Apostilas Engenharia unip 2º semestre mecânica da partícula

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Aula 6Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
	
Vetor	Deslocamento,	Velocidade	e	Aceleração
Objetivos	desta	Aula
Entender os conceitos de vetor posição de uma partícula e vetor 
deslocamento.
Entender o conceito de vetor velocidade média e vetor aceleração média 
no movimento não-retilíneo e entender a sua relação com a derivada.
Entender o conceito de vetor velocidade instantânea e vetor aceleração 
instantânea no movimento não-retilíneo e entender a sua relação com 
a derivada;
Ser capaz de deduzir as equações do movimento quando o vetor 
aceleração é constante.
Pré-Requisitos
Ter estudado a Aula 5 - Vetores.
cinemática Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
Pelo que você já aprendeu, certamente você deve ser capaz de perceber que 
o conceito de vetor é perfeito para descrever deslocamentos. Mas você verá, a 
seguir, que os vetores também são um meio excelente de descrever as demais 
grandezas cinemáticas como a posição, a velocidade e a aceleração.
Vetor	Posição	e	Vetor	Deslocamento
Considere uma partícula em um ponto P, com coordenadas x, y e z em relação 
a um sistema de eixos OXYZ , tal como indicado na Figura 2.12.
Figura 2.12: Vetor posição de uma partícula com coordenadas x, y e z. 
Essas coordenadas especificam a posição da partícula em relação ao sistema 
de eixos, mas também especificam um único vetor r, que vai da origem do 
sistema até a posição da partícula. Logo, dado o vetor r, com sua direção, seu 
módulo e seu sentido, a posição da partícula fica univocamente determinada. 
Colocando-se o ponto inicial do vetor na origem O, a sua extremidade final 
determina exatamente a posição da partícula. Esse vetor r, que vai da origem 
O do sistema de eixos até a posição da partícula, é chamado de vetor	posição 
da partícula em relação ao sistema de eixos.
Como o vetor r determina a posição da partícula, muitas vezes nos referimos 
ao vetor posição como sendo “a posição da partícula”.
Para determinar a posição de uma partícula no espaço, usamos também as 
coordenadas x, y e z da partícula em relação ao sistema de eixos OXYZ. 
Assim, temos duas opções para determinar a posição da partícula em relação 
ao sistema de eixos OXYZ, usando o vetor posição r ou suas coordenadas. 
As duas opções são equivalentes.
De fato, considere os vetores unitários ux, uy e uz do sistema de eixos OXYZ. 
Como fica claro pela Figura 2.12, as componentes do vetor posição r ao longo 
desses vetores unitários são exatamente as respectivas coordenadas da 
partícula: 
 (2.2.1)
Vamos agora assumir que a partícula se mova. Como ux, uy e uz formam uma 
base para qualquer vetor no espaço tridimensional, para um dado instante t 
do movimento, existe um único vetor posição nesse instante determinado pela 
trinca de componentes escalares desse vetor, ou seja,
r u u u= + +x y z
x y z
.
 Aula 6Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
 (2.2.2)
O vetor posição é agora uma função do tempo, que descreve o movimento da 
partícula! De fato, se o ponto inicial do vetor posição permanece fixo na origem, 
o ponto final vai traçando uma curva, que é a trajetória	da	partícula. A Figura 
2.13 mostra vetores posição de uma partícula em três instantes diferentes. 
Essa figura também mostra a trajetória da partícula.
 Figura 2.13: Três vetores posição nos instantes t1, t2 e t3 e a trajetória da partícula. 
Consideremos agora uma partícula que em seu movimento passe por um 
ponto P1 e depois por um ponto P2, como exemplificado na Figura 2.14.
 Legenda: Figura 2.14: Vetor deslocamento de P1 para P2.
O vetor deslocamento da partícula, de P1 até P2, é o vetor definido pela seta 
com ponto inicial em P1 e ponto final em P2. Esse vetor também é chamado 
de deslocamento vetorial da partícula.
Pela Figura 2.14, é claro que o vetor deslocamento ∆r da posição P1 até P2 
é igual à diferença entre o vetor posição r1 e o vetor posição r2, ou seja ∆r= 
r2− r1. (Repare na semelhança que essa expressão tem com a definição para 
o deslocamento no movimento unidimensional.
Note que o deslocamento vetorial de um ponto P1 até um ponto P2 é geralmente 
uma informação muito pobre sobre o movimento da partícula entre esse dois 
pontos, pois qualquer que tenha sido a trajetória seguida pela partícula entre 
r u u u( ) ( ) ( ) ( ) .t x t y t z t
x y z
= + +
cinemática Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
P1 e P2, o seu deslocamento entre eles será sempre o mesmo. 
Se supusermos que uma partícula passa por um ponto P1 em um instante t1, 
e por um ponto P2 em um instante t2, o deslocamento vetorial da partícula de 
P1 até P2 é também chamado de deslocamento vetorial no intervalo de tempo 
[t1, t2], ou seja, 
 (2.2.3)
(A expressão acima também deve ser comparada com a definição para o 
deslocamento em um intervalo de tempo .
Finalmente, dados dois vetores posição,
 (2.2.4)
pela definição de adição de vetores em termos de suas componentes, como 
vimos na seção anterior, o vetor deslocamento pode ser escrito como
 (2.2.5)
 
