Cálculo 3

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Lista de Exercícios - Séries.pdf
Lista de Exercícios – III Unidade – Cálculo 3 
 
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Dentre as 
que convergem, determine quais convergem absolutamente e quais 
convergem condicionalmente. 
 
1. 
∑
√ 
 
 
 
 
2. 
∑
 
 ))
 
 
 
 
 
3. 
∑
 
 ) 
 
 
 
4. 
∑
 ) √ 
 
 
 
 
5. 
∑
 
 √ 
 
 
 
6. 
∑
 
√ 
 
 
 
7. 
∑
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
8. 
∑
 ) 
 ) 
 
 
 
9. 
∑
 
 
 
 
 
10. 
∑
 ) 
 
 
 
 
11. 
∑
 
 
 
 
 
12. 
∑
 
 
 
 
 
 
 
13. 
∑
 ) √ 
 
 
 
 
14. 
∑
 ) 
 
 
 
 
15. 
∑( 
 
 
)
 
 
 
16. 
∑
 
 
 
 
 
17. 
∑
 
 
 
 
 
18. 
∑ [ 
 
 
]
 
 
 
 
 
19. 
∑
 )
√ 
 
 
 
 
20. 
∑( 
 
 
)
 
 
 
21. 
∑
 
 
 
 
 
22. 
∑[
 
 )
 
 
 )
]
 
 
 
23. 
∑ (
 
 
)
 
 
 
24. 
∑(√ 
 
 )
 
 
 
 
25. 
∑
 ) 
 
 
 
 
26. 
∑
 ) 
 
 
 
 
27. 
∑
 
 
 
 
 
28. 
∑ ( 
 
 
)
 
 
 
Lista Extra - Terceira Unidade.pdf
LISTA EXTRA – TERCEIRA UNIDADE 
01. Determine se as seguintes séries convergem ou divergem. 
∑
 
 ( )
 
 
 
Dica: Qual é a derivada 
da função ( ) 
 ( ( )) 
∑
( ) 
 
 
 
 ∑ ( 
 
 
)
 
 
 ∑
 
 ( )
 
 
 
∑
( ) 
 
 
 
 ∑
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
Dica: Para ( 
 
 
) 
quem é maior: ou 
 ? 
∑( ) 
√ 
 
 
 
 ∑ (
 
 
)
 
 
 
02. Calcule as somas das seguintes séries: 
∑
 
 
 
 
 ∑
 
 ( ) 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
03. (a) Mostre que ( ) ∑ ( ) 
 
 
 
 . 
(b) Mostre que 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
(c) Mostre que ∑ ( ) 
 
 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
) . 
04. Mostre que 
 
 
 ∑
( ) 
 
 Use isso para mostrar que 
∑
 
( )( )
 
 
 
 
 
 
05. Obtenha uma representação em série de potências para a função abaixo e calcue seu raio de 
convergência 
 ( ) √ 
 
 
06. Mostre que o raio de convergência de uma série de potências ∑ ( )
 
 pode ser calculado 
através da fórmula |
 
 
|, desde que esse limite exista. 
Exercícios Cálculo 3 - Segunda Unidade.pdf
Exercícios Cálculo 3 Segunda Unidade 
 
01. Considere o toro obtido ao girar a circunferência ( ) 
 , em torno do eixo . Se , vimos que uma parametrização para 
essa superfície é ( ) (( ) ( ) ), 
com . 
(a) Calcule o fluxo do campo ( ) ( ) através do toro, com vetor 
normal apontando para fora. 
(b) Use o item (a) e o Teorema da Divergência para calcular o volume 
desse toro. 
 
02. Considere a superfície S dada pela parte do cilindro que 
está abaixo do plano , com vetor normal apontando para fora do 
cilindro. 
(a) Obtenha uma parametrização para a borda de S. 
(b) Considere o campo vetorial ( ) ( ). Use o Teorema de 
Stokes para calcular o fluxo do rotacional de através de S. (É mais viável 
calcular uma integral de linha ou escolher outra superfície com esse 
mesmo bordo?) 
(c) Refaça os itens (a) e (b), mas para a interseção da esfera 
 com o plano 
03. Considere o campo ( ) (
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
). 
(a) Calcule a divergência de . 
(b) Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície esférica 
 . Você pode usar o Teorema da Divergência para isso? 
(c) Calcule o fluxo do campo vetorial através de uma superfície esférica 
centrada no ponto ( ) e de raido . E agora, podemos usar o 
Teorema da Divergência? 
(d) Mostre que o fluxo desse campo através de uma superfície esférica 
centrada em ( ) mas de raio vale zero. 
 
04. Considere o sólido limitado inferiormente pelo cone ( )
 
 e superiormente pelo hemisfério , com 
campo normal apontando para fora, e o campo ( ) (
 
 
 
 
 
 
 
 
). 
(a) Calcule a divergência do campo . 
(b) Calcule o fluxo de através de 
(c) Use o Teorema da Divergência e as informaçoes coletadas nos itens 
anteriores para calcular o fluxo de sobre . 
 
05. Considere a superfície de equações paramétricas ( ) 
( ), . 
(a) Mostre que o ponto ( ) pertence à superfície. 
(b) Encontre uma equação para o plano tangente à superfície nesse ponto. 
(c) Encontre uma equação cartesiana para . 
(d) Calcule a área da superfície . 
 
