Princípios de Fluidos e Pressão

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Prof. Dr. Yuri V. B. de Santana 
 Densidade 
 
 Pressão em um Fluido 
 
 Empuxo 
 
 Escoamento de um Fluido 
 
 A Equação de Bernoulli 
 
 Viscosidade e Turbulência 
2 
O significado de densidade de um material; 
 
 O que se quer dizer com a pressão em um 
fluido, e como ele é medido; 
 
 Como calcular a força de empuxo que um fluido 
exerce em um corpo imerso nele; 
 
 O significado fluxo laminar contra o fluxo de 
fluido turbulento e, como o velocidade do fluxo 
num tubo depende do tamanho do tubo; 
 
 Como utilizar a equação de Bernoulli para 
relacionar pressão e velocidade de fluxo em 
diferentes pontos em certos tipos de fluido. 
3 
O tubarão deve nadar constantemente para não afundar para o fundo do 
oceano, mas o peixe tropical laranja pode se manter ao mesmo nível na 
água com pouco esforço. Por que há uma diferença? 
4 
Fluidos desempenham um papel vital em muitos aspectos da vida 
cotidiana. Nós bebemos deles, respiramos e nadamos neles. Eles circulam 
através de nossos corpos e controlam o nosso clima. Os aviões voam 
através deles; navios flutuam neles. 
Um fluido é qualquer substância que pode fluir; usamos o termo para 
ambos os líquidos e gases. 
5 
Gases são 
compressíveis 
Líquidos não 
são 
compressíveis 
Uma propriedade importante de todo o material é a sua densidade, 
definido como a sua massa por unidade volume. 
V
m

(01) 
Dois objetos feitos do mesmo material tem a 
mesma densidade, embora eles possam ter massas 
e volumes diferentes. 
6 
A densidade relativa de um material é a razão de sua densidade pela 
densidade da água a 4,0 °C, 1000 Kg/m3. 
A densidade de alguns materiais varia de ponto a ponto no interior do 
material. Um exemplo é o material do corpo humano, que inclui gordura 
de baixa densidade e o osso de alta densidade. Dois outros são a 
atmosfera da terra (que é menos denso em altas altitudes) e dos oceanos 
(que são mais densos em maiores profundidades). Para estes materiais, 
Eq. (01) descreve a densidade média. Em geral, a densidade de um 
material depende de fatores ambientais como a temperatura e pressão. 
7 
Quando um fluido (líquido ou gás) está em repouso, ela exerce uma força 
perpendicular a qualquer superfície em contacto com ele, tal como uma 
parede de um recipiente ou de um corpo imerso no fluido. Enquanto o 
fluido no seu conjunto se encontra em repouso, as moléculas que 
constituem o fluido estão em movimento; a força exercida pelo fluido é 
devido a moléculas que colidem com o meio envolvente. 
Se pensarmos em uma superfície imaginária 
dentro do fluido, o fluido exerce forças 
iguais e opostas nos dois os lados da 
superfície. (Caso contrário, a superfície irá 
acelerar e do fluido não iria permanecer em 
repouso.) 
Nós definimos a pressão p em um ponto como a força normal por unidade 
de área. 
dA
dF
p 
(02) 
8 
Se a pressão é a mesma em todos os planos de uma superfície plana finita 
com área A, então: 
A
F
p 
(03) 
A unidade em SI de pressão é o pascal: 
1 pascal = 1 Pa = 1 N/m2. 
A pressão atmosférica é a pressão da atmosfera da Terra, a pressão na 
parte inferior deste mar de ar em que vivemos. Esta pressão varia com 
mudanças climáticas e com a elevação. Pressão atmosférica normal ao nível 
do mar (valor médio) é de 1 atmosfera (atm), definido como exatamente 
101.325 Pa. 
(pa)med = 1 atm = 1,013 x 10
5 Pa = 1,013 bar. 
9 
Se o peso do fluido pode ser negligenciado, a pressão num fluido é a 
mesma em todo o seu volume. Mas muitas vezes o peso do fluido não é 
desprezível. A pressão atmosférica é menor a altitudes elevadas do que ao 
nível do mar. Quando você mergulha em águas profundas, seus ouvidos 
sentem que a pressão aumenta rapidamente com o aumento da 
profundidade abaixo da superfície. 
Podemos derivar uma relação geral 
entre a pressão p, em qualquer ponto 
de um fluido em repouso e a elevação 
y do ponto. Vamos supor que a 
densidade ρ tem o mesmo valor em 
todo o fluido (isto é, a densidade é 
uniforme), assim como o aceleração da 
gravidade g. Se o fluido se encontra 
em equilíbrio, cada elemento de 
volume está em equilíbrio. 
10 
Quais são as outras forças nesse elemento de fluido? 
Vamos chamar a pressão na superfície inferior p; então, o componente y total 
da força para cima sobre esta superfície é pa. 
 
