Lançamento horizontal de projétil e conservação da energia

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA - UNOESC
ESTEVÃO SPAGNOL LUCIAN
JEAN RICARDO SCHOFFEN
JEAN DA SILVA
MATHEUS RAMOS
RONALDO DE FREITAS
DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DE LANÇAMENTO PELO PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
JOAÇABA
2013
ESTEVÃO SPAGNOL LUCIAN
JEAN RICARDO SCHOFFEN
JEAN DA SILVA
MATHEUS RAMOS
RONALDO DE FREITAS
DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DE LANÇAMENTO PELO PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Relatório de Física I Experimental, curso de Engenharia Química, Área das Ciências Exatas, da Universidade do Oeste de Santa Catarina, Campus de Joaçaba
JOAÇABA
2013
LISTA DE SÍMBOLOS
	Instante de tempo
	Aceleração escalar
	Aceleração da gravidade
	Velocidade
0	Velocidade inicial
x	Velocidade horizontal (eixo x)
0x	Velocidade horizontal inicial (eixo x)
y	Velocidade vertical (eixo y)
0y	Velocidade vertical (eixo y)
0	Posição inicial (horizontal / eixo x)
 	Posição final (horizontal / eixo x)
 	Deslocamento horizontal (alcance)
0	Posição inicial (vertical / eixo y)
 	Posição final (vertical / eixo y)
 ou 	Deslocamento vertical (altura)
	Massa
	Energia Mecânica (total)
	Energia Potencial Gravitacional
	Energia Cinética
SUMÁRIO
Lista de símbolos ...................................................................................................................02
Sumário .................................................................................................................................03
Introdução ..............................................................................................................................04
Objetivos ................................................................................................................................05
Fundamentação teórica .........................................................................................................06
	Lançamento oblíquo ...................................................................................................06
	Movimento horizontal .................................................................................................07
	Movimento vertical .....................................................................................................07
	Conceito de energia ...................................................................................................08
	Conservação da energia ............................................................................................08
	Tipos de energia ........................................................................................................09
Desenvolvimento ...................................................................................................................10
Conclusão ..............................................................................................................................17
Referências bibliográficas ......................................................................................................18
INTRODUÇÃO
	Neste experimento, o nosso principal objetivo foi determinar a velocidade de lançamento de um projétil através do princípio da conservação da energia considerando, para tal, o sistema que utilizamos como isolado - livre da influência de quaisquer forças externas que existem e que atuam nesse sistema de forma a dissipar parte da sua energia. Após efetuarmos os cálculos teóricos considerando essa situação como ideal, onde a energia total do sistema se mantém constante, confrontamos e comparamos esses resultados com aqueles que obtivemos através de uma observação mais realista dos dados experimentais.
OBJETIVOS
Diferenciar energia cinética translacional da energia cinética rotacional;
Relacionar as transformações energéticas sofridas pela energia potencial inicial da esfera ao rolar pela rampa;
Utilizar o princípio da conservação da energia para determinar, a partir da altura de queda, a velocidade de lançamento da esfera (ao abandonar a rampa);
Utilizar as equações da cinemática para determinar a velocidade de lançamento através do alcance e compará-la com a velocidade de lançamento determinada teoricamente pelo princípio da conservação da energia;
	
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
LANÇAMENTO OBLÍQUO
	Uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade inicial 0 e com uma aceleração constante, igual à aceleração de queda livre e dirigida para baixo é chamada de projétil (o que significa que ela é projetada ou lançada).
	No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes, ou seja, um não afeta o outro. Dessa forma, para que possamos analisar e estudar os lançamentos das esferas neste experimento, iremos decompor o problema inicial, que envolve um movimento bidimensional, em dois problemas unidimensionais independentes: um para o movimento horizontal (com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (acelerado - uniformemente variado). Além disso, desprezaremos a influência do ar e outras resistências quaisquer.
Figura 1
Projétil sendo lançado do ponto 0 com velocidade inicial 0. O ângulo que o vetor velocidade inicial 0 forma com o semi-eixo positivo é chamado de ângulo de lançamento, e é ele que caracterizará as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial.
Fonte: http://www.ciencia-cultura.com
A figura 1 mostra a trajetória de um projétil quando o efeito do ar pode ser ignorado. O projétil é lançado com uma velocidade inicial 0 que pode ser escrita na forma:
	
