Instrumento e medidas

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Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 104
4. - AS PONTES DE MEDIDA E SUAS APLICAÇÕES 
 
4.1 - INTRODUÇÃO 
 
 Nos instrumentos de medida analógicos o número medido obtém-se por leitura do 
desvio do ponteiro sobre uma escala graduada. 
 Esta forma de medida implica que o instrumento esteja calibrado e o método é 
directo ou de deflexão. 
 Vimos que existem outros métodos que não necessitam de aparelhos calibrados 
como é o caso dos métodos de Zero. 
 Neste método o instrumento deve indicar a anulação da grandeza (tensão ou 
corrente) no circuito de medida. 
Assim o instrumento deve ser sensível mas não precisa de estar calibrado. 
São os chamados Detectores de Zero. 
 Neste método a anulação da grandeza a medir dá-se apenas em certas condições, 
isto é , quando se verificam certas relações entre grandezas em jogo. 
 Essas condições designam-se por CONDIÇÕES DE de EQULIBRIO e são 
representadas por equações que relacionam as grandezas do circuito. 
O número de equações são: 
 1- em corrente contínua 
 2-em corrente alternada. 
Para obter a condição de equilíbrio o utilizador regula o funcionamento do circuito 
através de determinados parâmetros físicos. 
 
Nas Pontes de medida também se pode utilizar o método de deflexão, sendo vulgar, neste 
caso que um ou vários braços da ponte sejam sensores. 
 
4.2 - PONTES DE CORRENTE CONTÍNUA E SUAS APLICAÇÕES 
Ponte de Wheatstone. 
 Representada na figura 4.1 é constituída por : 
- quatro braços resistivos; 
- uma fonte de tensão; 
- um detector de zero. 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 105
A
B
C DG
E
R1 R2
R3
R4
I1 I2
I4I3
Braços Fracionários
Braço Padrão
Braço Desconhecid
 
Fig. 4.1 - Ponte de Wheatstone. 
 
 A ponte diz-se equilibrada quando a corrente no galvanómetro, ou a diferença 
de potencial nos seus terminais é nula. 
 
 A situação de equilíbrio verifica-se quando UAC=UAD ou seja 
I1R1=I2R2 
Sendo nula a corrente tem-se 
I1=I3= E
R R1 3+ 
e 
I2=I4= E
R R2 4+ 
Substituindo na equação das tensões 
E
R R1 3+ .R1=
E
R R2 4+ .R2 
 
Simplificando 
R
R R
R
R R
R R R R1
1 3
2
2 4
1 4 2 3+ = + ⇒ = 
 
Se R4 é desconhecida pode ser calculada pelo padrão vezes a relação R2/R1. 
 
O detector deve ter sensibilidade suficiente para indicar com precisão o situação 
de equilíbrio, isto é, deve detectar correntes muito pequenas. 
 
 
 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 106
 
 
 UTILIZAÇÃO DA PONTE DE WHEATSTONE 
 Medição de resistências de 1 Ω a alguns MΩ com precisão 
 ERROS DE MEDIDA 
Os erros que podem ser cometidos são normalmente resultantes de: 
1º- Erros nas especificações das restantes resistências ( é a principal causa) 
2º- Sensibilidade insuficiente do detector de zero. 
3º Variações do valor das resistências nos braços devido ao aquecimento provocado pelas 
correntes. Será conveniente salientar que a resistência varia com a temperatura segundo 
uma expressão do tipos: 
RT= R20º [1+a(T-20)] 
 
A potência dissipada deve ser calculada, ou estimada a sua ordem de grandeza, antes da 
medição. 
4º- Erros devidos às resistências dos fios condutores e dos contactos externos à ponte 
 São importantes na medição de resistências pequenas. 
 
Sensibilidade da ponte na vizinhança do equilíbrio 
 
A tensão U entre os pontos C e D, depois de retirado o detector e desprezando a 
resistência interna do gerador é dada por: 
U=R2I2-R1I1 
= E
R R2 4+ .R2 - 
E
R R1 3+ .R1=E (
R2
R2 + R4
− +
R
R R
1
1 3
) 
Na situação de equilíbrio U=0 
vindo: 
R2
R2 + R4
− +
R
R R
1
1 3
=0 
e R1R4=R2R3 
 