A pressão na superfície superior é p = dp, e o componente total y de força 
(para baixo) sobre a superfície superior é – (p + dp)A 
 
O elemento de fluido está em equilíbrio, de modo que o componente y total de 
força, incluindo o peso e as forças que as superfícies do fundo e do topo, deve 
ser zero: 
11 
A pressão p, a uma profundidade h é maior 
do que a pressão na superfície por uma 
quantidade ρgh. Note que a pressão é a 
mesma em quaisquer dois pontos no mesmo 
nível no fluido. A forma do recipiente não 
importa. 
A equação (06) mostra que, se aumentar a pressão na superfície superior, 
possivelmente usando um pistão que se encaixa firmemente no interior do 
recipiente para empurrar para baixo a superfície do fluido, a pressão p em 
qualquer profundidade aumenta em exatamente a mesmo quantidade. Este 
fato foi reconhecido em 1653 pelo cientista francês Blaise Pascal (1623- 
1662) e é chamado de lei de Pascal. 
Lei de Pascal: A pressão aplicada em um fluido confinado é transmitida sem 
nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do 
recipiente. 
12 
O elevador hidráulico representado 
esquematicamente na fig. ilustra a lei de 
Pascal. Um pistão com pequena área de 
seção transversal A1 exerce uma força F1 
sobre a superfície de um líquido, tal como 
óleo. A pressão aplicada p=F1/A1 é 
transmitida através do tubo de ligação a 
um êmbolo de maior área A2. A pressão 
aplicada é a mesma em ambos cilindros, 
assim: 
2
2
1
1
A
F
A
F
p  1
1
2
2 F
A
A
F 
e (07) 
O elevador hidráulico é um dispositivo de multiplicação de força com um 
fator de multiplicação igual a relação entre as áreas dos dois pistões. 
Cadeiras de dentista, elevadores de carros e macacos, muitos elevadores e 
freios hidráulicos todos usam esse princípio. 
13 
Se a pressão no interior de um pneu de carro é igual à pressão atmosférica, 
o pneu está murcho. A pressão tem de ser maior do que a atmosférica para 
suportar o carro, de modo que a quantidade significativa é a diferença entre 
as pressões no interior e pressões externas. Quando dizemos que a pressão 
no pneu de um carro é de 220 kPa, estamos dizendo que é maior do que a 
pressão atmosférica (1,01 x 105 Pa) por essa quantidade. A pressão total no 
pneu é então 320 kPa. 
O excesso de pressão acima da pressão atmosférica é geralmente chamado 
de pressão manométrica, e a pressão total é chamado de pressão absoluta. 
Os engenheiros usam a abreviação psig e psia para "libras por polegada 
quadrada” e "libras por polegada quadrada absoluta", respectivamente. Se a 
pressão for inferior a atmosférica, como no vácuo parcial, a pressão 
manométrica for negativo. 
14 
O medidor de pressão mais simples é o 
manômetro de tubo aberto (fig. a). O 
tubo em forma de U contém um líquido 
de densidade ρ, geralmente água ou 
mercúrio. O lado esquerdo do tubo é 
conectado a um container onde a 
pressão p é medida e o lado direito é 
aberto na pressão atmosférica, p0 = 
patm . 
ghpp atm 
(08) 
15 
Outro medidor de pressão comum é o 
barômetro de mercúrio. Ele consiste de 
um longo tubo de vidro, fechado em 
uma ponta, preenchido de mercúrio e 
então invertido em um prato com 
mercúrio (fig. b). O espaço acima da 
coluna de mercúrio contem apenas 
vapor de mercúrio, e sua pressão é 
desprezível, então a pressãoacima da 
coluna de mercúrio é praticamente zero. 
Da eq. (06) 
ghyygppatm   )(0 12(09) 
Assim, o barômetro de mercúrio lê a 
pressão atmosférica diretamente pela 
altura da coluna de mercúrio. 
16 
Muitos tipos de manômetros usar um tubo selado flexível (Fig.). Uma 
