Aplicações da Integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DMA 
IV UNIDADE - Aplicações da Integral - Cálculo I - Profº.: Gerson Cruz Araujo 
 
 
 
 
2. VOLUME 
 
 
2.1. Seja � contínua e não-negativa em ��, �� e seja � a região que é limitada acima por � 	 �
�� e abaixo pelo 
eixo �, e nas laterais pelas retas � 	 � e � 	 � (Figura 1). Então o volume do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região � em torno do eixo � é dado por 
 	 � �
�
�
��
���� �� 
 
 
 
2.2. Sejam � e � contínuas a não-negativas em ��, �� e suponha que �
�� � �
��. Seja � a região que é 
limitada acima por � 	 �
�� e abaixo por � 	 �
��, e nas laterais pelas retas � 	 � e � 	 � (Figura 2). Então 
o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região � em torno do eixo � é dado por 
 	 � �
�
�
��
���� � ��
����� �� 
 
 
2.3. Seja � contínua e não-negativa em ��, �� e seja � a região que é limitada acima pela reta � 	 � e abaixo 
pela reta � 	 �, e à direita pela função � 	 �
�� (Figura 3). Então o volume do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região � em torno do eixo � é dado por 
 	 � �
�
�
��
���� �� 
 
 
2.4. Sejam � e � contínuas e não-negativas em ��, �� e suponha que �
�� � �
��. Seja � a região que é 
limitada acima pela reta � 	 � e abaixo pela reta � 	 �, e à direita pela função � 	 �
�� e à esquerda pela 
função � 	 �
�� (Figura 4). Então o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região � em torno 
do eixo � é dado por 
 	 � �
�
�
��
���� � ��
����� �� 
 
 
 
2.5. Sejam � uma função contínua e não-negativa em ��, ��, com 0 � � � e � a região que é limitada acima 
por � 	 �
��, abaixo pelo eixo �, e nas laterais pelas retas � 	 � e � 	 � (Figura 5). Então o volume do sólido 
de revolução gerado pela rotação da região � em torno do eixo � é dado por 
 	 � 2�� �
��
�
�
 �� 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DMA 
IV UNIDADE - Aplicações da Integral - Cálculo I - Profº.: Gerson Cruz Araujo 
 
 
 
 
 
2.6. Sejam � uma função contínua e não-negativa em ��, ��, com 0 � � � e � a região que é limitada acima 
por � 	 �, abaixo pelo eixo � 	 �, e à direita por � 	 �
�� e à esquerda pelo eixo � (Figura 6). Então o 
volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região � em torno do eixo � é dado por 
 	 � 2�� �
��
�
�
 �� 
 
 
 
 
 
3. COMPRIMENTO DE ARCO 
 
 
3.1. Se � 	 �
�� for uma curva lisa em ��, ��, em que �" é contínua em ��, �� (Figura 7), então o comprimento 
de arco # dessa curva de � 	 � até � 	 � é dado por 
# 	 � $1 & ��"
����
�
�
 �� 
 
 
 
3.2. Se � 	 �
�� for uma curva lisa em ��, ��, em que �" é contínua em ��, ��, então o comprimento de arco # 
dessa curva de � 	 � até � 	 � é dado por 
# 	 � $1 & ��"
����
�
�
 �� 
 
 
 
 
 
4. ÁREA DE SUPERFÍCIE 
 
 
4.1. Se � for não-negativa e � 	 �
�� for uma curva lisa em ��, �� (Figura 8), então a área da superfície de 
revolução ' gerada pela rotação da parte da curva � 	 �
�� entre � 	 � e � 	 � em torno do eixo � é dado por 
' 	 � 2�� $1 & ��"
����
�
�
 �� 
 
 
 
4.2. Se � for não-negativa e � 	 �
�� for uma curva lisa em ��, �� (Figura 8), então a área da superfície de 
revolução ' gerada pela rotação da parte da curva � 	 �
�� entre � 	 � e � 	 � em torno do eixo � é dado por 
' 	 � 2�� $1 & ��"
����
�
�
 �� 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DMA 
IV UNIDADE - Aplicações da Integral - Cálculo I - Profº.: Gerson Cruz Araujo 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Figura 2 Figura 3 
 
Figura 4 
 
Figura 5 
 
Figura 6 
 
Figura 7 
 
Figura 8