Capítulo-4

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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
Capítulo 4: Derivada
4.1- A Reta Tangente
Seja )(xfy = uma curva definida no intervalo ( )ba, e sejam ( ) ( )2211 , e , yxQyxP dois pontos 
distintos da curva )(xfy = .
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q.
Considerando o triângulo retângulo PMQ, na figura ao lado,
temos que a inclinação da reta s, ou coeficiente angular de s, é:
 x
y
xx
yytg
∆
∆
=
−
−
=
12
12α .
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a
curva em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s 
variará. A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a 
inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor
limite constante. Esse valor limite é chamado inclinação da reta
tangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.
Definição:
Dada uma curva )(xfy = , seja ( ) , 11 yxP um ponto sobre ela.
A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por
( )
12
12
1
)()(limlim
12 xx
xfxf
x
yxm
xxPQ
−
−
=
∆
∆
=
→→
, quando o limite existe.
Fazendo hxxxxx +=∆+= 1212 ou podemos escrever: 
( )
h
xfhxf
x
xfxxfxm
hx
)()(lim)()(lim 11
0
11
01
−+
=
∆
−∆+
=
→→∆
.
Equação da Reta Tangente
Se a função )(xf é contínua em )(1 fDx ∈ , então a reta tangente à curva )(xfy = em ( ))(, 11 xfxP é:
a) A reta que passa por P tendo inclinação ( )
h
xfhxf
x
xfxxfxmm
hx
)()(lim)()(lim 11
0
11
01
−+
=
∆
−∆+
==
→→∆
, se 
este limite existe. Neste caso, temos a equação: )()( 11 xxmxfy −=− .
b) A reta 1xx = , se h
xfhxf
h
)()(lim 11
0
−+
→
 for infinito.
Exemplos:
1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva 122 +−= xxy no ponto ( )11, yx . 
60
2. Encontre a equação da reta tangente à curva 32 2 += xy no ponto cuja abscissa é 2.
3. Encontre a equação da reta tangente à curva xy = , que seja paralela à reta 0148 =+− yx .
Lembrete: Duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.
4- Encontre a equação para a reta normal à curva 2xy = no ponto ( )4,2P .
Lembretes:
a) Reta normal a uma curva no ponto P é a reta perpendicular à reta tangente à curva no ponto P;
b) Duas retas de coeficientes angulares m1 e m2 são perpendiculares se, e somente se, m1 . m2 = – 1. 
61
4.2- Velocidade e Aceleração
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que )(tss = represente o espaço percorrido 
pelo móvel até o instante t. Então, no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e , o corpo sofre um deslocamento 
)()( tsttss −∆+=∆ .
1. Velocidade
Velocidade média do corpo no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e é o quociente do espaço percorrido 
pelo tempo gasto em percorrê-lo, isto é, 
t
tstts
t
svm ∆
−∆+
=
∆
∆
=
)()(
 .
Velocidade instantânea do corpo no instante t ou velocidade no instante t é o limite das velocidades 
médias quando t∆ se aproxima de zero, isto é, 
t
tstts
t
stv
tt ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(limlim)(
00
.
2. Aceleração
Aceleração média do corpo no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e é dada por 
t
tvttv
t
vam ∆
−∆+
=
∆
∆
=
)()(
 .
Aceleração instantânea do corpo no instante t é o limite das acelerações médias quando t∆ se aproxima 
de zero, isto é, 
t
tvttvta
t ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)(
0
.
Exemplos:
1. No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dado por 
216)( ttts −= . Determine:
a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [ ]4,2 ;
b) a velocidade do corpo no instante t = 2;
c) a aceleração média no intervalo [ ]4,0 ;
d) a aceleração no instante t = 4.
62
2. A equação do movimento de um corpo em queda livre é 2
2
1 gts = , onde 2/8,9 smg ≅ é a aceleração 
da gravidade. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em um instante qualquer t.
4.3- A Derivada de uma Função num Ponto
A derivada de uma função )(xf no ponto 1x , denotada por )(' 1xf , é definida pelo limite 
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)(' 11
01
 , quando este limite existe. Neste caso, dizemos que a função )(xf é 
derivável (ou diferenciável) no ponto 1x . 
Também podemos escrever: 
12
1211
01
)()(lim)()(lim)(' 
12 xx
xfxf
h
xfhxfxf
xxh
−
−
=
−+
=
→→
.
Observação: Como vimos, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva )(xfy = no ponto 
))(,( 11 xfx . Portanto, geometricamente, a derivada da função )(xfy = no ponto 1x representa a 
inclinação da curva neste ponto.
4.4- A Derivada de uma Função
A derivada de uma função )(xfy = é a função denotada por )(' xf tal que seu valor em qualquer 
)( fDx ∈ é dado por 
x
xfxxfxf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)(' 
0
, se este limite existir.
Dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) quando existe derivada em todos os 
pontos de seu domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de )(' ' xfy = :
a) )(xfDx (lê-se derivada de f(x) em relação a x);
b) yDx (lê-se derivada de y em relação a x);
c) 
dx
dy
 (lê-se derivada de y em relação a x).
63
Exemplos:
1. Dada a função 165)( 2 −+= xxxf , encontre )2(' f .
2. Dada a função 
3
2)(
+
−
=
x
xxf , encontre )(' xf .
3. Dada xxf =)( , encontre )4(' f .
4. Dada 3
1
)( xxf = , encontre )(' xf .
64
4.5- Continuidade de Funções Deriváveis
Teorema
Toda função )(xfy = derivável num ponto )(1 fDx ∈ é contínua nesse ponto.
Demonstração:
Sendo f derivável em 1x então 
1
1
1
)()(lim)(' 
1 xx
xfxfxf
xx
−
−
=
→
 existe.
Assim temos:
[ ] ( ) ( ) 00).(' lim.)()(lim.)()(lim)()(lim 11
1
1
1
1
1
1
1111
==−
−
−
=


