17 - Funções Trigonométricas

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 Função Seno 
A função seno é dada por: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ou 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
O gráfico da função seno chama-se senóide. 
Para construir o gráfico da função seno, vamos observar o ciclo trigonométrico e 
construir uma tabela com seus respectivos valores. 
Assim, temos: 
 
 
𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 
0 0 
𝜋
2
 1 
𝜋 0 
3𝜋
2
 
−1 
2𝜋 0 
 
 
 
O gráfico da função seno 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é dado por: 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 Funções Trigonométricas Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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A função seno é periódica de período: 𝑝 = 2𝜋, ou seja, o formato da senóide é 
representado de 0 a 2𝜋 e repetido a partir deste ponto. 
O domínio da função seno (valores possíveis para a variável 𝑥) é o conjunto de todos os 
números reais. 
A imagem da função seno (valores possíveis para a variável 𝑦) é o intervalo [−1, +1], ou 
seja, os valores da função oscilam de −1 até +1. 
A função seno é crescente de 0 a 
𝜋
2
, decrescente de 
𝜋
2
 a 𝜋, crescente de 𝜋 a 
3𝜋
2
 e 
decrescente de 
3𝜋
2
 a 2𝜋. 
 
Exemplos: 
 
1) Construa o gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 
 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, somando a resposta do 
seno do ângulo com 1 unidade: 
 
 
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𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 
0 0 1 + 0 = 1 
𝜋
2
 1 1 + 1 = 2 
𝜋 0 1 + 0 = 1 
3𝜋
2
 −1 
1 + (−1) = 0 
2𝜋 0 1 + 0 = 1 
 
 
O gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é dado por: 
 
 
Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [0,2]. 
 
 
 
2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 
 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, multiplicando a resposta 
do seno do ângulo por − 2: 
 
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𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒚 = −𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒙 
0 0 −2.0 = 0 
𝜋
2
 1 −2.1 = −2 
𝜋 0 −2.0 = 0 
3𝜋
2
 −1 
−2. (−1) = 2 
2𝜋 0 −2.0 = 0 
 
O gráfico da função 𝑦 = −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 é dado por: 
 
 
Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [−2,2]. 
 
3) Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥. 
 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, dividindo o valor do ângulo 
por 2: 
 
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𝟐𝒙 𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 
0 0: 2 = 0 0 
𝜋
2
 
𝜋
2
: 2 =
𝜋
2
.
1
2
=
𝜋
4
 
1 
𝜋 𝜋: 2 =
𝜋
2
 0 
3𝜋
2
 
3𝜋
2
: 2 =
3𝜋
2
.
1
2
=
3𝜋
4
 
−1 
2𝜋 2𝜋: 2 = 𝜋 0 
 
 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 é dado por: 
 
 
 
Observação: o período da função passou a ser 𝑝 = 𝜋. 
 
 Função Cosseno: 
A função cosseno é dada por: 𝑦 = cos 𝑥 ou 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 
O gráfico da função cosseno chama-se cossenóide. 
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Para construir o gráfico da função cosseno, vamos observar o ciclo trigonométrico e 
construir uma tabela com seus respectivos valores. 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da função cosseno 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é dado por: 
 
 
 
A função cosseno é periódica de período: 𝑝 = 2𝜋, ou seja, o formato da cossenóide é 
representado de 0 a 2𝜋 e repetido a partir deste ponto. 
𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 
0 1 
𝜋
2
 0 
𝜋 −1 
3𝜋
2
 
0 
2𝜋 1 
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O domínio da função cosseno (valores possíveis para a variável 𝑥) é o conjunto de todos 
os números reais. 
A imagem da função cosseno (valores possíveis para a variável 𝑦) é o intervalo [−1, +1], 
ou seja, os valores da função oscilam de −1 até +1. 
 
A função cosseno é decrescente de 0 a 
𝜋
2
, decrescente de 
𝜋
2
 a 𝜋, crescente de 𝜋 a 
3𝜋
2
 e 
crescente de 
3𝜋
2
 a 2𝜋. 
 
Exemplos: 
 
1) Construa o gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 
 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, somando a resposta do 
cosseno do ângulo com 1 unidade: 
 
𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 
0 1 1 + 1 = 2 
𝜋
2
 0 1 + 0 = 1 
𝜋 −1 1 + (−1) = 0 
3𝜋
2
 0 
1 + 0 = 1 
2𝜋 1 1 + 1 = 2 
 
O gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é dado por: 
 
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Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [0,2]. 
 
 
2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 
 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, multiplicando a 
resposta do cosseno do ângulo por − 2: 
 
𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 = −𝟐𝒄𝒐𝒔 𝒙 
0 1 −2.1 = −2 
𝜋
2
 0 −2.0 = 0 
𝜋 −1 
−2. (−1)
= +2 
3𝜋
2
 0 
−2.0 = 0 
2𝜋 1 −2.1 = −2 
 
 
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O gráfico da função 𝑦 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é dado por: 
 
 
 
Observação: a imagem da função passou a ser o intervalo [−2,2]. 
 
3) Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, dividindo o valor do 
ângulo por 2: 
 
𝟐𝒙 𝒙 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 
0 0: 2 = 0 1 
𝜋
2
 
𝜋
2
: 2 =
𝜋
2
.
1
2
=
𝜋
4
 
0 
𝜋 𝜋: 2 =
𝜋
2
 −1 
3𝜋
2
 
3𝜋
2
: 2 =
3𝜋
2
.
1
2
=
3𝜋
4
 
0 
2𝜋 2𝜋: 2 = 𝜋 1 
 
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O gráfico da função 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 é dado por: 
 
 
Observação: o período da função passou a ser 𝑝 = 𝜋. 
 
 
 Função Tangente 
A função tangente é dada por: 𝑦 = tg 𝑥 ou 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 
O gráfico da função tangente chama-se tangentóide. 
Para construir o gráfico da função tangente, vamos observar o ciclo trigonométrico e 
construir uma tabela com seus respectivos valores. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 
0 0 
𝜋
2
 ∄ 
𝜋 0 
3𝜋
2
 
∄ 
2𝜋 0 
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O gráfico da função tangente 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 é dado por: 
 
 
 
A função tangente é periódica de período: 𝑝 = 𝜋, ou seja, o formato da tangentóide é 
representado de 0 a 𝜋 e repetido a partir deste ponto. 
O domínio da função tangente (valores possíveis para a variável 𝑥) é o conjuntode todos os 
números reais sem os múltiplos ímpares de 
𝜋
2
. 
A imagem da função tangente (valores possíveis para a variável 𝑦) é o conjunto de todos os 
números reais. 
A função tangente é crescente de 0 a 
𝜋
2
, crescente de 
𝜋
2
 a 𝜋, crescente de 𝜋 a 
3𝜋
2
 e crescente de 
3𝜋
2
 a 2𝜋. 
 
Exemplos: 
 
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1) Construa o gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑡𝑔 𝑥. 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, somando a resposta da 
tangente do ângulo com 1 unidade: 
𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝒕𝒈𝒙 
0 0 1 + 0 = 1 
𝜋
2
 ∄ ∄ 
𝜋 0 1 + 0 = 1 
3𝜋
2
 ∄ 
∄ 
2𝜋 0 1 + 0 = 1 
 
O gráfico da função 𝑦 = 1 + 𝑡𝑔 𝑥 é dado por: 
 
 
 
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2) Construa o gráfico da função 𝑦 = −2 𝑡𝑔 𝑥. 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, multiplicando a resposta 
da tangente do ângulo por − 2: 
 
𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 𝒚 = −𝟐𝒕𝒈 𝒙 
0 0 −2.0 = 0 
𝜋
2
 ∄ ∄ 
𝜋 0 −2.0 = 0 
3𝜋
2
 ∄ 
∄ 
2𝜋 0 −2.0 = 0 
 
O gráfico da função 𝑦 = −2 𝑡𝑔 𝑥 é dado por: 
 
 
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3) Construa o gráfico da função 𝑦 = 𝑡𝑔 2𝑥 
Para construir este gráfico vamos completar a tabela abaixo, dividindo o valor do 
ângulo por 2: 
 
𝟐𝒙 𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝟐𝒙 
0 0: 2 = 0 0 
𝜋
2
 
𝜋
2
: 2 =
𝜋
2
.
1
2
=
𝜋
4
 
∄ 
𝜋 𝜋: 2 =
𝜋
2
 0 
3𝜋
2
 
3𝜋
2
: 2 =
3𝜋
2
.
1
2
=
3𝜋
4
 
∄ 
2𝜋 2𝜋: 2 = 𝜋 0 
 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑡𝑔 2𝑥 é dado por: 
 
 
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Outras funções trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela de Relações Trigonométricas 
 
01) sen2x + cos2x = 1 02) 1 + tg2x = sec2x 
03) 1 + cotg2x = cosec2x 04) sen (-x) = -sen x 
05) cos (-x) = cos x 06) tg (-x) = -tg x 
07) 08) 
09) 10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 16) 
17) 
18) sen 2x = 2 sen x.cos x 
19) cos 2x = cos2x - sen2x = 1 - 2 sen2x = 
= 2 cos2x - 1 
20) 
21) 22) 
23) 
24) 
 
25) 
 
26) 
 
27) 
 
28) 
29) 30) 
31) 32) 
33) 
 
 
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EXERCÍCIO 
 
1) Determine o domínio das funções: 
a) 𝑦 = 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
b) 𝑦 = −1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
c) 𝑦 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
d) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
e) 𝑦 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
f) 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
g) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥) 
h) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥) 
i) 𝑦 = 2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
j) 𝑦 = −1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
k) 𝑦 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
l) 𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
m) 𝑦 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
n) 𝑦 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
o) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥) 
p) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥) 
q) 𝑦 = 2 + 𝑡𝑔 𝑥 
r) 𝑦 = −1 + 𝑡𝑔 𝑥 
s) 𝑦 = 1 − 𝑡𝑔𝑥 
t) 𝑦 = 2 𝑡𝑔 𝑥 
u) 𝑦 = − 𝑡𝑔 𝑥 
v) 𝑦 = 3 𝑡𝑔 𝑥 
w) 𝑦 = 𝑡𝑔 (4𝑥) 
x) 𝑦 = 𝑡𝑔 (3𝑥)