Thevenin Norton - L. A. Pereira

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Circuito Equivalente de Thevenin e Norton 
1. Introdução 
Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão, corrente e potência 
em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, não existe a necessidade de 
determinação das tensões e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, os 
Teoremas de Thevenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalente 
simples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar a 
resolução. 
2. Circuito Equivalente de Thevenin 
Considerando um circuito linear, pode-se representá-lo a partir de dois terminais por meio de 
uma fonte de tensão independente em série com uma resistência, conforme ilustrado na 
Figura 1. O valor da tensão da fonte é a tensão obtida nos terminais a-b quando estes estão 
em circuito aberto (Tensão de Thevenin, Thab VV = ) e a Resistência de Thevenin( ThR ) é a 
resistência equivalente obtida a partir dos terminas a-b, com todas as fonte independentes 
consideradas nulas. 
3. Circuito Equivalente de Norton 
Circuitos lineares podem também ser representados a partir de dois terminais por meio de 
uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência, conforme mostrado na Figura 2. O 
valor da corrente da fonte é a corrente que circula do terminal a para b quando estes são 
curto-circuitados (Corrente de Norton, NI ). A Resistência de Norton ( NR ) é aquela obtida dos 
terminais a-b quando todas as fontes são anuladas. Considerando que a resistência a partir de 
dois terminais só possui um valor, a resistência dos circuitos de Thevenin e Norton são, 
portanto, idênticas, bastando que esta seja determinada para um dos circuitos equivalentes 
( NTh RR = ). 
4. Resistência dos Circuitos Equivalentes de Thevenin e Norton 
A determinação da resistência dos circuitos equivalentes deve ser feita da forma já vista 
anteriormente, sendo que os seguintes casos devem ser diferenciados: 
Caso 1: o circuito contém somente fontes independentes. As fontes são anuladas e a 
resistência é calculada a partir dos terminais de onde se deseja obter o circuito equivalente. 
Circuito Linear
e Invariante
a
b
a
b
ThV
( a ) ( b )
ThR
Figura 1 - (a) circuito linear invariante, (b) circuito equivalente de Thevenin 
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - versão de 1/10/2004 página 2/4 
Para tanto devem ser utilizadas as técnicas de associação série e paralela e também as 
transformações estrela-triângulo. 
Caso 2: o circuito contém fontes independentes e fontes controladas. A resistência 
equivalente é obtida a partir da corrente de curto-circuito (Corrente de Norton, NI ) e da 
tensão de circuito aberto (Tensão de Thevenin, ThV ), a partir da seguinte relação: 
N
Th
NTh I
V
RR == (1) 
Caso 3: o circuito contém, além de resistências, somente fontes controladas. Neste caso, 
a resistência dos circuitos equivalentes deve ser determinada aplicando-se uma fonte de 
corrente aos terminais a-b e determinando-se a tensão. Alternativamente, pode-se também 
aplicar uma fonte de tensão e determinando-se a corrente. A resistência será determinada 
dividindo-se a tensão pela corrente. Deve-se atentar também para o fato de que quando o 
circuito contiver fontes controladas, a resistência equivalente pode assumir valores 
negativos, significando que o circuito está fornecendo potência. Fontes dependentes são 
também utilizadas para simular o efeito de resistências negativas. Finalmente, o 
procedimento delineado para caso 3 é geral e pode ser empregado também nos casos 1 e 
2, tomando-se o cuidado de anular as fontes independentes. 
5. Exemplo de Aplicação 
Deseja-se determinar o circuito equivalente de Norton e Thevenin para o circuito mostrado na 
Figura 3b. O exemplo recai no caso 2 citado anteriormente e os circuitos equivalentes serão 
determinados a partir da tensão de Thevenin e da corrente de Norton. A análise pode ser 
simplificada transformando-se a fonte de corrente de 10 A em paralelo com a resistência de 
Ω6 para uma fonte de tensão de 60 V em série com a resistência de Ω6 . conforme 
mostrado na figura 3b. A tensão de Thevenin é a tensão com os terminais a-b em circuito 
aberto, podendo ser calculada pela Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) para a única malha do 
circuito, cuja corrente é 0i . A equação de malha do circuito será, portanto (vide Figura 3b): 
( ) 0000xx0 i12i2i22i6vv2i660 ⋅=⋅+⋅⋅+⋅=+⋅+⋅= 
Da última equação resulta: 
A5
12
60
i0 == 
Circuito Linear
e Invariante
a
b
a
( a ) ( b )
ThRNI
b
Figura 1 - (a) circuito linear invariante, (b) circuito equivalente de Thevenin 
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - versão de 1/10/2004 página 3/4 
Assim, a tensão de Thevenin será: 
V10i2vV 0abTh =⋅== 
A corrente de Norton será obtida colocando-se um curto-circuito nos terminais a-b e 
determinando-se a corrente que circula do terminal a para o b, conforme indicado na Figura 
3c. Neste caso a corrente que circula no resistor de Ω2 na saída é zero, pois o mesmo 
encontra-se em curto-circuito. Desta forma, a tensão xv também será zero ( 0vx = ). A 
corrente de curto-circuito será dada pela equação de malha: 
00i6vv2i660 NxxN ++⋅=+⋅+⋅= 
A10
6
60
iN == 
A resistência de Thevenin (idêntica à resistência de Norton) será dada pela relação: 
a
b
+ _
+
-
xv2 ⋅
xv
( a )
10 Ω6 Ω2
( b )
a
b
+ _
+
-
xv2 ⋅
xv
( c )
V60
Ω6
Ω2
NI
a
b
+ _
+
-
xv2 ⋅
xvV60
Ω6
Ω2
+
-
ThV
0I
 