−
−
−
=−
→→→→
xfxx
xx
xfxfxx
xx
xfxfxfxf
xxxxxxxx
.
Logo, [ ] [ ] )()(0)(lim)()(lim)()()(lim)(lim 111111
1111
xfxfxfxfxfxfxfxfxf
xxxxxxxx
=+=+−=+−=
→→→→ .
Portanto, f é contínua em 1x .
4.6- Exercícios
Páginas 127 e 128 do livro texto.
4.7- Derivadas Laterais
Definições:
Seja )(xfy = uma função definida no intervalo ( )ba, e ( )bax ,1 ∈ .
a) A derivada à direita de 1 em xf , denotada por )(' xf+ , é definida por 
1
111
0
1
)()(lim)()(lim)('
1 xx
xfxf
h
xfhxfxf
xxh
−
−
=
−+
=
++ →→
+ , caso este limite exista.
b) A derivada à esquerda de 1 em xf , denotada por )(' xf− , é definida por 
1
111
0
1
)()(lim)()(lim)('
1 xx
xfxf
h
xfhxfxf
xxh
−
−
=
−+
=
−− →→
−
, caso este limite exista.
c) Uma função é derivável em um ponto 1x se, e somente se, as derivadas à direita e à esquerda 
nesse ponto existem e são iguais.
d) Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em um ponto 1x , 
dizemos que o ponto ( ))(, 11 xfx é um ponto anguloso do gráfico de f.
e) Uma função f definida no intervalo [ ]ba, é derivável em [ ]ba, se é derivável no intervalo 
aberto ( )ba, e se existem a derivada à direita e a derivada à esquerda da função f em a e b, 
respectivamente.
Observação: Para fazer uma análise gráfica da existência da derivada em um ponto, podemos traçar retas 
secantes que passam pelo ponto dado e por outro na sua vizinhança e observar a sua posição limite 
(posição de tangência). Quando as secantes não têm uma única posição limite ou se tornam verticais, a 
derivada não existe. No primeiro caso, estamos diante da situação em que as derivadas laterais existem, 
mas são diferentes (ponto anguloso) e não há reta tangenteà curva neste ponto; no segundo caso, as retas 
65
secantes convergem para a posição vertical e, se − ∞=+ ∞=
−+ →→
)(' lim e )(' lim
11
xfxf
xxxx ou 
+ ∞=− ∞=
−+ →→
)(' lim e )(' lim
11
xfxf
xxxx , dizemos que estamos diante de um ponto cuspidal do gráfico de f , 
sendo 1xx = a reta tangente neste caso.
 
