Resist Polígrafo I Parte

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Resistência dos Materiais Tensões e Deformações 
CAPÍTULO 1 – TENSÕES E DEFORMAÇÕES: 
 
1.1. Fundamentos: 
 
 O estudo da Mecânica abrange a relação entre as diversas forças que atuam 
em um sólido rígido baseado nas condições de equilíbrio da estática, ou seja, na 
determinação das reações vinculares externas (equilíbrio externo) e a caracterização das 
solicitações fundamentais (equilíbrio interno). 
A Resistência dos Materiais amplia este estudo, procurando determinar a 
relação entre as solicitações externas e os efeitos provocados no interior dos sólidos por 
estas e, admite que os corpos sofram deformações, por menores que estas possam ser, 
podendo estas deformações, quando excessivas, levar o material até a ruptura. 
Os problemas abrangidos pela Resistência dos Materiais são: 
 projetada a estrutura, verificar a segurança quanto ao carregamento imposto; e, 
 dimensionar a estrutura, a fim de resistir aos esforços com segurança. 
Para a determinação das solicitações fundamentais, faz-se necessário a análise dos esforços 
internos, para que nas diversas seções da estrutura, possa-se verificar a existência e a grandeza dos 
mesmos. 
 
 
1.2. Método das Seções: 
 
Considera-se um corpo rígido em equilíbrio qualquer submetido a forças 
externas ativas e reativas. 
 
 F1 F2 m F3 
 F1 F2 F3 
 
 (E) (D) 
 
 RA n RB 
 RA RB 
 
 (a) (b) 
Figura 1.1 
 
A Mecânica, utilizando as equações de equilíbrio externo da estática 
(FH=0, FV=0, M=0), proporciona a determinação das resultantes das forças 
aplicadas, o que possibilita a verificação do equilíbrio do corpo. 
A Resistência dos Materiais estuda a DISTRIBUIÇÃO INTERNA DOS 
ESFORÇOS provocados pelas forças exteriores ativas e reativas. Para a determinação 
desta distribuição secciona-se o corpo por um plano m-n, conforme indicado na figura 
1.1.b, dividindo-o em duas partes, esquerda (E) e direita (D). Este processo será 
denominado de MÉTODO DAS SEÇÕES. 
Para ser possível esta divisão, mantendo o equilíbrio das duas partes, aplica-
se na parte (E), um SISTEMA ESTÁTICO EQUIVALENTE aos das forças que atuam 
na parte (D), e na parte (D), um sistema estático equivalente ao das forças que atuam na 
parte (E). Este sistema estático é obtido reduzindo-se às forças à esquerda e à direita da 
seção S em relação a um ponto, sendo este geralmente o centro de gravidade da seção. 
Assim, a resultante R das forças e o momento resultante M, os quais atuam 
na parte (E), foram obtidos através das forças que atuam na parte D, e vice-versa. 
Logo pode-se dizer que a seção S de um corpo em equilíbrio, também esta 
em equilíbrio submetida a um par de forças R e -R e a um par de momentos M e -M 
aplicados no seu centro de gravidade e resultante das forças atuantes em (D) e (E), 
respectivamente. 
 
 
 F1 F2 F3 
 R M 
 
 (E) (D) 
 M R 
 RA RB 
 
Figura 1.2 
 
Para uma melhor compreensão dos efeitos estáticos provocados por R e M 
na seção S da parte (E), far-se-á a decomposição da força e do momento resultante 
segundo um triedro escolhido. Para a origem do sistema de eixos do mesmo considera-
se o Centro de Gravidade da seção. 
O triedro será constituído por um eixo normal a seção e ao baricentro (eixo 
X) e dois eixos tangenciais a seção (eixo Y e eixo Z), coincidindo com os eixos 
principais de inércia da seção 
 
 y 
 
 My 
 F1 F2 Fy=Qy 
 Mx=T 
 (E) 
 Fx=N x 
 RA Fz=Qz 
 Mz 
 z 
 
Figura 1.3 
 
Cada uma das seis componentes obtidas, representa um efeito provocado 
pelas forças aplicadas sobre o sólido em estudo, a seguir descritos: 
 