Se existir um erro ∆R3 na resistência de regulação o detector em vez de marcar zero 
marcará ∆U , ou seja, existirá um pequeno desequilíbrio. 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 107
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
U E R
R R
R
R R R
E R R R R R R R
R R R R R
E R R R R R R R r R R
R R R R R
= + − + + =
= + + − ++ + +
= + + − −+ + +
( )
( ( ) ( )
( )( )
( )( )
2
2 4
1
1 3 3
2 1 3 3 1 2 4
2 4 1 3 3
1 2 2 3 2 3 1 2 1 4
2 4 1 3 3
 
Como R1R4=R2R3 e desprezando ∆R3 face a R1+R3 
teremos: 
∆ ∆U E R R
R R R R
= + +
2 3
2 4 1 3( )( )
 
 
Dividindo ambos os membros por R3R4 
virá: 
∆
∆
U E
R
R
R
R
R
R
R
R
=
+ +
2
4
3
3
2
4
1 1
3
1( )( )
 
Da condição de equilíbrio R1R4=R2R3 vem R1/R3=R2/R4=X 
e 
∆
∆
U E
X R
R
X X
= + +
3
3
1 1( )( )
 
A sensibilidade da ponte é S= ∆∆
U
R
R
E X
X3
3
1 2
= +( ) 
A sensibilidade é máxima quando X=1 isto é 
R1/R3=R2/R4=1 
ou R1=R3 e R2=R4 
 
CONCLUSÕES: 
A sensibilidade é máxima para a resistência opostas iguais e cresce com a tensão de 
alimentação. 
 
NOTA IMPORTANTE: Se o equilíbrio é detectado por um galvanómetro o estudo em 
tensão é incompleto. A análise em corrente é fastidiosa e inútil. 
Considerando o estudo em tensão estamos a partir do princípio que o detector tem uma 
resistência elevada não alterando o circuito e tornando válido o estudo em tensão. 
 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 108
A sensibilidade da ponte relaciona-se com a corrente mínima que o galvanómetro pode 
detectar. 
Galvanómetros diferentes implicam: 
Sensibilidades diferentes -(deflexão por unidade de corrente) 
Resistências internas diferentes 
 
NA PRÁTICA 
Faz-se R2=R4 para se obter a sensibilidade máxima 
e R2/R1 para fixar as casas decimais desejadas já que 
R4=R3.(R2/R1) 
 
DEMONSTRAÇÃO DA CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO-Estudo da corrente no detector 
 
Dado que interessa conhecer a corrente no galvanómetro, converte-se a ponte no seu 
equivalente de Thévenin visto dos terminais do detector de zero. O circuito equivalente 
visto dos terminais DC é constituído por uma fonte em série com uma resistência 
equivalente. 
1º Tensão de Thévenin 
ETh=UDC=UDA-UAC=-UAD+UAC=UAC-UAD=I1R1-I2R2 
como I1= E
R R1 3+ 
e I2= E
R R2 4+ 
vem 
ETh=E[
R
R R
R
R R
1
1 3
2
2 4+ − + ] 
2º Resistência Equivalente 
 
Substituindo a fonte pela sua resistência interna Ri a resistência vista dos terminais CD é 
RTh o circuito poderia ser simplificado pela transformação triângulo - estrela. 
 No entanto, na maior parte dos casos Ri=0 e o circuito passa a ser equivalente à 
associação em série de dois paralelos R1//R3 +R2//R4, ver figura 4.2. 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 109
A
C
D
R1 R2
R3
R4
I1 I2
I4I3
Ri
A
C
D
R1 R2
R3
R4
I1 I2
I4I3
Ri=0
 
Fig. 4.2 - Resistência equivalente de Thévenin 
R R R
R R
R R
R RTh
= + + +
1 3
1 3
2 4
2 4
 
O circuito virá então com a forma representada na figura 4.3: 
GETh
D
C
Rg
Ig
 
Fig. 4.3 - Circuito equivalente 
A corrente no galvanómetro vem dada por: 
Ig E
R R
Th
Th g
= + 
Conhecendo a sensibilidade do Galvanómetro, Si=α/Ig, podemos calcular a 
sensibilidade da ponte para pequenos desvios. 
A aplicação do teorema de Thévenin usa-se para determinar a resposta do galvanómetro. 
Resumindo: 
 O limite superior da resistência a determinar com esta ponte é imposto pela 
redução da sensibilidade ao desequilíbrio. 
 Essa redução de sensibilidade pode ser provocada pelo valor elevado das 
resistências. A resistência equivalente de Thévenin torna-se alta e a corrente no 
galvanómetro muito reduzida. 
 O limite inferior é imposto pela resistências das ligações e pontos de contacto 
 