 
Aula 10 - Teorema de Stokes.pdf
Respostas dos Exercícios Primeira Unidade Cálculo 3.pdf
Respostas dos Exercícios das Aulas (Cálculo 3) 
Aula 2: 
Exercício: Calcule o comprimento das seguintes curvas: 
(a) √ 
(b) 
(c) 
Exercício: Reparametrize pelo comprimento de arco… 
(d) ( ( )) ((
 
√ 
 ) ( (
 
√ 
 )) (
 
√ 
 ) ( (
 
√ 
 )) ) 
(e) ( ( )) ( (
 
 
) 
 
 
 (
 
 
)) 
Exercício: Calcule a integral de linha de sobre um arco de parábola e um 
segmento de reta vertical... 
Resposta: 
( √ )
 
 
Exercício: Calcule as integrais de linha: 
(a) 
 √ 
 
 
(b) 
( √ )
 
 
(c) 
 
 
 
(d) 
(e) 
√ 
 
( ) 
(f) 
 
 
( 
 
 ⁄ ) 
Exercício: Centro de massa e momentos de inércia de um arame: 
 ( 
 
 ( )
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Massa e centro de massa de arame com forma de hélice... 
 √ (
 
 
 ) 
 (
 ( )
 
 ) 
Aula 3: 
Exercícios: Calcule as integrais de linha: 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
 
(d) 
 
 
 
Exercício: Calcule as integrais de linha 
(d) (a) 
 
 
 (c) 
 
 
 
Exercício: Trabalho num círculo: Resposta: 
Exercício: Trabalho na cicloide: Resposta: 
Exercício: Trabalho na parábola: Resposta: 
 
 
( ) 
Exercício: Trabalho num segmento de reta: Resposta:
Exercício: (b) Sim. 
Aula 4: 
(a) (b) (c) (d) 0 (e) 
 
 
 (f) -16 (g) – 
Exercício: Área entre o arco da curva (uma cicloide) e o eixo x: R.: 
Exercício: Mostrar que a integral de linha vale zero para toda curva fechada 
simples que não passe nem circunde a origem. Basta ver que as derivadas 
parciais de primeira ordem de P e Q são contínuas na região delimitada pela 
curva, que e aplicar o Teorema de Green. 
Aula 5: 
Exercício: Uma função potencial para o campo conservativo de um dos exemplos: 
R.: ( ) 
Exercício: Determinar se o campo é conservativo ou não, e se for, encontrar um 
potencial: 
(a) Não é. (b) É. ( ) (c) É. ( ) 
(d) É. ( ) (e) É. ( ) 
Exercício: Encontrar um potencial para o campo e calcular a integral de linha. 
(a) Copiei errado. Devia ser ( ) ( ). Nesse caso ( ) . 
A integral dá 2. 
(b) ( ) 
 
 
. A integral dá 4. 
(c) ( ) . A integral dá . 
(d) ( ) . A integral dá 77. 
(e) ( ) . A integral dá 0. 
(f) ( ) . A integral dá . 
Exercício: O de 2012.1 
(a) Parametrização ( ) ( ( )), . Um vetor 
tangente é ( ) ( ( )( )). Os extremos de 
C s’ao ( ) ( ) e (
 
 
) ( ). 
(b) ( ) . 
(c) 1 
Teorema da Divergência - Exercícios.pdf
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA – EXERCÍCIOS 
 
01. Considere o campo vetorial em {( )} definido por 
 ⃗( ) (
 
√( ) 
 
 
√( ) 
 
 
√( ) 
) 
(a) Calcule a divergência do campo ⃗. 
(b) Calcule diretamente o fluxo de ⃗ através da esfera , em relação 
ao campo normal que aponta para fora da esfera. 
(c) Explique por que não é correto usar o Teorema da Divergência para efetuar o 
cálculo acima. 
(d) Calcule o fluxo de ⃗ através do elipsoide , em relação ao 
campo normal que aponta para fora do elipsoide. 
02. Mostre que podemos calcular o volume de um corpo sólido por meio de uma 
integral de superfície. 
03. Considere o campo vetorial 
 ⃗⃗( ) (
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
) 
(a) Calcule a divergência do campo ⃗⃗. 
(b) Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica . 
(c) Calcule o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio e 
centrada no ponto ( ). Podemos concluir o mesmo para . Em ambos 
os casos, justifique. 
04. Calcule o fluxo do campo ⃗( ) ( ) através da fronteira 
do sólido limitado por com , e . 
05. Seja a superfície do cubo de vértices ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), 
( ), ( ) e ( ), conforme ilustrado na figura abaixo: 
 
Considere o campo vetorial ⃗( ) ( ). 
(a) Calcule a divergência de ⃗. 
(b) Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de ⃗ através da superfície 
do cubo, com campo normal apontando para fora. 
(c) Quais são os vetores normais a cada face do cubo? 
(d) Calcule, pela definição, o fluxo de ⃗ através de cada face do cubo, com relação 
aos vetores normais obtidos no item anterior. 
(e) Compare os resultados do item anterior com o obtido no item (b). 
06. Calcule o fluxo do campo 
 ⃗( ) ( ) 
através da superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano 
 , com orientação para fora do sólido. 
07. Considere a superfície fechada , definida pelo gráfico de √ e pelos 
planos , e , e a região do espaço limitada por . 
(a) Esboce a superfície ilustrando o campo normal unitário que aponta para fora. 
(b) Calcule ( ⃗), onde ⃗( ) ( ). 
(c) Use o Teorema da Divergência para calcular a integral 
∬ ⃗ ⃗
 
 
08. Considere o campo vetorial ⃗( ) ( ( ) ( ) ) e seja a 
região do espaço delimitada superiormente pelo paraboloide e 
inferiormente pelo plano . Calcule o fluxo do campo ⃗ através da superfície 
fronteira do sólido , em relação à normal que aponta para fora de . 
09. Sejam a fronteira da região {( ) } e 
o campo ⃗( ) ( ( ) ( ) ( ( )) ). 
Calcule o fluxo de ⃗ que sai da superfície (normal exterior). 
10. Seja uma região fechada e limitada do , cuja fronteira é a união de duas 
superfícies e , orientadas com vetor normal exterior à região . Calcule o fluxo de 
 ⃗ através de , onde ⃗( ) ( 
 ( ) ( ) ), 
sabendo que é uma porção do plano com 6 unidades de área, que está 
abaixo do plano e que tem 20 unidades de volume. 
11. Seja uma região fechada e limitada de , cuja fronteira é a união de duas 
superfícies e , orientadas com vetor normal exterior a . Calcule o fluxo de ⃗ 
através de , com ⃗( ) ( 
 ), sabendo que é uma porção do 
plano com 5 unidades de área e que possui 30 unidades de volume. 
12. Considere o campo vetorial 
 ⃗( ) 
 