 ESFORÇO NORMAL (indicado pela letra N): 
Representa a soma algébrica das projeções sobre a normal à seção, das 
forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forças 
normais, que atuam em um elemento, tendem a provocar um alongamento (tração) ou 
encurtamento (compressão) do elemento na direção da força normal. 
 ESFORÇO CORTANTE (indicado pela letra Q): 
Representa a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção das forças 
exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção considerada. As forças cortantes que 
agem sobre um elemento tendem a provocar um deslizamento de uma face em relação a 
outra face vizinha. 
 
 
 MOMENTO TORSOR (representado pela letra T): 
 Representa a soma algébrica das projeções sobre um eixo perpendicular ao 
plano da seção e passando pelo seu centro de gravidade, dos momentos das forças 
exteriores situadas à esquerda ou à direita da seção. Os momentos torsores tendem a 
torcer as faces em sentidos opostos em torno da normal baricêntrica. 
 
 MOMENTO FLETOR (representado pela letra M): 
Representa a soma vetorial das projeções sobre o plano da seção dos 
momentos das forças exteriores situadas à direita ou à esquerda da seção. Os momentos 
fletores tendem a fazer girar em sentidos opostos as faces do elemento em torno de retas 
localizadas nos planos das faces. 
Do estudo anterior observa-se que o efeito interno provocado pelo 
carregamento externo, depende da seção escolhida e de sua orientação. Considerando o 
plano XY, tem-se que a força resultante R do sistema provoca esforço normal e esforço 
cortante no plano da seção escolhida, conforme figura 1.4.a. 
 
 
 F1 F2 Q F1 F2 
 R R 
 N 
 
 RA RA 
 
 (a)(b) 
Figura 1.4 
 
Caso o plano da seção apresenta-se outra orientação, figura 1.4.b, 
perpendicular a resultante R, o efeito cortante desapareceria e o efeito de tração 
alcançaria o máximo valor. 
Como o objetivo da Resistência dos Materiais é garantir as estruturas que 
suportem os máximos esforços internos, para qualquer combinação de carga, nos 
capítulos posteriores verificar-se-á que nem sempre é possível ou conveniente eleger-se 
uma seção que seja perpendicular a força resultante. Portanto, iniciar-se-á o estudo pela 
análise em uma seção qualquer, para após, estudar como combinam-se estes efeitos, 
produzindo os máximos esforços internos. 
 
 
1.3. Tensões Internas: 
 
Seja um corpo, o qual é constituído de pequenas partículas ou moléculas, as 
quais estão submetidas a forças intra-moleculares e intermoleculares. Estas forças 
moleculares opõem-se a modificações na forma, as quais seriam provocadas por forças 
exteriores. 
As forças exteriores aplicadas provocariam o deslocamento das partículas, 
os quais continuariam a se deslocar até que o equilíbrio entre forças externas e internas 
(moleculares) seja estabelecido. Estas forças internas são de natureza vetorial, sendo 
importante a determinação da intensidade das mesmas, pois a resistência à deformação e 
a capacidade de resistência do material depende desta intensidade. Como a sua direção 
poderá variar de ponto a ponto, na prática considera-se a força aplicada em um elemento 
de área e faz-se a decomposição da mesma em duas componentes, uma paralela e outra 
perpendicular à seção, conforme indicado na figura 1.5. 
 