Para resistências baixas utilizam-se outras pontes como por exemplo a de Kelvin. 
 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 110
OUTRAS PONTES DE MEDIDA (com base na ponte de Wheatstone) 
 
PONTE DE KELVIN e 
PONTE DUPLA DE THOMSON - Utiliza-se para medir resistências de valor inferior a 
1Ω(10-5 a 1Ω ).Com esta ponte elimina-se a resistência das ligações externas. 
PONTE MEGOHM - Utiliza-se para resistências elevadas >10Mega 
 
 
4.3 - PONTES EM CORRENTE ALTERNADA E SUAS APLICAÇÕES. 
 
 As pontes para corrente alternada são extensões das pontes em corrente contínua. 
 Têm a mesma constituição em termos do número de braços, a fonte de excitação é 
alternada e detector de zero que deve reagir a correntes alternadas em situações de 
desequilíbrio. 
 Os detectores de zero podem ser: 
 1-par de auscultadores 
 1 -osciloscópio 
 1 -electrómetro 
 1 amperímetro de corrente alternada. 
 Podendo incluir amplificador de AC. 
Os 4 braços da ponte, figura 4.4 ,serão agora descritos pelas impedâncias complexas 
correspondentes. Z1; Z2; Z3; Z4 
A condição de equilíbrio das pontes em CA obtém-se quando o detector indicar zero e 
deve-se utilizar a notação complexa. 
A condição de corrente nula no detector virá então: 
A
C
D
Z1 Z2
Z3
Z4
I1 I2
I4I3
DG
 
Fig.4.4 - Ponte em corrente alternada. 
V VAD AC= 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 111
I Z1 I2Z2
I
Z1 Z3
I2
Z2 Z4
Z1 Z3
Z1
Z2 Z4
Z2
Z1Z4 Z2Z3
Y1Y4 Y2Y3
1
1
=
= +
= +
+ = +
=
=
E
E
E E
ou
 
Condição de equilíbrio em corrente alternada 
 
 Como já sabemos igualdade entre dois valores complexos implica a verificação 
de: 
 1- partes reais iguais e partes imaginárias iguais 
ou 
 2-Módulos e argumentos iguais 
 
Z1Z4=Z2Z3 e Θ1+Θ4=Θ2+Θ3 
Em que: 
- Θé positivo numa impedância indutiva; 
- Θ é negativo numa impedância capacitiva. 
 
 A condição de fases é útil já que com uma rápida vista de olhos, é possível 
verificar se pode haver equilíbrio. 
 
Exemplo: 
As quatro impedâncias de uma ponte (figura anterior) são definidas em termos de módulo 
e argumento. 
Z1=200 /60º 
Z2=400/-90º 
Z3=300/0º 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 112
Z4=600/30º 
Determine se a ponte está equilibrada: 
a 2ª condição implica a igualdade da soma dos argumentos 
Θ1+Θ4=Θ2+Θ3 
60+30=-90+0 que não se verifica donde, mesmo que a 1ª condição se verifique a ponte 
não se encontra equilibrada. 
 
Ponte de comparação de indutâncias e de capacidades. 
 
 As pontes de comparação em corrente alternada são pontes simplificadas que 
permitem a medição de indutâncias e capacidades por comparação com indutâncias ou 
capacidades conhecidas. Para a determinação, por comparação de uma capacidade têm o 
esquema tipo da figura 4.5 
 
A
C
D
Z1 Z2
Z3 Z4
I1 I2
I4I3
DG
 
Fig. 4.5 - Ponte de comparação de capacidades 
Os braços fraccionários são resistivos R1 e R2 
O braço padrão C3 em série com R3 
Braço desconhecido Cx em Série com Rx (no braço 4) 
R3 representa a resistência de fugas do condensador (perdas) 
A condição geral de equilíbrio é: 
R Rx j
wCx
R R j
wC
1 1 2 3 1
3
( ) ( )− = − 
Desdobrando nas duas condições de equilíbrio, pela separação de partes reais e partes 
imaginárias. 
R Rx R R Rx R R
R
R
wCx
R
wC
Cx C R
R
1 2 3 2 3
1
1 2
3
3 1
2
= ⇒ =
= ⇒ =
 
 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 113
Para satisfazer as duas condições de equilíbrio a ponte deve ter dois elementos variáveis. 
 