ou seja, o vetor deslocamento é a soma dos vetores deslocamentos nas 
direções dos eixos OX, OY, OX.
De fato, se o movimento fosse apenas ao longo do eixo OX, o deslocamento 
seria simplesmente ∆x, como vimos quando estudamos o movimento 
unidimensional. Entretanto, para o movimento não-retilíneo, dizemos que ∆xux 
é o vetor deslocamento na direção do eixo OX. Analogamente, os vetores 
∆yuy e ∆zuz são os vetores deslocamento nas direções do eixo OY e OZ 
respectivamente.
Vetores	Velocidade	Média	e	Instantânea
Em analogia ao que vimos no movimento unidimensional, seja uma partícula 
que no instante t1 estava na posição r1 e em um instante posterior t2 na 
posição r2, seu deslocamento vetorial no intervalo [t1, t2] é dado por (2.2.3). A 
razão entre o deslocamento vetorial e o tempo gasto para realizá-lo é chamada 
de velocidade	vetorial	média	(ou vetor	velocidade	média) da partícula no 
intervalo de tempo em que ocorreu o deslocamento,
 
 (2.2.6)
(A expressão acima também deve ser comparada com a definição para a 
∆r r r
t t
t t
1 2 2 1→
= −( ) ( ).
r u u u r u u u
1 1 1 1 2 2 2 3
= + + = + +x y z x y z
x y z x y z
 e ,
∆r r r
u u u u u u
= −
= + +( ) − + +
2 1
2 2 3 1 1 1
 x y z x y z
x y z x y zz
x y z
x x y y z z
( )
= −( ) + −( ) + −( )
≡
 
