Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff e malhas

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Circuitos 
Elétricos I 
5ª a 7ª Aula 
 
Técnicas de Análise de Circuito 
Técnicas de Análise de Circuito 
1.Leis de Kirchhoff 
2.Divisores de Tensão 
3.Divisores de Corrente 
4.Teorema da Superposição 
5.Análise Malhas 
6.Análise Nodal 
7.Teoremas de Thevenin e Norton 
8.Teorema da Máxima Transferência 
de Potência 
 
Técnicas de Análise de Circuito 
1) Leis de Kirchhoff 
1) Leis de Kirchhoff 
Objetivo: 
Obter Tensões e Correntes no Circuito 
Equações Simultâneas 
Eqs. = Número de ramos, b, onde as correntes são desconhecidas. 
n Nós  (n-1) Equações de Nó (se faltam equações??). 
b-(n-1) Equações de Laço.  (não garante equações independentes) 
+ Equações dos Bipolos, f(v,i)=0. 
Equações Simultâneas Independentes 
Utiliza-se os Ramos Essenciais, Nós Essenciais e Malhas. 
Diminui o número de equações 
Eqs. = Número de Ramos Essenciais, be, onde as correntes são 
desconhecidas. 
ne Nós Essenciais  (ne-1) Equações de Nó (se faltam 
equações??). 
be -(ne -1) Equações de Malha (garante equações independentes). 
+ Equações dos Bipolos, f(v,i)=0. 
1) Leis de Kirchhoff 
 Método Sistemático para obter Equações Simultâneas 
Independentes 
Marcar os nós essenciais 
 Contar os nós essenciais (ne) 
 Assinalar as correntes desconhecidas de cada ramo essencial 
 Contar as correntes desconhecidas (be) 
 Assinalar a tensão de cada bipolo seguindo a convenção 
passiva 
 Escrever as (ne-1) equações de nó 
Marcar as malhas ( exceto as que contêm fontes de corrente) ou e 
super malhas 
 Escrever as be-(ne-1) equações de malha 
 Escrever as equações dos bipolos (relaciona i com v) 
 Substituir as equações dos bipolos nas equações de nó ou nas 
de malha 
 Resolver o sistema com be equações 
1) Leis de Kirchhoff 
2) Divisor de Tensão. 
Introdução à Análise de Circuitos – 10ed. Robert L. Boylestad 
Cap. 5 
Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – 4ª ed. 
David E. Johnson - Cap. 2 
2) Divisor de Tensão. 
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de tensão 
nos diz como uma tensão que é aplicada em um 
conjunto de elementos em série se divide entre esses 
elementos, porém a corrente é a mesma em todos os 
elementos. 
A tensão entre os terminais dos elementos resistivos 
divide-se na mesma proporção que os valores de 
resistência. 
2) Divisor de Tensão. 
Os circuitos divisores de tensão fornecem 
em sua saída, uma tensão com valor menor 
que o de entrada. 
 
 
Podem ser : 
 
• Divisor de Tensão Sem Carga 
 
• Divisor de Tensão Com Carga 
 
2) Divisor de Tensão. 
Vs 
𝑽𝑵 = I * Rn 
2) Divisor de Tensão: 
Sem Carga 
𝑹𝒆 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + … + 𝑹𝒏 
𝑰 = 
𝑽𝒔 
𝑹𝒆
 
𝑽𝑵 = 
𝑽𝒔 ∗ 𝑹𝒏
𝑹𝒆
 
Vs 
2) Divisor de Tensão: 
Sem Carga – exemplo com duas resistências 
Vs 𝑽𝑨𝑩 = 𝑽𝑹𝟐 = 
𝑽𝒔 ∗ 𝑹𝟐
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
 
2) Divisor de Tensão. 2) Divisor de Tensão: 
Sem Carga 
Qual o Valor de Vs 
𝑹𝒆 = 𝑹𝟏 + R2 
𝑹𝒆 = 𝟒, 𝟕𝒌 + 3,3k 
𝑹𝒆 = 𝟖𝒌Ω 
𝑽𝑺 =
𝟏𝟔 ∗ 3,3k 
𝟖𝒌
 
𝑽𝑺 = 6,6V 
𝑽𝑺 = 
𝑼 ∗ R2 
𝑹𝒆
 
𝑽𝒔 
2) Divisor de Tensão. 
𝑽𝑵 = I * Rn 
2) Divisor de Tensão: 
Com Carga 
𝑹𝒆 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐+. . +( Rn // RL) 
𝑰 = 
𝑽𝒔 
𝑹𝒆
 
