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Universidade Federal de Campina Grande-UFCG
Centro de Ciência e Tecnologia-CCT
Unidade Acadêmica de Matemática-UAMat
Prof. Dr. Antonio Ronaldo Gomes Garcia
Lista de Exercícios 03 de Cálculo Diferencial e Integral II
(Eng. de Energia e Computação)
1. Seja r(t) a posição de uma particula no plano xy no instante t. Encontre uma
equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida encontre
os vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.
(a) r(t) = (t+ 1)i+ (t2 − 1)j, t = 1.
(b) r(t) = t
t+1
i+ 1
t
j, t = −1
2
.
(c) r(t) = eti+ 2
9
e2tj, t = ln 3.
(d) r(t) = cos(2t)i+ 3 sin(2t)j, t = 0.
2. Nos ítens abaixo, temos vetores posição de partículas que se movem ao longo
de diversas curvas no plano xy. Em cada caso, encontre os vetores velocidade
e aceleração da partícula nos instantes indicados e esboce-os como vetores na
curva.
(a) Movimento no círculo x2 + y2 = 1, r(t) = sin ti+ cos tj; t = pi
4
e pi
2
.
(b) Movimento na cicloide x = t− sin t, y = 1− cos t, r(t) = (t− sin t)i+(1−
cos t)j; t = pi e t = 3pi
2
.
(c) Movimento na parábola y = x2 + 1, r(t) = ti+ (t2 + 1)j; t = −1, 0 e 1.
3. r(t) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores
velocidade, aceleração e retardo da partícula. Em seguida, encontre o módulo
da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de
t. Escreva a velocidade da partícula naquela instante como o produto de sua
velocidade e versor.
(a) r(t) = (t+ 1)i+ (t2 − 1)j + 2tk, t = 1.
(b) r(t) = sec ti+ tan tj + 4
3
tk, t = pi
6
.
(c) r(t) = 2 ln(t+ 1)i+ t2j + t
2
2
k, t = 1.
(d) r(t) = e−ti+ 2 cos(3t)j + 2 sin(3t)k, t = 0.
4. Nos ítens abaixo, r(t) é a posição de uma partícula no espaço no instante t.
Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante t = 0.
(a) r(t) = (3t+ 1)i+
√
3tj + t2k.
1
(b) r(t) = ln(t2 + 1)i+ arctan tj +
√
t2 + 1k.
(c) r(t) = 4
9
(1 + t)
3
2 i+ 4
9
(1− t) 32 j + 1
3
tk.
5. A reta tangente a uma curva suave r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k em t = t0 é a
reta que passa pelo ponto r(t0) = (f(t0), g(t0), h(t0)) paralela a v(t0), o vetor
velocidade da curva em t0. Encontre equações paramétricas para a reta que é
tangente à curva determinada no valor dado do parramétro t = t0.
(a) r(t) = sin ti+ (t2 − cos t)j + etk, t0 = 0.
(b) r(t) = ln ti+ t−1
t+2
j + t ln tk, t0 = 1.
(c) r(t) = cos ti+ sin tj + sin(2t)k, t0 =
pi
2
.
6. Mostre que a função a valores vetoriais
r(t) = (2i+ 2j + k) + cos t(
1√
2
i− 1√
2
j) + sin t(
1√
3
i+
1√
3
j +
1√
3
k)
descreve o movimento de uma partícula que se move no círculo de raio 1 centrado
no ponto (2, 2, 1) e permanece no plano x+ y − 2z = 2.
7. Prove as regras do produto escalar e do produto vetorial para a derivada, isto
é, d
dt
(u(t) · v(t)) = d
dt
u(t) · v(t) + u(t) · d
dt
v(t) e d
dt
(u(t)× v(t)) = d
dt
u(t)× v(t) +
u(t)× d
dt
v(t).
8. Calcule as integrais definidas das curvas abaixo.
(a)
∫ 1
0
r(t)dt, onde r(t) = t3i+ 7j + (t+ 1)k.
(b)
∫ 2
1
r(t)dt, onde r(t) = (6− 6t)i+ 3√tj + 4
t2
k.
(c)
∫ pi
4
−pi
4
r(t)dt, onde r(t) = sin ti+ (1 + cos t)j + sec2 tk.
(d)
∫ pi
3
0
r(t)dt, onde r(t) = (sec t tan t, tan t, 2 sin t cos t).
(e)
∫ 4
1
(1
t
i+ 1
5−tj +
1
2t
k)dt
(f)
∫ 1
0
(tet
2
i+ e−tj + k)dt.
(g)
∫ 1
0
( 2√
1−t2 i+
√
3
1+t2
k)dt.