 
2 1 2 1 2 1
u u u
∆∆ ∆ ∆x y z
x y z
u u u+ + ,
v
r r r
t t
t t
t t t1 2
2 1
2 1
→ =
−
−
≡
( ) ( )
.
∆
∆
 Aula 6Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
velocidade média em um intervalo de tempo no movimento unidimensional
Note que a velocidade média é o produto do número positivo 1/∆t pelo vetor 
deslocamento ∆r. O resultado ∆r/∆t, que é a velocidade média, é um vetor 
com a mesma direção e sentido que o deslocamento ∆r.
Além disso, o módulo da velocidade média dá uma idéia da rapidez com que 
a partícula mudou de posição no intervalo de tempo, embora a velocidade 
vetorial média em um intervalo de tempo dê apenas uma informação global 
sobre a maneira como a partícula se moveu nesse intervalo. Para saber a 
velocidade da partícula em um instante em particular, precisamos recorrer ao 
conceito de velocidade instantânea, como veremos abaixo.
Consideremos agora um movimento descrito por r(t). Sejam t e t+∆t dois 
instantes do movimento, com ∆t≠ 0. A velocidade vetorial média da partícula 
no intervalo de tempo [t, t+∆t], é dada por:
 (2.2.7)
Definimos o vetor	 velocidade	 instantânea (ou velocidade	 instantânea	
vetorial) da partícula no instante t como o limite da razão acima quando ∆t 
tende a zero, ou seja, 
 (2.2.8)
Note que o vetor v(t) nos fornece a velocidade comouma função do tempo!
Observe agora a Figura 2.15. No limite em que ∆t→ 0 , o ponto P tende para 
o ponto P’, e a reta secante que passa por P e P’ tende para a reta tangente 
à trajetória no ponto P (veja a figura). Portanto, nesse limite, a velocidade 
média tem a direção da reta tangente à trajetória no ponto P, o que nos leva 
a concluir que a velocidade instantânea tem a direção da reta tangente à 
trajetória no ponto P, isto é, o	 vetor	 velocidade	 instantânea	 é	 sempre	
tangente	à	trajetória	no	ponto	em	que	a	partícula	se	encontra.
Figura 2.15: Posições de uma partícula em dois instantes t e t+∆t. 
Além disso, o sentido do vetor velocidade instantânea em um ponto da trajetória 
é o sentido em que a partícula se move nesse ponto.
A Figura 2.16 mostra um exemplo de movimento no qual está indicada a 
velocidade instantânea com que a partícula passa por vários pontos da 
trajetória.
v
r r
t t t
t t t
t→ +
= + −∆
∆
∆
( ) ( )
.
v
r r r
t
t
t t t
tt t
( ) = = + −
→ →
lim lim
( ) ( )
.
∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
cinemática Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
Figura 2.16: Vetores velocidade em diversos instante do movimento.
Se você tirar a ferrugem do seu Cálculo Diferencial e comparar a definição 
para o vetor velocidade, dado pela Eq. (2.2.8), com a expressão para o vetor 
deslocamento na Eq. (2.2.5), você vai ver que 
 (2.2.9)
Mas cada um dos limites acima é a definição das derivadas
 
 (2.2.10)
como vimos quando estudamos o
 movimento unidimensional. 
Assim, podemos reescrever o vetor velocidade, em termos de suas 
componentes, como
 
 (2.2.11)
Logo, dado um vetor posição r(t) = x(t) ux+ y(t) uy+ z(t) uz, podemos	obter	
a	 função	 vetor	 velocidade	 instantânea simplesmente derivando	 as	
componentes	da	função	vetor	posição	com	relação	ao	tempo. 
Note que os	cálculos	de	derivadas	e	integrais	estão	fora	do	objetivo	deste	
curso	e	não	serão	cobrados	nas	avaliações. 
Finalmente, uma vez que a velocidade de uma partícula é uma grandeza vetorial, 
v u u( ) lim limt
x
t
y
tt x t
= 