𝑽𝑹𝑳 = 
𝑽𝒔 ∗ (Rn // RL) 
𝑹𝒆
 
Vs 
Vs 
RL VRL 
2) Divisor de Tensão. 2) Divisor de Tensão: 
Com Carga 
Qual o Valor de Vs p/ RL = 3k3Ω 
𝑹𝒆 = 𝑹𝟏 + ( R2 // RL) 
𝑹𝒆 = 𝟒, 𝟕𝒌 + ( 3,3k // 3,3k) 
𝑹𝒆 = 𝟒, 𝟕𝒌 + 1,66k 
𝑹𝒆 = 𝟔, 𝟑𝟔𝒌Ω 
𝑽𝑺 =
𝟏𝟔 ∗ ( 3,3k // 3,3k) 
𝟔, 𝟑𝟔𝒌
 
𝑽𝑺 = 4,17 V 
𝑽𝑺 = 
𝑼 ∗ (Rn // RL) 
𝑹𝒆
 
2) Divisor de Tensão. 2) Divisor de Tensão: - Exercícios 
2) Divisor de Tensão. 2) Divisor de Tensão: 
2) Divisor de Tensão. 2) Divisor de Tensão: 
3) Divisor de Corrente 
Introdução à Análise de Circuitos – 10ed. Robert L. Boylestad 
Cap. 6 
Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – 4ª ed. 
David E. Johnson - Cap. 2 
3) Divisor de Corrente: 
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de 
corrente nos diz como uma corrente que entra 
em um conjunto de elementos em paralelos se 
divide entre esses elementos, porém a tensão é a 
mesma para todos. 
A corrente nos terminais dos elementos resistivos 
divide-se na mesma proporção que os valores de 
resistência. 
 
3) Divisor de Corrente: 
Como os resistores estão em paralelo, temos: 
𝑰𝒊 = 
𝑽
𝑹𝒊
 (𝟏) 
Mas a tensão V aplicada ao divisor de corrente vale: 
𝑽 = 𝑹𝒆𝒒 ∗ 𝑰 (𝟐) 
Substituindo a equação (2) na equação (1), temos: 
𝑰𝒊 = 
𝑰 ∗ 𝑹𝒆𝒒
𝑹𝒊
 Req = 
1 
 1 
 
R1 
 1 
 
R2 
 1 
 
Rk 
 1 
 
Rn 
+ + + + + .... .... 
Onde: 
3) Divisor de Corrente: 
Exemplo 
5A 
+ 
 
v 
 
 - 
Bipolo iR1 12 20 10 iR2 iR3 60 iR4 iR3 = ? 
𝒊𝑹𝟑 = 
𝑰 ∗ 𝑹𝒆𝒒
𝑹𝟑
 
iR3 = 
 1 5 
 10 
 . 
 1 
 12 
+ 
 1 
 20 
+ 
 1 
 10 
+ 
 1 
 60 
𝒊𝑹𝟑 = 𝟐𝑨 
3) Divisor de Corrente: 
1) 
2) 
3) Divisor de Corrente: 
3) 
4) 
3) Divisor de Corrente: 
5) 
4) Teorema da 
Superposição 
Introdução à Análise de Circuitos – 10ed. Robert L. Boylestad 
Cap. 9 
Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – 4ª ed. 
David E. Johnson - Cap. 5 
PRINCÍPIO DA 
EQUIVALÊNCIA 
(Associação de Elementos) 
PRINCÍPIO DE 
LINEARIDADE 
Teorema 
da 
Superposição 
4) Teorema da Superposição 
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA 
Superposição 4) Teorema da Superposição 
PRINCÍPIO DA LINEARIDADE 
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA 
4) Teorema da Superposição 
Em um circuito elétrico linear com 
mais de uma fonte, é possível calcular a corrente 
ou a tensão em qualquer ponto do circuito como a 
soma algébrica das contribuições individuais das 
fontes. Considerações: 
 
 
 
Fontes de Tensão não analisadas 
(inativas) são consideradas curto 
circuitos; 
4) Teorema da Superposição 
Fontes controladas devem ser sempre 
consideradas ativas. 
Fontes de corrente não analisadas 
(inativas) são consideradas circuitos 
abertos; 
4) Teorema da Superposição 
4) Teorema da Superposição 
6ki1  3ki2  v1 
 3ki1  9ki2  v2 
v1 v2 
i1 
3k 6k 
i2 
3k 
EXEMPLO: 
Determine o valor de i1 em função das tensões das fontes 
 
Pela LKV (malha) tem-se: 
1 
 v2 
5k 15k 
i  
v1 
Resposta: 
4) Teorema da Superposição 
R 
eq 
 
6k  3k 
 2k 
6k  3k 
1 
a i  ? 
ia 
1 
 
v1 
5k 
2k 
ia 
1 
Pelo teorema da superposição (Fonte 1 ativa / Fonte 2 inativa ): 
 