Exemplos:
1. Seja f a função definida por 

≥−
<−
=
2 se , 7
2 se , 13
)(
xx
xx
xf .
a) Esboce o gráfico de f.
b) Mostre que f é contínua em 2.
c) Encontre )2('+f e )2('−f .
d) A função f é derivável em 2? Justifique sua resposta.
2. Seja a função ( ) xxxf . 2)( −= .
a) Encontre )0('+f e )0('−f .
b) A função f é derivável em x = 0? Justifique sua resposta.
4.8- Exercícios
Páginas 132 e 133 do livro texto.
66
4.9- Regras de Derivação
 As regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.
R1 – Derivada de uma Constante
Se c é uma constante e cxf =)( , para todo Rx ∈ , então 0)(' =xf .
Demonstração:
00limlim)()(lim)(' 
000
==
−
=
−+
=
→→→ hhh h
cc
h
xfhxfxf .
R2 – Regra da Potência (expoente positivo)
Se n é um número inteiro positivo e nxxf =)( , então 1 )(' −= nxnxf .
Demonstração:
( )
=
−+



−
++



+



+
=
−+
=
−+
=
−−−
→→→ h
xhxh
n
n
hx
n
hx
n
x
h
xhx
h
xfhxfxf
nnnnnn
h
nn
hh
1221
000
1
...
21
limlim)()(lim)(' 
=


+



−
++



+



=



+



−
++



+



=
−−−−
→
−−−−
→
1221
0
1221
0 1
...
21
lim
1
...
21
lim nnnn
h
nnnn
h
hxh
n
n
hx
n
x
n
h
hxh
n
n
hx
n
x
n
h
1111 
)!1( 1
)!1( 
)!1( !1
!
1
−−−−
=
−
−
=
−
=



=
nnnn xnx
n
nnx
n
nx
n
.
Exemplos:
a) Se 5)( xxf = então 45)(' xxf = .
b) Se xxg =)( então 1)(' =xg .
c) Se 10)( xxh = então 910)(' xxh = .
R3 – Derivada do produto de uma constante por uma função
Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por )()( xcfxg = .
Se )(' xf existe, então )(' )(' xcfxg = .
Demonstração:
)(' )()(lim)()(lim)()(lim)()(lim)(' 
0000
xcf
h
xfhxfc
h
xfhxfc
h
xcfhxcf
h
xghxgxg
hhhh
=
−+
=

 −+
=
−+
=
−+
=
→→→→
Exemplos:
a) Se 28)( xxf = então xxxf 16)2(8)(' == .
b) Se 72)( ttg −= então 66 14)7(2)(' tttg −=−= .
67
R4 – Derivada de uma soma
Sejam f e g duas funções e s a função definida por )()())(()( xgxfxgfxs +=+= .
Se )(' xf e )(' xg existem, então )(' )(' )(' xgxfxs += .
Demonstração:
[ ] [ ]
=
+−+++
=
−+
=
→→ h
xgxfhxghxf
h
xshxsxs
hh
)()()()(lim)()(lim)(' 
00
[ ] [ ] )(' )(' )()(lim)()(lim)()()()(lim
000
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxgxfhxf
hhh
+=
−+
+
−+
=
−++−+
=
→→→
.
Exemplos:
a) Se 583)( 4 ++= xxxf então 81201.8)4(3)(' 33 +=++= xxxf .
b) Se 7249)( 25 ++−= ttttg então 2845)(' 4 +−= tttg .
R5 – Derivada de um produto
Sejam f e g duas funções e p a função definida por )().())(.()( xgxfxgfxp == .
Se )(' xf e )(' xg existem, então )().(' )(').()(' xgxfxgxfxp += .
Demonstração:
[ ] [ ]
=
−++
=
−+
=
→→ h
xgxfhxghxf
h
xphxpxp
hh
)().()().(lim)()(lim)(' 
00
[ ] [ ]
).(' ).()(' ).(
)()().(lim)()().(lim)()().()()().(lim
)().()().()().()().(lim
000
0
xfxgxgxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
xfhxfxgxghxghxf
h
xgxfxghxfxghxfhxghxf
hhh
h
+=
=
−+
+
−+
+=
−++−++
=
=
−+++−++
=
→→→
→
Exemplos:
a) Se )).(12()( 243 xxxxf +−= então )).(6()24).(12()(' 24233 xxxxxxxf +++−= .
b) Se )4).(5(
2
1)( 62 ttttg ++= então )4).(2(
2
1)46).(5(
2
1)(' 652 ttttttg ++++= .
R6 – Derivada de um quociente
Sejam f e g duas funções e q a função definida por 
)(
)()()(
xg
xfx
g
fxq =