+ 


→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0 yy t z
z
t
+ 


→
lim .
∆
∆
∆0
u
dx t
dt
x t t x t
t
dy t
dt
t
( )
lim
( ) ( )
( )
lim
≡ + −
≡
→∆
∆
∆0
 ,
∆∆
∆
∆
∆
∆
t
t
y t t y t
t
dz t
dt
z t t
→
→
+ −
≡ +
0
0
( ) ( )
( )
lim
( )
 ,
−− z t
t
( )
∆
 ,
v u u u( )
( ) ( ) ( )
t
dx t
dt
dy t
dt
dz t
dt
v
x y z
= + +
≡ 
xx x y y z z
v vu u u+ + ,
 Aula 6Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
ela possui em cada instante um módulo, uma direção e um sentido. Basta que 
apenas uma dentre essas três quantidades varie com o passar do tempo para 
que a velocidade varie com o tempo. No caso particular em que o módulo da 
velocidade permanece constante, dizemos que ela se move num movimento 
uniforme. Entretanto, um movimento uniforme não é necessariamente retilíneo, 
como, por exemplo, o movimento circular uniforme.
Vetores	Aceleração	Média	e	Instantânea
Suponha que em um instante t1 uma partícula esteja na posição r(t1) com 
velocidade v(t1), e em um instante diferente t2, ela esteja na posição r(t2) com 
velocidade v(t2), conforme indicado na Figura 2.17.
Figura 2.17: Posições e velocidades de uma partícula em dois instantes de uma partícula em 
movimento. 
A variação da velocidade vetorial da partícula no intervalo de tempo [t1, t2] é
 (2.2.12)
(Novamente, a expressão acima também deve ser comparada com a definição 
para a variação de velocidade em um intervalo de tempo no movimento 
unidimensional,. Note ainda que ∆v é um vetor.)
O tempo decorrido nessa mudança de velocidade é t2−t1, que representamos, 
como de costume, por ∆t. 
A razão entre a variação da velocidade vetorial da partícula e o tempo gasto 
para ocorrer tal variação é chamada de aceleração	vetorial	média (ou vetor	
aceleração	média) da partícula no intervalo de tempo [t1, t2] , ou seja,
 
 (2.2.13)
(A expressão acima também deve ser comparada com a definição para a 
velocidade média em um intervalo de tempo vista na Aula 2. 
Note que, de acordo com a definição acima, a aceleração média vetorial é um 
vetor com a mesma direção e sentido que a variação de velocidade vetorial 
no intervalo [t1, t2]. 
∆v v v= ( ) − ( )t t2 1 .
a
v v v
t t
t t
t t t2 1
2 1
2 1
→ =
( ) − ( )
−
≡ ∆
∆
.
cinemática Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
Além disso, o vetor aceleração média em um intervalo de tempo dá apenas 
uma informação global sobre a maneira como a partícula muda sua velocidade 
vetorial no intervalo.
Agora, seja t o instante no qual a partícula esteja na posição r(t) com velocidade 
v(t), e t+∆t outro instante do movimento no qual a partícula esteja na posição 
r(t+∆t) com velocidade v(t+∆t), conforme ilustrado na Figura 2.18. 
Legenda: Figura 2.18: Posições e velocidades de uma partícula em dois instantes, t e t+∆t. 
Pela definição na Eq. (2.2.13), o vetor aceleração média da partícula no 
intervalo [t, t+∆t] é dado por 
 (2.2.14)
Definimos a aceleração	 vetorial	 instantânea	 (ou vetor	 velocidade	
instantânea) da partícula no instante t, como sendo o limite dessa razão 
quando ∆t tende a zero, isto é,
 
 (2.2.15)
Note que o vetor a(t) é uma função do tempo!
(A expressão acima também deve ser comparada com a definição para a 
aceleração instantânea na aula sobre a aceleração constante no movimento 
unidimensional. 
O módulo da aceleração vetorial instantânea dá a rapidez com que a partícula 
está mudando sua velocidade no instante t. Note que, se a velocidade mudar 
somente em módulo e sentido, sem mudar a direção, a aceleração tem sempre 
a mesma direção da velocidade; esse é o caso de um movimento retilíneo. 
Mas a velocidade também pode mudar sem mudar o seu módulo. Nesse 
caso, a aceleração tem direção perpendicular à velocidade, como no caso do 
movimento circular. Além disso, a velocidade pode mudar em direção, módulo 
e sentido e, nesse caso, a aceleração pode ter qualquer direção.
Finalmente, vamos substituir a Eq. (2.2.11) na Eq. (2.2.15) para fazer um 
cálculo análogo ao visto na Eq. (2.2.9) e mostrar que a(t) se reescreve como
a
v v
t t t
t t t
t→ +
=
+( ) − ( )
∆
∆
∆
 .
a
v v v
t
t
t t t
tt t
( ) = = + −
→ →
lim lim
( ) ( )
.
∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
 Aula 6Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
 