Associação em Paralelo 
4) Teorema da Superposição 
R 
eq 
 
3k  3k 
 1,5k 
3k  3k 
 ? b 1 i i 
b 
2 
1,5k 
 
ib 
2 i
b 
k) 
2 
(6k  1,5 
 v2  
 v2 
 7,5k 
 
Pelo teorema da superposição (Fonte 2 ativa / Fonte 1 inativa): 
 
 Associação em Paralelo 
4) Teorema da Superposição 
 ? b 1 i i 
b 
2 
3k 
 
 v2 
7,5k 3k  3k 15k 
3k 
 
 v2 . 
3k  3k 
ib  ib 
1 2 
ib 
2 
 
 v2 
7,5k 
Usando um divisor de corrente (cálculo de ib ) 
1 
ib 
1 
 
 v2 
15k 
1 
b i  ? 
4) Teorema da Superposição 
1 1 1 
 v2 
5k 15k 
i  ia  ib  
v1 
ib 
1 
ia 
1 
i1 
 
 
Pelo teorema da superposição tem-se que: 
4) Teorema da Superposição 
1 1 1 
 v2 
5k 15k 
i  ia  ib  
v1 
i b 
1 
i a 
1 
i1 
Pergunta: 
O teorema da superposição é válido para o cálculo 
da potência dissipada emum resistor? 
P  Pa
  Pb 
1 
1 1 1 
 v2 
5k 15k 
i  ia  ib  
v1 
i b 
1 
i a 
1 
1 i 
Supondo v1 e v2 iguais a 30kV, Determine a potência 
dissipada pelo resistor de 3kΩ que está em série com a fonte 
v1. 
5k 15k 
1 
i  
30k 
 
30k 
 6  2  4A 1ª) 
P  R i2  3k  42  48kW 
1 
1 1 
 
30k 
 - 2 
15k 
 
30k 
 6 
5k 
ib ia 
P  R (ia )2  R (ib )2  3k (6)2  3k ( 2)2  120kW 
1 1 
2ª) P  Pa  Pb 
 
P  48kW 
 
P  120kW 
Resultados Diferentes !!! 
4) Teorema da Superposição 
P  Pa  Pb  R  ia  R  ib 
1 1 1 
 ERRADO! 
A expressão correta é: 
 
P  R  (ia ib )2 
 
 1 1 1 
 
4) Teorema da Superposição 
 
P  48kW Resultados 
Diferentes !!! 
P  3k  ( 6 - 2 )2 
 
 
EXERCÍCIO: 
Determine o valor da tensão e1 e e2, do circuito elétrico 
abaixo, pelo teorema da superposição 
5k 
1k 
2k 
6v 
3k 
5mA 
e1 e2 
4) Teorema da Superposição 
4) Teorema da Superposição 
eb 
1 
eb 
2 
2 2 2 
e  ea  eb 
e  ea  eb 
1 1 1 
ea 
1 
ea 
2 
Req  5k 
Fonte de corrente inativa ( Circuito Aberto) 
 
Associação em Série 
4) Teorema da Superposição 
5k 
1k 
6v 
5k 
eb 
1 
eb 
2 
5k 
1k 
6v 
5k 
eb 
1 
eb 
2 
eq R  
5k  5k 
 2,5k 
5k  5k 
Associação em Paralelo 
2,5k 
1k 
6v 
eb 
1 
4) Teorema da Superposição 
5k 
1k 
6v 
5k 
eb 
1 
eb 
2 
2,5k 
1 
 4,28V 
1k  2,5k 
eb  6 
Usando um divisor de tensão (cálculo de e
b 
) 1 
3k 
2  2,57V 
3k  2k 
eb  4,28 
2 
4) Teorema da Superposição 
Usando um divisor de tensão (cálculo de e
b 
) 
R  
5k 1k 
 833 
5k 1k 
eq1 
Fonte de tensão inativa (Curto Circuito) 
 
1º Associação em Paralelo 
eq 2 
R  833  2k 
2º Associação em Série 
3º Associação em Paralelo 
4) Teorema da Superposição 
eq 2 
R  2,83kΩ Reqf = 
2830 ∗ 3000
2830+3000
 
Reqf = 1,45kΩ 
5mA 
1,45k 
ea 
2 
2 e
a  1,455  7,28V 
4) Teorema da Superposição 
ea 
( 
5 
k) 
1 
( 
5 
k)  2k 
6 
 7,28. 6  2,14V 
Usando um divisor de tensão (cálculo de ea ) 1 
4) Teorema da Superposição 
1) Fonte de corrente inativa 
eb  4,28V eb  2,57V 
1 2 
 