mudança na pressão no interior ou no exterior do tubo provoca uma 
alteração nas suas dimensões. Essa alteração é detectada opticamente, 
eletricamente ou mecanicamente. 
17 
Empuxo é um fenômeno familiar: Um corpo imerso na água parece pesar 
menos do que quando está em ar. Quando o corpo é menos denso do que o 
líquido, ele flutua. O corpo humano geralmente flutua na água, e um balão 
cheio de hélio flutua no ar. 
Princípio de Arquimedes: Quando um corpo está completamente ou 
parcialmente imerso num fluido, o fluido exerce uma força para cima 
sobre o corpo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. 
18 
liqgVE 
19 
Ex. Uma estatua de ouro de 15 Kg é levantada do fundo do mar (fig.). Qual 
é a tensão no cabo de suporte quando a estátua está: (a) em repouso 
completamente sobre a água (b) em repouso completamente fora da água. 
(ρmar = 1,03 x 10
3 kg/m3, ρouro = 19,3 x 10
3 kg/m3, ρar = 1,2 kg/m
3) 
20 
Um objeto menos denso que a água, como uma 
bola de praia cheia de ar, flutua com parte do seu 
volume abaixo da superfície (devido ao empuxo). 
Por outro lado, um clipe de papel pode descansar 
em cima da superfície da água, embora a sua 
densidade seja várias vezes a da água. Este é um 
exemplo da tensão superficial: A superfície do 
líquido comporta-se como uma membrana sob 
tensão (fig.) 
A tensão superficial surge porque as 
moléculas do líquido exercem forças atrativas 
umas nas outras. Dentro do volume do 
líquido, a força resultante é nula, mas uma 
molécula de superfície é arrastada para o 
volume (Fig.). Assim, o líquido tende a 
minimizar sua área de superfície, assim como 
uma membrana esticada faz. 
21 
A tensão superficial explica por que pingos de chuva são esféricos (não em 
forma de “gota de lágrima”): Uma esfera tem uma menor área de superfície 
para o volume do que qualquer outra forma. Ele também explica por que 
água quente e sabão é usado para lavar roupa. Para lavar roupa 
completamente, a água deve ser forçada através dos pequenos espaços 
entre as fibras. Para fazer isso, é preciso aumentar a área da superfície da 
água, que é difícil de alcançar devido a tensão superficial. O trabalho é 
facilitado pelo aumento da temperatura da água e adição de sabão, as quais 
diminuem a tensão superficial. 
22 
Quando uma interface gás-líquido encontra uma superfície sólida, tal como 
a parede de um recipiente (fig.),a interface geralmente se encurva para cima 
ou para baixo. Nas vizinhanças da superfície sólida. O ângulo θ entre a 
interface e a superfície sólida denomina-se ângulo de contato. 
O líquido não molha a superfície sólida quando a atração mútua entre as 
moléculas do líquido supera a atração entre elas e o sólido, como no caso do 
mercúrio, a interface gás-líquido se encurva para baixo e θ é maior que 90°. 
Quando as moléculas de um líquido são 
atraídas mutuamente menos fortemente do 
que a atração entre elas e o sólido, como no 
caso da água com o vidro dizemos que o 
líquido “molha” ou adere a superfície do sólido. 
A interface gás-líquido se encurva para cima e 
θ é menor do que 90°. 
23 
A tensão superficial faz um líquido subir ou 
descer em um tubo capilar (fig.) Este efeito 
denomina-se capilaridade. 
 Quando o ângulo de contato θ é menor do 
que 90° (fig. a), a força da tensão superficial 
atua de baixo para cima; o líquido sobe até 
atingir uma altura de equilíbrio na qual o 
peso da coluna de líquido é igual a força da 
tensão superficial. A superfície curva do 
líquido denomina-se menisco. 
 Para um líquido que não molha a 
