Aula 5 - Bases

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Escola de Engenharia de Lorena – EEL 
ALCV
Bases
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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2012
Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Bases
Dimensão e Base
Coordenadas e Mudança de Base
Bases Ortogonais
Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) 
Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Bases
Dimensão e Base
Coordenadas e Mudança de Base
Bases Ortogonais
Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) 
 
Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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Dimensão e Bases - Conceito
Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “gera” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”;
A DIMENSÃO do espaço é o NÚMERO DE ELEMENTOS desta base.
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Dimensão e Bases - Conceito
Tendo em vista o conceito apresentado anteriormente, temos que responder duas questões para se definir uma base:
1- O que são vetores LI ?
	Esta pergunta já foi respondida nos capítulos anteriores de nosso curso. “Quando um vetor puder ser escrito com sendo a combinação linear de um conjunto de outros vetores, este conjunto de vetores é chamado de LINEARMENTE DEPENDENTE (LD). Caso contrário, os vetores são denominados de LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI)”
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Dimensão e Bases - Conceito
A segunda questão pode ser enunciada conforme segue:
2- Como saber se um conjunto de vetores LI “gera” um espaço U ?
	Um conjunto de vetores LI gera um espaço W quando TODOS os vetores deste espaço puderem ser escritos como sendo uma COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores LI que constituem a referida base;
Ou seja, o espaço vetorial W é constituído por TODAS as combinações lineares dos vetores que compõe uma dada base S:
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Exemplo 1.1
Demonstre que os vetores geram , sendo:
De acordo com o conceito apresentado anteriormente, devemos determinar se um
 vetor arbitrário pode ser escrito como uma combinação linear dos
 vetores . 
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Exemplo 1.2
Ou seja, devemos verificar se:
O problema se reduz em provar que o sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO.
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Exemplo 1.3
Desde que:
O sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO e tem solução única para todo valor de U.
Portanto, os vetores geram 
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Exemplo 2
Determine se o conjunto de vetores é LI, sendo: 
 O conjunto contém apenas dois vetores. Estes serão LD quando um vetor 
for múltiplo do outro. Caso contrário, eles serão LI.
Claramente, o conjunto é LI.
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Espaços Vetoriais
Dimensão e Base
Coordenadas e Mudança de Base
Bases Ortogonais
Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) 
 
Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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Coordenadas
Seja B uma BASE do espaço vetorial V e X um vetor pertencente a V. Logo, vale afirmar:
sendo 
Os escalares são chamados de COORDENADAS de X relativas a
 base B. 
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Exemplo 3
Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B, sendo:
Aplicando a definição:
É fácil perceber que: , ou seja, as
 coordenadas de X , na base B, são dadas por:
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Exemplo 4.1
Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B.
Aplicando a definição:
Chegaremos no sistema:
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Exemplo 4.2
Cuja solução será as COORDENADAS de X relativas à base B
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Exemplos 5 e 6
5) Seja a base . Determine as coordenadas do vetor v na base B 
sabendo-se que: 
6) Sejam e duas bases de R2. Determine as 
coodenadas de B’ em relação a B e as coordenadas de B em relação à B’. 
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Subespaços Gerados por Bases
Desde que, por definição, 
	“Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “GERA” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”,
Surge a questão: Determinar o SUBESPAÇO gerado por um CONJUNTO DE VETORES !!!
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Subespaços Gerados por Bases
Considere o subespaço de R3 gerado pelo conjunto de vetores:
A descrição de S como espaço gerado NÃO DEIXA CLARO se S é TRIVIAL ou uma RETA que passa pela origem ou um PLANO que passa pela origem !
Qual é o procedimento para estabelecer esta descrição (trivial, reta ou plano) do subespaço gerado? 
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Subespaços Gerados por Bases
Por definição: 
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Mudança de Base
Os exemplos anteriores ilustram a metodologia de obtenção das coordenadas de um dado vetor referenciado à uma base B;
Observa-se também que um espaço vetorial pode conter mais de uma base. Obviamente, para cada base, o vetor em análise apresentará diferentes coordenadas.
Este fato leva à questão: Existe uma correspondência entre as BASES que geram um dado espaço vetorial??? Em outras palavras, qual a relação matemática que exprime esta correspondência ?
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Matriz de Mudança de Base: TL
Considere duas bases associadas ao espaço vetorial V, denominadas de B e B’.
Vamos supor que EXISTE UMA RELAÇÃO entre os vetores das respectivas bases, ou seja:
O que significa dizer:
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Matriz de Mudança de Base: TL
Considere o VETOR pertencente à base B’:
Então, substituindo as relações anteriores, tem-se:
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Matriz de Mudança de Base: TL
Esta expressão pode ser escrita na forma matricial conforme segue:
ou seja:
Coordenadas do vetor v na base B’.
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Matriz de Mudança de Base: TL
A expressão deduzida anteriormente estabelece uma relação matemática entre as bases B e B’;
É interessante observar a MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO é gerada a partir do conhecimento entre os respectivos vetores constituintes das bases;
 Esta matriz de transformação é dada por:
sendo 
Matriz de Mudança de Base 
Base B’ para a base B
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Exemplo 5.1
Considere as bases B e B’ no . Determine: 
 Matriz de mudança de base de B’ para B;
 Matriz de mudança de base de B para B’;
 As coordenadas do vetor na base B.
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Exemplo 5.2
 Matriz de mudança de base de B’ para B:
A partir da definição, tem-se:
Portanto:
Na forma matricial: e
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Exemplo 5.3
Resolvendo o sistema, tem-se:
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Exemplo 5.4
 Matriz de mudança de base de B para B’:
Desde que , tem-se que:
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Exemplo 5.5
 As coordenadas do vetor na base B
A partir da definição:
Ou seja:
Apenas reforçando, as componentes de V na base B são 
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Bases
Espaços Vetoriais
Dimensão e Base
Coordenadas e Mudança de Base
Bases Ortogonais
Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) 
 
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TRABALHOS
1-Resolução de Equação 3º grau
2-Demonstração do Método de Kramer
3-Aplicação de Matriz de Mudança de coordenadas:
Cilíndrica <> Cartesiana
4-Aplicação de Matriz de Coordenadas:
Esférica <> Cartesiana
5-Aplicação de Matriz de Coordenadas:
Esférica <> Cilíndrica
6-Números de Fibonacci e o conceito de Autovalores/Autovetores
7-Aplicação de Tranformações Lineares :
Elipse
Hipérbole
Parábola
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