 
2) Fonte de tensão inativa 
ea 
1 
 2,14V 
2 
ea  7,28V 
2 2 2 e  e
a  eb 
 6,43V 
 9,86V 
e  ea  eb 
1 1 1 
5k 
1k 
2k 
6v 
3k 
5mA 
e1 e2 3) Solução Final (superposição) 
4) Teorema da Superposição 
5) Análise Malhas 
Introdução à Análise de Circuitos – 10ed. Robert L. Boylestad 
Cap. 8 
Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – 4ª ed. 
David E. Johnson - Cap. 4 
5) Análise Malhas 
O método de análise das malhas só é aplicado 
às redes planares. Se for possível desenhar o 
diagrama de um circuito numa superfície 
plana, sem que haja cruzamento dos ramos, 
então o circuito é dito planar. 
PLANAR NÃO 
PLANAR 
5) Análise Malhas 
Um circuito é uma rede que contém pelo 
menos um caminho fechado por onde possa 
fluir corrente. O nome oficial para esse 
caminho é laço. Assim, se iniciarmos por 
um determinado nó e traçarmos pela rede 
uma linha fechada contínua, passando uma 
vez em cada nó e terminando no nó de 
partida, este caminho é um laço. 
 
A malha é uma propriedade de circuitos 
planares e é definida como sendo um laço 
que não contém nenhum outro por dentro. 
5) Análise Malhas 
5) Análise Malhas 
Análise Malhas – 5 Etapas 
1) Definir malhas e sentido da correntes. 
• Circuito Planar com b ramos e n nós possui (b-n+1) 
malhas 
• As correntes das malhas são numeradas de 1 a (b-n+1), 
sendo identificadas como i1, i2,......, i(b-n+1) -> atribuir 
sentido horário para análise. 
2) Aplicar LKT para as (b-n+1) malhas. 
3) Utilizando a Lei de Ohm, expressar as tensões nos ramos em 
função das (b-n+1) corrente de malha. 
4) Solução do sistema de equações lineares. 
5) Obtenção das correntes e tensões nos ramos. 
Relembrando ..... Método de Cramer 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn 
. 
. 
. 
5) Análise Malhas 
x1 x2 x3 ... xn 
. . 
. 
. . 
. 
x1 x2 x3 ... xn 
x1 x2 x3 ... xn 
a11 a12 a13 ... a1n 
a21 a22 a23 ... a2n 
. . 
. 
. . 
. 
an1 an2 an3 ... ann 
X = 
b1 a12 a13 ... a1n 
b2 a22 a23 ... a2n 
. . 
. 
. . 
. 
bn an2 an3 ... ann 
x1 = 
a11 b1 a13 ... a1n 
a21 b2 a23 ... a2n 
. . 
. 
. . 
. 
an1 bn an3 ... ann 
x2 = 
a11 a12 b1 ... a1n 
a21 a22 b2 ... a2n 
. . 
. 
. . 
. 
an1 an2 bn ... ann 
x3 = . . 
. 
a11 a12 a13 ... b1 
a21 a22 a23 ... b2 
. . 
. 
. . 
. 
an1 an2 an3 ... bn 
xn = 
a11 a12 a13 ... a1n 
a21 a22 a23 ... a2n 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
an1 an2 an3 ... ann 
 = 
5) Análise Malhas 
Se   0 temos: 
x1 
x1=  
x2 
x2=  
x3 
x3=  
xn 
xn=  
; ; ; ... ; 
5) Análise Malhas 
Método de Cramer 
5) Análise Malhas 
Pelo Método de Cramer, na análise do 
circuito teremos a seguinte matriz. 
[R]: Matriz de resistências, é uma matriz N×N simétrica 
 
[im]: matriz das correntes. De coluna N×1 tal que imi1 = corrente da 
malha i. 
 
[vs]: matriz de tensões. De coluna N×1 tal que vsi1 = soma das fontes de 
tensão na malha i (positivo se corrente da fonte no mesmo sentido da 
corrente da malha). 
5) Análise Malhas 
No exemplo da figura abaixo, pede-se determinar as correntes i1, i2 e 
i2 com o uso do método das malhas. 
 
5) Análise Malhas 
Definir as equações de cada malha. 
 
Malha 01: 
a) R1*IM1 + R3*(IM1-IM2) = Vs1 – VS2 
 R1*IM1+ R3*IM1-R3*IM2 = Vs1 – VS2 
 (R1 +R3) * IM1 - R3*IM2 = Vs1 - VS2 
 (2+ 3) * IM1 - 3*IM2 = 16 - 9 
 5 * IM1 - 3 * IM2 = 5 
Malha 02: 
b) R2*IM2 + R3*(IM2-IM1) = Vs2 – VS3 
 R2*IM2+ R3*IM2-R3*IM1 = Vs2 – VS3 
 - R3 * IM1 + (R3+R2) * IM2 = Vs2 – VS3 
 - 3 * IM1 + (3+6)*IM2 = 9 - 6 
 - 3 * IM1 + 9 * IM2 = 3 
5) Análise Malhas 
Im1 
Im1=  
Im2 
Im2= 
 
