Lista Limites 3

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Universidade Federal do Ceara´
Campus Quixada´
Monitoria Ca´lculo I
Lista 3 - Limites Infinitos, Limites no Infinito e Limites de Sequeˆncias.
Calcule
1. lim
x→+∞
5x3 + 7x− 3
x4 − 2x + 3
3. lim
x→−∞
x4 − 2x + 3
3x4 + 7x− 1
5. lim
x→+∞
x + 1
x2 − 2
7. lim
x→+∞
√
x + 1
x + 3
9. lim
x→+∞(2x−
√
x2 + 3)
11. lim
x→+∞(x−
√
x2 + 3)
13. lim
x→+∞(
√
x +
√
x−√x− 1)
15. lim
x→ 1
2
+
3x + 1
4x2 − 1
17. lim
x→1+
2x + 3
x2 − 1
19. lim
x→−1+
2x + 1
x2 + x
21. lim
x→1+
3x− 5
x2 + 3x− 4
23. lim
x→−1+
3x2 − 4
1− x2
2. lim
x→−∞
2x + 3
x + 1
4. lim
x→−∞
5− x
3 + 2x
6. lim
x→+∞
2 + x
3 + x2
8. lim
x→+∞
x +
√
x + 3
2x− 1
10. lim
x→+∞(x−
√
3x3 + 2)
12. lim
x→+∞(x−
√
x + 3)
14. lim
x→+∞(x−
3
√
2 + 3x3)
16. lim
x→1−
2x + 3
x2 − 1
18. lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x + 9
20. lim
x→0+
2x + 1
x2 + x
22. lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x + 4
24. lim
x→0+
sinx
x3 − x2
Nos exerc´ıcios de 25 a 33, calcule
25. lim
n→+∞
2n− 3
n + 1
27. lim
n→+∞
n + 1
n
29. lim
n→+∞
[
(−1)n
n
+ 2
]
31. lim
n→+∞
1 + 5n
2 + 3n
33. lim
n→+∞
n∑
k=0
tk onde 0 < t < 1
26. lim
n→+∞(n
2 + 3)
28. lim
n→+∞
n2 + 2
2n3 + n− 1
30. lim
n→+∞
[
2
n
+
(
3
5
)n]
32. lim
n→+∞
n∑
k=0
(
1
3
)k
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34. Supondo 0 < a < 1, mostre que
lim
n→+∞
n∑
k=1
ak =
a
1− a
35. Calcule lim
n→+∞
1
n3
n∑
k=1
k2
(Sugesta˜o: Verifique que 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
1
6
n(n + 1)(2n + 1))
36. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo 0x com acelerac¸a˜o constante a, a > 0. Suponha que no instante
t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante t e´, enta˜o, dada por v(t) = at. Divida o intervalo
de tempo [0, T ] em n intervalos de amplitudes iguais a
T
n
. No instante
T
n
a velocidade sera´
aT
n
, no
instante
2T
n
, sera´
2aT
n
etc. Supondo n sufientemente grande, o espac¸o percorrido entre os instantes
T
n
e
2T
n
sera´ aproximadamente
aT
n
.
T
n
(por queˆ?); entre os instantes
2T
n
e
2T
n
o espac¸o percorrido sera´
aproximadamente
2aT
n
.
T
n
etc.
a) Calcule lim
n→+∞
[
aT
n
T
n
+
2aT
n
T
n
+ ... +
(n− 1)aT
n
T
n
]
b) Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima.
37. Sabe-se que a sequencia a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, ..., e´ convergente. Calcule lim
n→+∞ an.
38. Sabe-se que a sequencia
√
2,
√
2 +
√
2,
√
2 +
√
2 +
√
2, ..., e´ convergente. Calcule seu limite.
Nos exerc´ıcios de 39 a 46, calcule
39. lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
41. lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x
43. lim
x→+∞
(
x + 2
x + 1
)x
45. lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
40. lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
42. lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x+1
44. lim
x→0
(1 + 2x)x
46. lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
47. Seja a > 0, a 6= 1. Mostre que
lim
h→0
ah − 1
h
= ln a
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Nos exerc´ıcios de 48 a 51, calcule
48. lim
x→0
e2x − 1
x
50. lim
x→0
5x − 1
x
49. lim
x→0
ex
2 − 1
x
51. lim
x→0+
3x − 1
x2