= , onde 0)( ≠xg .
Se )(' xf e )(' xg existem, então [ ]2)(
)(' ).()(' ).()(' 
xg
xgxfxfxgxq −= .
Demonstração:
=
+
+−+
=
−
+
+
=
−+
=
→→→ )().(
)().()().(.1lim)(
)(
)(
)(
lim)()(lim)(' 
000 xghxg
hxgxfxghxf
hh
xg
xf
hxg
hxf
h
xqhxqxq
hhh
68
[ ] .)(
)(' ).()().(' 
)(lim).(lim
)()(lim).(lim)(lim.)()(lim
)().(
)()()()(.)()(
lim
)().(
)().()().()().()().(.1lim
2
00
0000
00
xg
xgxfxgxf
xghxg
h
xghxgxfxg
h
xfhxf
xghxg
h
xghxgxfxg
h
xfhxf
xghxg
hxgxfxgxfxgxfxghxf
h
hh
hhhh
hh
−
=
+
−+
−
−+
=
=
+
−+
−
−+
=
+
+−+−+
=
→→
→→→→
→→
Exemplos:
a) Se 
35
32)( 2
4
+−
−
=
xx
xxf então 22
432
)35(
)52).(32()8).(35()(' 
+−
−−−+−
=
xx
xxxxxxf .
b) Se 
x
xg 1)( = então 22
11.10.)(' 
xx
xxg −=−= .
R7 – Regra da Potência (expoente negativo)
Se nxxf −=)( , onde n é um número inteiro positivo e 0≠x , então 1 )(' −−−= nxnxf .
Demonstração:
Como n
n
x
xxf 1)( == − então 12
1
2
1
 
)(
 .10.)(' −−
−−
−=
−
=
−
=
n
n
n
n
nn
xn
x
xn
x
xnxxf .
4.10- Exercícios
Páginas 138 e 139 do livro texto.
4.11- Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)
Teorema
Sejam )( e )( xfuugy == funções deriváveis, com Im(f) ⊂ D(g).
Então a composta ))(( xfgy = é derivável e vale a regra da cadeia: 
dx
du
du
dy
dx
dyxfxfgxfugxy . seja,ou ),(' )).((' )(' ).(' )(' === .
Exemplos:
1. Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar 
dx
dy
.
2. Dada a função 
5
12
23 