; 
 = 
+ - 
 = (5 * 9) – (-3 *-3) 
 = 36 
5) Análise Malhas 
Im1 
Im1=  
 Im1 = (5 * 9) – (-3 *3) 
 Im1 = 54 
 = 
+ - 
54 
=
 
36 
=1,5A 
Determinação de Im1 
5) Análise Malhas 
Im2 
Im2=  
 Im2 = (5 * 3) – (5 *-3) 
 Im2 = 30 
 = 
+ - 
30 
=
 
36 
=0,83A 
Determinação de Im2 
5) Análise Malhas 
Correntes finais 
I1= Im1 = 1,5 A 
I3= Im2 = 0,83 A 
I2= Im1 - Im2 = 0,67 A 
5) Análise Malhas 
Exercícios 
6) Análise Nodal 
Introdução à Análise de Circuitos – 10ed. Robert L. Boylestad 
Cap. 8 
Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – 4ª ed. 
David E. Johnson - Cap. 4 
A tensão de nó 
é definida como a 
diferença entre a 
tensão de um nó 
qualquer e o nó de 
referência. 
oVV 2)2( 01)1( VV  03)3( VV 
Nó de Referencia 
6) Análise Nodal 
Nó essencial : 
 
É o nó que possui 3 ou 
mais componentes 
ligados 
Calcula-se as correntes que saem de 
cada um dos ramosligados ao nó, em 
função da tensão em relação ao nó de 
interesse. 
3
2
3
R
VV
i o


1
12
1
R
VV
i


2
32
2
R
VV
i


6) Análise Nodal 
0321  iii
Aplica-se a lei de kirchoff para as 
correntes ao nó de interesse para 
determinar as equações para as tensões 
ao nó. 
0
3
2
2
32
1
12 





R
VV
R
VV
R
VV o
0321  III
6) Análise Nodal 
6) Análise Nodal 
Exemplo 
Nó essencial : 
6) Análise Nodal 
V1 V2 
0v 
Nó essencial : 
a) Referência 0v 
b) V1 e V2 
6) Análise Nodal 
V1 V2 
0v 
Equações de nó V1 
Aplicando a LKC no nó V1 teremos: 
 
Ia + Ib + Ic = 0 
V1 V2 
0v 
6) Análise Nodal 
Equações de nó V1 
Ia + Ib + Ic = 0 => 
𝑽𝒂
𝑹𝒂
+
𝑽𝒃
𝑹𝒃
+
𝑽𝒄
𝑹𝒄
 = 0 
𝑽𝟏 −𝟏𝟎
𝟓
+
𝑽𝟏− 𝟎
𝟒𝟎
+
𝑽𝟏 −𝑽𝟐
𝟏𝟎
 = 0 
𝑽𝟏 −𝟏𝟎
𝟓
+
𝑽𝟏
𝟒𝟎
+
𝑽𝟏 −𝑽𝟐
𝟏𝟎
 = 0 
6) Análise Nodal 
Equações de nó V1 
𝑽𝟏 −𝟏𝟎
𝟓
+
𝑽𝟏
𝟒𝟎
+
𝑽𝟏 −𝑽𝟐
𝟏𝟎
 = 0 (x 40) 
𝟖 ∗ (𝑽𝟏 − 𝟏𝟎 ) + 𝑽𝟏 + 𝟒 ∗ (𝑽𝟏 − 𝑽𝟐) = 0 
𝟏𝟑𝑽𝟏 − 𝟒𝑽𝟐 = 𝟖𝟎 
V1 V2 
0v 
1 
6) Análise Nodal 
Equações de nó V2 
Aplicando a LKC no nó V2 teremos: 
 