	00x 0y
	(1)
Onde 0x e 0y representam as componentes ortogonais do vetor 0, e podem ser calculadas se conhecermos o ângulo 0 entre 0 e o semi-eixo positivo.
	
	0x 0 cos0 e 0y 0 sen0
	(2)
	No caso deste experimento, como se trata de um lançamento horizontal, o ângulo é nulo, e isso significa que 0x0 e 0y 0 (a componente horizontal da velocidade é igual à própria velocidade com que o corpo abandona a rampa, e a componente vertical da velocidade é nula).
	Durante o movimento bidimensional, a posição e a velocidade do projétil mudam continuamente, mas o vetor aceleração é constante e está sempre dirigido verticalmente para baixo. O projétil não possui aceleração horizontal.
MOVIMENTO HORIZONTAL
	Por não possuir aceleração horizontal, a componente x da velocidade de um projétil permanece inalterada e igual ao seu valor inicial 0x durante toda a trajetória. Em qualquer instante , o deslocamento horizontal do projétil em relação à posição inicial, é dado por
	
	0 0x 
	(3)
Mas, como x = 0x = 0, temos que:
	
	0 
	(4)
MOVIMENTO VERTICAL
	O movimento vertical do projétil se resume a um movimento de queda livre, onde ele está submetido a uma aceleração constante e direcionada para baixo (conhecida como aceleração em queda livre). Assim, as equações que caracterizam e descrevem o movimento são as do movimento retilíneo uniformemente variado. Cabe observar que o valor da aceleração não depende das características do objeto, como massa, densidade e forma; ela é mesma para todos os objetos)
	
	
	(5)
	
	
	(6)
	
	
	(7)
onde a componente vertical da velocidade inicial, 0y, é substituída por zero em função do ângulo de lançamento ser nulo, já que 0 sen, e . 
CONCEITO DE ENERGIA
	A energia, no sentido físico, é uma medida da capacidade de interação de um sistema. A sua unidade de medida no SI é o Joule. Entretanto, dizer penas dizer isso não é o suficiente para tornar claro o que é a energia. Devido à sua natureza abstrata, a assimilação desse conceito não é tão simples.
	Na verdade, o que nos interessa não é o valor numérico (escalar), possível de ser calculado, que a energia pode assumir, mas a seguinte propriedade: num sistema isolado (sistemasem troca de energia), o seu valor total não se altera. É esta propriedade que dá importância à sua existência, e para se compreender realmente o que é a energia, tem de se perceber o fenômeno da sua conservação. Assim, a energia pode ser transferida ou convertida de uma forma para a outra, mas nunca é criada ou destruída.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
	
	“Existe um fato, ou se desejarem, uma lei, que governa todos os fenômenos naturais conhecidos até à data. Não existe nenhuma exceção a esta lei - é exata, tanto quanto sabemos. A lei chama-se Conservação da Energia. Diz que existe uma certa quantidade, a que chamamos energia, que não muda com as alterações ao espaço que a natureza realiza.” (Richard Feynman, 1963)
	
	A energia conserva-se num sistema isolado.
	
	Quer isto dizer que se, inicialmente, calcularmos o valor total da energia, e depois alguma alteração ou transformação ocorrer no sistema, quando calcularmos outra vez o valor total da energia, este valor será o mesmo que o inicial. Caso contrário, existiu troca de energia e o sistema não é isolado.
	Em linguagem matemática, o que foi dito acima pode ser traduzido numa equação que representa a igualdade entre a soma das energias iniciais com a soma das energias finais. As trocas de energia com o exterior podem ser representadas pela adição ou subtração do valor correspondente ao ganho ou perda de energia, respectivamente.
	