+
+
=
x
xy , encontrar ' y .
69
3. Dada a função 2232 ).()13( xxxy −+= , determinar ' y .
Proposição (Regra da Potência para Funções Quaisquer)
Se )(xgu = é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então 
[ ] [ ] )(' .)()( 1 xgxgnxg
dx
d nn −
= .
Demonstração:
Fazendo )( onde , xguuy n == , e aplicando a Regra da Cadeia, temos:
[ ] [ ] )(' .)( )(' . . )( 11 xgxgnxgun
dx
du
du
dy
dx
dyxg
dx
d nnn −−
==== .
Observação: A Regra da Potência pode ser generalizada como segue e será demonstrada mais adiante:
Se )(xgu = é uma função derivável e r é um número racional não nulo qualquer, então 
[ ] [ ] ( ) ' . ' seja,ou , )(' .)()( 11 uuruxgxgrxg
dx
d rrrr −−
== .
Exemplos:
1- Dada a função 55)( 2 += xxf , determinar )(' xf .
2- Dada a função 
3 3
2
1
)(
+
=
t
ttg , determinar )(' tg .
3- Determinar a derivada das seguintes funções:
a) ( ) xxxy +++= 38 42
b) 
3
1
2
−
+
=
x
xy
c) 3 2 276 ++= xxy
70
4.12- Derivada da Função Inversa
Teorema
Seja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ( )ba, . Suponhamos que )(xf admita 
uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(' xf existe e é diferente de zero para qualquer ( )bax ,∈ , 
então ( ))(' 
1
)(' 
1)(' valee derivável é 1
ygfxf
ygfg === − .
Demonstração:
Sejam )()( e )( xfxxfyxfy −∆+=∆= . Observamos que, como f possui uma inversa, se 
0≠∆ x temos que )()( xfxxf ≠∆+ e, portanto, 0≠∆ y . Como f é contínua, quando 0→∆ x temos que 
0→∆ y .
Da mesma forma, quando 0→∆ y , então )()( ygyygx −∆+=∆ também tende a zero.
Por outro lado, para qualquer )(xfy = vale a identidade:
x
xfxxfxfxxf
x
xfxxf
xxx
y
ygyyg
∆
−∆+=
−∆+
∆
=
−∆+
−∆+
=
∆
−∆+
)()(
1
)()()()(
)()()(
.
Como )(' xf existe e é diferente de zero para qualquer ( )bax ,∈ obtemos 
)(' 
1
)()(lim
1)()(lim
0
0 xf
x
xfxxfy
ygyyg
x
y
=
∆
−∆+=∆
−∆+
→∆
→∆ .
Concluímos que )(' 
1)(' valee existe)(' 
xf
ygyg = . 
Exemplos:
1- Seja 34)( −== xxfy . A sua inversa é dada por )3(
4
1)( +== yygx . Temos 
4
1)(' e 4)(' == ygxf .
2- Seja 38xy = . Sua inversa é 3
2
1 yx = .
Como 224' xy = é maior que zero para todo x ≠ 0 temos 3
22
3
2
6
1
2
124
1
24
1
yy
xdy
dx
=


== .
Para x = 0 temos y = 0 e 0' =y . Logo, não podemos aplicar o teorema para x = 0.
4.13- Derivadas das Funções Elementares
4.13.1 – Derivada da Função Exponencial
Se xay = , sendo 1 e 0 ≠> aa , então aay x ln.' = . Em particular, se xey = , então xx eeey == ln.' .
Demonstração:
Seja xaxfy == )( . Temos:
aa
h
aa
h
aa
h
aa
h
xfhxfxf x
h
h
x
h
hx
h
xhx
hh
ln.1lim . lim)1(limlim)()(lim)(' 
00000
=
−
=
−
=
−
=
−+
=
→→→
+
→→
.
71
4.13.2 – Derivada da Função Logarítmica
Se xy alog= , sendo 1 e 0 ≠> aa , então ex
y alog
1' = . Em particular, se xy ln= , então
x
e
x
y 1ln1' == .
Demonstração: 
Seja xxfy alog)( == . Temos:
=

 


+=

 

 +
=
+
=
−+
=
−+
=
→→→→→ x
h
hx
hx
hh
x
hx
h
xhx
h
xfhxfxf ahah
a
h
aa
hh
1log1limlog1lim
log
limlog)(loglim)()(lim)(' 
00000
=












+=












+=












+=






+=


+=
→→→→→
x
x
h
ha
h
ha
h
ha
h
ha
h
ah
h
x
h
x
h
x
h
h
x
h
x
h
.
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
11limlog11limlog1limlog1limlog1loglim
e
x
e
h
x a
x
a
x
h
x
ha
log.1log11limlog
1
1
0
==






















+=
→
.
4.13.3 – Derivada da Função Exponencial Composta
Se vuy = , onde )( e )( xvvxuu == são funções de x, deriváveis num intervalo aberto I e 0)( >xu , 
Ix ∈∀ , então ' . ln. ' ..' 1 vuuuuvy vv += − .
Demonstração: 
Usando as propriedades de logaritmos, podemos escrever uvuv eeuy
v ln.ln
=== . Assim, ))(( xgofy = , 
onde ln.)( e )( uvxfwewg w === .
Como existem as derivadas ' . ln' .
.
1.)(' e )(' vuu
u
vxfewg w +== , pela regra da cadeia temos:
' . ln.' ..' . ln.' ..' . ln' .' . ln' ..)(' ).(' ' 1ln. vuuuuvvuu
u
uvuvu
u
uvevu
u
uvexfwgy vvvvuvw +=+=