 F1 F2  
 Te 
 Te dA 

 RA 
 
 (a) (b) 
Figura 1.5 
 
Onde Te é a força por unidade de área sendo denominada de TENSÃO. A 
componente perpendicular à seção será denominada de TENSÃO NORMAL, sendo 
indicada pela letra grega sigma () e definida por: 
 
  = lim FNormal = FN (1.1) 
 A->0 A A 
 
E, a componente paralela à seção, será denominada de TENSÃO 
TANGENCIAL, sendo expressa pela letra grega tau (), e definida por: 
 
  = lim FTangencial = Ftg (1.2) 
 A->0 A A 
 
Observando as equações acima, verifica-se que a tensão é uma grandeza 
vetorial, sendo calculada dividindo-se a força pela área na qual ela atua. 
Assim, as unidades de tensão são unidades de força por unidades de área, 
geralmente sendo mais utilizadas kgf/cm2 , Pa= N/m2 e MPa = 106 N/m2. 
É importante ao aluno de engenharia, o conhecimento de ambas tensões, 
diferenciando-as claramente. Ratificando o que foi exposto, tem-se que a TENSÃO 
NORMAL () é resultante das componente perpendicular da forças à seção 
considerada e a TENSÃO TANGENCIAL () é resultado das componente paralela 
da forças à esta seção. 
Deve-se salientar que assumi-se que todas as partículas contribuam 
igualmente para resistir às forças aplicadas, sendo este comportamento idealizado, pois 
o sólido é considerado como um material homogêneo e isótropo. Na realidade, algumas 
partículas contribuem mais para a resistência, e o diagrama real de distribuição de 
tensões é altamente irregular. Entretanto, adota-se a média das tensões, o que 
estatisticamente apresenta-se como um valor correto de cálculo. 
Como efeito da tensão, tem-se a deformação, o que será estudado no 
próximo tópico. 
 
 
 
1.4. Deformações: 
 
Como foi visto no tópico anterior, os corpos são constituídos de partículas, 
ligadas entre si por forças de atração. Com a aplicação de esforços externos (ativos ou 
reativos), as partículas que constituem o corpo, se deslocam até que ocorra novamente a 
situação de equilíbrio entre forças externas e os esforços internos resistentes, o que 
denomina-se de ESTADO DE DEFORMAÇÃO. 
 
1.4.1. Deformação Elástica e Deformação Plástica: 
 
Seja a barra da figura abaixo: 
 
 
 
  
  
 m n m n 
 
 
 
 x 
 
 P 
 
 P 
 (a) (b) 
Figura 1.6 
 
Sob a ação da carga, a barra alonga-se, o que produzirá Trabalho (W=P.x), 
conforme figura 1.6.b. Quando há alívio no carregamento, o alongamento da barra 
também diminui, e a energia potencial de deformação, transforma-se novamente em 
trabalho. 
 No caso de, com a retirada gradual da carga, o corpo retornar a condição inicial, diz-se que 
o trabalho externo foi armazenado pelo corpo sob a forma de energia interna de deformação. Estas 
deformações reversíveis e proporcionais às cargas são denominadas de DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS. 
No entanto, poderá ocorrer que com a retirada do carregamento externo, o 
corpo não retorne a sua forma e dimensões iniciais, apresentando uma deformação 
residual ou permanente. O trabalho externo não se converte integralmente em energia 
interna armazenada pelo corpo, tendo uma parcela deste transformada em calor. 
A este tipo de deformações, onde não há proporções entre estas e as cargas, e sendo as 
mesmas irreversíveis, denomina-se de DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS. 
Na Resistência dos Materiais, os problemas elementares serão tratados na 
fase elástica enquanto que os casos mais complexos e mais avançados serão tratados na 
fase plástica, os quais não serão abordados nesta disciplina. 
 
 
 
 
1.4.2. Deformação Específica : 
1.4.2.1.Deformação Específica Longitudinal: 
 
Seja a barra da figura 1.7 de comprimento L e seção transversal constante A, 
suspensa pelo ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B B 
 
 
 
 L LF 
 
 
 
 L 
 
 N 
 
 N 
 
 (a) (b) 
Figura 1.7 
 
Aplicando a carga P, a barra sofre uma deformação, alongando-se de L, 
onde L= LF-L. Defini-se DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL como a 
razão entre a deformação total (alongamento ou encurtamento)sofrido pela barra e o 
comprimento inicial da mesma, o qual é medido na direção da deformação. 
Assim pela definição: 
 
  L = LF - L (1.3) 
 L L 
 
que é a expressão da deformação específica longitudinal. 
Como as deformações totais (L) e os comprimentos (L) são indicados com 
a mesma unidade, a deformação específica () será uma grandeza adimensional, porém 
muitas vezes indicada percentualmente ou em m/m. 
 