	Nos sistemas reais, existe geralmente uma conversão irreversível em tipos de energia que podemos apelidar de “menor qualidade”, cujo processo designamos por dissipação de energia. Sistemas onde isto acontece, chamam-se Sistemas Não Conservativos ou Dissipativos. 
TIPOS DE ENERGIA
	Podemos encontrar vários tipos de energia, dos quais se destacam duas categorias associadas ao movimento: energia potencial (energia de posição) e energia cinética (energia do movimento), que somadas nos dão a energia mecânica.
	Na categoria geral de energias do tipo potencial estão as energias que representam um potencial de interação armazenado por via de uma determinada posição relativa. Estas energias podem ser libertadas e convertidas noutras formas de energia, alterando o estado do sistema. A energia potencial está associada a uma força restauradora (tende a puxar um objeto à sua posição inicial quando o objeto é deslocado).
	Na categoria geral de energias do tipo cinético estão todas as energias relacionadas com um estado de movimento. Estas energias estão associadas a uma velocidade e, naturalmente, também podem ser convertidas noutras formas de energia.
Dessa forma, expressando matematicamente tudo que temos acima, levando em consideração que, no caso deste experimento, teremos envolvidas apenas a energia potencial gravitacional e a energia cinética, temos as equações abaixo:
	
	
	(8)
	
	
	(9)
	
	
	(10)
onde:
	Energia mecânica (total)
	Energia potencial gravitacional
	Energia cinética
DESENOLVIMENTO
	Primeiramente, com o auxílio de um dinamômetro e de um recipiente, determinamos o valor da massa da esfera metálica que utilizamos como projétil:
Peso do recipiente vazio 		4x(0,05) = 0,20N
Peso do recipiente com a esfera	7x(0,05) = 0,35N
Peso da esfera 				 = 0,15N
	
	
	
	
	8
	
	
	
	
	Também definimos e registramos, após termos efetuado os devidos ajustes no conjunto para lançamentos horizontais (rampa, papel carbono, papel seda, fita adesiva), as informações relativas à altura da saída da rampa à superfície da bancada (29 cm), e a altura na rampa da qual abandonaríamos a esfera para então observar seu movimento (6 cm).
	A partir dessas informações, e tendo conhecimento sobre a energia potencial gravitacional de um corpo, tomando como referencial de altura a superfície da bancada, calculamos os valores dessa forma de energia nos três pontos distintos a serem estudados:
Ponto A (posição inicial):
	
	εPG (a) =(a)
	
	
		
	εPG (a) =
	
	
	
		
	εPG (a) =
	
	
Ponto B (saída da rampa):
	
	εPG (b) =(b)
	
	
		
	εPG (b) =
	
	
	
		
	εPG (b) =
	
	
Ponto C (superfície da bancada):
	
	εPG (c) =(c)
	
	
		
	εPG (c) =
	
	
	
		
	εPG (c) =
	
	
Variação da energia potencial de A até B:
	
	ΔεPG = εPG(b) - εPG(a)
	
	
		
	ΔεPG = (b) - (a)
	
	
	
		
	ΔεPG = 
	
	
	Observamos que, a medida que a esfera se movimenta, sua altura em relação à referência diminui, enquanto sua velocidade aumenta. Esse decréscimo sofrido pela energia potencial gravitacional do móvel ao descer a rampa surge nas modalidades de energia cinética de translação (relacionada com o deslocamento propriamente dito) e de rotação (afinal, à medida em que se desloca, a esfera também gira em torno de si mesma, em torno de um eixo imaginário que passa pelo seu centro de massa).
	Se pudéssemos desprezar esse último movimento (de rotação da esfera), considerando que toda a energia potencial gravitacional seria transformada em energia cinética translacional (como desconsideramos em experimentos anteriores), teríamos que:
	
