Introdução à Probabilidade

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Universidade Federal de Sa˜o Carlos
Campus de Sorocaba
1 Probabilidade
Encontramos na natureza muitas situac¸o˜es que envolvem incerteza.
Definic¸a˜o: Denominamos experimento aleato´rio a` situac¸a˜o ou acontecimento cujos resultados
na˜o podem ser previstos com certeza
Exemplos:
1) Observar a hora do dia que ocorre falha em um determinado equipamento eletroˆnico.
2) Observar o nu´mero de quedas de energia durante um meˆs.
3) Lanc¸ar duas moedas e observar a face voltada para cima.
4) Observar as condic¸o˜es clima´ticas do pro´ximo domingo.
Definic¸a˜o: Espac¸o amostral e´ o conjunto de todos os poss´ıveis resultados de um experimento
aleato´rio.
Notac¸a˜o: Ω
Exemplos: Quais sa˜o os espac¸os amostrais dos experimentos aleato´rios dos exemplos anteriores?
1) Ω =
2) Ω =
3) Ω =
4) Ω =
Definic¸a˜o de Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espac¸o amostral.
Notac¸a˜o: A,B,C,...
Exemplo: Alguns eventos associados:
• Ao experimento 1:
1
Fernando
Typewriter
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24}
Fernando
Typewriter
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
Fernando
Typewriter
{cc,cC,CC,Cc}
Fernando
Typewriter
{sol,chuva,neve,nublado}
Fernando
Typewriter
– Ocorrer falha entre 10 e 17 horas. A = {ω ∈ R | 10 < ω < 17}
– Ocorrer falha antes dos 6 horas. B = {ω ∈ R | ω < 6}
• Ao experimento 2:
– Ocorrer 2 ou mais quedas C = {x ∈ Z | 2 ≤ x}
– Ocorrer exatamente 8 quedas D = {8}
• Ao experimento 3:
E: Obter pelo menos 1 cara E = {(c, c); (c, c); (c, c)}
1.1 Alguns tipos de eventos
• Evento certo A = Ω
Exemplo: Considerando o experimento 1, o evento: “A: ocorrer falha entre 0 e 24 horas”
e´ um evento certo:
A = {ω ∈ R | 0 ≤ ω ≤ 24} = Ω
• Evento imposs´ıvel A = φ
Exemplo: Dado o experimento 3, o evento:“A: Ocorrer treˆs caras” e´ um evento imposs´ıvel.
A = φ
• Evento complementar (Ac): O complemento do evento A e´ o conjunto de pontos do
espac¸o amostral que na˜o pertencem a A.
Ac{ω ∈ Ω | ω 3 A}
Exemplo: Considere o experimento 1
Evento B: Ocorrer falha antes das 6 horas.
B = {ω ∈ R | ω < 6}
Evento Bc: Ocorrer falha das 6 horas em diante.
Bc = {ω ∈ R | ω ≥ 6}
1.2 Operac¸o˜es com eventos
• Unia˜o: A unia˜o de dois eventos A e B e´ o conjunto formado por todos os elementos do
espac¸o amostral que esta˜o em A ou B (ou em ambos).
Notac¸a˜o: A ∪B
2
• Intersecc¸a˜o: A intersecc¸a˜o de dois eventos A e B e´ o evento formado por todos os
elementos do espac¸o amostral que esta˜o em A e em B (ao mesmo tempo).
Notac¸a˜o: A ∩B
• Eventos mutuamente exclusivos: Dois eventos sa˜o mutuamente exclusivos se, e so-
mente se, eles na˜o teˆm elementos amostrais em comum, isto e´ A ∩ B = φ. Tambe´m sa˜o
chamados de disjuntos.
Exemplo: Considere o lanc¸amento de dois dados e a observac¸a˜o dos nu´meros obtidos.
Qual e´ o espac¸o amostral? Ω =
Exerc´ıcio 1: Escreva na forma de conjunto os seguintes eventos:
A: Dar 1 nos dois dados;
B: Soma dos pontos igual a 4;
C: Soma dos pontos menos ou igual a 5;
D: Sair 2 nos 1◦ dado.
• A =
• B =
• C =
• D =
Exerc´ıcio 2: Escreva na forma de conjunto os eventos:
a) B ∪D =
3
b) C ∩D =
c) Cc =
1.3 Probabilidade
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o P(.) e´ denominada probabilidade se satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
i) 0 ≤ P (A) ≤ 1,∀A ⊂ Ω
ii) P (Ω) = 1
iii) P (∪nj=1Aj) =
n∑
j=1
Aj , com os Aj , j = 1, . . . , n disjuntos.
Observe que a probabilidade P e´ uma func¸a˜o que atribui valores nume´ricos aos eventos do espac¸o
amostral.
Como podemos atribuir probabilidades aos elementos do espac¸o amostral?
Ha´ duas formas que sa˜o bastante difundidas,chamadas de definic¸o˜es cla´ssica e frequentista de
probabilidades, mas que na verdade sa˜o casos particulares da definic¸a˜o interior.