+=


+== − .
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções 
exponencial e logarítmica:
' . ln.' )1 e 0( uaayaaay uu =⇒≠>= 
' .' ueyey uu =⇒= 
e
u
uyaauy aa log
' ' )1 e 0( log =⇒≠>= 
u
uyuy ' ' ln =⇒= 
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a) 132 23 −+= xxy
72
b) 
x
y 


=
2
1
c) 1
1
−
+
=
x
x
ey
d) xxey ln.=
e) )173(log 22 −+= xxy
f) 



+
=
1
ln
x
ey
x
g) ( ) 122 1 −+= xxy
4.13.4 – Derivadas das Funções Trigonométricas
a) Derivada da Função Seno
Se senxy = , então xy cos' = .
Demonstração: 
=
+
=
+
=
++−+
=
−+
=
→→→→→ 2
2coslim.
2
.2
2
2
lim2
2cos.
2
2
lim2
cos.
2
2
lim)(lim' 
00000
hx
h
hsen
h
hxhsen
h
xhxxhxsen
h
senxhxseny
hhhhh
xx coscos.1 == .
 
b) Derivada da Função Cosseno
Se xy cos= , então senxy −=' .
Demonstração: 
=
+
−=
+
−
=
−+++
−
=
−+
=
→→→→→
2
.2
2lim.
2
2lim22
.
2
22
lim2
.
2
2
limcos)cos(lim' 
00000 h
hsenhxsen
h
hsenhxsen
h
xhxsenxhxsen
h
xhxy
hhhhh
senxsenx −=−= 1.
2
1.2 .
73
c) Derivadas das demais Funções Trigonométricas
Como as demais funções Trigonométricas são definidas a partir do seno ou cosseno, podemos usar as 
regras de derivação para encontrar suas derivadas.
Por exemplo, se 
x
senxtgxy
cos
== então x
xx
xsenx
x
senxsenxxxy 222
22
2 seccos
1
cos
cos
)(cos
)(cos.cos' ==+=−−= .
Analogamente, encontramos:
xygxy 2seccos' cot −=⇒= 
tgxxyxy .sec' sec =⇒= 
gxxyxy cot.seccos' seccos −=⇒= 
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções 
trigonométricas:
' . cos' uuysenuy =⇒= 
' . ' cos usenuyuy −=⇒= 
' . sec' 2 uuytguy =⇒= 
' . seccos' cot 2 uuyguy −=⇒= 
' . . sec' sec utguuyuy =⇒= 
' . co . seccos' seccos utguuyuy −=⇒= 
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a) )( 2xseny =
b) 


=
x
y 1cos
c) xgxtgy 3cot3 +=
d) gx
xy
cot1
cos
+
=
e) )73sec( 2 ++= xxy
f) 


−
+
=
1
1seccos
x
xy
74
4.13.5 – Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
a) Derivada da Função Arco Seno
Seja [ ] 


−→−
2
,
2
1,1: pipif definida por senxarcxf )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( )1,1− e 21
1' 
x
y
−
= . 
Demonstração: 
Sabemos que: 


−∈=⇔=
2
,
2
 , pipiysenyxarcsenxy . Como ' )(seny existe e é diferente de zero para 
todo 


−∈
2
,
2
pipiy , aplicando o teorema da função inversa obtemos:
( )1,1 para , 
1
1
1
1
cos
1
' )(
1' 
22
−∈
−
=
−
=== x
xysenyseny
y .
b) Derivada da Função Arco Cosseno
Seja [ ] [ ]pi,01,1: →−f definida por xarcxf cos )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( )1,1− e 21
1' 
x
y
−
−
= . 
Demonstração: 
Usando a relação senxarcxarc 
2
cos −= pi obtemos:
( ) ( )1,1 para , 
1
1' 
2
' cos ' 
2
−∈
−
−
=


−== x
x
senxarcxarcy pi .
c) Derivada da Função Arco Tangente 
Seja 


−→
2
,
2
: pipiRf definida por tgxarcxf )( = .
Então )(xfy = é derivável e 21
1' 
x
y
+
= . 
Demonstração: 
Sabemos que: 


−∈=⇔=
2
,
2
 , pipiytgyxarctgxy . Como ' )(tgy existe e é diferente de zero para todo 