		
	εPG = εC
	
	
	
		
	
	
	
Mas, a partir do momento que passamos a considerá-la, temos que:
	
		
	εPG = εC
	
	
	
		
	
	
	
onde:
 é o momento de inércia em torno do diâmetro da esfera maciça ( );
é a velocidade angular da esfera, relacionada com a velocidade translacional do centro de massa pela relação ;
é a velocidade de translação do centro de massa da esfera.
O termo pode, então, ser escrito como:
Dessa forma, para a variação de altura de 6 cm, correspondente à posição inicial da esfera em relação à saída da rampa, temos que a velocidade de saída (lançamento) da esfera, determinada pelo princípio da conservação da energia, é de:
no primeiro caso:
 
 
 
no segundo caso:
 
Logo, 
	Isso nos permite interpretar que a velocidade com a qual o centro de massa da esfera chegaria ao término da rampa se não ocorresse o rolamento seria cerca de 15% maior do que realmente é. Embora a esfera tenha perdido esse percentual em sua velocidade translacional, o que implica uma diminuição da sua energia translacional; se observa que a quantidade perdida nessa modalidade energética surge como cinética de rotação, de modo que a conservação de energia continua se verificando.
Feitas essas observações, prosseguimos com a realização do experimento:
	Realizamos dez lançamentos da esfera abandonando-a do mesmo ponto A (de altura h = 6 cm da saída da rampa), e obtivemos o alcance horizontal de 14,1cm. Sabendo que a altura h(B) desde a saída da rampa até a esfera tocar a bancada é de 29cm, determinamos o tempo de queda da esfera da seguinte maneira (considerando apenas o movimento vertical):
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Significa que, ao tocar a superfície da bancada, a velocidade vertical da esfera vale 2,4 m/s.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Significa que a esfera leva 0,24 segundos pra percorrer os 29cm que separam a saída da rampa da superfície da bancada.
Agora, analisando o movimento horizontal da esfera, sabendo que o alcance foi de 14,1cm, sabendo que a velocidade horizontal é constante, e que a esfera levou 0,24 segundos para percorrer essa distância, temos que:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Mas, como o valor da componente horizontal da velocidade no instante em que a esfera abandona à rampa é o mesmo valor do vetor velocidade, temos que .
	
	Cabe, aqui, ressaltar para a diferença entre os valores determinados teoricamente do valor obtido através da experiência. Há uma disparidade muito grande. No caso de comparar esse valor experimental com o valor teórico correspondente à velocidade da esfera caso o movimento de rotação desta pudesse ser desconsiderado, onde toda a energia potencial seria transformada em energia cinética translacional, notamos que a diferença é de aproximadamente50%. Já no caso de compará-lo com um valor teórico mais realista, que é o caso da energia cinética sendo composta pelas parcelas relativas aos movimentos translacional e rotacional, essa diferença diminui para 40%. Continua, claro, sendo uma diferença grande, mas não podemos esquecer que estamos desconsiderando toda e qualquer força que atue no sistema de forma a roubar energia (como o atrito, a resistência do ar), além de desconsiderarmos as imprecisões do experimento que são impossíveis de serem eliminadas pelos alunos.
	Considerando que a esfera foi abandonada de uma altura de 6 cm na rampa, e com base no princípio da conservação da energia, temos que a expressão da energia potencial gravitacional do móvel no instante que antecede seu vôo é εC , e seu valor corresponde a εC .
	Ao chegar ao nível de saída da rampa, parte dessa energia que inicialmente se encontrava "armazenada" na esfera se "transformou" em energia cinética (perdeu altura, mas ganhou velocidade).
	A energia cinética total da esfera no instante de lançamento (considerando as parcelas translacional e rotacional), é dada por: 
	