( )
 
 
( ) 
(a) Calcule o fluxo do campo ⃗ através da esfera , de centro na origem e raio 
 , com vetor normal apontando para fora. 
(b) Calcule o fluxo de ⃗ através do cubo , , 
 , com vetor normal apontando para fora. 
13. Seja a região sólida delimitada pelo cilindro e pelos planos e 
 . Seja a região sólida cônica acima de , delimitada pelo cone 
( ), de vértice ( ) e pelos planos e . Seja agora a 
região sólida obtida como união das duas. Considere o campo de força ⃗( ) 
( ( ) ) 
(a) Descreva a fronteira de , . 
(b) Calcule a componente normal de ⃗ sobre a face lateral de e sobre a sua 
face de baixo . 
(c) Calcule a divergência de ⃗. 
(d) Calcule o fluxo de ⃗ através da superfície lateral de (a porção do cone), 
com a orientação externa a . 
Aula 11 - Sequências.pdf
Lista de Exercícios - Séries de Potências.pdf
EXERCÍCIOS – SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
01. (a) Represente a função ( ) 
 
 
 como uma série de potências de 
 , determinando o intervalo de convergência. 
(b) Use o item (a) para obter uma série de potências para a função 
 ( ) , indicando também o seu intervalo de convergência. 
02. Dada a série de potências ∑
( ) 
√ 
 
 
 , determine os valores de 
para os quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou 
diverge. 
03. (a) Encontre uma série para a função ( ) ( ) ao redor do 
ponto e determine seu intervalo de convergência. 
(b) Com a série obtida calcule 
 ( )
 
. 
04. Dada a seguinte série de potências determine os valores de para os 
quais ela converge. 
∑ ( ) ( ) 
 
 
 
05. (a) Encontre a expansão de Taylor da função ( ) ao redor do 
ponto . 
(b) Use o resultado para encontrar uma série de potências para a função 
definida por 
 ( ) ∫
 ( )
 
 
 
 
 
06. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série 
∑
( ) ( )
07. Use derivação para encontrar a representação em série de potências 
para 
 ( ) 
 
( ) 
 
08. (a) Encontre a série de Taylor em torno de da função . 
(b) Use o resultado do item anterior para encontrar a série de Taylor em 
torno de de 
( 
 
 )
 
. 
(c) Calcule ∫
 
 
 
 
 como uma série infinita em torno de . 
09. Determine o intervalo de convergência da série de potências 
∑
 
 ( )
 
 
 
10. Encontre a série de Taylor centrada em da função 
 ( ) 
 
( ) 
 
especificando seu raio de convergência. (Sugestão: A partir da série 
geométrica, efetue derivação e substituição). 
11. Determine o intervalo de convergência da série de potências abaixo. 
Analise os extremos. 
∑( ) 
( ) 
 
 
 
 
12. Encontre a série de Maclaurin da função ( ). Use o resultado 
para encontrar a soma da série 
∑
( ) 
( ) 
 
 
 
13. (a) Encontre a função cuja série de Maclaurin é 
∑
( ) 
 
 
 
 
(b) Encontre o intervalo de convergência da série acima. 
14. (a) Calcule o valor de ∑
 
 ( )
 
 . 
Dica: A série ∑
 
 
 
 é a primitiva de uma função – qual? 
(b) Expresse a função ( ) ( ) em série de potências de 
15. (a) Expresse a integral indefinida ∫
 
 
 em série de potências de . 
(b) Determine o raio e o intervalo de convergência da série 
∑
( ) 
√ 
 
 
 
16. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das 
séries de potências abaixo: 
(a) ∑
( ) 
 
 
 
(b) ∑
( ) 
√ 
 
 
 
17. Considere a função dada por ( ) 
 
( ) 
. 
(a) Encontre a série de Taylor de em torno do ponto . 
(b) Determine o intervalo de convergência da série encontrada no item 
anterior. 
Gabarito Cálculo 3 3EE 2014.1.pdf
Aula 5 - Campos Conservativos.pdf
Terceira Prova Cálculo 3 2014.2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – ÁREA II 
3º EXERCÍCIO ESCOLAR DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014 - 28/01/2015 
TURMAS T4 E T9 
 
Questão 1 (cada item vale 1 ponto): Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. 
Justifique suas respostas! 
 
(a) 
∑
√𝑛
𝑛
𝑛4
∞
𝑛=1
 
(b) 
∑
(−1)𝑛 ln 𝑛
𝑛
∞
𝑛=1
 
 
Questão 2 (cada item vale 1 ponto): Calcule a soma das séries abaixo. 
 
(a) 
∑
3
𝑛2 − 3𝑛
∞
𝑛=4
 
(b) 
∑
52𝑛+1
33𝑛+2
∞
𝑛=1
 
 
Questão 3 (2 pontos): Mostre que a série 
 
∑
1
𝑛(ln 𝑛)𝑝
∞
𝑛=2
 (𝑝 > 0) 
 
converge para 𝑝 > 1 e diverge para 𝑝 ≤ 1. 
 
Questão 4: (a) (1,5) Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências 
 
∑
(−1)𝑛(𝑥 + 2)𝑛
𝑛2𝑛
∞
𝑛=1
 
 
(b) (0,5) Para quais valores de 𝑥 a série acima converge absolutamente? 
 
