Aula 09 - Projeto de Filtros IIR

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UFRN – DCA 
Processamento Digital de Sinais 
Aula 09 
Projeto de Filtros IIR 
Prof. Felipe Silveira 
Sumário 
•  Técnicas de Projeto 
•  Filtros IIR 
•  Projeto de Filtros IIR: 
▫  Método da Transformação Bilinear 
▫  Método por Invariância ao Impulso 
Técnicas de Projeto 
•  Em geral, o projeto de filtros digitais envolve cinco 
passos: 
▫  Especificação 
▫  Cálculo dos coeficientes 
▫  Realização 
▫  Análise dos efeitos de quantização 
▫  Implementação 
Especificação 
•  Filtro passa-baixa: 
Filtros IIR 
•  Os filtros IIR são caracterizados pela seguinte 
função de transferência: 
•  Objetivo: Encontrar os coeficientes (ak, bk) e os 
parâmetros da ordem (N, M) do sistema de tal 
forma que a resposta resultante aproxime a 
desejada. 
€ 
H(z) = B(z)A(z) =
bkz−k
k=0
M
∑
1+ akz−k
k=1
N
∑
€ 
H(ω) = H(z) z=e jω
€ 
H(ω) ≈ Hd (ω )
Projeto de Filtros IIR 
•  Existem várias abordagens para o projeto de
 filtros IIR 
•  Abordagem adotada: 
▫  Projeta-se um filtro analógico que atende aos
 requisitos desejados 
▫  Projeta-se o filtro digital a partir desse filtro
 analógico através de transformações apropriadas 
  Transformação Bilinear 
  Transformação por Invariância ao Impulso 
Filtro Analógico 
•  Aproximação de Butterworth: 
▫  Uma função de Butterworth de ordem N é definida
 por: 
Filtro Analógico 
•  Filtro de Butterworth 
▫  Função de Transferência 
▫  Os pólos são uniformemente espaçados no círculo
 de raio no plano s, sendo obtidos por: 
▫  Apenas os N pólos sk no semi-plano esquerdo são
 escolhidos. 
Filtro de Butterworth 
Transformações de Freqüência 
•  Chama-se protótipo passa-baixas um filtro passa-
-baixa com freqüência de corte normalizada para 1. 
•  O filtro protótipo passa-baixa pode ser convertido em
 outros tipos de filtro por meio das transformações: 
▫  : Protótipo para passa - baixa com corte 
▫  : Protótipo para passa - alta com corte 
▫  : Protótipo para passa-faixa simétrico 
  é a freqüência central e B é a largura da faixa de passag. 
Método da Transformação Bilinear 
•  Seja um filtro definido por Hd(s). 
•  O filtro digital correspondente é obtido aplicando-se
 a transformação bilinear, ou seja: 
 Em que e T é o período de amostragem. 
Método da Transformação Bilinear 
•  A transformação bilinear impõe uma relação
 não-linear entre a freqüência analógica e a
 freqüência digital , dada por: 
•  Essa distorção é conhecida como warping. 
•  Antes do projeto do filtro analógico, deve-se
 aplicar o pré-warping: 
  Em que é a especificação desejada para o filtro
 digital 
Método da Invariância ao Impulso 
•  A resposta ao impulso de um filtro digital é
 obtida amostrando-se a resposta ao impulso do
 filtro analógico que se quer aproximar, ou seja: 
•  No domínio da freqüência, esse processo de
 amostragem pode ser visto como segue: 
 em que 
•  Aliasing na técnica de projeto por invariância ao
 impulso 
d 
1/T 
Método da Invariância ao Impulso 
•  Desde que não exista aliasing, a resposta em
 freqüência pode ser aproximada por: 
▫  A função de transferência analógica deve ser
 monotonicamente decrescente nas altas freqüências! 
•  Observe que a resposta do sistema discreto é a
 mesma do sistema analógico a menos de uma
 constante. 
Método da Invariância ao Impulso 
•  Passos do Projeto: 
1.  Dada a especificação para o filtro digital ,
 deve-se encontrar a especificação para o filtro
 de aproximação fazendo: 
2.  Projetar o filtro de aproximação com a
 especificação desejada 
3.  Transformar o filtro analógico em um
 filtro discreto por amostragem, como
 segue: 
Método da Invariância ao Impulso 
3.  Transformação do filtro analógico em um filtro
 discreto: 
▫  Utilizando o método de frações parciais, encontra-se 
▫  A transformação inversa de Laplace produz: 
▫  A resposta h[n] é obtida por amostragem: 
Método da Invariância ao Impulso 
•  Logo H(z) é dado por: 
•  Observe neste ponto que não é necessário se
 calcular todos esses passos! 
▫  Basta conhecer Ak e sk para se encontrar H(z) 
Resumo da Aula 
•  Definição de filtros seletivos em freqüência; 
•  Classificação dos filtros digitais em FIR e IIR; 
•  Transformações na freqüência de filtros 
analógicos 
•  Estudo do método de transformação de filtros 
analógicos em filtros IIR digitais 
▫  Transformação Bilinear 
▫  Invariância ao Impulso 
Bibliografia 
•  Diniz, P. S. et al., Processamento Digital de Sinais: 
Projeto e Análise de Sistemas, ed. Bookman, 2004. 
•  Oppenheim, A. V., et al., Discrete-Time Signal 
Processing, ed. Prentice-Hall, 1998. 
•  Proakis, J., Manolakis, D., Digital Signal 
Processing, ed. Prentice-Hall, 1996.