superfície (fig. b), o ângulo de contato θ é 
maior do que 90°. O menisco se encurva para 
baixo e a superfície sofre uma depressão, 
puxada para baixo pelas forças da tensão 
superficial. 
24 
 Agora estamos prontos para considerar o movimento de um fluido. 
 O fluxo de fluido pode ser extremamente complexo, como 
mostrado pelas correntes em corredeiras ou o turbilhão das chamas de 
uma fogueira. Mas algumas situações pode ser representada por modelos 
idealizada relativamente simples. Um fluido ideal é um fluido que é 
incompressível (isto é, a sua densidade não pode alterar) e não tem atrito 
interno (chamado viscosidade). 
 Os líquidos são aproximadamente incompressível na maioria das 
situações, e podemos também tratar um gás como incompressível se as 
diferenças de pressão de uma região para outra não são muito grandes. 
Atrito interno em um fluido provoca tensões de cisalhamento quando duas 
camadas adjacentes do fluido se movem com relação uma a outra. Em 
alguns casos, podemos negligenciar estas forças de cisalhamento, em 
comparação com as forças resultantes de diferenças de gravitação e de 
pressão. 
25 
A trajetória de uma partícula individual de um fluido em movimento é 
chamada de uma linha de fluxo (ou linha de escoamento). Se o padrão de 
fluxo total não se altera com o tempo, o fluxo é chamado fluxo constante 
(ou escoamento estacionário). No fluxo constante, cada elemento que 
passa através de um determinado ponto segue a mesma linha de fluxo. 
Neste caso, o "mapa" das velocidades do fluido em vários pontos no 
espaço permanece constante, apesar de a velocidade de uma partícula em 
particular, poder alterar tanto em magnitude e direção durante seu 
movimento. 
Uma linha de corrente é uma curva cuja 
tangente em cada ponto da a direção e o 
sentido da velocidade do fluido nesse ponto. 
Quando a configuração do escoamento de um 
fluido varia com o tempo, as linhas de corrente 
não coincidem com as linhas fluxo. Vamos 
considerar apenas situações de fluxo constante, 
para que as linhas fluxo e linhas de corrente 
sejam idênticas. 
26 
As linhas de fluxo que passam através de um elemento de área imaginária, 
tal como a área A na Fig. formam um tubo chamado tubo de fluxo (tubo de 
escoamento). A partir da definição de uma linha de fluxo, em fluxo 
constante, o fluido não pode atravessar as paredes laterais do tubo de fluxo; 
os fluidos em diferentes tubos de fluxo não podem se misturar. 
27 
Na figura abaixo, da esquerda para direita, vemos o escoamento de um fluido 
em torno de três tipos diferentes de obstáculos e o escoamento através de um 
cana de seção reta. Estas fotografias foram feitas injetando-se um corante na 
água escoando entre duas placas de vidro. Todas as configurações indicadas 
são típicas de escoamento laminar, no qual camadas adjacentes do fluido 
deslizam umas sobre as outras e o escoamento é estacionário. 
28 
Para taxas de fluxo suficientemente elevadas, ou quando um obstáculo 
produz mudanças abruptas na velocidade, o fluxo pode tornar-se 
irregular e caótico. Isto é chamado um fluxo turbulento (Fig.). Em fluxo 
turbulento não existe nenhum padrão de estado estacionário; o padrão 
de fluxo muda continuamente. 
29 
A massa de um fluido em movimento não se altera à medida que flui. Isto 
leva a uma importante relação quantitativa a chamada equação de 
continuidade. 
Não há fluxo de fluido para fora ou 
para dentro através das paredes do 
tubo, porque a velocidade do fluido é 
tangente à parede em cada ponto na 
parede. 
 