Id + Ie + If = 0 
V1 V2 
0v 
6) Análise Nodal 
Equações de nó V2 
Id + Ie + If = 0 => 
𝑽𝒅
𝑹𝒅
+
𝑽𝒆
𝑹𝒆
+
𝑽𝒇
𝑹𝒇
 = 0 
𝑽𝟐 − 𝑽𝟏
𝟏𝟎
+
𝑽𝟐− 𝟎
𝟔𝟎
+
𝑽𝟐−(−𝟓)
𝟐𝟎
 = 0 
𝑽𝟐− 𝑽𝟏 
𝟏𝟎
+
𝑽𝟐
𝟔𝟎
+
𝑽𝟐+𝟓
𝟐𝟎
 = 0 
6) Análise Nodal 
Equações de nó V2 
𝟔 ∗ (𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 ) + 𝑽𝟐 + 𝟑 ∗ (𝑽𝟐 + 𝟓) = 0 
−𝟔𝑽𝟏 + 𝟏𝟎𝑽𝟐 = −𝟏𝟓 
𝑽𝟐− 𝑽𝟏 
𝟏𝟎
+
𝑽𝟐
𝟔𝟎
+
𝑽𝟐+𝟓
𝟐𝟎
 = 0 (x 60) 
2 
6) Análise Nodal 
Análise das Equações 
−𝟔𝑽𝟏 + 𝟏𝟎𝑽𝟐 = −𝟏𝟓 2 
𝟏𝟑𝑽𝟏 − 𝟒𝑽𝟐 = 𝟖𝟎 1 X 6 
X 13 
−𝟕𝟖𝑽𝟏 + 𝟏𝟑𝟎𝑽𝟐 = −𝟏𝟗𝟓 
𝟕𝟖𝑽𝟏 − 𝟐𝟒𝑽𝟐 = 𝟒𝟖𝟎 
 𝟏𝟎𝟔 𝑽𝟐 = 𝟐𝟖𝟓 
𝑽𝟐 =
𝟐𝟖𝟓
𝟏𝟎𝟔
 = 2,69 V 
 
𝑽𝟏= 6,98 V 
 
6) Análise Nodal 
•Utilizando o método das 
tensões de nó, determine os 
potenciais do circuito abaixo. 
6) Análise Nodal 
•Utilizando o método das 
tensões de nó, determine 
v1, v2 e v3. 
6) Análise Nodal 
•Utilizando o método das 
tensões de nó, determine 
v1, v2 e i. 
6) Análise Nodal 
7) Teoremas de 
Thevenin e Norton 
Introdução à Análise de Circuitos – 10ed. Robert L. Boylestad 
Cap. 9 
Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – 4ª ed. 
David E. Johnson - Cap. 5 
7.0) Gerador de Tensão e de Corrente 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
Equivalência entre um Gerador de Tensão e um Gerador de Corrente 
 
Dado um gerador de tensão existe um gerador de corrente e vise e 
versa, que lhe é equivalente, isto é, do ponto de vista de uma carga 
(RL) tanto faz ela estar ligada no gerador de tensão ou no de 
corrente. 
7.0) Gerador de Tensão e de Corrente 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
Equivalência entre um Gerador de Tensão e um Gerador de Corrente 
 
Para haver equivalência entre o gerador de corrente (Is, Rs) e o 
gerador de tensão (E,Ri ) deve haver a seguinte relação: 
1) Dada a fonte de corrente para obter a fonte de tensão equivalente: 
2) Dada a fonte de tensão para obter a fonte de corrente equivalente: 
E = Rs * Is & Ri = Rs 
Is = E / Ri & Rs = Ri 
7.0) Gerador de Tensão e de Corrente 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
"Dado um circuito contendo bipolos lineares e dois pontos desse 
circuito, pontos A e B. O circuito entre A e B pode ser substituído 
por um circuito equivalente constituído de uma fonte de tensão 
(VTH) em serie com uma resistência (RTH)". 
 
Circuito A Circuito B 
7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
- Etapas de análise 
1) Identificar os circuitos A e B 
2) Separar o circuito A de B 
3) Substituir o circuito A pelo seu 
 equivalente de Thevenin 
4) Voltar a ligar o circuito B e 
 determinar a variável de 
 interesse 
7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
– Como definir CT 
Circuito A Circuito B 
7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
a) Definir RTH 
Para iniciar, iremos curto-circuitar as fontes de tensão e deixar 
aberta as fonte de corrente, 
existentes e retiremos a carga. 
RTH 
RTH = R3 + ( R1 // R2) 
RTH = 1kΩ + ( 
2kΩ ∗ 2kΩ
2kΩ + 2kΩ
) RTH = 2kΩ 
R1 
R2 
R3 
R1 R2 
R3 
– Como definir CT 7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
b) Definir VTH 
Agora voltamos as fontes de tensão e corrente existentes e 
retiremos a carga. 
VTH = 
2kΩ ∗ 10
2kΩ + 2kΩ
 VTH = 5 v 
R1 
R2 
R3 VTH 
 
V1 
VTH = V1 V 
VTH = 
R2 ∗ V
 R1 + R2
 
– Como definir CT 7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
R1 
R2 
R3 
V VTH 
RTH 
Redesenhando o circuito com a carga: 
c) Circuito final 
– Como definir CT 7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
VL 
 
IL 
– Como definir CT 7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
c) Circuito final 
– Exemplo 2 7.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
 Exemplo - Vth? 
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
A 
B 
 + 
Vth 
 - 
i = 0 
 I25A
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5  
Vth = vR3 + vReq 
Vth = R3 i + Req(i + Ieq) 
Vth = 4.0 + 4.(0 + 8) = 32V 
 R5
10
R4
3
+
-
V2
10V
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
iz 
Rth
+
-
Vth +
-
V2
10V
R4
3
R5
1032V 
iz 
A 
B 
 + 
Vth 
 - 
i = 0 
 - vR3 + + 
 vReq 
 - 
Ieq
5A
R3
4
Req
48A 