	εC 
	
	Ao substituirmos a velocidade nessa fórmula pelas velocidades que encontramos anteriormente, teremos o valor da energia cinética do móvel. Lembrando que, se o sistema se apresentasse como conservativo na realidade, o valor da energia mecânica (total) do sistema (soma das energias potencial gravitacional e cinética) seria constante e igual à máxima energia do sistema, expressa pela energia potencial gravitacional do instante em que a esfera se encontra na posição inicial, ou seja, εM = 0,009J.
Substituindo o valor da velocidade pelos obtidos teórica e experimentalmente, vem:
Valores teóricos:
 
εC
εC
εC
 
εC
εC
εC
Valor experimental:
 
εC
εC
εC
	Comparando essas energias cinéticas com a variação da energia potencial gravitacional do início até o instante de lançamento da esfera, vemos que os valores não coincidem, e isso se deve aos seguintes motivos:
	No cálculo teórico da velocidade de lançamento , considera-se que toda a energia cinética da esfera está na forma translacional (ou seja, considera-se a energia cinética rotacional como, na verdade, translacional). Isso afeta a determinação da velocidade de lançamento de forma a aumentá-la em relação ao que realmente é, e consequentemente o cálculo da energia cinética também é afetado.
	Num segundo instante, quando se utiliza a velocidade de lançamento determinada através dos dados experimentais para calcular a energia cinética do móvel, temos que esta é muito inferior ao que deveria ser, e isso ocorre em virtude de estarmos desconsiderando completamente o movimento rotacional da esfera (afinal, aqui só conseguimos analisar a velocidade translacional em si), e também por não levarmos em conta a energia que foi dissipada ao longo da rampa pela força de atrito.
	Entretanto, concluímos disso que a energia cinética total do móvel ao abandonar a rampa esta em um valor entre esses dois extremos (0,012 e 0,003J), como esperado, afinal estamos falando de formas de energias que se transformam entre si, ou seja, os valores de εC e εPG devem ser, se não iguais (devido à forças que dissipam parte dessa energia), muito próximos.
	Utilizamos, então, a expressão da velocidade do centro de massa da esfera metálica em função de g e h para determinar qual seria a aproximação mais adequada e correta para a velocidade do centro de massa da esfera ao abandonar a rampa, considerando tanto o movimento de translação quando o de rotação, e obtivemos
	Confrontando esse valor com os dois obtidos anteriormente, podemos perceber que ele representa melhor a velocidade de lançamento e a consequente energia cinética do móvel, haja vista que, com essa velocidade, a energia cinética do corpo ao abandonar a rampa é muito próxima a variação da energia potencial gravitacional que o corpo sofre ao perder altura.
CONCLUSÃO
Obviamente, os dados obtidos através da execução do experimento não são tão exatos quanto esperaríamos que fossem com base nos cálculos, mas isso se justifica porque as condições de realização da experiência não são ideais, ou seja, na aplicação da teoria e execução dos cálculos nós desconsideramos completamente a resistência do ar, a força de atrito e outras influências que, na prática, não podem ser desconsideradas por afetarem os resultados obtidos. Além disso, há também a imprecisão do posicionamento da esfera na rampa durante as repetições dos lançamentos pelos alunos - é impossível posicionar a esfera exatamente na mesma altura da repetição anterior e liberá-la sem afetar de alguma forma o seu movimento. Apesar disso, pela proximidade entre os dados teóricos e práticos, podemos concluir, sem sombra de dúvidas e como esperado, que a teoria e a prática se confirmam.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, David. Fundamentos de Física, volume I, 8. ed.- Rio de Janeiro: LTC, 2008
Richard Feynman, R. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics Vol.1, 1, Addison-Wesley Publishing Company, California Institute of Technology, 1963.
http://www.ciencia-cultura.com/
 (acesso em 09/2013)
http://www.e-escola.pt/
(acesso em 11/2013)