Aula 2 - Autovalores e Autovetores+

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Escola de Engenharia de Lorena – EEL 
ALCV
Autovalores e Autovetores
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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2012
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Autovalores e Autovetores
Conceito
Equação Característica
Dependência e Independência Linear
Propriedades dos Autovalores e Autovetores
Exercícios
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
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2012
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Autovalores e Autovetores
Conceito
Equação Característica
Dependência e Independência Linear
Propriedades dos Autovalores e Autovetores
Exercícios
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
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2012
Álgebra Linear
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Modelo Matemático 
A resolução de um problema REAL de engenharia envolve a necessidade da formulação de um MODELO (matemático, digital, ... .) a partir do qual poderão ser estimados os diferentes comportamentos do problema REAL quando excitados por diferentes configurações de entrada. Cita-se como exemplo de modelo matemático o sistema de INEQUAÇÕES lineares abaixo:
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Álgebra Linear
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Modelo Matemático 
De forma geral, um modelo linear pode ser representado por um SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES conforme segue:
sendo x um vetor (matriz coluna), A uma matriz QUADRADA e b uma matriz COLUNA. 
A matriz A contém todas as informações associadas ao problema em que se pretende modelar. A matriz b representa as “entradas” que excitam os MODOS de funcionamento do sistema em estudo.
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Modelo Matemático 
A matriz coluna x é denominada de MATRIZ DE ESTADOS. Ou seja, esta matriz contém todas as VARIÁVEIS que o modelo pretende capturar;
Neste tópico são apresentadas algumas técnicas desenvolvidas no contexto da Álgebra Linear que permitem o estudo do sistema modelado a partir do conhecimento de algumas CARACTERÍSTICAS da matriz A.
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ROTEIRO
Autovalores e Autovetores
Conceito
Equação Característica
Dependência e Independência Linear
Propriedades dos Autovalores e Autovetores
Exercícios
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
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Equação Característica
Considere a matriz quadrada A e um vetor v desconhecido. Seja a equação:
Sendo um escalar. Manipulando-se algebricamente, tem-se:
Aplicando-se o operador determinante:
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Equação Característica
Se , tem-se:
A equação acima é denominada de EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. Se A for uma matriz (n x n), tem-se:
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Equação Característica
Este determinante equivale à EQUAÇÃO ALGÉBRICA de grau n:
Para que a equação tenha soluções NÃO TRIVIAIS em relação ao vetor V, o escalar deve satisfazer a equação acima. As soluções da equação acima são chamadas de AUTOVALORES da matriz A; 
Note também que a equação é um sistema HOMOGÊNEO com n equações e n incógnitas .
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Equação Característica
As soluções v da equação são chamadas de AUTOVETORES da matriz A. Ressalta-se que, por definição, um autovetor NÃO PODE SER NULO.
Neste curso será dada ênfase ao estudo de autovalores REAIS, ou seja, não trabalharemos com autovalores COMPLEXOS.
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Exemplo 1-1 
Determinar os autovalores e autovetores da matriz A:
Solução: O primeiro passo é determinar os autovalores associados à matriz. Para tanto, faz-se uso da equação:
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Exemplo 1-2 
Ou seja:
Logo, os autovalores da matriz A são: e . Note também que a matriz A apresenta um autovalor com MULTIPLICIDADE 2. 
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Exemplo 1-3 
Os autovetores são calculados com base no valor obtido para cada autovalor, quais sejam: e . 
Para
Logo o autovetor associado é: , sendo 
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Exemplo 1-4 
Para
O autovetor associado a é dado por:
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Exemplo 2-1 
Determinar os autovalores e autovetores da matriz A:
Autovalores associados à matriz A:
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Exemplo 2-2 
Autovetor associado:
 Autovetores associados a :
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Exemplo 2-2 
Autovetor associado:
 Autovetores associados a :
CUIDADO ! 
O valor de “a” não é necessariamente o mesmo a ser adotado no autovetor associado ao autovalor 1.
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Comentários
As características (AUTOVALORES E AUTOVETORES) da matriz A representam QUANTIDADES FÍSICAS associadas ao problema sendo modelado. Neste tópico não será dada ênfase ao significado destas características. Estas informações serão passadas em um outro contexto do curso;
Contudo, vale ressaltar que identificar os autovalores e autovetores da matriz A constitui uma importante etapa na resolução do problema desde que o conhecimento destes parâmetros permite avaliar a VIABILIDADE DE SOLUÇÃO do problema considerado. 