 
1.4.2.2. Deformação Tangencial ou Distorção Específica: 
Do mesmo que forças axiais produzem deformações longitudinais, forças 
tangenciais produzem distorções ou deformações tangenciais. 
Num elemento submetido a tensões tangenciais, não há uma variação no 
comprimento, mas variação na forma, conforme indicado na figura 1.8. 
Seja o retângulo ABCD, sujeito a tensões tangenciais. Considerando o lado 
AC como fixo, após a aplicação destas tensões o elemento ficará distorcido, conforme 
indicado na figura 1.8.b: 
 
a a 
 
  
 
 a  
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1.8 
 
Assim, DISTORÇÃO ESPECÍFICA ou ESCORREGAMENTO ESPECÍFICO, é a razão 
entre o deslocamento produzido e o comprimento respectivo, medido na direção normal a este 
deslocamento. Logo, de acordo com a definição acima e com o retângulo representado, obtém-se o valor 
da distorção através da relação: 
 
 tg a (1.4) 
 a 
 
Ou seja a distorção define a variação que sofreu o ângulo reto entre duas 
faces perpendiculares de um elemento devido a atuação das tensões tangenciais. 
Como ocorre na deformação específica, a distorção específica() é 
adimensional, podendo muitas vezes ser expressa percentualmente, em taxa milesimal 
ou em rad. 
 
 
1.5. Lei de Hooke: 
 
Por intermédio de análises experimentais sobre a distensão de barras, 
estabeleceu-se que o alongamento sofrido por barras de diferentes materiais, até certos 
limites, é proporcional a força de tração. Esta relação linear foi enunciada em 1678 pelo 
cientista inglês Robert Hooke, sendo denominada de Lei de Hooke: 
 " As tensões e as deformações específicas são proporcionais, enquanto não 
se ultrapassar o limite elástico." 
No ano de 1807, Thomas Young introduziu a expressão matemática da Lei 
de Hooke, com uma constante de proporcionalidade que denominou de MÓDULO DE 
YOUNG, sendo esta denominação alterada, posteriormente, para MÓDULO DE 
ELASTICIDADE (E), valor este que indica a rigidez ou capacidade de resistir à 
deformações do material. 
Assim a Lei de Hooke poderá ser escrita segundo a seguinte expressão: 
 
 E =  (1.5) 
  
 
O valor do módulo representa uma propriedade definida do material. Para os aços encontra-
se entre 200 e 210 GPa e, para o concreto varia, principalmente, com o agregado graúdo utilizado, e 
encontra-se entre 20 e 40 GPa. 
 A Lei de Hooke é aplicada até o limite de proporcionalidade, para os 
materiais dúcteis e, para os frágeis, até o limite de resistência. Assim, as fórmulas que se 
seguem, utilizadas nos diferentes tópicos a serem abordados, estão embasadas nesta 
relação. Logo, o emprego destas formulações estão limitadas a atuação de tensões muito 
baixas no material. 
 
Exemplo 1.1: 
Em um ensaio de tração, realizado com um corpo de prova de alumínio, a 
barra esta submetida a uma tensão normal de 164,3 MPa. Sabendo-se que o módulo de 
elasticidade do alumínio é de 70,0 GPa, determine a deformação da barra neste instante. 
 
Solução: 
Aplicando a equação 1.8, que representa a Lei de Hooke, tem-se : 

  =   = 64,3 x 106 Pa = 0,000918 
 E 70,0 x 109 Pa 
 
ou seja, para cada metro de barra ensaiada esta apresenta um alongamento de 0,918 
mm. 
 