1.3.1 Definic¸a˜o cla´ssica:
Seja A ⊂ Ω
P (A) =
nA
nΩ
nA - n
◦ de elementos em A.
nΩ - n
◦ total de elementos em Ω.
Exemplo: No lanc¸amento de dois dados, calcular a probabilidade dos seguintes eventos:
A: Dar 1 nos dois dados:
P (A) =
nA
nΩ
=
1
36
B: Soma dos pontos igual a 4.
P (B) =
3
36
=
1
12
4
C: Soma dos pontos menor ou igual a 5.
P (C) =
10
36
=
5
18
D: Sair 2 no 1◦ dado.
P (D) =
6
36
=
1
6
1.3.2 Definic¸a˜o Frequentista
Poder´ıamos definir P (A) como o limite da frequeˆncia relativa da ocorreˆncia de A em n repetic¸o˜es
independentes do experimento com n tendendo ao infinito:
P (A) = lim
n→∞ =
n◦ de ocorreˆncias de A em repetic¸o˜es do expoente
n
Exemplo: Suponha que os dados abaixo represente uma divisa˜o dos alunos ingressantes em
treˆs cursos.
Curso/sexo Masculino Feminino Total
Engenharia de produc¸a˜o(E) 50 20 70
Cieˆncias da computac¸a˜o(C) 22 8 30
Biologia (B) 5 15 20
Total 77 43 120
Considere o experimento “sortear um aluno e verificar o seu curso e a qual sexo pertence”
Eventos:
M: Ser do sexo masculino
F: Ser do sexo feminino
E: Cursar engenharia de produc¸a˜o
C: Cursar cieˆncia da computac¸a˜o
B: Cursar biologia
Calcule as seguintes probabilidades:
a) P(M) =
b) P(F) =
c) P(E) =
5
d) P(C) =
e) P(B) =
f) P (E ∪B) =
g) P (M ∪ F ) =
h) P (M ∩ F ) =
i) P (F ∩ C) =
j) P (M ∪E) =
k) P (F ∪ C) =
l) P (Ec) =
m) P (M c) =
n) P
(
(E ∪M)c
)
=
1.4 Propriedades de probabilidades
1) Se φ e´ o evento imposs´ıvel, enta˜o P (φ) = 0
2) Se A e´ um evento, enta˜o P (Ac) = 1− P (A)
3) Se A e B sa˜o dois eventos, enta˜o
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
4) Sejam A e B dois eventos, se A ⊂ B, enta˜o P (A) ≤ P (B)
5) Se A, B e C sa˜o treˆs eventos, enta˜o
P (A∪B ∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B ∩C)−P (A∩B ∩C)
6) Se A1, A2, . . . , Ak sa˜o K eventos, enta˜o:
P (∪Aii=1) =
k∑
i=1
P (Ai)−
k∑
i<j=2
P (Ai ∩Aj) + . . .+ (−1)k+1P (A1 ∩A2 ∩ . . . ∩Ak)
Exemplos: Sejam A e B dois eventos, tais que P (A) = 0, 20, P (B) = 0, 40 e P (A ∩B) = 0, 10
a) P (A ∪B)
6
b) P (A ∩Bc)
c) P (Ac ∪B)
d) P
(
(A ∩B)c
)
2 Probabilidade Condicional
Considere novamente a tabela:
Curso/sexo Masculino Feminino Total
Engenharia de produc¸a˜o (E) 50 20 70
Cieˆncias da computac¸a˜o (C) 22 8 30
Biologia (B) 5 15 20
Total 77 43 120
Dado que um aluno escolhido ao acaso esteja cursando Engenharia de Produc¸a˜o (E), qual e´ a
probabilidade de ser do sexo feminino?
P (F | E) = 2070
Leˆ-se: Probabilidade de ser do sexo feminino dado que cursa engenharia de produc¸a˜o.
Obs.: Quando falamos dado que cursa eng. de produc¸a˜o, nosso “universo´´ deixa de ser todos
os alunos e passa a ser somente os alunos de eng. de produc¸a˜o.
Qual e´ a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso estar cursando biologia dado que e´ do
sexo feminino?
P (B | F ) = 1543
Definic¸a˜o: Sejam A e B dois eventos quaisquer, a probabilidade condicional de A dado que B
correu dado por:
P (A | B) = P (A ∩B)
P (B)
,
para P (B) ≥ 0
P (A | B) = P (A),
para P (B) = 0
Exemplo: Calcule:
7
a) A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser do sexo feminino: P (F ) =
b) A probabilidade desse aluno escolhido ao acaso ser do sexo feminino dado que cursa biolo-
gia.
P (F | B) = P (F ∩B)
P (B)
=
Observe que conm a informac¸a˜o de que B ocorreu (o aluno cursa biologia), a probabilidade
de ser do sexo feminino mudou, ou seja, com esta informac¸a˜o adicional, “ atualizamos ´´ a
probabilidade.
