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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena – EEL ALCV Autovalores e Autovetores MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Autovalores e Autovetores Conceito Equação Característica Dependência e Independência Linear Propriedades dos Autovalores e Autovetores Exercícios Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Autovalores e Autovetores Conceito Equação Característica Dependência e Independência Linear Propriedades dos Autovalores e Autovetores Exercícios Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Modelo Matemático A resolução de um problema REAL de engenharia envolve a necessidade da formulação de um MODELO (matemático, digital, ... .) a partir do qual poderão ser estimados os diferentes comportamentos do problema REAL quando excitados por diferentes configurações de entrada. Cita-se como exemplo de modelo matemático o sistema de INEQUAÇÕES lineares abaixo: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Modelo Matemático De forma geral, um modelo linear pode ser representado por um SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES conforme segue: sendo x um vetor (matriz coluna), A uma matriz QUADRADA e b uma matriz COLUNA. A matriz A contém todas as informações associadas ao problema em que se pretende modelar. A matriz b representa as “entradas” que excitam os MODOS de funcionamento do sistema em estudo. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Modelo Matemático A matriz coluna x é denominada de MATRIZ DE ESTADOS. Ou seja, esta matriz contém todas as VARIÁVEIS que o modelo pretende capturar; Neste tópico são apresentadas algumas técnicas desenvolvidas no contexto da Álgebra Linear que permitem o estudo do sistema modelado a partir do conhecimento de algumas CARACTERÍSTICAS da matriz A. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Autovalores e Autovetores Conceito Equação Característica Dependência e Independência Linear Propriedades dos Autovalores e Autovetores Exercícios Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Equação Característica Considere a matriz quadrada A e um vetor v desconhecido. Seja a equação: Sendo um escalar. Manipulando-se algebricamente, tem-se: Aplicando-se o operador determinante: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Equação Característica Se , tem-se: A equação acima é denominada de EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA. Se A for uma matriz (n x n), tem-se: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Equação Característica Este determinante equivale à EQUAÇÃO ALGÉBRICA de grau n: Para que a equação tenha soluções NÃO TRIVIAIS em relação ao vetor V, o escalar deve satisfazer a equação acima. As soluções da equação acima são chamadas de AUTOVALORES da matriz A; Note também que a equação é um sistema HOMOGÊNEO com n equações e n incógnitas . * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Equação Característica As soluções v da equação são chamadas de AUTOVETORES da matriz A. Ressalta-se que, por definição, um autovetor NÃO PODE SER NULO. Neste curso será dada ênfase ao estudo de autovalores REAIS, ou seja, não trabalharemos com autovalores COMPLEXOS. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 1-1 Determinar os autovalores e autovetores da matriz A: Solução: O primeiro passo é determinar os autovalores associados à matriz. Para tanto, faz-se uso da equação: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 1-2 Ou seja: Logo, os autovalores da matriz A são: e . Note também que a matriz A apresenta um autovalor com MULTIPLICIDADE 2. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 1-3 Os autovetores são calculados com base no valor obtido para cada autovalor, quais sejam: e . Para Logo o autovetor associado é: , sendo * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 1-4 Para O autovetor associado a é dado por: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 2-1 Determinar os autovalores e autovetores da matriz A: Autovalores associados à matriz A: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 2-2 Autovetor associado: Autovetores associados a : * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 2-2 Autovetor associado: Autovetores associados a : CUIDADO ! O valor de “a” não é necessariamente o mesmo a ser adotado no autovetor associado ao autovalor 1. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Comentários As características (AUTOVALORES E AUTOVETORES) da matriz A representam QUANTIDADES FÍSICAS associadas ao problema sendo modelado. Neste tópico não será dada ênfase ao significado destas características. Estas informações serão passadas em um outro contexto do curso; Contudo, vale ressaltar que identificar os autovalores e autovetores da matriz A constitui uma importante etapa na resolução do problema desde que o conhecimento destes parâmetros permite avaliar a VIABILIDADE DE SOLUÇÃO do problema considerado. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Autovalores e Autovetores Conceito Equação Característica Dependência e Independência Linear Propriedades dos Autovalores e Autovetores Exercícios Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Dependência Linear Até o presente tópico foram discutidas várias propriedades de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Por exemplo, considere o PRODUTO das matrizes A e B, quais sejam: Aplicando o método aprendido em sala (“linha x coluna”): * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Dependência Linear Observe que este produto também poderia ser realizado da seguinte forma: Considerando cada coluna da matriz A como sendo um vetor, pode-se dizer que o resultado obtido a partir do produto das matrizes A e B é uma COMBINAÇÃO LINEAR do vetores associados às colunas de A. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Dependência Linear Considere que o vetor v assuma os valores x e y, ou seja: Com base no conceito apresentado anteriormente, pode-se dizer que o vetor b, associado ao lado direito do sistema de equações lineares abaixo é um dos VETORES que podem ser obtidos a partir da combinação linear entre os vetores coluna da matriz A. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Dependência Linear Dentro deste contexto, pode-se dizer que quando o sistema de equações lineares NÃO APRESENTA SOLUÇÃO, não existe um vetor v que satisfaça a equação ; Quando um vetor puder ser escrito com sendo a combinação linear de um conjunto de outros vetores, este conjunto de vetores é chamado de LINEARMENTE DEPENDENTE (LD). Caso contrário, os vetores são denominados de LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI). * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 3-1 Verifique se os vetores abaixo são LD: Solução:Basta verificar se o sistema abaixo apresenta solução NÃO TRIVIAL: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 3-2 Claramente a solução do sistema é dada por: Desde que somente a solução TRIVIAL é admitida, os vetores são LINEARMENTE INDEPENDENTES. Em outras palavras, não é possível escrever um vetor como uma combinação linear dos outros vetores pertencentes ao conjunto. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 4-1 Verifique se os vetores abaixo são LD: Solução: Aplicando os conceitos apresentados, tem-se: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 4-2 Colocando-se na forma matricial: Note que : , logo o sistema é INDETERMINADO, ou seja, o sistema possui mais de uma solução para o vetor (a,b,c). Portanto, os vetores são LD. (Aluno, forneça exemplos de combinação linear entre estes vetores) * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 5-1 Verifique se os vetores abaixo são LD: Solução: Aplicando os conceitos apresentados, tem-se: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exemplo 5-2 Colocando na forma matricial: Note que : , logo o sistema é POSSÍVEL E DETERMINADO. É possível encontrar soluções NÃO TRIVIAIS. Portanto, os vetores são LD. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Comentários Em síntese, a avaliação da DEPENDÊNCIA LINEAR de um conjunto de vetores requer a DISCUSSÃO do sistema linear formado; Outro aspecto que deve ser ressaltado é que, quando um conjunto de vetores é LINEARMENTE INDEPENDENTE é possível “gerar” através destes, qualquer vetor no espaço considerado, como sendo uma combinação linear dos vetores pertencentes ao referido conjunto; Este mesmo conceito pode ser aplicado ao espaço de FUNÇÕES. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * 1-) Determine os autovalores e autovetores da matriz A: Exercícios de Fixação * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * 2-) Determine os autovalores e autovetores da matriz A: Exercícios de Fixação A = * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Exercícios de Fixação * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * 6-) Determine os autovalores e autovetores da matriz A: Exercícios de Fixação * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Autovalores e Autovetores Conceito Equação Característica Dependência e Independência Linear Propriedades dos Autovalores e Autovetores Exercícios Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Propriedades: 1-1 Autovetores e Dependência Linear Quando os Autovalores de uma matriz A são repetidos os autovetores são linearmente dependentes (LD). Considere como sendo um autovetor da matriz A. Este autovetor é associado ao autovalor da referida matriz. Portanto, pode-se escrever: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Propriedades: 1-2 Autovetores e Dependência Linear Se for um escalar, vale a relação: . Fazendo: Tem-se: * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Portanto também satisfaz . Tendo em vista a forma como foi definido, pode-se afirmar também que são LINEARMENTE DEPENDENTES, desde que um vetor pode ser escrito em função do outro; Outra observação importante é que apresentam os MESMOS AUTOVALORES. Dentro deste enfoque, conclui-se que quando a matriz A apresentar