 (2.2.16)
Logo, dado um vetor velocidade v(t) = vx(t) ux+ vy(t) uy+ vz(t) uz, podemos 
obter a função vetor aceleração instantânea simplesmente derivando as 
componentes da função vetor velocidade com relação ao tempo.
- Mas espere aí! Já sabemos que é possível obter o vetor velocidade se 
derivarmos as componentes do vetor deslocamento com relação ao tempo! 
Então basta	derivar	duas	vezes	as	componentes	do	vetor	deslocamento	
com	relação	ao	tempo	para	obtermos	a	aceleração, ou seja,
 
 (2.2.17)
Você poderia agora nos perguntar:
- Seria possível resolver o problema inverso, isto é, conhecendo-se a 
aceleração, é possível descobrir a posição da partícula?
- Note que no caso do movimento retilíneo, se conhecermos a função 
aceleração, podemos obter a função posição se conhecermos v0 e a posição 
x0 no instante inicial t0. Como já vimos, essa função é obtida por meio do cálculo 
de uma integral. Analogamente, podemos fazer o mesmo para o movimento 
não-retilíneo, desde que o vetor posição inicial e o vetor velocidade inicial 
sejam conhecidos, como veremos abaixo. 
Assim, dado o vetor velocidade v0no instante inicial t0, a função vetor 
velocidade para um instante posterior t é obtida por meio do cálculo de uma 
integral,
 
 (2.2.18)
onde ax(t), ay(t) e az(t) são as componentes escalares do vetor aceleração, 
que são funções do tempo. Assim basta	integrar	as	componentes	do	vetor	
aceleração	para	encontrarmos	o	vetor	velocidade!
Analogamente, dado o vetor posição r0 no instante inicial t0, podemos calcular 
a função vetor posição para um instante posterior t, 
 
 (2.2.19)
a u u u( )
( ) ( ) ( )
.t
d x t
dt
d y t
dt
d z t
dtx y z
= + +
2
2
2
2
2
2
v v a
v u
( ) ( ) '
( ')
'
t t dt
a t a
t t
t
x x
= +
= + +
=
∫0
0
0
 
 
yy y z z
t t
t
t a t dt
a
( ') ( ') '
'
u u
v
+ 
= +
=
∫ 
 
0
0 xx
t t
t
x y
t t
t
t dt a t dt( ') ' ( ') '
' '= =
∫ ∫








+
0 0
u








+







=
∫u uy z
t t
t
z
a t dt( ') ' ,
' 0
r r v( ) ( ') '.
'
t t dt
t t
t
= +
=
∫0
0
 
a u u u( )
( ) ( ) ( )
.t
dv t
dt
dv t
dt
dv t
dt
x
x
y
y
z
z
= + +
cinemática Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
Se você substituir o resultado acima na Eq. (2.2.18), é possível mostrar que o 
vetor posição se reescreve como
 
 (2.2.20)
Para o caso em que o vetor a(t) é um vetor constante, isto é, a(t)= a, as 
integrais acima podem ser calculadas facilmente e obtemos:
 (2.2.21)
(A expressão acima deve ser comparada com a lei horária do movimento 
para o MRUV que estudamos na aula sobre velocidade média no movimento 
unidimensional.)
Note ainda que, embora o	cálculo	de	derivadas	e	integrais	esteja	fora	do	
objetivo	deste	curso	e	que	não	será	cobrado	nas	avaliações, você já deve 
ter percebido que ele é bastante útil...
r r v a( ) ( '') ''
'''
t t t t dt
t t
t
t t
t
= + −( ) +
==
∫∫0 0 0
00
 ddt '.
r r v a( ) .t t t t t= + −( ) + −( )0 0 0 0 212 
 Aula 6Vetor Deslocamento, Velocidade e Aceleração
CRÉDITOS
Texto adaptado por Lizardo H. C. M. Nunes da apostila Física 1A, de Carlos 
Farina de Souza, Marcus Venicius C. Pinto e Paulo Carrilho Soares Filho.
Revisão
Mônica dos Santos Dahmouche
Equipe do Portal da Educação
Programação	Visual
André Nogueira
Ilustração
Fabiana Rocha
Fabio Muniz
André Nogueira