VA Matematica Financeira Aula 6 Tema 6 Impressao

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10/06/2014
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Matemática Financeira
Amortização de Empréstimos (Juros 
Compostos)
Tema 6
Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka
Amortização de Empréstimos
• Definição:
“Tratam, basicamente, da forma pela
qual o principal e os encargos financeiros são
devolvidos ao credor do capital.”
(ASSAF NETO, 2009, p. 199)
Amortização de Empréstimos 
• Quando pagamos uma parcela de um
financiamento, estamos devolvendo
dinheiro ao banco ou pagando juros?
Prestação = Amortização + Juros
Lucro do Banco, 
não é devolução 
do PV.
Devolução 
do principal.
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Amortização de Empréstimos 
• Vamos utilizar os conceitos de Juros
Compostos, Série Uniforme de Pgto (PMT),
taxa equivalente, ou seja, tudo.
• Análise detalhada do que é Juros e
Amortização num financiamento.
Amortização de Empréstimos 
• Existem vários modelos de amortização
usados no mercado:
• Sistema Amortização Convencional (Livre).
• Sistema Amortização Constante (SAC).
• Sistema Amortização Francês (PRICE).
Amortização de Empréstimos
• Planilha de amortização:
• Não há uma fórmula específica e sim um
procedimento para cada tipo de
Amortização.
• A tabela é a mesma para todos.
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Amortização de Empréstimos
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
Planilha de amortização:
Sistema de Amortização Convencional
Conhecido também por plano livre de
amortização. Chama-se convencional porque
um empréstimo pode ser quitado com
amortizações variáveis [...].
(GIMENES, 2012, p. 183)
Exemplo 1 – Sistema Convencional
Um amigo lhe empresta R$1.000,00,
que devem ser pagos em 5 parcelas. Com o
intuito de pagar menos juros, você propõe as
seguintes amortizações: R$500 na primeira
parcela, R$150 na segunda, R$100 na
terceira, R$150 na quarta e R$100 na quinta.
Monte a planilha, sabendo que a taxa de juros
foi de 10,0% ao mês.
(GIMENES, 2012, p.183)
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Exemplo 1 – Resolução Convencional
1º Passo: Neste caso, preencher primeiro a
coluna amortização, conforme enunciado:
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 500
150
100
150
100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
2º Passo: Calcular os juros do n=1
Saldo início . i = 1 000 . 0,10 = 100
100 500
150
100
150
100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
3º Passo: Calcular o Total do PMT
Juros + Amortização = 100 + 500 = 600,00
100 500
150
100
150
100
600
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PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
4º Passo: Calcular o Saldo Final
Saldo Início - Amortização=1000 – 500 = 500
100 500
150
100
150
100
600 500
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000
Exemplo 1 – Resolução Convencional
5º Passo: Recomeçar o ciclo de contas pelos
Juros, PMT e Saldo Final do próximo período:
100 500
150
100
150
100
600 500
500 50 200 350
350 35 135 250
250 25 175 100
100 10 110 0
Sistema de Amortização Constante-SAC
• [...] No SAC, como o próprio nome diz, o
valor da amortização é constante, ou seja,
o mesmo para todos os períodos.
• Isso somente será possível se o saldo
devedor inicial for dividido pelo número de
períodos envolvidos no financiamento.
(GIMENES, 2012, p. 187)
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Sistema de Amortização Constante-SAC
• Fórmula para calcular o valor da
Amortização:
A = Amortização
n = número de períodos
(GIMENES, 2012, p. 187)
Exemplo 2 – SAC
Um amigo lhe empresta R$1.000,00,
que devem ser pagos em 5 parcelas. O
sistema de amortização acertado foi o SAC.
Faça uma planilha, sabendo que a taxa
contratada foi de 10% ao mês.
(GIMENES, 2012, p. 187)
Exemplo 2 – Resolução SAC
1º Passo: Neste caso, preencher primeiro a
coluna amortização: 1000/5= 200
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
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Exemplo 2 – Resolução SAC
2º Passo: Calcular os juros do n=1
Saldo início . i = 1 000 . 0,10 = 100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100
Exemplo 2 – Resolução SAC
3º Passo: Calcular o Total do PMT
Juros + Amortização = 100 + 200 = 300,00
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100 300
Exemplo 2 – Resolução SAC
4º Passo: Calcular o Saldo Final
Saldo Início - Amortização=1000 – 200 = 800
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100 300 800
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Exemplo 2 – Resolução SAC
5º Passo: Recomeçar o ciclo de contas pelos
Juros, PMT e Saldo Final do próximo período:
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 200
200
200
200
200
100 300 800
800 80 280 600
600 60 260 400
400 40 240 200
200 20 220 0
Sistema de Amortização Francês
(PRICE)
Continuando
Sistema de Amortização Francês
(PRICE)
• Esse sistema foi desenvolvido no século
XVI.
