Transformada De Laplace

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Você já viu a Transformada de Laplace e suas propriedades mais
importantes para o controle de sistemas (linearidade, derivada, valor final).
Vamos listar mais algumas de suas propriedades.
Transformada da Derivada (versão completa):
L { f˙ (t)}=s F ( s)− f (0)
Que para f (0)=0 fica L { f˙ (t )}=s F ( s) .
Usando a propriedade da Transformada da Derivada podemos
resolver problemas de valor inicial facilmente. Vamos ver um exemplo:
Dada a seguinte equação diferencial:
f¨ (t )+5 f˙ (t )+6 f (t)=0
E condições iniciais: f (0)=2 e f˙ (0)=1 , nosso problema é
obter a expressão de f (t ) .
Pela propriedade da Transformada da derivada temos:
L { f˙ (t)}=s F ( s)− f (0)=s F (s)−2
Usando a propriedade da Transformada da derivada mais uma vez:
L { f¨ (t )}=s L { f˙ ( t)}− f˙ (0)
Substituindo a Transformada da derivada que acabamos de obter e o
valor inicial da derivada, temos:
L { f¨ (t )}=s [ s F ( s)−2 ]−1
L { f¨ ( t)}=s2 F (s)−2 s−1
E agora podemos usar essas duas Transformadas para obter a
Transformada da equação diferencial para condições iniciais não nulas.
Aplicando a Transformada de Laplace a:
f¨ (t )+5 f˙ (t )+6 f (t)=0
Obtemos:
s2 F (s)−2 s−1+5 [ s F ( s)−2 ]+6F (s)=0
Reorganizando e colocando F (s) em evidência temos:
s2 F (s)−2 s−1+5 s F ( s)−10+6 F ( s)=0
s2 F (s)+5 s F (s)+6 F (s)−2 s−11=0
(s2+5 s+6)F ( s)=2 s+11
Dividindo pelo polinômio que multiplica F (s) chegamos a:
F (s)= 2 s+11
s2+5 s+6
Note que o denominador de F (s) tem os coeficientes da equação
diferencial, como no caso da Função de Transferência (e como o sistema é
linear a saída para uma entrada qualquer e condições iniciais não nulas é
simplesmente a soma da saída para essa entrada com condições iniciais
nulas e a saída para entrada zero e as condições iniciais não nulas).
Expandimos em frações parciais:
F (s)= 2 s+11
s2+5 s+6
= A
( s+2)
+ B
(s+3)
Calculando os resíduos:
F (s)= 7
(s+2)
+ −5
(s+3)
Obtendo a Transformada inversa:
f (t )=7e−2 t−5e−3 t .
Verifique que temos f (0)=2 , f˙ (0)=1 e que: 
 f¨ (t )+5 f˙ (t )+6 f ( t)=0
Transformada da integral:
L {∫
0
t
f ( τ)d τ}= F ( s)
s
Atraso no tempo:
L { f ( t−τ)}=e−s τF ( s)
Deslocamento em s:
L {ea t f (t )}=F (s−a )
Convolução:
L { f (t)∗g ( t)}=F (s)G (s)
Obs: ∗ indica a integral de convolução, isto é:
 f (t )∗g (t )=∫
0
t
f (t−τ) g ( τ)d τ
Multiplicação:
L { f (t)g (t)}=F ( s)∗G (s)
Mudança de escala temporal:
L { f (a t)}=1
a
F ( s
a
)
Diferenciação em s:
L {−t f (t)}=d F (s)
d s
E se você estiver curioso, mas não o suficiente para procurar pela
Transformada Inversa de Laplace (chamada por alguns de Transformada
de Laplace Inversa):
L-1 {F (s)}= 1
2π i ∫σ−i∞
σ+i∞
F ( s)es t d s
Melhor usar a tabela, não?
Essas outras propriedades não são tão utilizadas na área de controle
de sistemas. Algumas são usadas em outras áreas e outras são usadas para
obter Transformadas de novas funções a partir de Transformadas já
tabeladas. Por exemplo a partir da transformada do degrau unitário e
usando o deslocamento em s obtemos a Transformada da exponencial. E
com a diferenciação em s podemos obter as Transformadas da rampa, de t
vezes exponencial e de t vezes seno ou cosseno. Como exercício você
pode obter a Transformada de Laplace do impulso unitário (delta de Dirac)
usando a definição da Transformada de Laplace e depois obter as
Transformadas da Tabela de Transformadas apresentada usando as
propriedades de Transformada de Laplace. Dica, a Transformada do
impulso unitário é 1 e o degrau unitário é a integral do impulso unitário...