Questão 5 (2 pontos): Encontre a série de Taylor centrada em 𝑎 = 0 da função 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥
(1 − 2𝑥)2
 
 
 
Boa Prova!!! 
Aula 6 - Superfícies Parametrizadas e Áreas.pdf
Gabarito 3EE C3 2014.2.pdf
Gabarito Final C3 2014.2.pdf
Aula 4 - Teorema de Green.pdf
Aula 2 - Integrais de Linha, parte 1.pdf
Aula 7 - Integrais de Superfície, parte 1.pdf
Gabarito Exame Final Cálculo 3 2014.1.pdf
Gabarito Segunda Chamada Cálculo 3 2014.1.pdf
Aula 1 - Curvas Paramétricas e Comprimento de Arco.pdf
Aula 9 - Teorema de Gauss (da divergência).pdf
Terceira Prova Cálculo 3 2014.2 (1).pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – ÁREA II 
3º EXERCÍCIO ESCOLAR DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014 - 28/01/2015 
TURMAS T4 E T9 
 
Questão 1 (cada item vale 1 ponto): Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. 
Justifique suas respostas! 
 
(a) 
∑
√𝑛
𝑛
𝑛4
∞
𝑛=1
 
(b) 
∑
(−1)𝑛 ln 𝑛
𝑛
∞
𝑛=1
 
 
Questão 2 (cada item vale 1 ponto): Calcule a soma das séries abaixo. 
 
(a) 
∑
3
𝑛2 − 3𝑛
∞
𝑛=4
 
(b) 
∑
52𝑛+1
33𝑛+2
∞
𝑛=1
 
 
Questão 3 (2 pontos): Mostre que a série 
 
∑
1
𝑛(ln 𝑛)𝑝
∞
𝑛=2
 (𝑝 > 0) 
 
converge para 𝑝 > 1 e diverge para 𝑝 ≤ 1. 
 
Questão 4: (a) (1,5) Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências 
 
∑
(−1)𝑛(𝑥 + 2)𝑛
𝑛2𝑛
∞
𝑛=1
 
 
(b) (0,5) Para quais valores de 𝑥 a série acima converge absolutamente? 
 
Questão 5 (2 pontos): Encontre a série de Taylor centrada em 𝑎 = 0 da função 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥
(1 − 2𝑥)2
 
 
 
Boa Prova!!! 
Teorema de Stokes - Exercícios.pdf
EXERCÍCIOS – TEOREMA DE STOKES 
01. Seja 𝐶 a curva interseção do cilindro de equação 𝑥² + 𝑦² = 1 com o paraboloide hiperbólico 
𝑧 = 2𝑥𝑦. 
(a) Parametrize 𝐶 no sentido anti-horário quando vista de cima. 
(b) Calcule o rotacional do campo �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + sen 𝑥 , 𝑧2 + cos 𝑦 , 𝑥3). 
(c) Calcule ∫ (𝑦 + sen 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑧2 + cos 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑥³𝑑𝑧
𝐶
. 
02. Seja 𝑆 a porção do paraboloide 𝑧 = 𝑥² + 2𝑦² que fica abaixo do plano 4𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 + 3 = 0. 
Considere o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (− sen 𝑧 cos 𝑧 − (4 + √2)𝑦, 3 + ln(𝑦6 + 1) , 2𝑦 cos2 𝑧). 
(a) O que é a fronteira 𝐶 de 𝑆? Identifique-a por meio de equações e mostre que para 
parametrizar 𝑆 como gráfico de uma função é possível usar um domínio D de forma 
{(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 
(𝑥−𝑥0)²
𝑎²
+
(𝑦−𝑦0)²
𝑏²
≤ 1}, encontrando 𝑥0, 𝑦0, 𝑎 e 𝑏. 
(b) Encontre outra superfície limitada cuja fronteira é 𝐶, parametrize-a e encontre um vetor 
normal. 
(c) Calcule o rotacional de �⃗�. 
(d) Calcule o fluxo do rotacional de �⃗� através de 𝑆. 
03. Calcule o trabalho realizado pelo campo �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑦, −𝑧, 2𝑥) no deslocamento de uma 
partícula sobre a curva de interseção do cilindro 𝑥² + 𝑦² = 4 com o plano 2𝑦 + 𝑧 = 0, orientada 
no sentido anti-horário quando vista de cima. 
04. Considere o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦2, 3𝑧, 5𝑦). 
(a) Calcule 𝑟𝑜𝑡 �⃗�. 
(b) Parametrize a porção do plano 𝑥 + 𝑧 = 4 limitada pelo cilindro 𝑥² + 𝑦² = 16. 
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟
𝐶
, onde 𝐶 é a curva obtida pela 
interseção entre o plano 𝑥 + 𝑧 = 4 e o cilindro 𝑥² + 𝑦² = 16, orientada no sentido anti-
horário quando vista de cima. 
05. Considere a porção da esfera 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 9 que está no primeiro octante. Seja 
�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑒𝑥
2 cos 𝑥 + 𝑧2, 0, 0). Calcule ∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟
𝐶
, onde 𝐶 é a fronteira desta porção, 
orientada no sentido anti-horário quando vista
da origem. 
06. Sejam 𝐻 o hemisfério 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1 e 𝑧 ≥ 0 e 𝑃 a superfície definida por 𝑧 = 1 −
(𝑥2 + 𝑦2) e 𝑧 ≥ 0. 
(a) Verifique que 𝐻 e 𝑃 são superfícies com bordo. Encontre o bordo de ambas as 
superfícies e verifique que são iguais. 
(b) Seja �⃗� um campo de vetores contínuo com derivadas parciais contínuas definido em 
ℝ³. Sejam 𝑛𝐻 o campo normal unitário em 𝐻 e 𝑛𝑃 o campo normal unitário em 𝑃, 
ambos com terceira componente positiva (apontando para cima). Mostre que 
∬ 𝑟𝑜𝑡(�⃗�) ∙ 𝑛𝐻𝑑𝑆
𝐻
= ∬ 𝑟𝑜𝑡(�⃗�) ∙ 𝑛𝑃𝑑𝑆
𝑃
 