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ROTEIRO
Autovalores e Autovetores
Conceito
Equação Característica
Dependência e Independência Linear
Propriedades dos Autovalores e Autovetores
Exercícios
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
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Dependência Linear
Até o presente tópico foram discutidas várias propriedades de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Por exemplo, considere o PRODUTO das matrizes A e B, quais sejam:
Aplicando o método aprendido em sala (“linha x coluna”): 
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Dependência Linear
Observe que este produto também poderia ser realizado da seguinte forma:
Considerando cada coluna da matriz A como sendo um vetor, pode-se dizer que o resultado obtido a partir do produto das matrizes A e B é uma COMBINAÇÃO LINEAR do vetores associados às colunas de A.
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Dependência Linear
Considere que o vetor v assuma os valores x e y, ou seja:
Com base no conceito apresentado anteriormente, pode-se dizer que o vetor b, associado ao lado direito do sistema de equações lineares abaixo é um dos VETORES que podem ser obtidos a partir da combinação linear entre os vetores coluna da matriz A. 
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Dependência Linear
Dentro deste contexto, pode-se dizer que quando o sistema de equações lineares NÃO APRESENTA SOLUÇÃO, não existe um vetor v que satisfaça a equação ;
Quando um vetor puder ser escrito com sendo a combinação linear de um conjunto de outros vetores, este conjunto de vetores é chamado de LINEARMENTE DEPENDENTE (LD). Caso contrário, os vetores são denominados de LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI).
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Exemplo 3-1 
Verifique se os vetores abaixo são LD:
Solução:Basta verificar se o sistema abaixo apresenta solução NÃO TRIVIAL:
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Exemplo 3-2 
Claramente a solução do sistema é dada por:
Desde que somente a solução TRIVIAL é admitida, os vetores são LINEARMENTE INDEPENDENTES. Em outras palavras, não é possível escrever um vetor como uma combinação linear dos outros vetores pertencentes ao conjunto.
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Exemplo 4-1 
Verifique se os vetores abaixo são LD:
Solução: Aplicando os conceitos apresentados, tem-se:
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Exemplo 4-2 
Colocando-se na forma matricial:
Note que : , logo o sistema é INDETERMINADO, ou seja, 
o sistema possui mais de uma solução para o vetor (a,b,c). Portanto, os vetores são LD. (Aluno, forneça exemplos de combinação linear entre estes vetores)
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Exemplo 5-1 
Verifique se os vetores abaixo são LD:
Solução: Aplicando os conceitos apresentados, tem-se:
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Exemplo 5-2 
Colocando na forma matricial:
Note que : , logo o sistema é POSSÍVEL E DETERMINADO. 
É possível encontrar soluções NÃO TRIVIAIS. 
Portanto, os vetores são LD. 
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Comentários
Em síntese, a avaliação da DEPENDÊNCIA LINEAR de um conjunto de vetores requer a DISCUSSÃO do sistema linear formado;
Outro aspecto que deve ser ressaltado é que, quando um conjunto de vetores é LINEARMENTE INDEPENDENTE é possível “gerar” através destes, qualquer vetor no espaço considerado, como sendo uma combinação linear dos vetores pertencentes ao referido conjunto;
Este mesmo conceito pode ser aplicado ao espaço de FUNÇÕES.
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1-) Determine os autovalores e autovetores da matriz A:
Exercícios de Fixação
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2-) Determine os autovalores e autovetores da matriz A:
Exercícios de Fixação
A =
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Exercícios de Fixação
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6-) Determine os autovalores e autovetores da matriz A:
Exercícios de Fixação
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Autovalores e Autovetores
Conceito
Equação Característica
Dependência e Independência Linear
Propriedades dos Autovalores e Autovetores
Exercícios
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
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Propriedades: 1-1
Autovetores e Dependência Linear
Quando os Autovalores de uma matriz A são repetidos os autovetores são linearmente dependentes (LD).
Considere como sendo um autovetor da matriz A. Este autovetor é associado ao autovalor da referida matriz. Portanto, pode-se escrever:
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Propriedades: 1-2
Autovetores e Dependência Linear
Se for um escalar, vale a relação: . Fazendo:
Tem-se: 
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Portanto também satisfaz . Tendo em vista a forma como foi definido, pode-se afirmar também que são LINEARMENTE DEPENDENTES, desde que um vetor pode ser escrito em função do outro;
Outra observação importante é que apresentam os MESMOS AUTOVALORES. Dentro deste enfoque, conclui-se que quando a matriz A apresentar autovalores REPETIDOS, os autovetores associados serão LD.