 
– Exemplo 2 5.1) Teorema de Thevenin 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
 Exemplo - Rth? 
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
A 
B 
 + 
Vth 
 - 
i = 0 
 
 R5
10
R4
3
+
-
V2
10V
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
iz 

 
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25VV1 = 0 I1 = 0 
 Rth = = R1//R2 + R3 
 

 

 
Req 
R1 
1 
R2 
+ 
1 
= 8  
1 
+ R3 
Rth
+
-
Vth +
-
V2
10V
R4
3
R5
1032V 
 8 iz 
"Dado um circuito linear e dois pontos do circuito. Entre esses 
dois pontos, o circuito pode ser substituído por uma fonte de 
corrente (IN) em paralelo com uma resistência (RN) ". 
Circuito A Circuito B 
7.2) Teorema de Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
i 
+ 
 
v 
 
- 
A 
B 
RNIN
IN é a corrente de curto circuito entre A e B. 
RN é a resistência equivalente entre A e B. 
- Etapas de análise 
1) Identificar os circuitos A e B 
2) Separar o circuito A de B 
3) Substituir o circuito A pelo seu 
 equivalente de Norton 
4) Voltar a ligar o circuito B edeterminar a variável de 
 interesse 
7.2) Teorema de Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
7.2) Teorema de Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
Procedimento para a obtenção do circuito equivalente de Norton, 
1. considerando-se que RL é uma carga 
qualquer, elimina-se o mesmo do circuito 
obtendo-se assim os pontos a e b; 
2. coloca-se o GT (fonte) em curto e GC em 
aberto; 
3. com a fonte em curto e GC aberto, 
calcula-se a resistência equivalente vista 
através dos pontos a e b; 
4. elimina-se o curto da fonte, coloca-se a 
carga em curto e calcula-se agora a 
corrente entre os pontos a e b. 
“Para definir o circuito de Norton, usaremos a teoria da 
reciprocidade entre Thevenin e Norton, e assim definimos o 
circuito de Thevenin e o convertemos em circuito de Norton”. 
VTH 
RTH 
RTH IN 
IN = VTH / RTH 
7.2) Teorema de Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
No exemplo 1, anterior como ficaria o circuito de Norton. 
IN = 5 / 2000 
5v 
2kΩ 
 
2k 2,5mA 
7.2) Teorema de Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
– Exemplo 2 7.2) Teorema de Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
 Exemplo - In? 
 R5
10
R4
3
+
-
V2
10V
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
iz 

 
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
A 
B 
 + 
v=0 
 - 
IN 
I2
5A
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5  
A 
B 
A 
Ieq
5A
R3
4
Req
4
IN 
B 
8A 
Req IN = Ieq 
(Req + R3) 
4 IN = 8 
(4+4) 
= 4 A 
 
Rth
+
-
Vth +
-
V2
10V
R4
3
R5
1020V 
iz 
 8 RN
IN
3,33A4A 
– Exemplo 2 7.2) Teorema de Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
 Exemplo - RN? 
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
A 
B 
i = 0 
 
 R5
10
R4
3
+
-
V2
10V
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25V
iz 

 
R3
4
I1
3A
R2
20
R1
5
+
-
V1
25VV1 = 0 I1 = 0 
 RN = = R1//R2 + R3 
 

 

 
Req 
R1 
1 
R2 
+ 
1 
= 8  
1 
+ R3 
Rth
+
-
Vth +
-
V2
10V
R4
3
R5
1020V 
iz 
 8 RN
IN
3,33A4A 
7.3) Equivalência Teorema de Thevenin => Norton 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
th
th
N
R
V
I Nth
RR 
7) Teoremas de Thevenin e Norton 
7.4) Equivalência Teorema de Norton => Thevenin 
NNth RIV *Nth RR 
Técnicas de Análise de Circuito 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
O teorema da máxima transferência de potência 
fornece: 
 
Uma carga receberá plena potência de uma fonte de 
energia, quando o valor de sua resistência total é 
exatamente igual à rede de resistência Thevenin / 
Norton como é "visto" pela carga. 
Esse teorema trata fundamentalmente da 
transferência de energia entre a fonte 
(baterias, geradores) e a carga do circuito 
(resistores) 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Circuito de corrente contínua linear 
bilateral: Potência transferida para carga 
máxima quando a resistência da carga for 
exatamente igual à resistência de 
Thévenin/Norton do circuito ligado a esta 
carga : RL = RTh = RN 
A condição para a potência máxima 
entregue à carga, é quando RL = RTH , 
portanto para o circuito de Thevenin 
teremos: 
𝑰 =
𝑬𝑻𝒉
𝑹𝑻𝒉 + 𝑹𝑳
=
𝑬𝑻𝒉
𝟐𝑹𝑻𝒉
 