07. Considere a curva 𝐶 interseção do cilindro 𝑥² + 𝑦² = 4 com o plano 𝑧 = 𝑥 + 4 e o campo 
�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑧, 4𝑥, 5𝑦). 
(a) Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟
𝐶
. 
(b) Explicite uma parametrização de 𝐶 compatível com o vetor normal usado no item 
anterior. 
08. Considere a superfície 𝑆 definida por 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦² com 𝑧 ≥ 0 e o campo de vetores 
�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑦 + cos 𝑥 , 𝑥, 𝑥2 + 𝑦2). 
(a) Determine o elemento de áres 𝑑𝑆 e o campo normal unitário �⃗⃗� (que aponta para cima) 
da superfície 𝑆. 
(b) Calcule 𝑟𝑜𝑡 �⃗�. 
(c) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟
𝐶
, onde 𝐶 é a 
fronteira da superfície 𝑆 orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. 
09. Considere o campo �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 sen(𝑥𝑧) + 𝑒𝑦
5𝑧3 , 𝑦2, 1) e seja 𝑆 a parte do 
hemisfério 𝑥 = √9 − 𝑦2 − 𝑧² que está dentro do cilindro 𝑦² + 𝑧² = 4. Calcule, usando o Teorema 
de Stokes, ∬ 𝑟𝑜𝑡�⃗� ∙ 𝑑𝑆
𝑆
, em relação ao campo normal que tem a primeira componente 
positiva. 
10. Considere o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦(sen 𝑧 − 1), 0, 0) e 𝑆 a porção do paraboloide 
𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦² acima do plano 𝑧 = 0. 
(a) Parametrize a superfície 𝑆. 
(b) Calcule o fluxo do rotacional de �⃗� através da superfície 𝑆 com a normal apontando para 
cima. 
11. Calcule ∬ 𝑟𝑜𝑡�⃗� ∙ 𝑑𝑆
𝑆
, onde �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑥2𝑧, 𝑦𝑧3 − 𝑦2, 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑧) e 𝑆 é a superfície 
𝑥2
4
+
𝑦2
9
+
𝑧2
16
= 1 e 𝑧 ≥ 0, com a normal apontando para fora de 𝑆. 
CálculoIII2014(I)Gabarito.pdf
Ca´lculo III. Ia Prova. Gabarito. 04-05-2014
Ia Questa˜o (1.0p)
i) (0.5p) Escreva a equac¸a˜o parame´trica da curva γ, cuja equac¸a˜o em polares e´
r = 1 + cos t, 0 ≤ t ≤ pi.
Escreveu a parametrizao (0.5p);
ii) (0.5p) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a curva γ, num ponto P ∈ γ, que
dista 32 da origem (‖OP‖ = 32 ).
achou o ponto, (0.3p); escreveu a reta (0.2p)
IIa Questa˜o (2p)
i) (1p) Represente o campo ~F (x, y) = (− yx2+y2 , xx2+y2 ), nos pontos do circulo
centrado em zero e de raio R; prove que ‖~F (x, y)‖ e´ constante se x2 + y2 = R2 e
que ~F (x, y) e´ tangente a este circulo.
calculou a intensidade (norma) do campo nos pontos do circulo (0.3p);
achou a tangente ao circulo (0.2);
verificou o paralelismo(0.2);
desenho (0.3)
ii) (1p) Calcule o trabalho do campo ~F sobre circulo x2 + y2 = R2, percorrido
no sentido hora´rio; interprete o resultado obtido.
Calculo o trabalho (0,8);
Intepretao:
∫
γ
~F ~dr =
∫
γ
~F ~Tds =
∫
γ
1
Rds = 2pi, ja´ que o campo
~F e´ paralelo com
o campo tangemte ~T e ‖~F‖ = 1R , ou similar, (0, 2p).
IIIa Questa˜o (3p) Calcule a massa do arco da elipse x
2
a2 +
y2
b2 = 1, x > 0, y > 0,
se a densidade e´ ρ(x, y) = xy.
parametrizou (0.5p);
calculou elemento de arco (1p);
montou a integral (0.5p);
calculou a integral (1p)
IV a Questa˜o (2p) Seja o campo
~F (x, y) = (ln(y) + 2xy3)~i+ (3x2y2 +
x
y
)~j.
Typeset by AMS-TEX
1
2
Mostre que ∫
γ
~F ~dr =
pi2
4
,
onde γ(t) = (t, esin(cos t)), 0 ≤ t ≤ pi2 .
achou o potencial (1p);
usou coretamente o teorema funamental de clculo (1p);
obs: se apenas verificou que conservativo (rotF=0+dominio s. conexo) e enun-
ciou o teorema fundamental, (1p); se apenas verificou rotF-0+usou, (0.5p)
V a Questa˜o (2p) Seja
γ(t) = (sin t, sin t cos t), t ∈ [0, pi].
i) (0.5p) Mostre que γ e´ uma curva fechada e simples e ache o sentido de percurso
(trigonome´trico ou hora´rio).
verificou que a curva fechada (0.3p);
verificou que simples ou achou sentido de percurso ...(0.2p)
ii) (0.5p) Seja D a regia˜o do plano delimitada por γ. Mostre que
Area(D) = |
∫
γ
xdy|.
usou Green, (0.5p); (se no levou em conta o sentido da curva, (-0.1p))
iii) (1p) Use este fato (ou o me´todo de sua prefereˆncia) para calcular a a´rea da
regia˜o plana delimitada pela curva γ.
montou a integral (0.5p); calculou a integral (0.5p)
Exame Final Cálculo 3 2014.2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – ÁREA II 
EXAME FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014 – 11/02/2015 
TURMAS T4 E T9 
 