−∈
2
,
2
pipiy , aplicando o teorema da função inversa obtemos:
222 1
1
1
1
sec
1
' )(
1' 
xytgytgy
y
+
=
+
=== .
75
d) Derivada da Função Arco Cotangente
Seja ( )pi,0: →Rf definida por xarcxf cotg )( = .
Então )(xfy = é derivável e 21
1' 
x
y
+
−
= . 
Demonstração: 
Usando a relação tgxarcgxarc 
2
cot −= pi obtemos:
( ) 21
1' 
2
' cot ' 
x
tgxarcgxarcy
+
−
=


−==
pi
.
e) Derivada da Função Arco Secante
Seja ( ] [ ) 


∪


→+ ∞∪−∞− pi
pipi ,
22
,0,11,:f definida por xarcxf sec )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,11, e 
1
1' 
2
−
=
xx
y . 
Demonstração: 
Usando a relação 


=
x
arcxarc 1cos sec e a regra da cadeia obtemos:
( ) =
−
=
−
=
−
−
−
=





−
−
=

 


==
x
xx
x
xxx
x
x
x
arcxarcy
1.
1
1.
11.
1
1' 
x
1.
11
1' 
x
1cos ' sec ' 
22
2
222
2
22
1 onde , 
1.
1
1. 222
>
−
=
−
= x
xxxx
x
.
f) Derivada da Função Arco Cossecante
Seja ( ] [ ) 


∪


−→+ ∞∪−∞−
2
,00,
2
,11,: pipif definida por xarcxf cossec )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,11, e 
1
1' 
2
−
−
=
xx
y . 
Demonstração: 
Usando a relação 


=
x
senarcxarc 1 cossec e a regra da cadeia obtemos:
( ) =
−
−
=
−
−
=
−
−
=





−
=

 


==
x
xx
x
xxx
x
x
x
senarcxarcy
1.1
1.
11.
1
1' 
x
1.
11
1' 
x
1 ' cossec ' 
22
2
222
2
22
1 onde , 
1.
1
1. 222
>
−
−
=
−
−
= x
xxxx
x
.
76
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções 
trigonométricas inversas:
21
' ' 
u
uysenuarcy
−
=⇒= 
21
' ' cos 
u
uyuarcy
−
−
=⇒= 
21
' ' 
u
uytguarcy
+
=⇒= 
21
' ' cot 
u
uyguarcy
+
−
=⇒= 
1.
' ' sec 
2
−
=⇒=
uu
uyuarcy 
1.
' ' seccos 
2
−
−
=⇒=
uu
uyuarcy 
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a) )1( += xsenarcy
b) 



+
−
= 2
2
1
1 
x
xtgarcy
4.13.6 – Derivadas das Funções Hiperbólicas
Como as Funções Hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, podemos 
determinar suas derivadas usando as regras de derivação já estabelecidas. 
Por exemplo, se ( ) ( ) xeeeeyeesenhxy xxxxxx cosh
2
1)1(
2
1' então 
2
=+=−−=
−
==
−−
−
.
Analogamente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas.
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções 
hiperbólicas:
' . cosh' uuysenhuy =⇒= 
' . ' cosh usenhuyuy =⇒= 
' . sec' 2 uuhytghuy =⇒= 
' . seccos' cot 2 uuhyghuy −=⇒= 
' . . sec' sec utghuhuyhuy −=⇒= 
' . co . seccos' seccos utghuhuyhuy −=⇒= 
77
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a) )3( 3 += xsenhy 
b) )2(sec xhy =
c) [ ])3(ln xtghy =
d) )1(cot 3xghy −=
4.13.7 – Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas
Vimos que senhxy arg= pode ser expresso na forma ( )1ln 2 ++= xxy . Assim, 
( ) ( )
1
1
1
1.
1
1
1
1
1
1
2.1
2
11
1
' 1' 
222
2
2
2
2
2
1
2
2
2
+
=
+++
++
=
++
+
+
=
++
++
=
++
++
=
−
xxxx
xx
xx
x
x
xx
xx
xx
xxy .
Analogamente obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas inversas.
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções 
hiperbólicas inversas:
1
' ' arg
2 +
=⇒=
u
uysenhuy 
1 , 
1
' ' cosharg
2
>
−
=⇒= u
u
uyuy 
1 , 
1
' ' arg 2 <
−
=⇒= u
u
uytghuy 
1 , 
1
' ' cotarg 2 >
−
=⇒= u
u
uyghuy 
10 , 
1
' ' secarg
2
<<
−
−
=⇒= u
uu
uyhuy 
0 , 
1
' ' seccosarg
2
≠
+
−
=⇒= u
uu
uyhuy 
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a) 22 cosharg. xxy =
b) )3(arg xsentghy =
c) 1arg. 2 +−= xsenhxxy
78
4.14- Tabela Geral de Derivadas
Sejam u e v funções deriváveis de x e c, α e a constantes.
79
4.15- Exercícios
Páginas 159, 160, 161, 162 e 163 do livro texto.
4.16- Derivadas Sucessivas
Definição
 Seja f uma função derivável. Se ' f também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada 
segunda de f e é representada por '' f (lê-se f duas linhas) ou 2
2
dx
fd (lê-se derivada segunda de f em 
relação a x).
 Se '' f é uma função derivável, sua derivada, representada por ''' f , é chamada derivada terceira de f.
 A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f , representada por (n) f , é obtida derivando-se a 
derivada de ordem (n – 1) de f. 
Exemplos:
1- Se 183)( 2 ++= xxxf , então 6)('' e 86)(' =+= xfxxf .
2- Se tgxxf =)( , então tgxxtgxxxxfxxf .sec2.sec.sec2)('' e sec)(' 22 === .
3- Se 1)( 2 += xxf , então
( ) ( ) ( ) ( ) ( )32
2
2
2
1
22
3
22
1
22
1
2
11
11.12.1.
2
1.)('' e 12.1
2
1)(' 
+
−
+
=+++


