n
s
it
y
 (
re
la
ti
v
e
) 
z 
x 
y 
a b 
c 
z 
x 
y 
a b 
c 
Chapter 3 - 38 
• Atoms may assemble into crystalline or 
 amorphous structures. 
• We can predict the density of a material, provided we 
 know the atomic weight, atomic radius, and crystal 
 geometry (e.g., FCC, BCC, HCP). 
SUMMARY 
• Common metallic crystal structures are FCC, BCC, and 
 HCP. Coordination number and atomic packing factor 
 are the same for both FCC and HCP crystal structures. 
• Crystallographic points, directions and planes are 
 specified in terms of indexing schemes. 
 Crystallographic directions and planes are related 
 to atomic linear densities and planar densities. 
Chapter 3 - 39 
• Some materials can have more than one crystal 
 structure. This is referred to as polymorphism (or 
 allotropy). 
SUMMARY 
• Materials can be single crystals or polycrystalline. 
 Material properties generally vary with single crystal 
 orientation (i.e., they are anisotropic), but are generally 
 non-directional (i.e., they are isotropic) in polycrystals 
 with randomly oriented grains. 
• X-ray diffraction is used for crystal structure and 
 interplanar spacing determinations.