Questão 1: (a) (1,0) Calcule o comprimento de arco da curva de parametrização 
 
𝑟(𝑡) = (cos3 𝑡 , sen3 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2 
 
(b) (1,0) Mostre que a área 𝐴 de uma região plana simplesmente conexa 𝑅, cuja fronteira é uma 
curva 𝐶 lisa por partes, fechada, simples e orientada positivamente pode ser calculada através 
da fórmula 
 
𝐴 =
1
2
∫ 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥
𝐶
 
 
(c) (1,0) Use o item (b) para calcular a área envolvida pela elipse 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
Questão 2: Considere o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑧, 𝑥𝑦, 3𝑥𝑧) e seja 𝐶 a borda da porção 
𝑆 do plano 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário. 
 
(a) (1,0) Calcule o rotacional de �⃗�. 
(b) (0,5) Exiba um vetor normal unitário para 𝑆 que seja condizente com a orientação de sua 
borda. Justifique sua resposta. 
(c) (1,0) Use o Teorema de Stokes para calcular 
 
∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟
𝐶
 
 
Questão 3: Considere o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) e seja 𝐸 o sólido limitado pelo 
hemisfério 𝑧 = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 e pelo plano 𝑧 = 0. 
 
(a) (0,5) Faça um esboço do sólido 𝐸. 
(b) (0,5) Calcule a divergência de �⃗�. 
(c) (1,0) Calcule o fluxo �⃗� através da fronteira do sólido 𝐸, com orientação para fora. 
 
 
Questão 4: Considere a função 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2
(1 + 3𝑥)3
 
 
(a) (1,5) Obtenha uma representação em série de potências para 𝑓(𝑥). 
(b) (1,0) Qual o intervalo de convergência da série obtida em (a)? 
 
Boa prova!!! 
Lista Revisão Séries.pdf
01. Determine se as seguintes séries convergem ou não. 
∑ (
 
 
)
 
 
 ∑
 
 √ 
 
 
 ∑
 
( ) 
 
 
 
∑ (
 
 
)
 
 
 ∑
 ( )
 
 
 
 
 ∑
( ) 
√ 
 
 
 
 
02. Mostre que 
 ( ) . 
 
03. Use séries para calcular o limite 
( )
 
 
 
04. Prove que, se a série ∑ 
 
 for absolutamente convergente, então 
a série 
∑(
 
 
) 
 
 
 
é absolutamente convergente também. 
 
05. (a) Use a série de Taylor de para mostrar que 
 . 
(b) Use o item (a) para mostrar que . 
 
06. Mostre que a série de Maclaurin de ( ) √ é 
 
 
 
 ∑
 ( ) 
 
 
 
 
07. Mostre que 
∑
( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 3 - aula 1.pdf
Cálculo Diferencial e Integral 3 – Aula 1 
1. Introdução:
No curso de Cálculo 3 trataremos de diversos tipos de funções. Podemos destacar 
os seguintes: 
(a) Funções reais: Uma função real tem como contradomínio o conjunto dos 
números reais. Seu domínio é, em geral, ℝ, ℝ² ou ℝ³ (ou algum subconjunto 
desses conjuntos). Assim, funções reais são aquelas que estudamos em Cálculo 1 e 
em Cálculo 2. 
Exemplos: ( ) , ( ) (
 
 
) ou ( ) . 
(b) Funções vetoriais: Como o próprio nome já diz, uma função vetorial tem 
como “saída” um vetor. Em geral, seu contradomínio será ℝ² ou ℝ³. No nosso 
curso, consideraremos funções vetoriais de uma ou de duas variáveis. 
Representaremos funções vetoriais em negrito, como nos exemplos a seguir. 
Exemplos: ( ) ( ) ou ( ) ( ). 
(c) Campos vetoriais: Um campo vetorial é uma função cujo domínio e 
contradomínio são conjuntos de vetores. Por exemplo, uma função ℝ ℝ ou 
 ℝ ℝ , que a cada ponto do plano (ou do espaço) associam um vetor 
bidimensional (ou tridimensional). Campos vetoriais são muito utilizados em 
Física para modelar um campo (gravitacional, elétrico, magnético, etc). 
Exemplos: ( ) ( ) ou ( ) ( ). 
2. Curvas parametrizadas: 
Inicialmente vamos considerar apenas funções vetoriais de uma única variável. 
Assim como para funções reais, podemos definir o limite de uma função vetorial: 
basta calcular o limite em cada coordenada. Assim, temos a 
Definição: Se ( ) ( ( ) ( ) ( )), então 
 