2.1 Regra do produto de probabilidades
Da definic¸a˜o de probabilidade condicional segue que:
P (A ∩B) = P (A | B).P (B) = P (B | A).P (A)
Exemplo: Considere o experimento “lanc¸ar um dado e observar o no que resulta na parte
superior”.
Considere os eventos:
A: “Observa-se um no ı´mpar”
B: “Observa-se um no maior que 3”
Temos:Ω = {1, 2, . . . , 6}
A: {1, 3, 5}
B: {4, 5, 6}
Calcule P (A | B):
8
2.2 Interdependeˆncia entre eventos
Existem situac¸o˜es nas quais saber que algum evento B ocorreu na˜o teˆm qualquer interesse quanto
a` ocorreˆncia ou na˜o ocorreˆncia de A.
Definic¸a˜o Dois eventos A e B sa˜o independentes, se e somente se:
P (A | B) = P (A)
Isto e´, a informac¸a˜o da ocorreˆncia de B na˜o altera a probabilidade atribu´ıda ao evento A.
Teorema: Dois eventos A e B sa˜o independentes se e somente se:
P (A ∩B) = P (A).P (B)
Exemplo: Suponha que um dado equilibrado e´ lanc¸ado duas vezes. Sejam:
A: O 1o dado mostra no par.
B: O 2o dado mostra 5 ou 6.
A e B sa˜o independentes?
Exerc´ıcio Sejam B e C eventos independentes com probabilidades P (B) = 0, 4 e P (C) = 0, 5
a) Calcule P (B ∩ C); P (B ∪ C) e P (B | C)
b) Refac¸a o item a) considerando B e C mutuamente exclusivos:
9
Definic¸a˜o: Dizemos que os eventosB1, B2, . . . , Bk representam uma partic¸a˜o do espac¸o amostral
Ω, quando:
a) Bi ∩Bj = φ ...
b) P (∪ki=1Bi) = Ω
2.3 Teorema da probabilidade total
Suponha que os eventosB1, B2, . . . , Bk formem uma partic¸a˜o do espac¸o amostral Ω, com P (Bi) >
0 ... Enta˜o para qualquer evento A.
P (A) = P (A | B1).P (B1) + P (A | B2 + . . .+ P (A | Bk).P (Bk)
Exemplo: A probabilidade de haver atraso no voˆo dia´rio que leva a mala postal a certa cidade
e´ 0,2. A probabilidade de haver atraso na distribuic¸a˜o local da correspondeˆncia e´ de 0,15. se
na˜o houve atraso no voˆo e 0,25 se houve atraso.
Qual e´ probabilidade de a correspondeˆncia ser distribu´ıda com atraso em certo dia?
Temos os eventos:
V: Atraso no voo
V c : Na˜o ha´ atraso no voo
D: Atraso na distribuic¸a˜o
Sa˜o dados:
• P (V ) = 0, 2 =⇒ P (V c) = 0, 8
• P (D | V c) = 0, 15
• P (D | V ) = 0, 25
Queremos P(D)
Pelo teorema da probabilidade total
P (D) = P (D | V ) + P (V ) + P (D | V c)P (V c) =
10
Um outro resultado muito importante envolvendo probabilidades condicionais e´ o Teorema de
Bayes. Esse teorema fornece um mecanismo formal para atualizar probabilidades.
2.4 Teorema de Bayes
Suponha que os eventos B1, B2, . . . , Bk formem uma partic¸a˜o de Ω, com P (Bi) > 0 .... Seja A
um evento qualquer com P (A) > 0. Enta˜o, .... temos:
P (Bj | A) = P (A | Bj)P (Bj)∑
i = 1kP (A | Bi)P (Bi)
Exemplo: Um fabricante de sorvete recebe 20% de todo p leite que utiliza de uma fazenda F1,
30% de uma outra fazenda F2 e 50%deF3. Um o´rga˜o de fiscalizac¸a˜o inspecionou as fazendas e
observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adic¸a˜o de ac¸u´car, enquanto
que para F2 e F3 essa proporc¸a˜o era de 5% e 2% respectivamente. N aindu´stria, os galo˜es de
leite sa˜o armazenados sem identificac¸a˜o das fazendas.
Uma amostra de leite na indu´stria indicou que o leite esta´ adulterado. O fabricante de sorvete
deseja saber qual a probabilidade de que a amostra de leite em questa˜o tenha sido produzida
pela fazenda F2.
Exerc´ıcio: Pelo fato de um novo procedimento me´dico ter se mostrado efetivo na detecc¸a˜o
pre´via de uma doenc¸a, propoˆs-se um rastreamento me´dico da populac¸a˜o. A probabilidade de que
o teste identifique corretamente algue´m com a doenc¸a, dando positivo e´ 0,99 e a probabilidade
de que o teste identifique algue´m sem a doenc¸a, dando negativo e´ 0,95.
A incideˆncia da doenc¸a na populac¸a˜o em geral e´ 0,0001. Voceˆ fez o teste e o resultado foi
positivo. Qual e´ a probabilidade de que voceˆ tenha a doenc¸a?
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