(h)
∫ ln 3
1
(tet, et, ln t)dt.
9. Resolve os problemas de valor inicial (PVI) para r como uma função vetorial de
t.
(a) dr
dt
= −ti− tj − tk com r(0) = i+ 2j + 3k.
(b) dr
dt
= (t3 + 4t)i+ tj + 2t2k com r(0) = i+ j
(c) dr
dt
= 3
2
√
t+ 1i+ e−tj + 1
t+1
k com r(0) = k.
2
(d) d
2r
dt2
= −(i+ j + k) com r(0) = 10i+ 10j + 10k e dr
dt
|t=0 = 0.
(e) d
2
r
dt2
= −32k com r(0) = 100k e dr
dt
|t=0 = 8i+ 8j.
10. Uma asa delta está levantando um voo ao longo da hélice r(t) = cos ti+sin tj+tk.
Qual o comprimento da trajetória do planador entre t = 0 e t = 2pi?
11. Encontre o vetor tangente unitário da curva r(t) = (3 cos t, 3 sin t, t2).
12. Parâmetro de comprimento de arco com ponto base P (t0) é dado pela fórmula
s(t) =
t∫
t0
√
x′(τ)2 + y′(τ)2 + z′(τ)2dτ =
t∫
t0
‖v(τ)‖dτ.
Então se r(t) = (cos t, sin t, t), encontre a sua parametrização pelo comprimento
de arco, isto é, r(t(s)), onde t0 = 0.
13. Encontre o vetor tangente unitário da curva. Encontre também o comprimento
da parte da parte indicada da curva.
(a) r(t) = 2 cos ti+ 2 sin tj +
√
5tk, 0 ≤ t ≤ pi.
(b) r(t) = (6t3,−2t3,−3t3), 1 ≤ t ≤ 2.
(c) r(t) = (t sin t + cos t, t cos t− sin t, 0), √2 ≤ t ≤ 2.
14. Encontre o parâmetro de comprimento de arco ao longo da curva a partir do
ponto em que t = 0, avaliando a integral
s =
t∫
0
‖v(τ‖dt
e em seguida, encontre o comprimento da parte indicada da curva.
(a) r(t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t), 0 ≤ t ≤ pi
2
.
(b) r(t) = et cos ti+ et sin tj + etk, − ln 4 ≤ t ≤ 0.
(c) r(t) = (1 + 2t, 1 + 3t, 6− 6t), −1 ≤ t ≤ 0.
15. A fórmula para se calcular a curvatura de uma curva é K = 1‖v‖‖dTdt ‖, onde
T = v‖v‖ é o vetor tangente unitário, isto é, o versor do vetor velocidade. Calcule
a curvatura de um círculo de raio a.
16. Se r(t) é uma curva suave, então o vetor normal unitário principal é dado por
N =
dT
dt
‖ dT
dt
‖ , em que T =
v
‖v‖ é o versor do vetor velocidade. Encontre os vetores
T e N para o movimento circular r(t) = cos(2t)i+ sin(2t)j.
3
17. Estude as Secções 13.5 e 13.6 do nosso livro texto fazendo um resumo explicativo
deles.
18. Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries. Para quais valores de x
a série converge, absolutamente? e condicionalmente?
(a)
∑∞
n=0 x
n.
(b)
∑∞
n=0(−12)n(x− 2)n.
(c)
∑∞
n=1(−1)n−1 x
n
n
.
(d)
∑∞
n=1(−1)n−1 x
2n−1
2n−1 .
(e)
∑∞
n=0
xn
n!
.
(f)
∑∞
n=0 n!x
n.
(g)
∑∞
n=0
nxn
n+2
.
19. Encontre as séries para f ′(x) e f ′′(x) se f(x) =
∑∞
n=0 x
n.
20. Identifique a função f(x) =
∑∞
n=0
(−1)nx2n+1
2n+1
, −1 ≤ x ≤ 1.
21. Encontre a série de Taylor gerada ela função f(x) = 1
x
em a = 2.
22. Encontre a série de Taylor e os polinômios de Taylor gerados or f(x) = ex em
x = 0. Faça o mesmo para g(x) = cosx em x = 0.
23. Mostre que a série de Taylor gerada por f(x) = ex em x = 0 converge para
f(x), ∀ x ∈ R.
24. Mostre que a série de Taylor para sin x e cosx em x = 0 converge, respectiva-
mente, para sin x e cosx suas funções geradoras em toda reta real.
Referência
Thomas, George B., Cálculo, Vol. 2, Décima segunda Ed., PEARSON, São Paulo-
SP, 2012.
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