 
 ( ) ( 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( )) 
desde que os limites das funções coordenadas existam. 
Obs.: Os limites de uma função vetorial obedecem às mesmas regras que 
aprendemos em Cálculo 1 para limites de uma função real de uma variável (por 
exemplo: limite da soma = soma dos limites, limite da multiplicação de uma 
função por uma constante = a constante multiplicada pelo limite da função, limite 
do produto escalar = produto escalar dos limites e limite do produto vetorial = 
produto vetorial dos limites). 
Já que definimos limite de uma função vetorial, nada mais natural que definir 
continuidade para essas funções. Como já era esperado, diremos que a função 
vetorial ( ) é contínua em se ( ) ( ). Diremos que ( ) é 
contínua (sem especificar o ponto) se for contínua em todos os pontos de seu 
domínio. 
Obs.: Olhando para a definição de limite acima, é claro que ( ) é contínua em 
 se, e somente se, suas funções coordenadas , e forem todas contínuas 
em a. 
Exemplo: São contínuas as funções vetoriais ( ) ( ) e ( ) ( 
 ), pois suas funções coordenadas são contínuas em todo ponto. 
Uma curva parametrizada nada mais é que a imagem de uma função vetorial 
contínua. Então, se ( ) ( ( ) ( ) ( )) é contínua em um certo intervalo , o 
conjunto dos pontos ( ) do espaço tais que 
 ( ), ( ) e ( ) 
com variando no intervalo é uma curva espacial (analogamente, definimos as 
curvas planas). Nesse caso, a variável é chamada de parâmetro da curva, e as 
equações acima são as equações paramétricas de . Dizemos também que a 
função ( ) ( ( ) ( ) ( )), , é uma parametrização da curva . 
Obs.: Diremos que uma curva , de parametrização ( ), , é simples se 
 ( ) ( ) se (a única exceção permitida é termos ( ) ( ). Nesse 
caso a curva é dita fechada). Assim, uma curva é simples se não se auto-intersecta 
em um ponto que não seja extremidade, e é fechada se o ponto inicial coincide com 
o final. 
Exemplo: A curva definida pela função vetorial ( ) ( ) é 
a reta que passa pelo ponto ( ) e é paralela ao vetor ( ). 
Exemplo: A curva definida pela função vetorial ( ) ( ) é tal que 
 , logo o ponto ( ) da curva deve pertencer ao 
cilindro circular . Além disso, à medida que aumentamos , a altura 
do ponto também aumenta, logo o desenho da curva forma uma espiral sobre o 
cilindro. Essa curva é chamada de hélice. 
Exemplo: Uma parametrização do segmento de reta ligando os pontos ( ) 
e ( ) pode ser obtida tomando o vetor ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ). Podemos formar a 
parametrização fazendo a equação ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, , ou seja, temos 
 ( ) ( ), . 
Exemplo: Uma parametrização para a circunferência de centro ( ) e raio pode 
ser ( ) ( ), Basta lembrar da circunferência 
trigonométrica estudada no ensino médio. 
Exemplo: Qual a curva representada pela parametrização 
 ( ) ( ( ) ( )), ? Bem, como ( ) 
 ( ) , a imagem da curva está sobre a circunferência do exemplo anterior. 
No entanto, como varia de a o ponto ( ) dá duas voltas sobre a 
circunferência no sentido anti-horário. 
Obs.: Os dois exemplos anteriores mostram a diferença entre uma curva e uma 
curva parametrizada. No primeiro caso, só o conjunto de pontos importa, 
enquanto no segundo, importam os pontos e a ordem em que eles são percorridos. 
Exemplo: A parametrização da curva obtida pela interseção do cilindro 
 com o plano terá que ter e satisfazendo e , 
 ( ), pois ( ) está no cilindro. Como , temos , e a 
parametrização da curva é ( ) ( ), , que 
graficamente vemos ser uma elipse inclinada. 
Exercício: Obtenha uma parametrização para a curva obtida pela interseção do 
cilindro e a superfície . 
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da curva de interseção do cone 
 √ e o plano . Igualando as equações, temos √ 
 , logo , portanto . Fazendo , 
obtemos 
( )
 
 e 
( )
 
. A parametrização é ( ) 
( 
 
 
 
 
 
). 
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da curva de interseção do 
parabolóide com o cilindro parabólico . Tomando , 
temos e . Logo, uma parametrização é ( ) ( ) 
Exercício: Obtenha equações paramétricas para a curva de interseção do cilindro 
parabólico com a metade superior do elipsóide . 
Exercício: Duas partículas viajam ao longo das curvas espaciais ( ) ( 
 ) 
e ( ) ( ). As partículas colidem? Suas trajetórias se 
interceptam? 
 
 
Exercícios Cálculo 3 Primeira Unidade.pdf
Exercícios (Cálculo 3) 
Questão 1: Calcule a area da região D limitada pela curva de parametrização 
 ( ) ( ( ) ( )), , onde (essa curva é chamada 
astroide). 
Resposta: 
 
 
 
Questão 2: Considere o campo vetorial ( ) ( 
 
( ) 
 
 
( ) 
) em 
 ( ) e sejam e , respectivamente, as circunferências e 
( ) , ambas percorridas no sentido anti-horário. 
(a) Calcule ∫ . 
(b) Sendo ( ), mostre que 
 
 
 
 
 
. 
(c) Use o Teorema de Green para calcular ∫ . 
Questão 3: Calule a massa e o centro de massa de um arame fino no formato de 
um arco de circunferência , com e , sabendo que a 
função densidade é ( ) . 
Questão 4: Se uma curva tem equação ( ), em coordenadas 
polares, mostre que seu comprimento pode ser calculado pela fórmula 
 ∫ √ (
 
 
) 
 
 
 
Considere a curva de equação polar . Calcule seu comprimento com 
 
 
 
. Parametrize essa curva (ou seja,
obtenha ( ) ( ( ) ( ))). Que 
curva é essa? Verifique que seu cálculo para o comprimento está certo. 
Dica: Para parametrizar a curva, lembre-se que a relação entre as coordenadas 
retangulares e polares é dada por e . 
Questão 5: Considere o campo vetorial ( ) ( ) e a 
curva C de parametrização ( ) ( ), . 
(a) Calcule o comprimento da curva. 
(b) Mostre que o campo é conservativo. 
(c) Calcule ∫ 
Segunda Chamada Cálculo 3 2014.2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – ÁREA II 
SEGUNDA CHAMADA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014 – 05/02/2015 
TURMAS T4 E T9 
 
 
Questão 1: Considere o campo vetorial �⃗�(𝑥, 𝑦) = (𝑒𝑦, 𝑥𝑒𝑦) definido no plano 𝑥𝑦. 
 