Durante um pequeno intervalo de 
tempo dt, o fluido em A1 move-se uma 
distância v1dt, então um cilindro de 
fluido com altura v1dt e volume 
dV1=A1v1dt flui para dentro do tubo 
através de A1. Durante este mesmo 
intervalo, um cilindro de volume 
dV2=A2v2dt flui para fora do tubo 
através de A2. 
30 
De acordo com a equação de continuidade, a velocidade do fluxo de umfluido pode variar ao longo do caminho do fluido. A pressão também pode 
variar; ela depende da altura como na situação estática (ver Seção 2), e 
também depende da velocidade do fluxo. Nós podemos derivar uma relação 
importante chamada equação de Bernoulli que relaciona a pressão, 
velocidade do fluxo e altura para o fluxo de um fluido ideal, incompressível. 
A equação de Bernoulli é uma ferramenta essencial na análise dos sistemas 
de canalização, estações hidrelétricas, e o voo de aviões. 
31 
A dependência da pressão com a velocidade segue da equação de 
continuidade, Eq. (10). Quando um fluido incompressível flui ao longo de 
um tubo de fluxo com diferentes seção transversal, a sua velocidade deve 
mudar, e por isso um elemento de fluido deve ter uma aceleração. Se o 
tubo for horizontal, a força que faz com que este tenha aceleração deve ser 
aplicada pelo fluido envolvente. Isto significa que a pressão deve ser 
diferente em regiões de seção transversal diferente; se fosse a mesma em 
todos os lugares, a força resultante em cada elemento do fluido seria zero. 
Quando um tubo de fluxo horizontal se estreita e um elemento de fluido 
acelera, ele deve estar se movendo para uma região de baixa pressão, a fim 
de ter uma força resultante para a frente para acelera-lo. Se também ha 
elevação, isto provoca uma diferença de pressão adicional. 
32 
Para derivar a equação de Bernoulli, vamos aplicar o teorema do trabalho-
energia em uma seção de um tubo de fluxo. 
)()(
2
1
12
2
1
2
221 yygvvpp  
(16) 
 Esta é a equação de Bernoulli. Ela 
afirma que o trabalho realizado em uma 
unidade de volume de fluido pelo fluido 
circundante é igual à soma das alterações nas 
energias cinética e potencial por unidade de 
volume que ocorrem durante o fluxo. 
 Também podemos interpretar Eq. 
(16), em termos de pressões. O primeiro 
termo a direita é a diferença de pressão 
associada com a mudança de velocidade do 
fluido. O segundo termo a direita é a 
diferença de pressão adicional causada pelo 
peso do fluido e a diferença na elevação das 
duas extremidades. 
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CUIDADO: O Princípio de Bernoulli aplica-se apenas em 
determinadas situações Ressaltamos novamente que A equação de 
Bernoulli é válida apenas para fluxo incompressível, constante de 
um fluido sem fricção interna (sem viscosidade). É uma equação 
simples que é fácil de usar; não deixe fique tentado a usa-la em 
situações em que não se aplica! 
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Ler Sobre: Viscosidade e Turbulência. 
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