VA Matematica Financeira Aula 5 Tema 5 Impressao

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10/06/2014
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Matemática Financeira
Taxa a Juros Compostos
Tema 5
Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka
Taxa a Juros Compostos
• Neste tema, o principal foco será o cálculo
da taxa de juros (i).
• Neste caso, alguns cálculos só serão
possíveis com a utilização da HP 12C (taxa
de uma sequência de pagamento e TIR –
Taxa Interna de Retorno).
Taxa a Juros Compostos
Sequência de Pagamentos
• Estudamos no Tema 4 a Sequência de
Pagamentos – Postecipada e Antecipada.
• Os cálculos estavam focados no valor da
Parcela (PMT), Valor Presente (PV) e no
Valor Futuro (FV).
• Agora vamos estudar o cálculo da taxa de
juros (i) numa sequência de pagamentos.
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Exemplo 1 – Sequência de 
Pagamentos
Taxa de juros
Uma casa de campo é vendida por
$550.000,00 à vista. O cliente também pode
pagar em (1+6) parcelas trimestrais de
98.000,00. Que taxa trimestral está sendo
considerada? (GIMENES, 2012, p.154)
Exemplo 1 – Resolução
Atenção (1+6) = Antecipada
PV = 550.000
n = 7 trimestres
PMT = 98.000
i = ?
i
PV550 000
7 n
= 8,07%a.t.
f Clx
g 7
BEG
CHS98 000 PMT
Exemplo 2 – Sequência de 
Pagamentos
Taxa de juros
Uma máquina de lavar roupa que custa
$1.894,16 é vendida em 10 prestações
mensais e iguais de $199,99 com o primeiro
pagamento para 30 dias. Determine a taxa de
juros, sabendo que a loja os cobra.
(GIMENES, 2012, p. 157)
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Exemplo 2 – Resolução
PV = 1.894,16
n = 10 (Postecipada)
PMT = 199,99
i = ?
i
PV1 894,16
10 n
= 1,00% a.m.
f Clx
g 8
END
CHS199,99 PMT
Taxa Equivalente
Juros Simples
10% ao 
mês
30% ao 
trimestre
Juros Compostos
10% ao 
mês
33,10% ao 
trimestre
?
Taxa Equivalente Composta
• Por ser uma exponencial, existe uma
fórmula para o cálculo da taxa equivalente
composta.
• n = período que quero encontrar ÷ período
que tenho.
  11 tenhoquero 

  iiq
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Resolução pela Fórmula 
Taxa Equivalente Composta
10% ao mês, tenho
a taxa para 1 mês
Quero ao trimestre, 
para 3 meses
(forma unitária)
x 100 = 33,10% a.t.
i = 10%a.m.
/100 = 0,10
Programação HP12c 
Taxa Equivalente Composta
f Clx
f R/S
f R 
STO 0
RCL i
1 % 1 +
RCL 0
RCL n
1 -
1 0 0 x
g R 0 0
f R/S
A programação ficará
na HP, mesmo se for
desligada ou F clx.
Programação HP12c 
Taxa Equivalente Composta
Taxa que tenho =
n
R/S
i
Dias que tenho =
Dias que quero =
Transformar tudo em dias (ano comercial):
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Programação HP12c 
Taxa Equivalente Composta
Tenho 10,0% a.m. = quero taxa eq. trimestral
Tenho taxa 30 dias = quero taxa 90 dias
= 33,10%a.t.
f Clx
i10 (taxa que tenho)
30 n (dias que tenho)
R/S90(dias que quero)
• Em caso de erro, efetue a programação
novamente.
Taxa Efetiva e Nominal
TIR – Taxa Interna de Retorno
Continuando
Taxa Efetiva e Nominal
• Algumas práticas de mercado acabam que
confundindo o consumidor com as
nomenclaturas de taxa efetiva e nominal.
• O que é isso?
• Exemplo 3 (clássico): Um financiamento de
imóveis informa que a taxa nominal em
contrato é de 12% ao ano, porém com
capitalização mensal. (GIMENES, 2012,
p. 168-PLT)
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Exemplo 3 – Resolução
• Taxa nominal = 12% ao ano.
• Capitalização mensal quer dizer que a
financeira utiliza a taxa anual e divide por
12.
• Taxa nominal = 12%a.a. /12 = 1,0%a.m.
• A partir do 1,0% ao mês, vai capitalizar
mensalmente a juros compostos.
Exemplo 3 – Resolução
• Qual a taxa equivalente composta anual de
1,0% ao mês? (Fórmula)
Exemplo 3 – Resolução
• Qual a taxa equivalente composta anual de
1,0% ao mês? (HP12C - utilizando a
programação realizada no Tema 3):
Tenho uma para 30 dias = quero 360 dias
i1
30 n
= 12,68% ao ano 
f Clx
R/S360
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Exemplo 3 – Análise
• A taxa anunciada (nominal) era de 12%
ao ano.