 
1.6. Lei de Poisson: 
 
Seja a peça representada na figura: 
 
 P P 
 y y 
 
 
 z 
 A z 
 P P 
 x x 
 
 (a) (b) 
Figura 1.9 
 
Conforme o que foi visto na seção anterior, até o limite de elasticidade do 
material, as tensões e deformações obedecem a Lei de Hooke. Assim, a deformação na 
direção x será dada por: 
 
 x = x 
 E 
 
No entanto, não havendo carregamento atuante nas direções y e z, as 
tensões nestas direções serão nulas (y = z = 0). Este fato, poderá levar a assumir 
que as deformações nestas direções, y e z, também são nulas, o que de fato não 
acontece. 
 Nos materiais o alongamento produzido por uma força "P", na mesma 
direção desta força, acarreta numa contração na direção transversal. 
 Poisson, em 1811, após observações experimentais, verificou a deformação 
transversal que ocorria em peças submetida a esforços normais, e concluiu que a relação 
entre as deformações unitárias entre duas direções é constante, dentro do limite de 
proporcionalidade, o que denominou de COEFICIENTE DE POISSON, sendo este 
coeficiente indicado pela letra grega ni (). Logo: 
 
  = - deformação transversal = - t (1.6) 
 deformação axial 

sendo que: t = a (1.7) 
 a 
onde a deformação transversal indica a relação entre a variação sofrida pela aresta 
devido ao alongamento e a aresta inicial. 
Outras conclusões sobre os experimentos são que as de deformações 
longitudinal e transversal são semprede sinais contrários (fato este representado na 
fórmula anterior pelo sinal negativo) e, que numa mesma seção transversal, a 
deformação específica transversal é constante. 
O coeficiente de Poisson "", bem como o módulo de elasticidade "E", é um 
valor constante e característico de cada material. Neste trabalho, o coeficiente de 
Poisson será utilizado apenas na fase elástica dos materiais. 
Convém relembrar, que este efeito apresentado pelos materiais, não 
acrescenta tensões adicionais aos mesmos, exceto no caso de ter-se as deformações 
restringidas, o que também ocorre nas expansões e contrações térmicas, o que será 
posteriormente analisado. 
. 
Exemplo 1.2: 
Considerando, ainda, a barra do exemplo 1.1, determinar a variação do 
diâmetro, para a deformação calculada, sabendo-se que o coeficiente de Poisson para o 
alumínio é de 0,35 e o diâmetro inicial da barra era de 0,06 m. 
 
Solução: 
Inicialmente, o cálculo da deformação transversal será realizado utilizando a 
equação 1.6 e relembrando que o valor da deformação específica longitudinal é de 9,18 
x 10-2: 
 
  = - t t = - 
 tx
tx

O cálculo da variação do diâmetro será realizado empregando a equação 
1.10:
d = t . d
d = - 3,21 x 10-4 . 0,06 m 
 d = - 1,93 x 10-5 m
 
observando o resultado, verifica-se que este apresenta um sinal negativo, o qual indica a 
estricção sofrida pela barra de alumínio durante a realização do ensaio de tração, ou 
seja, o diâmetro de 6 cm, sofre uma redução aproximada de 0,02 mm. 
 
1.7. Lei de Hooke Generalizada: 
 
 No item anterior, definiu-se o coeficiente de Poisson como a relação entre a 
deformação transversal e a deformação axial num elemento submetido a uma força 
normal. Esta relação somente poderá ser empregada para um estado simples de tensão, 
ou seja, para tensão atuante numa única direção. 
Neste tópico, será, desenvolvida as equações envolvendo tensão e 
deformação para um estado de tensão mais generalizado. 
Seja o bloco da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 y z 
 
 
 x x 
 z x 
 
 z y 
 
Figura 1.10 
 
Este elemento estrutural está submetido à ação de cargas que atuam nas três 
direções, produzindo tensões normais x, ye z, sendo todas diferentes de zero. 
Denomina-se este estado de ESTADO MÚLTIPLO DE TENSÕES. 
Deseja-se determinar as expressões dos componentes da deformação x, 
y e z em função das tensões x, y e z. 
Logo, considera-se separadamente os efeitos das tensões x, y e z 
conforme figura abaixo: 
 