(a) Verifique que o �⃗� é um campo conservativo sem calcular explicitamente um potencial. 
(b) Calcule uma função potencial para �⃗�. 
(c) Determine o trabalho realizado pelo campo em uma partícula que se move de (1, 0) até (−1, 0) 
ao longo do semicírculo 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑦 ≥ 0. 
 
 
Questão 2: Considere o campo vetorial espacial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧2) e seja 𝐸 a região sólida 
limitada pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 9 e pelos planos 𝑧 = 0 e 𝑧 = 2. 
 
(a) Faça um esboço da região 𝐸. 
(b) Calcule a divergência do campo �⃗�. 
(c) Calcule o fluxo de �⃗� através de 𝐸. 
 
 
Questão 3: Considere o campo vetorial espacial �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2, 4𝑥𝑦, 𝑦2𝑥) e o retângulo 𝐶 no 
plano 𝑧 = 𝑦 mostrado na figura abaixo 
 
 
(a) Calcule o rotacional do campo �⃗�. 
(b) Calcule o trabalho realizado por �⃗� para 
deslocar uma partícula ao longo de 𝐶. 
 
 
 
Questão 4: Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de 
potências 
 
∑
(−1)𝑛𝑥𝑛
3𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=0
 
 
 
Boa Prova!!! 
Gabarito 2EE Cálculo 3 2014.1.pdf
Teorema da Divergência - Exercícios.docx
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA – EXERCÍCIOS
01. Considere o campo vetorial em definido por
Calcule a divergência do campo .
Calcule diretamente o fluxo de através da esfera , em relação ao campo normal que aponta para fora da esfera.
Explique por que não é correto usar o Teorema da Divergência para efetuar o cálculo acima.
Calcule o fluxo de através do elipsoide , em relação ao campo normal que aponta para fora do elipsoide.
02. Mostre que podemos calcular o volume de um corpo sólido por meio de uma integral de superfície.
03. Considere o campo vetorial 
Calcule a divergência do campo .
Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica .
Calcule o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio e centrada no ponto . Podemos concluir o mesmo para . Em ambos os casos, justifique.
04. Calcule o fluxo do campo através da fronteira do sólido limitado por com , e .
05. Seja a superfície do cubo de vértices , , , , , , e , conforme ilustrado na figura abaixo:
Considere o campo vetorial .
Calcule a divergência de .
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de através da superfície do cubo, com campo normal apontando para fora.
Quais são os vetores normais a cada face do cubo?
Calcule, pela definição, o fluxo de através de cada face do cubo, com relação aos vetores normais obtidos no item anterior.
Compare os resultados do item anterior com o obtido no item (b).
06. Calcule o fluxo do campo
através da superfície do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano , com orientação para fora do sólido.
07. Considere a superfície fechada , definida pelo gráfico de e pelos planos , e , e a região do espaço limitada por .
Esboce a superfície ilustrando o campo normal unitário que aponta para fora.
Calcule , onde .
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral
08. Considere o campo vetorial e seja a região do espaço delimitada superiormente pelo paraboloide e inferiormente pelo plano . Calcule o fluxo do campo através da superfície fronteira do sólido , em relação à normal que aponta para fora de .
09. Sejam a fronteira da região e o campo . Calcule o fluxo de que sai da superfície (normal exterior).
10. Seja uma região fechada e limitada do , cuja fronteira é a união de duas superfícies e , orientadas com vetor normal exterior à região . Calcule o fluxo de através de , onde , sabendo que é uma porção do plano com 6 unidades de área, que está abaixo do plano e que tem 20 unidades de volume.
11. Seja uma região fechada e limitada de , cuja fronteira é a união de duas superfícies e , orientadas com vetor normal exterior a . Calcule o fluxo de através de , com , sabendo que é uma porção do plano com 5 unidades de área e que possui 30 unidades de volume.
12. Considere o campo vetorial
Calcule o fluxo do campo através da esfera , de centro na origem e raio , com vetor normal apontando para fora.
Calcule o fluxo de através do cubo , , , com vetor normal apontando para fora.
13. Seja a região sólida delimitada pelo cilindro e pelos planos e . Seja a região sólida cônica acima de , delimitada pelo cone , de vértice e pelos planos e . Seja agora a região sólida obtida como união das duas. Considere o campo de força 
Descreva a fronteira de , .
Calcule a componente normal de sobre a face lateral de e sobre a sua face de baixo .
Calcule a divergência de .
Calcule o fluxo de através da superfície lateral de (a porção do cone), com a orientação externa a .
Exercícios Cálculo 3 - Integrais de Superfícies.pdf
Exercícios Cálculo 3 14/05/2014 
 
01. Calcule a área da região do plano contida no interior do 
cilindro . Resposta: √ 
 
02. Calcule a massa da superfície S dada por , , cuja 
função densidade num ponto é √ . 
Resposta: 
 
03. Calcule o fluxo do campo vetorial através 
da porção do plano situada no primeiro octante, em relação 
ao campo normal que aponta para baixo. Resposta: 
 
04. Calcule o fluxo do campo através do helicoide 
 , com e . Resposta: 
 
05. Calcule a área da superfície S de parametrização 
 , , . Resposta: √ 
 
06. Calcule a massa da superfície da questão anterior se a densidade é 
 . Resposta: √ 
Gabarito 1EE Cálculo 3 2014.2.pdf
Aula 16 - Derivação e Integração de Séries de Potência.pdf
Aula 8 - Integrais de Superfície, parte 2.pdf
Gabarito 2a Chamada C3 2014.2.pdf
Aula 15 - Séries de Potência.pdf
Aula 14 - Convergência Absoluta.pdf
Aula 13 - Séries de Termos Positivos.pdf
Aula 12 - Séries Numéricas.pdf
Gabarito 2EE Cálculo 3 2014.2.pdf
Aula 3 - Integrais de Linha, parte 2.pdf