• Richard Price, 1771.
• Onde as prestações são constantes.
• O PMT é igual = Sequência de pagamentos
uniformes.
(GIMENES, 2012, p. 193)
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Exemplo 4 – PRICE
Um amigo lhe empresta $1.000,00, que
devem ser pagos em 5 parcelas. O sistema de
amortização escolhido foi o Price. Monte a
planilha, sabendo que a taxa acertada foi de
10% ao mês.
(GIMENES, 2012, p. 194)
Exemplo 3 – Resolução PRICE
1º Passo: Calcular o valor do PMT (Fórmula)
PV = 1 000
n = 5 meses
i = 10,% a.m.
10/100 = 0,1
PMT = ?
(continua)
Exemplo 3 – Resolução PRICE
PMT=1000. 0,263797
PMT= 263,79
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Exemplo 3 – Resolução PRICE
1º Passo: Calcular o valor do PMT (HP12C)
PMT
5 n
i10
= 263,79
PV1 000 CHS
g 8
END
f Clx
Exemplo 3 – Resolução PRICE
1º Passo: Neste caso preencher primeiro a
coluna PMT, conforme cálculo anterior:
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
Exemplo 3 – Resolução PRICE
2º Passo: Calcular os juros do n=1
Saldo início . i = 1 000 . 0,10 = 100
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100
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Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100 163,79
Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100
4º Passo: Calcular o Saldo Final
Sd Início-Amort= 1000 – 163,79 = 836,21
163,79 836,21
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Exemplo 3 – Resolução PRICE
PV= 1000,00 i=10,0%a.m.
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 263,79
263,79
263,79
263,79
263,79
100
5º Passo: Recomeçar o ciclo de contas pelos
Juros, PMT e Saldo Final do próximo período:
163,79 836,21
836,21 83,62 180,17 656,04
656,04 65,60 198,19 457,85
457,85 45,79 218,01 239,84
239,84 23,98 239,81 0,03
Amortização de Empréstimos
Agora é a sua vez
Exercício 1
Você contraiu uma dívida de $25.000,00, que
deve ser quitada em 4 meses. Você terá de
amortizar R$5.000,00 no primeiro mês e $
8.000,00 no segundo. O saldo remanescente
deve ser amortizado em duas parcelas iguais.
Determine o valor de cada parcela (PMT) nos
4 meses (com taxa de 10% ao mês).
(GIMENES, 2006, p. 186)
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Exercício 1 – Resolução
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
Neste caso preencher primeiro a coluna
amortização, conforme enunciado:
25 000 5 0002 500 7 500 20 000
20 000 2 000 8 000 10 000 12 000
12 000 6 000
6 000
1 200 7 200 6 000
6 000 600 6 600 0
i = 10% a.m.
Exercício 2
Considere que você tomou emprestados
$10.000,00 e terá de pagar em 5 parcelas
pelo sistema SAC. Monte a planilha, sabendo
que a taxa de juros da operação foi de 3,0%
ao mês. (GIMENES, 2012, p. 193)
Exercício 2 – Resolução
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
i = 3,0% a.m.
10 000 2 000
2 000
2 000
2 000
2 000
300 2 300 8 000
8 000 240 2 240 6 000
6 000 2 180 4 000
4 000 2 120 2 000
2 000 2 06060
120
180
0
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Exercício 3 – SAC Carência
Um banco empresta o valor de R$3.000,00
com uma taxa de 5% ao mês para ser pago
em 3 pagamentos mensais com carência de 2
meses (contada a partir do final do 1 mês) e
os juros sendo pagos durante o período da
carência. Elabore a planilha do
financiamento pelo SAC.
Carência = Período sem amortização, 
mas há cobrança de juros.
Exercício 3 – Resolução
1º Passo: Efetuando o cálculo dos juros na
carência de 2 meses (i = 5% a.m.):
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
3 000
Exercício 3 – Resolução
1º Passo: 3000 x 5,0 % = 150,00 = Juros
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1503 000
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Exercício 3 – Resolução
2º Passo: Amortização = 0, devido à carência:
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150
Exercício 3 – Resolução
3º Passo: O valor do PMT = 150 + 0 = 150
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150
Exercício 3 – Resolução
4º Passo: Saldo Final= 3000 - 0 = 3000
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
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Exercício 3 – Resolução
5º Passo: Recomeçar o mesmo procedimento
para finalizar a carência de 2 meses:
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
3 000 150 0 150 3 000
Exercício 3 – Resolução
6º Passo: Após o período de carências, iniciar
o procedimento do SAC: 3000 / 3 = 1000
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
3 000 150 0 150 3 000
1 000
1 000
1 000
Exercício 3 – Resolução
7º Passo: Continuar os cálculos:
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
5
n Saldo início
Pagamento/Parcela
03 000 150 150 3 000
3 000 150 0 150 3 000
1 000
1 000
1 000
3 000 150 1 150 2 000
2 000 100 1 100 1 000
1 000 50 1 050 0
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Exercício 4
Um banco empresta o valor de
R$1.200,00 com uma taxa de 5% ao mês
para ser pago em 4 pagamentos mensais e
com o primeiro pagamento efetuado daqui a
30 dias (sem carência). Elabore a planilha do
financiamento pelo sistema Price ou Francês.