Escolha dos elementos: 
Teoricamente podem ser quaisquer dois: R1,R2,R3 e C3 
Na Prática C3 é o condensador padrão que para ser preciso não é fácil, por construção ser 
variável- Tem normalmente um valor fixo. 
R3 não aparece nas duas equações de equilíbrio. O ajuste de R3, se for escolhido 
variável, só afecta o ajuste da relação onde consta R3 não tendo qualquer interacção na 
outra relação o que é vantajoso. 
Restam-nos dois elementos R1 e R2 para ajuste. Pode ser qualquer um destes. 
1º AJUSTE 
É realizado em R1 (ou em R2) até se atingir um mínimo. 
O som nos auscultadores, se utilizado como detector de zero, não desaparece já que a 
resistência de fugas é baixa e o ajuste de R1 equilibra o termo capacitivo. 
2ºAJUSTE 
É realizado com R3 até se atingir novo mínimo. 
 
Devem-se fazer ajustes sucessivos R1,R3,R1,R3 até se atingir a saída nula nos 
auscultadores. 
Os ajustes são alternados pois quando se varia R1 afecta-se simultaneamente as duas 
condições de equilíbrio. 
 
É o ajuste típico das pontes em corrente alternada. 
 
NOTA: O equilíbrio desta ponte é independente da frequência. Mas se o detector é um 
auscultador a frequência utilizada deve ser na gama audio 
 
A ponte de comparação de indutâncias é semelhante à ponte anterior mas em que os 
condensadores são substituídos por bobines. 
 
Ponte de Maxwell 
 
Serve para medir indutâncias em função de uma capacidade conhecida ( capacidade 
padrão) 
 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 114
 As vantagens desta ponte são: 
 1- volume reduzido; 
 2- facilidade de blindagem do condensador padrão. 
Tem a configuração da figura 4.6. 
A
C
D
R1 Z2
Z3 Z4
I2
I4I3
DG
C1
 
Fig.4.6 Ponte de Maxwell 
 
as condições de equilíbrio são: 
Z Zx Z Z Zx Z Z Y
Rx JwLx R R
R
jwC
Rx R R
R
1 2 3 2 3 1
2 3 1
1
1
2 3
1
= ⇒ =
⇒ + = + ⇒
=
( )
 e Lx = R2R3C1
 
 
A ponte de Maxwell está limitada à medida de bobines de baixo Q (1<Q<10), em que Q é 
o factor de qualidade da bobine e que é dado por Q=wL/R, já que os condensadores 
padrão, normalmente encontrados no mercado, apresentam capacidades baixas, da ordem 
dos,µF, nF e pF e só com a associação R C paralelo se consegue obter um argumento, 
ângulo Θ, pequeno e de sinal contrário ao da indutância. 
 
 
O ajuste de R1 não levanta problemas já que apenas influi na parte resistiva. 
Mas o ajuste de R3 (ou R2) influi nas duas condições de equilíbrio. 
 
Ponte de Hay 
 
 É utilizada para medir indutâncias de Q elevado. 
 É uma modificação da ponte de Maxwell e apresenta uma configuração típica da 
figura 4.7. 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 115
Tem pelas razões apontada, o braço capacitivo formado por um condensador em série 
com uma resistência de modo a simular um Θ elevado. 
A
C
D
R1 Z2
Z3 Z4
I2
I4I3
DG
C1
 
Fig.4.7 - Ponte de Hay 
 
 Se Q é elevado então o argumento do braço 4 é próximo de 90º 
pelo que o do braço 1 deve ser aproximadamente -90º isto é R1 deve ser baixo e C1 é 
normalmente baixo (por construção). 
R1
Z1
-jXc
Θc
 
Dedução das condições de equilíbrio 
 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 116
Z Zx Z Z
R j
wC
Rx jwLx R R
R Rx Lx
C
j Rx
wC
wLxR R R
R R
WLxR Rx
wC
R Rx Rx
w R C
R R
Lx Rx
w R C
Rx R R
R
w R C
w C R R R
w R C
e
Lx R R C
w R C
1 2 3
1 1
1
2 3
1
1 1
1 2 3
2 3
1
1
1
1 1
2 3
1 1
2 3
1 1
1 1
1 1 2 3
1 1 1
2 3 1
1 1 1
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
=
− + =
+ + − + =
=
=
+ =
=
=
+
= +
= +
( )( )
( )
Separando as partes reais e imaginária
R1Rx + Lx
C1
 
Verificamos assim que a condição de equilíbrio (duas equações) depende da frequência. 
que deve ser conhecida. 
 
