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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE CA´LCULO 1 – Turma PF (Matema´tica e F´ısica) – 2016.1 LISTA 2 DA PRIMEIRA UNIDADE 1. Use as regras de derivac¸a˜o para calcular a derivada das seguintes func¸o˜es: • p(x) = √ x 3 √ x+ x ; • q(x) = (x3 − x+ 1) tgx; • f(x) = senx 1 + cos x ; • g(x) = √ 3 + x secx+ pi x + 1√ 2 + x3 ; 2. Determine a reta tangente ao gra´fico y = x4 senx no ponto com abscissa x = pi/2. 3. Em que pontos da curva y = cosx a reta tangente e´ paralela a` reta y = −1 2 x + 1 ? Desenhe o gra´fico e algumas das (infinitas) retas tangentes com esta propriedade. 4. Determine os limites a seguir; caso o limite na˜o exista, verifique se o limite e´ +∞, −∞, ou nenhum destes casos e´ va´lido. lim t→pi/2 sen (t) t ; lim t→0 sen t t3 ; lim t→0 sen(pit) t ; lim t→0 sen ( 1 t ) ; lim t→0 t sen ( 1 t ) ; lim t→0 cos t− 1 t2 ; lim t→pi 2 − tg t; lim t→0 tg (2t) tg (3t) . 5. Se g e´ uma func¸a˜o positiva tal que lim x→x0 g(x) = 0 e f(x) e´ uma func¸a˜o tal que lim x→x0 f(x) existe e e´ positivo, o que voceˆ pode dizer sobre lim x→x0 f(x) g(x) ? Responda a` mesma pergunta no caso em que lim x→x0 f(x) existe e e´ negativo. 6. Determine o valor de a para o qual o limite lim x→1 x2 + ax x− 1 exista. Para os outros valores de a, investigue o limite lateral lim x→1+ x2 + ax x− 1 , verificando se o mesmo e´ +∞ ou −∞ (na dependeˆncia de a). Idem para lim x→1− x2 + ax x− 1 . 7. Seja f : R → R a func¸a˜o definida por f(x) = 0 se x < 1 e f(x) = 1 se x ≥ 1. Esta func¸a˜o tem derivada em x = 1? Por queˆ? 8. Seja f : R → R a func¸a˜o definida por f(x) = x2 se x ≤ 0 e f(x) = −x2 se x > 0. Esboce o gra´fico de f ; use-o para decidir, por meio de argumento geome´trico, se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em x = 0. Confirme sua resposta calculando os limites laterais do quociente de Newton de f em x = 0. 9. Seja f : R→ R a func¸a˜o definida por f(x) = x2 + 2 se x < 1 e f(x) = x+ 2 se x ≥ 1. Esboce o gra´fico de f . A func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 1? A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em x = 1? Qual e´ o domı´nio da func¸a˜o derivada f ′? Esboce o gra´fico de f ′. 10. Sejam a, b nu´meros reais. Considere a func¸a˜o f(x) = ex, x < 1, a, x = 1, −x2 + bx+ c, x > 1. (a) Determine todos os valores de a, b e c tais que a func¸a˜o f(x) seja cont´ınua. (b) Determine a, b e c de modo que a func¸a˜o f(x) seja diferencia´vel. Para estes valores de a, b e c, desenhe o gra´fico de f(x). Um bom desenho deixara´ claro que se trata do gra´fico de uma func¸a˜o diferencia´vel. 11. Calcule o(s) ponto(s) do gra´fico y = xe1/x onde a reta tangente e´ horizontal. 12. Calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico no ponto P dado. (a) y = √ x3 + 1, P = (1, √ 2); (b) y = e2x 1 + sen x , P e´ o ponto do gra´fico com abscissa x = 0; (c) y = sen2x, P e´ o ponto do gra´fico com abscissa x = pi/4. 13. Seja f(x) = ln(3− x2). (a) Determine o maior domı´nio poss´ıvel D tal que possamos definir a func¸a˜o f : D → R pela expressa˜o acima. (b) Calcule os pontos de intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo dos x. (c) Qual e´ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f , se o ponto de tangeˆncia tem abscissa x = a (onde a ∈ D)? (d) Mostre que ha´ precisamente uma reta tangente a este gra´fico que e´ paralela a` reta y = x. Determine a equac¸a˜o desta reta tangente. 14. Se f, g sa˜o as func¸o˜es abaixo, calcule: f(1), g(1), f ′(1), g′(1). f(x) = (ln x)(x2 + √ 3 sen (pix) + 2), g(x) = ln(x2 + √ 3 sen (pix) + 2). 15. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo. • f(x) = ln (senx); • g(x) = e √ pi xtg(x2 + 1); • h(x) = sec (3x) sec (5x) ; • p(x) = sen(cos(sen x)); • q(x) = √ x+ √ x+ √ x.
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