• Efetuando os cálculos, chegamos a uma
taxa efetiva de 12,68% ao ano.
• Portanto, ao identificar no enunciado do
exercício a palavra “taxa nominal”, cuidado.
• Devemos adotar os cálculos realizados
anteriormente para termos a taxa efetiva.
Taxa Interna de Retorno (TIR)
• A TIR é também chamada de IRR (Internal
Return of Rate).
Definição:
• A TIR é a taxa (%) que iguala as entradas
às saídas de caixa. Ou seja, é a taxa de
retorno do projeto em análise. (GIMENES,
2012 p. 173)
Taxa Interna de Retorno – Fórmula
• Matematicamente, é a taxa de juros que faz
o VPL ser igual a zero.
• É a taxa de retorno de projetos que tem
parcelas não-fixas (irregulares). (GIMENES,
2012, p. 63, 64)
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Taxa Interna de Retorno – Exemplo
0 1 ano2
20 000
30 000
45 000
80 000
43
Taxa Interna de Retorno – Exemplo
f Clx
20 000 g CFj
30 000 g CFj
45 000 g CFj
80 000 g CFj
f IRR
TIR=20,89% a.a.100 000 gCHS
Taxa a Juros Compostos
Exercícios
Agora é a sua vez
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Exercício 1
Um carro de ano 2000, modelo 2001, é
comercializado por $18.900,00, ou por uma
entrada de $6.300,00 mais 36 parcelas de
$559,00. Você está interessado, mas deseja
saber antes o valor da taxa cobrada. Calcule-
a. (GIMENES, 2012 p. 158)
Exercício 1
18.900 à vista
6.300=entrada
n = 36 meses
i = ?
PV= 18.900 - 6.300
PMT = 559,00
PV= 12.600,00
1 36
PMT = 559,00
Entrada=6.300 (Subtrair)
PV=18900 - 6300=12.600
meses0
PV = 12.600
n = 36 (Postecipada)
PMT = 559,00
i = ?
Exercício 1
i
PV12 600
36 n
= 2,78% a.m.
f Clx
g 8
END
CHS559,00 PMT
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Exercício 2
Taxa Equivalente Composta
Encontre a taxa equivalente composta:
20% ao ano em ao semestre.
Tenho 360 dias = quero 180 dias
i20
360 n
= 9,54% ao semestre 
f Clx
R/S180
Exercício 2
Taxa Equivalente Composta
Encontre a taxa equivalente composta:
20% ao ano em ao semestre.
Tenho 360 dias = quero 180 dias
Exercício 3 – Taxa Nominal e Efetiva
Sabendo que a taxa anual nominal é de 77%
para empréstimos pessoais, quanto você
emprestou, se ao final de seis meses pagou
R$ 1.452,31 com uma capitalização mensal?
(GONÇALVES, M., Matemática Financeira, p. 82,
2013)
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Exercício 3 – Resolução
Rascunho:
Taxa nominal = 77% a.a.
n = 6 meses
PV = ?
FV = 1.452,31
Capitalização mensal:
77 dividir por 12 (meses) = taxa mensal
Exercício 3 – Resolução (HP 12C)
Enter77
6,416667%a.m.
12
i
6 n
= -1 000,00
FV1 452,31
PV
Não precisa digitar 
novamente o valor 
6,416667, pode apertar o “i”
Rascunho:
n = 6 meses
PV = ?
FV = 1.452,31
i = 77/12
i = 6,416667%a.m.
/100 = 0,064167
Exercício 3 – Resolução pela Fórmula
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Exercício 3 – Resolução pela Fórmula
Exercício 4
Uma bicicleta custa $ 550,00 às vista. A
prazo, pode ser paga em 6 prestações fixas
de $110,50. Neste caso, o primeiro
pagamento será ao final de 4 meses, e os
demais serão subsequentes. Determine a
taxa de juros mensal praticada pela loja.
(GIMENES, 2012 p. 177)
Exercício 4 – Resolução
0 1 9 mês
110,50
550
3 4
6 meses
... ...
Não é uma Sequência de pagamento;
Pois existem períodos com valores zero(n=1,2,3);
A TIR deve ser usada quando o fluxo de caixa for
irregular.
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Exercício 4 – Resolução somente pela 
HP 12C
f Clx
550 g CFo
0 g CFj
3 g Nj
110,50 gCHS CFj
6 g Nj
f IRR 2,94%am
Taxa a Juros Compostos
Finalizando
Taxa a Juros Compostos
• Estudamos neste tema os cálculos das taxas
de juros, em diversas situações no regime
de juros compostos.