NOTA: 
A condição de equilíbrio para os argumentos é ΘC+ ΘL=0 ou seja: 
-ΘC=ΘL 
 
Como tan ΘL= wLxRx Q= e tan ΘC=
1
1 1wR C
Q= 
vem Q= 1
1 1wR C
 
Lx R R C
Q
Rx
R R
R
Q
=
+
= +
2 3 1
1 1
2 3
1
1
2
2
( )
 
Para Q elevado teremos: 
Lx=R2R3C1 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 117
independente da frequência. 
Para Q<10 temos de ter em conta a frequência e é preferível utilizar a ponte de Maxwell 
 
Ponte de Schering 
 Serve para medir condensadores de baixas perdas 
Tem o esquema da figura 4.8.: 
A
C
D
R1 Z2
Z3 Z4
DG
C1
 
Fig.4.8 - Ponte de Schering 
O braço padrão: é o condensador C3 a quecorresponde um argumento ≅ -90º 
Pode ser do tipo: 
 Condensador de Mica de elevada qualidade para medidas gerais 
 Condensador de ar para baixos campos eléctricos para medidas de isolamento 
Braço 1 = resistência e condensador em paralelo 
pela condição dos argumentos podemos concluir: 
Θ3=-90º Θ2=0º donde 
Θ1+Θx=-90 
Como Θx é ligeiramente inferior a - 90º podemos escrever 
Θ1-90+∆=-90º 
Θ1=-∆ 
• que implica que este braço 1 deve ser ligeiramente capacitivo pelo que se deve utilizar 
um condensador em paralelo com uma resistência de modo a obter-se um 
• ângulo Θ1 pequeno. 
∆
wC1
1/R1
Y1
 
 C1 é pequeno e R1 também é pequeno 
 
A condição de equilíbrio é dada pela igualdade: 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 118
Z1Zx=Z2Z3 
Zx=Z2Z3Y1 
Rx j
wCx
R j
wC R
jwC
Rx j
wCx
C R
C
j R
wC R
− = − +
− = −
1 2 1
3
1
1
1
1 1 2
3
2
3 1
( )( )
 
donde: 
Rx R C
C
Cx C R
R
=
=
2 1
3
3 1
2
 
os parâmetros de ajuste são C1 e R2 
Aplicações da ponte de Schering: 
 Medida de capacidades e resistências de fuga em condensadores electrolíticos 
 Medida de propriedades de materiais isolantes. 
 
Ponte de Wien 
 A ponte de Wien tem o esquema da figura 4.9 e utiliza-se para: 
 - medir frequências; 
 - filtros; 
 - osciladores: 
 - medir capacidades. 
 
Vamos ver o seu funcionamento na medição de frequências: 
 
 
A
C
D
R1
R2
R4
DG
C1
R3
C3
 
Fig. 4.9 - Ponte de Wien 
As condições de equilíbrio são: 
Instrumentação e Medidas - Capítulo IV 
 
 119
Z Z Z Z
Z Z Z Y
R R j
wC
R
R
jwC
R R
R
R C
C
j
R
wC R
wC R R
R
R R
R
R C
C
w
C C R R
1 4 2 3
2 1 4 3
2 1
1
1
4
1
3
3
1 4
3
4 3
1
4
1 3
3 1 4
2
1 4
3
4 3
1
1
1 3 1 3
2
=
=
= − + =
= + + − +
= +
=
( ) ( )
( )
 donde:
f =
1
2 C1C3R1R3π
 
Se se verificarem as duas relações então a ponte está equilibrada. 
Normalmente faz-se R1=R3=R e C1=C3 =C vindo: 
R2/R4=2 e f= 1
2
1
22 2π πC R RC= 
Na prática C1 e C3 são fixos e R1 = R3 são variáveis simultaneamente. 
 
A obtenção do equilíbrio é: 
- Fácil se o sinal for sinusoidal puro; 
- Difícil se contem harmónicos. Nesse caso a ponte só é equilibrada para a 
frequência fundamental. 
A sensibilidade é máxima para módulos iguais Z1=Z2