Figura 3 - Determinação dos circuitos equivalentes de Thevenin e Norton 
PUCRS- FENG - DEE - Disciplina de Circuitos Elétricos I - Prof. Luís Alberto Pereira - versão de 1/10/2004 página 4/4 
Ω==== 1
10
10
I
V
RR
N
Th
NTh 
Os circuitos equivalentes de Thevenin e Norton são mostrados na Figura 4. 
6. Exercício Proposto 
a) Determine os circuitos 
equivalentes de Thevenin e 
Norton para o circuito mostrado 
na Figura 5 a partir dos terminais 
a-b. (Solução: V67,166VTh = , 
Ω= 10RTh e A67,16IN = ) 
b) Determine a potência dissipada 
em um resistor de 15 ohms 
conectado ao circuito nos 
terminais a-b. 
c) Altere o valor da fonte de tensão para 100 V e determine novamente os circuitos 
equivalentes de Thevenin e Norton. 
d) Utilize um programa de simulação para conferir os resultados obtidos. 
7. Exercícios Recomendados 
A lista de exercícios abaixo foi selecionada da bibliografia da disciplina. Recomenda-se que 
todos os exercícios sejam resolvidos. 
Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku (2003). Fundamentos de circuitos elétricos. 
Bookman (Central 20, Edição 2000) - Capítulo 4. Problemas: 4.27, 4.30, 4.33, 4.34, 4.40, 
4.41, 4.42, 4.44, 4.46, 4.50, 4.51. 
James W. Nilsson e Susan A. Riedel (2003). Circuitos elétricos. LTC Editora. 621.3192 
N712c (Central 15, Edição 1999): Capítulo 4. Problemas 4.62, 4.63, 4.64, 4.67,4.68. 
a
b
V10
( b )
Ω1
a
( a )
Ω110
b
 
Figura 4 - Circuitos equivalentes de Thevenin (a) e Norton (b) 
a
b
V50
Ω3
Ω10
+
+
-
xv
Ω2
Ω6
5,0vx ⋅
Figura 5 - Circuitos equivalentes de Thevenin (a) e Norton (b)