𝑷𝑳 = 𝑰
𝟐𝑹𝑳 => 
𝑷𝑳𝒎á𝒙 =
𝑬𝑻𝑯
𝟐
𝟒𝑹𝑻𝑯
 𝒘𝒂𝒕𝒕𝒔, 𝑾 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
𝑷𝑳 =
𝑬𝑻𝑯
𝟐𝑹𝑻𝑯
𝟒𝑹𝑻𝑯
𝟐 
𝑷𝑳 =
𝑬𝑻𝑯
𝟐𝑹𝑻𝑯
𝟐
𝑹𝑻𝑯 
 Para o circuito de Norton teremos que: 
 
 
 
 
 
 A eficiencia de um sistema esta definida pela 
razão da potência entregue a carga e a 
potência gerada pela fonte: 
𝑷𝑳𝒎á𝒙 =
𝑰𝑵
𝟐𝑹𝑵
𝟒
 𝒘𝒂𝒕𝒕𝒔, 𝑾 
𝜼% =
𝑷𝑹𝑳
𝑷𝒔
× 𝟏𝟎𝟎% =
𝑰𝑳
𝟐𝑹𝑳
𝑰𝑳
𝟐𝑹𝑻
 𝒘𝒂𝒕𝒕𝒔, 𝑾 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Exemplo1: 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Exemplo2: 
a) Qual o valor de RL para a máxima transferência de potência ? 
RL = 2,5 Ω RL = 0,5 Ω RL = 40 Ω 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Exemplo2: 
b) Determine 𝑹𝑳 para uma eficiência de 75% 
b1) Para el generador de cd, 
 
 
 
b2) Para la batería 
 
 
 
b3) Para la fuente de alimentación 
 
 
 
 
 
 
𝑹𝑳 =
𝜼𝑹𝑻𝑯
𝟏 − 𝜼
=
𝟎. 𝟕𝟓 𝟐. 𝟓𝜴
𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟓
= 𝟕. 𝟓𝜴 
𝑹𝑳 =
𝜼𝑹𝑻𝑯
𝟏 − 𝜼
=
𝟎. 𝟕𝟓 𝟎. 𝟓𝜴
𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟓
= 𝟏. 𝟓𝜴 
𝑹𝑳 =
𝜼𝑹𝑻𝑯
𝟏 − 𝜼
=
𝟎. 𝟕𝟓 𝟒𝟎𝜴
𝟏 − 𝟎. 𝟕𝟓
= 𝟏𝟐𝟎𝜴 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Exemplo3: 
Determine 𝑹𝑳 para para a máxima transferência de potência e a 
potência entregue na carga. 
RL 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Exemplo3: 
𝑹𝑻𝑯 = 𝑹𝟑 + 𝑹𝟏||𝑹𝟐 = 𝟖𝜴 +
𝟔𝜴 𝟑𝜴
𝟔𝜴 + 𝟑𝜴
= 𝟖𝜴 + 𝟐𝜴 
𝑹 = 𝑹𝑻𝑯 = 𝟏𝟎𝜴 
Determine 𝑹𝑳 para para a máxima transferência de potência e a 
potência entregue na carga. 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Exemplo3: 
Determine 𝑹𝑳 para para a máxima transferência de potência e a 
potência entregue na carga. 
𝑷𝑳𝒎á𝒙 =
𝑬𝟐𝑻𝑯
𝟒𝑹𝑻𝑯
=
𝟒𝑽 𝟐𝟏
𝟒 𝟏𝟎𝜴
= 𝟎. 𝟒𝑾 
𝑬𝑻𝑯 =
𝑹𝟐𝑬
𝑹𝟐 + 𝑹𝟏
=
𝟑𝜴 𝟏𝟐𝑽
𝟑𝜴 + 𝟔𝜴
=
𝟑𝟔𝑽
𝟗
= 𝟒𝑽 
8) Teorema da Máxima 
Transferência de Potência 
Exemplo3: 
Determine 𝑹𝑳 para para a máxima transferência de potência e a 
potência entregue na carga. 
𝑹𝑳 = 𝑹𝑻𝑯 = 𝟏𝟓𝜴 𝑷𝑳𝒎á𝒙 =
𝑬𝑻𝑯
𝟐
𝟒𝑹𝑻𝑯
=
𝟏𝟐𝟖𝑽 𝟐
𝟒 𝟏𝟓𝜴
= 𝟐𝟕𝟑. 𝟎𝟕𝑾 
Obrigado pela atenção