Propriedades: 1-3 Autovetores e Dependência Linear
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Os autovalores de uma MATRIZ TRIANGULAR são dados pelos elementos da diagonal principal.
Propriedades: 2 Matrizes Triangulares
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A SOMA dos autovalores de A é igual ao TRAÇO da matriz A.
Sendo um polinômio de grau n, é válido afirmar também que:
Propriedades: 3 Soma dos Autovalores de A
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O PRODUTO dos autovalores de A é igual ao DETERMINANTE da matriz A.
A demonstração desta propriedade é obtida de forma direta a partir da dedução apresentada na propriedade 4.
Aluno: Teste as propriedades 4 e 5 para uma matriz (2 x 2)
Propriedades: 4 Produto dos Autovalores de A
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Considere a matriz S formada a partir dos autovetores de A e que os autovetores de A são LI, então: 
Note que:
Propriedades: 5-1 Diagonalização de A (primeira abordagem)
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Pré multiplicando a expressão acima pela inversa da matriz S, tem-se:
Propriedades: 5-2 Diagonalização de A (primeira abordagem)
Note, tem que EXISTIR a INVERSA de S para que seja possível a DIAGONALIZAÇÃO de A
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Os AUTOVETORES de matrizes SIMÉTRICAS são ORTOGONAIS.
Sejam e duas raízes características distintas, associadas aos autovetores e . Deseja-se provar que:
para matrizes SIMÉTRICAS.
Propriedades: 6-1 Matrizes Simétricas (Autovetores)
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Para , vale a relação:
Aplicando o operador TRANSPOSTA:
Pós multiplicando pelo vetor , tem-se:
Propriedades: 6-2 Matrizes Simétricas (Autovetores)
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Da definição de :
Pré multiplicando por :
Propriedades: 6-3 Matrizes Simétricas (Autovetores)
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Logo, temos o sistema:
Subtraindo estas equações:
Logo:
Propriedades: 6-4 Matrizes Simétricas (Autovetores)
Desde que os autovalores são DISTINTOS
C.Q.D
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Os AUTOVALORES de matrizes SIMÉTRICAS são NÚMEROS REAIS.
Pesquisa para o aluno !
Matrizes SIMÉTRICAS constituem um grande campo de aplicação da matemática. Neste contexto, é prioritário entender o novo conceito adquirido, qual seja:
Propriedades: 7 Matrizes Simétricas (Autovalores)
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Autovalores e Autovetores
Conceito
Equação Característica
Dependência e Independência Linear
Propriedades dos Autovalores e Autovetores
Exercícios
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
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7- Típico de prova!) Considere a matriz A:
Determine:
a) Autovalores de A: ;
b) Autovetores de A: ;
c) Verifique se os autovetores de A são LI;
d) Verifique se os autovetores de A são ORTOGONAIS;
e) Determine a matriz que DIAGONALIZA A.
Exemplo Clássico
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Autovalores da matriz A:
Equação Característica:
Solução 1 
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Autovetores da matriz A:
Equação Homogênea:
Para: 
Solução 2.1 
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Autovetores da matriz A:
Equação Característica:
Para: 
Solução 2.2 
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Os Autovetores de A são LI ?
Para que os autovetores de Asejam LI, o sistema abaixo deve apresentar apenas SOLUÇÃO TRIVIAL.
Solução 3 
O sistema admite APENAS a solução TRIVIAL. 
Logo os vetores são LI.
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Os Autovetores de A são ORTOGONAIS ?
Para que os autovetores de A sejam ortogonais, o “produto escalar” entre estes deve ser zero, ou seja:
Solução 4 
Os autovetores de A são ORTOGONAIS.
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Determine a matriz que DIAGONALIZA A.
Desde que os AUTOVETORES de A são LINEARMENTE INDEPENDENTES, a matriz que DIAGONALIZA A é aquela formada pelos autovetores de A. 
Pergunta-se: Para que valores de a e b, a matriz A é diagonalizável ?
Solução 5.1 
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De acordo com a propriedade 5:
Observe que:
Solução 5.2 
Foi adotado a=b= 1
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Inversa da matriz dos autovetores:
Logo:
Solução 5.3 
Ok !
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8-) Considere a matriz A:
Determine:
a) Autovalores de A: ;
b) Autovetores de A: ;
c) Verifique se os autovetores de A são LI;
d) Verifique se os autovetores de A são ORTOGONAIS;
e) Determine a matriz que DIAGONALIZA A (mostrar a verificação!).
Exercício de Fixação
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Respostas-) Determine a matriz P que DIAGONALIZA a matriz A:
Exercícios de Fixação
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