autovalores REPETIDOS, os autovetores associados serão LD. Propriedades: 1-3 Autovetores e Dependência Linear * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Os autovalores de uma MATRIZ TRIANGULAR são dados pelos elementos da diagonal principal. Propriedades: 2 Matrizes Triangulares * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * A SOMA dos autovalores de A é igual ao TRAÇO da matriz A. Sendo um polinômio de grau n, é válido afirmar também que: Propriedades: 3 Soma dos Autovalores de A * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * O PRODUTO dos autovalores de A é igual ao DETERMINANTE da matriz A. A demonstração desta propriedade é obtida de forma direta a partir da dedução apresentada na propriedade 4. Aluno: Teste as propriedades 4 e 5 para uma matriz (2 x 2) Propriedades: 4 Produto dos Autovalores de A * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Considere a matriz S formada a partir dos autovetores de A e que os autovetores de A são LI, então: Note que: Propriedades: 5-1 Diagonalização de A (primeira abordagem) * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Pré multiplicando a expressão acima pela inversa da matriz S, tem-se: Propriedades: 5-2 Diagonalização de A (primeira abordagem) Note, tem que EXISTIR a INVERSA de S para que seja possível a DIAGONALIZAÇÃO de A * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Os AUTOVETORES de matrizes SIMÉTRICAS são ORTOGONAIS. Sejam e duas raízes características distintas, associadas aos autovetores e . Deseja-se provar que: para matrizes SIMÉTRICAS. Propriedades: 6-1 Matrizes Simétricas (Autovetores) * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Para , vale a relação: Aplicando o operador TRANSPOSTA: Pós multiplicando pelo vetor , tem-se: Propriedades: 6-2 Matrizes Simétricas (Autovetores) * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Da definição de : Pré multiplicando por : Propriedades: 6-3 Matrizes Simétricas (Autovetores) * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Logo, temos o sistema: Subtraindo estas equações: Logo: Propriedades: 6-4 Matrizes Simétricas (Autovetores) Desde que os autovalores são DISTINTOS C.Q.D * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Os AUTOVALORES de matrizes SIMÉTRICAS são NÚMEROS REAIS. Pesquisa para o aluno ! Matrizes SIMÉTRICAS constituem um grande campo de aplicação da matemática. Neste contexto, é prioritário entender o novo conceito adquirido, qual seja: Propriedades: 7 Matrizes Simétricas (Autovalores) * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * ROTEIRO Autovalores e Autovetores Conceito Equação Característica Dependência e Independência Linear Propriedades dos Autovalores e Autovetores Exercícios Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * 7- Típico de prova!) Considere a matriz A: Determine: a) Autovalores de A: ; b) Autovetores de A: ; c) Verifique se os autovetores de A são LI; d) Verifique se os autovetores de A são ORTOGONAIS; e) Determine a matriz que DIAGONALIZA A. Exemplo Clássico * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Autovalores da matriz A: Equação Característica: Solução 1 * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Autovetores da matriz A: Equação Homogênea: Para: Solução 2.1 * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Autovetores da matriz A: Equação Característica: Para: Solução 2.2 * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Os Autovetores de A são LI ? Para que os autovetores de Asejam LI, o sistema abaixo deve apresentar apenas SOLUÇÃO TRIVIAL. Solução 3 O sistema admite APENAS a solução TRIVIAL. Logo os vetores são LI. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Os Autovetores de A são ORTOGONAIS ? Para que os autovetores de A sejam ortogonais, o “produto escalar” entre estes deve ser zero, ou seja: Solução 4 Os autovetores de A são ORTOGONAIS. * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Determine a matriz que DIAGONALIZA A. Desde que os AUTOVETORES de A são LINEARMENTE INDEPENDENTES, a matriz que DIAGONALIZA A é aquela formada pelos autovetores de A. Pergunta-se: Para que valores de a e b, a matriz A é diagonalizável ? Solução 5.1 * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * De acordo com a propriedade 5: Observe que: Solução 5.2 Foi adotado a=b= 1 * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Inversa da matriz dos autovetores: Logo: Solução 5.3 Ok ! * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * 8-) Considere a matriz A: Determine: a) Autovalores de A: ; b) Autovetores de A: ; c) Verifique se os autovetores de A são LI; d) Verifique se os autovetores de A são ORTOGONAIS; e) Determine a matriz que DIAGONALIZA A (mostrar a verificação!). Exercício de Fixação * 2012 Álgebra Linear MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq * Respostas-) Determine a matriz P que DIAGONALIZA a matriz A: Exercícios de Fixação * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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