 y y y 
 y z 
 
 x x 
 
 x x x 
 z 
 
 z z y z 
 (a) (b) (c) 
Figura 1.11 
 
Considerando, inicialmente, as componentes das deformações provocados 
apenas por x, tem-se: 

xx = x - alongamento específico longitudinal, na direção x, devido a x; 
 E 


yx = - x - encurtamento específico transversal na direção y, devido a x; 
 E 
 
zx = - x -encurtamento específico transversal na direção z, devido a x; 
 E 
 
Para a tensão y, tem-se: 

xy = -  y - encurtamento específico transversal na direção x, devido a y; 
 E 
 
 
 
yy = y -alongamento específico longitudinal na direção y, devido a y; 
 E 
 
zy = -  y -encurtamento específico transversal na direção z, devido a y; 
 E 
 
Do mesmo modo para z, tem-se: 

xz = -  z - encurtamento específico transversal na direção x, devido a z; 
 E 

yz = -  z -encurtamento específico transversal na direção y, devido a z; 
 E 
 
zz = z -alongamento específico longitudinal na direção z, devido a z. 
 E 
 
Combinando as correspondentes componentes da deformação: 
 
 x = xx + xy + xz (1.8) 
 y = yx + yy + yz (1.9) 
 z = zx + zy + zz (1.10) 
 
 
 x = x -  y -  z (1.11) 
 E E E 
 
 y = -  x + y -  z (1.12) 
 E E E 
 
 z = -  x -  y + z (1.13) 
 E E E 
 
ou: 
 x = 1 [x - (y + z)] (1.14) 
 E 
 
 y = 1 [y - (x + z)] (1.15) 
 E 
 
 z = 1 [z - (x + y)] (1.16) 
 E 
 
O conjunto destas expressões (1.14, 1.15, 1.16) é conhecido como "Lei de 
Hooke Generalizada", fornecendo as deformações por unidade de comprimento em um 
elemento submetido a um estado múltiplo de tensões. A deformação total em cada 
direção será dada por: 
 
 
 
 x = x.Lx (1.17) 
 y = y.Ly (1.18)z = z.Lz (1.19) 
 
Observe, ainda que, um estado plano de tensões, não implica em um estado 
plano de deformações, ou seja, se x ╪ 0 y ╪ 0 e z = 0, tem-se x ╪ 0, y ╪ 0 e z ╪ 0. 
Além disso, na dedução realizada as tensões foram consideradas de tração, 
sendo portanto positivas. Caso fossem de compressão, o sinal negativo seria 
considerado nas equações. 
Quanto as deformações, resultados positivos indicam alongamentos, 
enquanto resultados negativos indicam encurtamentos. 
 
 
Exemplo 1.3: 
Um cubo foi concretado em uma forma de madeira de 0,25 m de lado, 
devendo este estar submetido a uma força de 240 KN. Determine a pressão atuante nas 
paredes da forma. 
 P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P 
 
 
 
Solução: 
 
A tensão atuante no topo do cubo será dada pela equação 1.1: 
 y = F y = - 240000 N = - 3,84 MPa 
 A (0,25 m )2 
 
o sinal negativo aparece por ter-se uma força de compressão. 
As deformações nas direções x e z, estão impedidas pelas paredes da forma, 
logo x = 0 e z = 0, utilizando as equações 1.14 e 1.15: 
 
 x = 0 = 1[ x - 0,18 (-3,84 + z)] 
 E 
 
 z = 0 = 1[z - 0,18 (x - 3,84)] 
 
 
Resolvendo o sistema com duas equações e duas incógnitas, obtém-se os 
valores x e z: 
 x + 0,69 - 0,18 z = 0 
 z - 0,18 x + 0,69 = 0 
 
 x = z = - 0,843 MPa 
 
o valor calculado indica que a forma de madeira esta submetida a uma compressão em 
todas as paredes de 0,843 MPa.