−=+=+=
−−−−
x
x
x
xxxxxfxxxxxf .
4- Se 25 83)( xxxf += , então
6 ,0)( e 360)( , 360)( , 180)(''' , 1660)('' , 1615)(' )()5()4(234 ≥====+=+= nxfxfxxfxxfxxfxxxf n .
5- 2)(
x
exf = , então 2
)(222
2
1 , 
8
1)(''' , 
4
1)('' , 
2
1)(' 
x
n
n
xxx
efexfexfexf ==== .
6- Se senxxf =)( , então senxfxxfsenxxfxxf =−=−== )4( , cos)(''' , )('' , cos)(' , ou seja,



=
=−
=−
=
=
 ,...12,8,4 para , 
,...11,7,3 para , cos
,...10,6,2 para , 
,...9,5,1 para , cos
)()(
nsenx
nx
nsenx
nx
xf n .
80
4.17- Derivação Implícita
Definição – Função na forma implícita
 Consideremos a equação 0),( =yxF . Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela 
equação 0),( =yxF , se substituirmos y por )(xf em 0),( =yxF , esta equação se transforma em uma 
identidade.
Exemplos:
1- A equação 01
2
12
=−+ yx define implicitamente a função )1(2 2xy −= .
De fato, substituindo )1(2 2xy −= na equação 01
2
12
=−+ yx , obtemos a identidade 01)1(2.
2
1 22
=−−+ xx .
2- A equação 422 =+ yx define implicitamente uma infinidade de funções. 
Por exemplo, 22 , onde , 
2 se , 4
2 se , 4
)( , 4 , 4
2
2
22 <<−∈



<≤−−−
≤≤−
=−−=−= cRc
cxx
xcx
xhxyxy c .
3- Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida implicitamente, como por 
exemplo )(xfy = definida implicitamente pela equação 0ln234 =++ yxyy .
A Derivada de uma Função na Forma Implícita
 Suponhamos que 0),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . Os exemplos que 
seguem mostram que, usando a regra da cadeia, podemos determinar ' y sem explicitar y.
1- Sabendo que )(xfy = é uma função derivável definida implicitamente pela equação 422 =+ yx , 
determinar ' y .
81
2- Sabendo que )(xfy = é definida pela equação yxyxy 22 32 −=+ , determinar ' y .
3- Se )(xfy = é definida por 0.22 =+ senyxyx , determinar ' y .
4- Determinar a equação da reta tangente à curva 01
2
12
=−+ yx no ponto ( )0,1− .
5- Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à circunferência de centro ( )0,2 e raio 2, nos 
pontos de abscissa 1. 
 4.18- Exercícios
Páginas 176 e 177 do livro texto (números 1 ao 22).
82