Exercício 4 – Resolução
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 200 60 338,41
338,41
338,41
338,41
278,41 921,59
921,59 46,08 292,33 629,26
629,26 31,46 306,95 322,31
322,31 16,12 322,31 0,00
Amortização de Empréstimos
Finalizando
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Amortização de Empréstimos
Vimos nesta etapa que:
Prestação = Amortização + Juros
Lucro do Banco, 
não é devolução 
do PV
Devolução do 
principal
Amortização de Empréstimos
• Sistema Amortização Convencional (Livre).
• Sistema Amortização Constante (SAC).
• Sistema Amortização Francês (PRICE).
Sistema de Amortização – Planilha
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
• A HP12C também faz o sistema de
amortização = PRICE.
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Sistema Price na HP12c
Um banco empresta o valor de
R$1.000,00, a uma taxa de 10% ao mês a ser
pago em 4 pagamentos mensais, com o
primeiro pagamento efetuado daqui a 30 dias
(sem carência). Elabore a planilha do
financiamento pelo sistema Price ou Francês.
PV = 1.000 i = 10 % a.m.
n = 4 meses PMT = ? Postecipada
Sistema Price na HP12c
= 315,47
Programando 
para Postecipada
f Clx
g 8
END
4 n
10 i
PMT
1 000 PVCHS
Sistema Price na HP12c
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
f AMORT1 J1 = 100,00
Valor dos juros no 1º pagamento:
1 000 100 315,47
315,47
315,47
315,47
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Sistema Price na HP12c
Valor da Amortização
x  y A1 = 215,47
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 100 315,47
315,47
315,47
315,47
215,47
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 100
Valor do Saldo Final no n=1
215,47
RCL PV sd1 = -784,53
315,47
315,47
315,47
315,47
784,53
Sistema Price na HP12c
Saldo Final =
Juros + Amortização = Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
2
3
4
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1 000 100 215,47 315,47
315,47
315,47
315,47
784,53
784,53
Começa tudo novamente:
f AMORT1 J1 = 78,45
78,45 237,02 547,51
547,51 54,75 260,72 286,79
286,79 28,68 286,79 0,00
x  y
RCL PV
Sistema Price na HP12c
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Sistema Price na HP12c
Como fazer para saber o saldo devedor de um
financiamento? Em um plano Price de 60
meses, depois de 40 meses, o cliente ganhou
na Mega-Sena e quer saldar sua dívida.Quanto ele deve, considerando que a dívida
inicial era de R$ 50.000,00, com taxa de
0,98% ao mês?
Sistema Price na HP12c
PMT
i
60 n
0,98
= 1.106,17
CHS50 000 PV
Saldo Final =
Juros + Amort= Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
...
40
n Saldo início
Pagamento/Parcela
1.106,17
1.106,17
50.000
Sistema Price na HP12c
Eu quero a linha 40 ou n=40
f AMORT40 J40 = 14.248,36
x  y
RCL PV sd40 = -20.001,56
Saldo Final =
Juros + Amort= Total (PMT) Sd Início - AMORT
1
...
40
n Saldo início
Pagamento/Parcela
20.001,56
1.106,17
1.106,17
50.000
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Vantagens e Desvantagens dos 
Sistemas de Amortização
• Quanto maior o prazo do financiamento,
maior será o valor dos juros.
• Portanto, é sempre mais interessante deixar
o menor prazo de financiamento possível.
• No sistema PRICE, pagam-se mais juros
que no SAC.
• Uma excelente alternativa é poupar e pagar
à vista.
Mais Exercícios
• É muito importante fazer mais exercícios.
• Sempre busque algo além das aulas.
• Treine até o momento que conseguir fazer
os exercícios sem precisar consultar o
material.
• Utilize o Livro-Texto e o Caderno de
Atividades.
Links de Emuladores da HP12C
1.Disponível em: 
<http://www.calculadorahp.com.br/>.
2.Disponível em: 
<http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php>.
3.Disponível 
em:<http://www.superdownloads.com.br/d
ownload/51/emulador-da-calculadora-
financeira-hp-12c/>.
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Referências
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática
financeira com HP12C e Excel: uma
abordagem descomplicada. São Paulo:
Pearson Education, 2012. Pearson – PLT
(Programa do Livro-Texto)
Caderno de Atividades
ASSAF, N., A. Matemática Financeira e suas
aplicações. 11 ed. São Paulo: Atlas, 2009.