Lista 4 Calculo de Predicados e Quantificadores Existenciais Matemática Discreta I

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Lista 4 de Matemática Discreta I
Simone Ribeiro
1. Seja P(x) a sentença “x ≤ 4”. Quais são os valores lógicos de P(0), P(4) e P(6)?
2. Seja P(x) a sentença “a palavra x contém a letra “a”. Qual o valor verdade de
P(átomo), P(simone), P(limo) e P(maçã)?
3. SejaN(x) a sentença “x visitou Feira de Santana este ano”, onde o domínio consiste
de todos os alunos da turma de Matemática Discreta. Transcreva para português
as seguintes proposições:
(a) ∃xN(x).
(b) ∀xN(x).
(c) ∼ ∃xN(x).
(d) ∃x ∼ N(x).
(e) ∼ ∀xN(x).
(f) ∀x ∼ N(x).
4. Traduza para o português as seguintes expressões, sabendo que C(x) é “x é um
comediante” e que F(x) é “x é engraçado”. O domínio é conjunto de todas as
pessoas.
(a) ∀x(C(x)→ F(x)).
(b) ∀x(C(x) ∧ F(x)).
(c) ∃x(C(x)→ F(x)).
(d) ∃x(C(x) ∧ F(x)).
5. Seja P(x) a sentença “x2 = x”. Se o domínio consiste de todos os inteiros, qual o
valor lógico das seguintes expressões?
(a) P(0), P(1), P(2) e P(−1).
(b) ∃xP(x).
(c) ∀xP(x).
1
2
(d) ∃x ∼ P(x).
(e) ∀x ∼ P(x).
6. Determineovalor lógicode cadaumadas seguintes sentenças seodomínio consiste
de todos os inteiros.
(a) ∀n(n2 ≥ 0).
(b) ∃n(n2 = 2).
(c) ∀n(n2 ≥ n).
(d) ∼ ∃n(n2 < 0).
7. Suponha que o domínio da função proposicional P(x) é o conjunto {0, 1, 2, 3, 4}.
Escreva as seguintes proposições apenas com conjunções, disjunções e negações.
(a) ∃xP(x).
(b) ∀xP(x).
(c) ∃x ∼ P(x).
(d) ∀x ∼ P(x).
(e) ∼ ∃xP(x).
(f) ∼ ∀xP(x).
(g) ∀x((x ! 3)→ P(x)) ∨ ∃x ∼ P(x).
8. Verifique se as sentenças ∀x(P(x) → Q(x)) e ∀xP(x) → ∀xQ(x) são logicamente
equivalentes. Justifique a sua resposta.
9. Verifique que ∀x(P(x)∨Q(x)) e ∀xP(x)∨∀xQ(x) não são logicamente equivalentes.
10. Suponha que o domínio é o conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Verifique o valor lógico
das seguintes proposições.
(a) ∀x∀y(x + 5 < y + 12).
(b) ∀x∃y(x ∗ y não é primo).
(c) ∃y∀x(x ∗ y não é primo).
(d) ∃x∃y(x2 > y).
(e) ∀x∃y(x2 > y).
(f) ∃x∀y(x2 > y).
(g) ∀x∀y∀z(x + y > z).
(h) ∃x∀y∀z(x + y > z).