• Em alguns cálculos, por serem mais
complexos, foi necessário utilizar a HP 12C.
• É muito importante saber o valor da taxa de
juros para termos uma referência.
• Descobrir a taxa pode fazer com que vocêeconomize dinheiro.
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Taxa a Juros Compostos
Exemplo Prático
• Você tem aplicado na poupança
R$50.000,00.
• A Poupança rende em média 0,50% a.m.
• Um carro custa R$35.000,00 ou em 48
parcelas de R$899,16.
• 35000 PV 48 n 899,16 CHS PMT
• i = 0,89% a.m.
• Você vai pagar à vista ou financiar?
Sequência de Pagamentos –
Postecipada
• Quando o pagamento for postecipado, o
primeiro pagamento ocorre somente no
final do primeiro período. (GIMENES, 2012,
p. 95)
• As parcelas são iguais e sucessivas:
0
1 2 3 ... n
PMT PMT PMT PMT
PV
Sequência de Pagamentos –
Antecipada
• A denominação “pagamento antecipado” se
refere a uma situação em que o primeiro
pagamento/recebimento é feito no instante
inicial […] (GIMENES, 2012, p. 120).
• As parcelas são iguais e sucessivas.
0
1 2 3 ... n
PMT PMT PMT PMT
PV
PMT
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Taxa Equivalente Composta
• Por ser uma exponencial, existe uma
fórmula para o cálculo da taxa equivalente
composta.
• n = período que quero encontrar ÷ período
que tenho.
  11 tenhoquero 

  iiq
Resolução pela Fórmula 
Taxa Equivalente Composta
10% ao mês, tenho
a taxa para 1 mês
Quero ao trimestre, 
Para 3 meses
(forma unitária)
x 100 = 33,10% a.t.
i = 10%a.m.
/100 = 0,10
Taxa Efetiva e Nominal
• Algumas práticas de mercado acabam
confundindo o consumidor com as
nomenclaturas de taxa efetiva e nominal.
• O que é isso?
• Exemplo 3 (clássico): Um financiamento de
imóveis, informa que a taxa nominal em
contrato é de 12% ao ano, porém com
capitalização mensal. (GIMENES, 2012, p.
168-PLT)
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Exemplo
• Taxa nominal = 12% ao ano.
• Capitalização mensal quer dizer que a
financeira utiliza a taxa anual e divide por
12.
• Taxa nominal = 12%a.a. /12 = 1,0%a.m.
• A partir do 1,0% ao mês, vai capitalizar
mensalmente a juros compostos.
Exemplo
• Qual a taxa equivalente composta anual de
1,0% ao mês? (HP12C – utilizando a
programação realizada no Tema 3):
Tenho uma para 30 dias = quero 360 dias
i1
30 n
= 12,68% ao ano 
f Clx
R/S360
Taxa Interna de Retorno (TIR)
• A TIR é também chamada de IRR (Internal
Return of Rate).
Definição:
• A TIR é a taxa (%) que iguala as entradas
às saídas de caixa. Ou seja, é a taxa de
retorno do projeto em análise. (GIMENES,
2012 p. 173)
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Taxa Interna de Retorno – Fórmula
• Matematicamente, é a taxa de juros que faz
o VPL ser igual a zero.
• É a taxa de retorno de projetos que tem
parcelas não-fixas (irregulares). (GIMENES,
2012, p. 63, 64)
TIR na Matemática Financeira vs. 
Análise de Investimentos
• Na Matemática Financeira, a TIR é utilizada
para o cálculo da taxa de um fluxo de caixa
irregular (não uniforme).
• A TIR também será utilizada na disciplina
Análise de Investimentos, com aplicações
um pouco diferente.
• Portanto, a HP12C também será utilizada no
próximo semestre.
Exemplo TIR
Um veículo novo custa $35.000,00. Você dará
de entrada R$8.000,00 e poderá pagar o
restante em 24 parcelas, sendo 11 mensais de
$700,00 e uma anual de $10.000,00. Isso se
repete no segundo ano. Que taxa o banco
está cobrando de você? (GIMENES, 2012, p.
218)
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• Devido ao fluxo de caixa irregular, deve-se
utilizar a TIR para o cálculo da taxa.
• Realizável somente pela HP12C.
• Exercício resolvido no Caderno de
Atividades.
Exemplo TIR
0 1 13 mês23
......
n = 11
10 000 10 000
700 700
......
n = 11
24
35 000
-8 000
Entrada
27 000
11 12
Referências
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática
financeira com HP12C e Excel: uma
abordagem descomplicada. São Paulo:
Pearson Education, 2012. Pearson - PLT
(Programa do Livro-Texto)
Caderno de Atividades.
ASSAF, N., A. Matemática Financeira e suas
aplicações. 11 ed. São Paulo: Atlas, 2009.